Impulsas, jėgos impulsas ir susidūrimai

Pradėkite nuo dviejų vežimėlių ir sistemos ribos

2 kg masės vežimėlis A juda į dešinę 3 m/s greičiu link nejudančio 1 kg masės vežimėlio B. Iš pradžių A yra už B tame pačiame tiesiame bėgių kelyje. Jei jie susiduria ir sulimpa, kokiu greičiu abu vežimėliai juda po susidūrimo? Ir ar kuris nors dydis gali išlikti pastovus, nors A sulėtėja?

Pasirinkite sistemą, kurią sudaro abu vežimėliai. Naudojame tikslų mokomąjį modelį: jų masės nekinta, medžiaga į sistemą nepatenka ir iš jos neišeina, o nagrinėjamas tik tiesiaeigis slenkamasis judėjimas. Teigiamą x kryptį pasirinkite į dešinę. Atskaitos sistema laikoma inercine, t. y. kūnas, kurį veikiančių jėgų atstojamoji lygi nuliui, joje judėtų pastoviu greičiu.

Palyginkite būsenas prieš pat vieną susidūrimą ir iškart po jo. Bėgių kelias ir Žemė yra už sistemos ribos. Jų vertikaliosios jėgos atsveria viena kitą, o modelyje išorinių horizontaliųjų jėgų atstojamoji lygi nuliui per visą susidūrimo laiko intervalą. Sukimasis ir išsamus sąlyčio jėgos kitimas nenurodomi. Skaičiai apibūdina modelį, o ne išmatuotą tikrų vežimėlių elgseną.

Sudėkite impulsus, o energiją nagrinėkite atskirai

Greitis turi kryptį: čia v_x yra teigiamas judant į dešinę ir neigiamas judant į kairę, o jo vienetas – m/s. Greičio modulis yra |v_x|. Šiame niutoniniame dalelės modelyje judesio kiekis yra vektorius p = m v. Išilgai x ašies p_x = m v_x. Kai masė teigiama, judesio kiekio kryptis sutampa su greičio kryptimi; jo vienetas – kg m/s.

Abiejų kūnų atitinkamos komponentės sudedamos: P_x = p_A,x + p_B,x. Iš pradžių p_A,x = (2 kg)(3 m/s) = 6 kg m/s, o p_B,x = (1 kg)(0 m/s) = 0 kg m/s. Taigi P_x = 6 kg m/s. Didžioji raidė P žymi bendrą šios sistemos judesio kiekį, o ne trečiojo kūno judesio kiekį.

Kinetinė energija apibūdina kitą dydį. Slenkamąjį judėjimą atliekančios dalelės kinetinė energija yra K = (1/2)m|v|². Į kvadratą keliamas greičio modulis, todėl K yra neneigiamas skaliaras ir neturi kryptį nurodančio ženklo. Mūsų vienmačiu atveju |v|² = v_x². Kinetinės energijos vienetas yra džaulis: 1 J = 1 kg m²/s².

Iš pradžių K_A = (1/2)(2 kg)(3 m/s)² = 9 J, o K_B = 0 J, todėl K_total = 9 J. Neigiamą greitį pakėlus kvadratu taip pat būtų gauta teigiama energija. Dviejų judančių kūnų judesio kiekiai gali būti priešingi ir jų suma gali būti lygi nuliui, nors abu kūnai turi teigiamą kinetinę energiją.

Judesio kiekio pokytį nustatykite pagal jėgos impulsą

Jėga laikui bėgant keičia judesio kiekį. Jėgos impulsą žymėkite I, o pokytį – Δ: Δp = p_f − p_i. Šiame modelyje pasirinkto kūno atstojamosios jėgos impulsas lygus jo judesio kiekio pokyčiui, I_net = Δp. Indeksai i ir f žymi to paties laiko intervalo pradžią ir pabaigą.

Kai atstojamoji jėga yra pastovi ir veikia teigiamą laiko trukmę Δt, I_net = F_net Δt. Matavimo vienetai sutampa: N s = (kg m/s²)s = kg m/s. Jėgos impulsas yra vektorinis pokytis, o ne jėga ar pats galutinis judesio kiekis. Skaičiuodami x ašies kryptimi, išlaikykite ženklus: I_net,x = p_f,x − p_i,x.

Jei jėga iš eilės einančiais laiko intervalais yra pastovi, sudėkite kiekvieno intervalo jėgos ir trukmės sandaugas, atsižvelgdami į ženklus. Bendruoju atveju, kai jėga kinta laikui bėgant, formulėje I_net = F_net,ave Δt naudojamas tikrasis jos vidurkis pagal laiką tame intervale. Vien pradinės ir galutinės jėgos verčių vidurkis paprastai nėra šis vidurkis pagal laiką.

Ir atvirkščiai, F_net,ave = Δp/Δt leidžia nustatyti vidutinę jėgą, kai žinoma teigiama laiko trukmė. Ši formulė nenustato didžiausios jėgos ar išsamios jos kitimo eigos. Šiems baigtinio intervalo balansams pakanka daugybos ir atimties; matematinės analizės apraše naudojamas jėgos integralas laiko atžvilgiu.

Taikykite poros judesio kiekio tvermę sulipimo uždaviniui

Naudojamame Niutono sąveikos modelyje jėga, kuria A veikia B, kiekvieną akimirką yra priešinga jėgai, kuria B veikia A. Jų impulsai per bendrą susidūrimo intervalą taip pat yra priešingi. Šios jėgos keičia kiekvieno vežimėlio judesio kiekį, tačiau bendros sistemos judesio kiekio balanse jų poveikiai vienas kitą panaikina.

Nekintančiam kūnų rinkiniui ΔP = I_ext, kur I_ext yra atstojamosios išorinės jėgos impulsas. Jei atstojamoji išorinė jėga visą intervalą lygi nuliui, P visą šį intervalą išlieka pastovus. Nulinio atstojamosios išorinės jėgos impulso pakanka, kad judesio kiekiai intervalo pradžioje ir pabaigoje būtų lygūs, tačiau vien tai neleidžia nustatyti, kad P išliko pastovus kiekvieną tarpinę akimirką.

Pagrindiniame modelyje išorinė horizontalioji jėga lygi nuliui, todėl P_f,x = P_i,x = 6 kg m/s. Sulipimas prideda sąlygą, kad abiejų vežimėlių galutinis greitis v_f yra vienodas. Todėl (2 kg + 1 kg)v_f = 6 kg m/s ir v_f = 2 m/s į dešinę.

Tuomet A judesio kiekis yra p_A,f,x = 4 kg m/s, o B – p_B,f,x = 2 kg m/s. Jų pokyčiai yra −2 kg m/s ir +2 kg m/s: susidūrimo jėgų impulsai, veikiantys A ir B, yra −2 N s ir +2 N s. Nė vieno vežimėlio atskiras judesio kiekis neišlieka pastovus. Tveria jų bendras judesio kiekis.

Įvertinkite kinetinės energijos pokytį

Kūnams sukibus, jų slenkamojo judėjimo kinetinės energijos yra K_A,f = (1/2)(2 kg)(2 m/s)² = 4 J ir K_B,f = (1/2)(1 kg)(2 m/s)² = 2 J. Jų suma yra 6 J, taigi ji sumažėjo nuo 9 J. Vadinasi, bendro judesio kiekio pastovumas neužtikrina bendros kinetinės energijos pastovumo.

Šiam energijos palyginimui papildomai darome prielaidą, kad per susidūrimą aplinkai neperduodama energija. Modeliuojamo slenkamojo judėjimo energija sumažėja 3 J; ši energija pereina į modelyje atskirai nenagrinėjamas vidines formas, pavyzdžiui, deformaciją, virpesius ar šilimą. Šis balansas neparodo, kiek energijos tenka kiekvienai formai, ir nereiškia, kad energija sunaikinama.

Per tamprųjį susidūrimą sistemos bendra slenkamojo judėjimo kinetinė energija prieš susidūrimą ir po jo yra vienoda. Per netamprųjį susidūrimą šis dydis neišlieka; šiame dviejų kūnų slenkamojo judėjimo modelyje sukibimas yra visiškai netampriojo susidūrimo atvejis. Vien tai, kad kūnai atšoka vienas nuo kito, nepatvirtina, jog susidūrimas yra tamprusis.

Net ir tampriajame modelyje kinetinė energija sąlyčio metu nebūtinai išlieka pastovi: dalis jos gali būti laikinai sukaupta dėl sąveikos, pavyzdžiui, deformuojantis idealiai spyruoklei, o vėliau vėl virsti kinetine energija. Lyginame nurodytas pradinę ir galutinę būsenas, o ne energijos kitimą sąlyčio metu, kuris čia nepateiktas.

Palyginimas su tampriojo susidūrimo rezultatu

Naudokime tas pačias mases ir pradinius greičius, tačiau sukibimą pakeiskime atskiru tampriojo susidūrimo modeliu. Siūlomas rezultatas yra v_A,f,x = 1 m/s ir v_B,f,x = 4 m/s. Tuomet kūnų judesio kiekiai yra 2 kg m/s ir 4 kg m/s, o jų suma vėl yra 6 kg m/s. Jų kinetinės energijos yra 1 J ir 8 J, o suma lygi pradinei 9 J vertei.

Pagal šį rezultatą po susidūrimo B taip pat juda greičiau už A, todėl jie tolsta vienas nuo kito, o B yra priekyje. Nepakitę pradiniai greičiai, 3 m/s kūnui A ir 0 m/s kūnui B, tenkintų tas pačias bendro judesio kiekio ir bendros energijos sąlygas, tačiau iš pradžių gale buvęs vežimėlis ir toliau artėtų prie priekinio. Šioje situacijoje tos nepakitusios vertės neaprašo pasibaigusio susidūrimo, po kurio kūnai tolsta vienas nuo kito.

Paveiksle du skirtingi susidūrimo rezultato modeliai lyginami su jų bendra pradine būsena. Apskritimu ir kvadratu pažymėtos rodyklių pradžios žymi A ir B; taškinė rombu pažymėta eilutė rodo atskirai apskaičiuotą bendrą sistemos judesio kiekį. Rodyklių ilgiams taikomas vienodas judesio kiekio mastelis, o nulio simbolis išlaiko pradinę nulinę B vertę. Tai judesio kiekio rodyklės, o ne padėtys, greičiai ar jėgos.

Po rezultatų stulpeliais pateiktos jėgos impulso vertės yra judesio kiekio pokyčiai, palyginti su bendromis pradinėmis vertėmis. Energijos stulpeliams taikomas atskiras vienodas mastelis ir nulinės energijos atskaitos linija. Gretinant 6 kg m/s bendro judesio kiekio rodykles su 9 J, 6 J ir 9 J energijos stulpeliais, išryškėja abu tvermės klausimai.

Atsižvelkite į išorinę jėgą ir jos veikimo trukmę

Atskiras jėgos impulso pavyzdys parodo, kodėl pasirinkto kūno judesio kiekis nebūtinai išlieka pastovus. 2 kg masės vežimėlio pradinis greitis yra v_i,x = +1 m/s. Laikotarpiu 0 ≤ t ≤ 0.75 s vežimėlį veikia pastovi atstojamoji išorinė jėga F_net,x = −8 N. Kitos jėgų dedamosios atsveria viena kitą. Po šio laikotarpio veikianti jėga nenurodyta.

Šios jėgos impulsas yra I_net,x = (−8 N)(0.75 s) = −6 N s. Pradinis judesio kiekis yra +2 kg m/s, todėl galutinis judesio kiekis yra +2 kg m/s − 6 kg m/s = −4 kg m/s. Padaliję iš 2 kg, gauname v_f,x = −2 m/s. Jėgos impulsas pakeitė vežimėlio judėjimo kryptį į priešingą.

Čia K pasikeičia nuo 1 J iki 4 J. Neigiama judesio kiekio dedamoji neprieštarauja teigiamai kinetinei energijai. Šis pateiktas išorinės jėgos veikimo atvejis nėra vienas iš izoliuotos dviejų vežimėlių sistemos susidūrimo rezultatų ir nėra klasifikuojamas pagal jiems taikomas tamprumo ar sukibimo prielaidas.

Palyginimui, jei pradinė dviejų vežimėlių sistema gautų išorinės jėgos impulsą −3 N s išilgai x ašies ir vežimėliai vis tiek sukibtų, galutinis sistemos P_x būtų 3 kg m/s, o bendras vežimėlių greitis būtų 1 m/s. Vidinių sąlyčio jėgų impulsai poros judesio kiekio balanse vis tiek atsvertų vienas kitą, tačiau neatsvertų šio išorinės jėgos indėlio.

Patikrinkite sistemą, laikotarpį ir artinį

Pravartu laikytis tokios tvarkos: apibrėžti kūną ar kūnų sistemą, pasirinkti atskaitos sistemą ir ženklų susitarimą, apskaičiuoti pradinį judesio kiekį, įtraukti išorinių jėgų impulsą ir tada pridėti tinkamą galutinės būsenos sąlygą. Vien judesio kiekio tvermės paprastai nepakanka dviem nepriklausomiems galutiniams greičiams nustatyti. Kūnų susijungimo sąlyga arba prielaida, kad susidūrimas tamprus, suteikia papildomos informacijos; taip pat būtina atsižvelgti į susidūrimo geometriją.

Vien trumpa susidūrimo trukmė neįrodo, kad išorinių jėgų impulsas yra nereikšmingas. Jei tikrosios išorinės horizontaliosios jėgos vidurkio per 0.3 s laikotarpį modulis neviršija 0.2 N, tuomet |I_ext,x| ≤ 0.06 N s. Pradinei susijungiančių kūnų porai ši nustatyta riba duoda 1.98 m/s ≤ v_f ≤ 2.02 m/s. Tai modelio nustatytos ribos aplink rezultatą, gautą esant nuliniam išorinių jėgų impulsui, o ne statistinis pasikliautinasis intervalas ar išmatuotais vežimėlių duomenimis pagrįsti įrodymai.

Čia naudojamos p = m v ir K = (1/2)m|v|² yra Niutono mechanikos slenkamojo judėjimo formulės, taikomos inercine laikomoje atskaitos sistemoje, kai masės yra pastovios ir teigiamos. Jos neapima kintamos masės srautų, lauko judesio kiekio, reliatyvistinio judėjimo ar kvantinių susidūrimų skaičiavimų. Realiame eksperimente būtina pagrįsti, kokios jėgos įtraukiamos, kur eina sistemos riba, kokie energijos perdavimai vyksta ir kokio tikslumo reikia.

Šiais atvejais pakanka aritmetinių veiksmų su ženklais ir vektorių komponenčių; nurodytiems pradinės ir galutinės būsenų balansams apskaičiuoti nereikia žinoti nei jėgos kitimo laikui bėgant, nei medžiagos elgsenos susidūrimo metu dėsnio. Kitoje pamokoje „Masės centras ir daugelio dalelių sistemos“ kūnų sistemos aprašymas išplečiamas, nelaikant bendrojo dydžio tvermės kiekvienos dalies dydžio tverme.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Du 1 kg masės kūnai juda ta pačia tiese +2 m/s ir −2 m/s greičiais. Apskaičiuokite jų bendrą judesio kiekį ir kinetinę energiją. Jei jie susiduria, sulimpa ir išorinių jėgų impulsas lygus nuliui, raskite jų bendrą galutinį greitį ir slenkamojo judėjimo kinetinę energiją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš pradžių P_x = 0 kg m/s ir K_total = 4 J. Kūnams sulipus, v_f = 0 m/s ir K_total = 0 J.

   Judesio kiekiai +2 kg m/s ir −2 kg m/s, atsižvelgiant į jų ženklus, vienas kitą panaikina, tačiau pradinės kinetinės energijos 2 J ir 2 J susideda. Nulinis bendras judesio kiekis nereiškė, kad kuris nors kūnas iš pradžių buvo rimties būsenos. Kūnams sulipus, (2 kg)v_f = 0 kg m/s.

2. Pagrindiniu susidūrimo, po kurio kūnai sulimpa, atveju A gauna −2 N s, o B – +2 N s jėgos impulsą. Tarkite, kad susidūrimo trukmė yra 0.25 s; tarpusavio sąveikos jėga yra vienintelė neatsverta jėga, veikianti kiekvieną vežimėlį. Raskite jų vidutines sąveikos jėgas per šį laiką. Ar jėgų impulsai ir trukmė taip pat leidžia nustatyti didžiausius jėgų modulius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinė jėga, veikianti A, yra −8 N, o veikianti B – +8 N. Jų didžiausių modulių nustatyti negalima.

   Kiekvieną jėgos impulsą, atsižvelgdami į jo ženklą, padalykite iš tos pačios teigiamos trukmės: (−2 N s)/(0.25 s) = −8 N ir (+2 N s)/(0.25 s) = +8 N. Skirtingai laikui bėgant kintančios jėgos gali turėti tą pačią vidutinę vertę. Nenurodyta, kad sąlyčio jėga laikui bėgant būtų pastovi.

3. Grįžkite prie pradinės 2 kg ir 1 kg masės kūnų poros, kurios pradinis judesio kiekis P_x = 6 kg m/s. Pakeiskite modelį: per 0.5 s trunkantį susidūrimą porą veikianti atstojamoji išorinė horizontalioji jėga yra pastovi ir lygi −6 N, o kūnai sulimpa. Raskite išorinių jėgų impulsą ir bendrą galutinį greitį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   I_ext,x = −3 N s ir v_f = +1 m/s.

   Išorinių jėgų impulsas yra (−6 N)(0.5 s) = −3 N s, todėl P_f,x = 6 kg m/s − 3 kg m/s = 3 kg m/s. Padalykite iš bendros 3 kg masės. Vienodo modulio ir priešingų krypčių vidinių jėgų impulsai nepanaikina išorinių jėgų impulso.

4. Tampriojo susidūrimo atveju A greitis pakinta nuo 3 m/s iki 1 m/s, o B – nuo 0 m/s iki 4 m/s. Jų masės lieka 2 kg ir 1 kg. Kiek kinetinės energijos kiekvienas kūnas įgyja arba praranda ir kuris bendras dydis išlieka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A praranda 8 J, o B įgyja 8 J. Jų bendra kinetinė energija lieka 9 J.

   A kinetinė energija pakinta nuo 9 J iki 1 J, o B – nuo 0 J iki 8 J. Tampriojo susidūrimo metu tvermė taikoma visos sistemos kinetinei energijai prieš susidūrimą ir po jo, o ne kiekvieno kūno kinetinei energijai atskirai.

5. Kūnams sulipus, diagramoje parodyta p_A,x = 4 kg m/s, p_B,x = 2 kg m/s, o taškuotoje eilutėje – bendras impulsas P_x = 6 kg m/s. Mokinys sudeda visas tris reikšmes ir nurodo, kad poros impulsas yra 12 kg m/s. Pataisykite skaičiavimą ir paaiškinkite, ką vaizduoja taškuota eilutė.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Poros impulsas yra 4 kg m/s + 2 kg m/s = 6 kg m/s. Taškuotoje eilutėje parodyta ši apskaičiuota suma.

   Sistemos ribų viduje yra du kūnai. P nėra nei trečias kūnas, nei papildomas dėmuo. Pridėjus jį prie jo paties dėmenų, tie patys impulsai įskaičiuojami du kartus.

6. Tarkime, kad pradinei sulimpančių kūnų porai per 0.3 s galioja |F_ext,ave,x| ≤ 0.2 N. Pradinis bendras impulsas yra 6 kg m/s, o masė – 3 kg. Nustatykite galutinio bendro greičio ribas. Ar šios ribos sudaro statistinį pasikliautinąjį intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1.98 m/s ≤ v_f ≤ 2.02 m/s. Tai pagal duotą modelio prielaidą nustatytos ribos, o ne statistinis pasikliautinasis intervalas.

   Jėgos impulso modulis yra ne didesnis kaip (0.2 N)(0.3 s) = 0.06 N s. Taigi P_f,x yra nuo 5.94 iki 6.06 kg m/s. Padalijus abi į intervalą įtrauktas ribines reikšmes iš teigiamos 3 kg masės, gaunamos greičio ribos. Nepateikta nei tikimybių dėsnio, nei matavimų duomenų.

Ką verta įsidėmėti

• Impulsas yra vektorius; kinetinė energija yra neneigiamas skaliaras, kurio matavimo vienetai kitokie.
• Atstojamasis išorinių jėgų impulsas per nurodytą laiko intervalą pakeičia nekintamos sudėties sistemos bendrą impulsą.
• Vidinių jėgų impulsai gali pakeisti atskirų kūnų impulsus, nors jų indėliai į bendrą impulsą vienas kitą panaikina.
• Tampriojo susidūrimo metu bendra kinetinė energija prieš susidūrimą ir po jo yra vienoda; kūnams sulimpant ji nebūtinai išlieka.
• Prieš taikydami tvermės balansą, nurodykite sistemos ribas, atskaitos sistemą, prielaidas apie jėgą ir jos veikimo trukmę bei galutinės būsenos sąlygą.