Fizika · Straipsnis

Liapunovo rodikliai ir prognozuojamumas

Nagrinėkite vieną tikslų tolydinį modelį, kad atskirtumėte trumpalaikį liestinių perturbacijų augimą, nuo trajektorijos priklausantį ilgalaikį rodiklį ir baigtinės paklaidos leistinosios ribos peržengimą.

Ankstesnis straipsnis: Deterministinis chaosas

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Paaiškinti liestinės perturbacijos stiprinimo koeficientą kaip jautrumą pradinei būsenai fiksuotu baigtiniu laiku.
Apskaičiuoti baigtinio laiko logaritminį augimo greitį, aiškiai nurodant laiko vienetą.
Atskirti laikiną augimą nuo asimptotinio rodiklio išilgai nurodytos trajektorijos.
Palyginti nykstamai mažos paklaidos įvertį su tikslia baigtinės paklaidos leistinąja riba pateiktame modelyje.

Pradėkime nuo mažo pradinės būsenos pokyčio

Tarkime, bedimensė būsena x kinta tolydžiai pagal dx/dt = x(1-x)/T, kai T = 2 s. Pasirinkite pradinę būseną x₀ tarp 0 ir 1 ir sekite jos kitimą, kai t ≥ 0. Tai tikslus matematinis modelis, pateiktas šiai pamokai; jo būsena nėra išmatuota padėtis ar populiacijos dydžio įvertis.

Kai atskaitos pradinė būsena yra x₀ = 1/8, būsena laiku t = (2 ln 2) s yra 2/9. Tuo pačiu laiku labai mažas pradinės būsenos pokytis pirmosios eilės artinyje sustiprinamas 128/81 karto. Šis koeficientas yra didesnis už 1, todėl pradinės būsenos pokytis per šį intervalą išauga. Pamatysime, kad ilgainiui ta pati atskaitos trajektorija mažina liestines perturbacijas.

Pasiruoškite skaitydami „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“, kur aptariamos trupmenos, eksponentinės funkcijos ir natūralieji logaritmai, ir „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“, kur aptariami greičiai, išreikšti per sekundę. Pirmą kartą skaitant galima remtis tikslia lentele ir trimis palyginimais. Prie argumentų, paremtų išvestinėmis, grįžkite perskaitę „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“; skyriuje „Paprastosios diferencialinės lygtys“ paaiškinami čia vartojami pradinės vertės žymėjimai.

Apibrėžkime fiksuoto laiko tangentinį stiprinimo koeficientą

Būseną, pasiektą laiku t iš pradinės būsenos x₀, žymėkime φₜ(x₀). Pažymėkime a = exp(t/T); tai bedimensis skaičius. Pateiktos lygties tikslus sprendinys yra phi_t(x0) = x0*a/(1-x0+x0*a). Vardiklis yra teigiamas, kai 0 ≤ x₀ ≤ 1 ir t ≥ 0, todėl šios trajektorijos į priekį laiko atžvilgiu yra apibrėžtos visoje šioje srityje.

Tangentinis stiprinimo koeficientas yra G(t;x0) = d phi_t(x0)/dx0 = a/(1-x0+x0*a)^2. Čia keičiame pradinę būseną, nekeisdami praėjusio laiko. Kai poslinkis ε yra mažas ir nenulinis, būsenų skirtumas apytiksliai lygus Gε; pats G yra ribinis santykis, kai ε artėja prie nulio. Kai poslinkis nenulinis ir baigtinis, paprastai išlieka aukštesniųjų eilių pataisos.

Kai x₀ = 0 arba 1, išvestinei apskaičiuoti naudojama glodi lygtis, kurios taikymas išplėstas į gretimas realiąsias pradines būsenas kiekvienam fiksuotam baigtiniam laiko horizontui. Toks lokalus išplėtimas nereiškia, kad kiekviena neigiama pradinė būsena turi trajektoriją visiems būsimiems laiko momentams. Šioje pamokoje G yra teigiamas, o tiek jo įvesties, tiek išvesties pokyčiai yra bedimensiai.

Stiprinimo koeficiento ir logaritminio kitimo greičio interpretavimas

Viršutiniame grafike vaizduojamas G, kai x₀ = 1/8. Lygis G = 1 reiškia, kad tangentinis pokytis vėl pasiekė pradinį dydį. Virš šio lygio pokytis yra sustiprėjęs, o žemiau jo – sumažėjęs, palyginti su pradiniu dydžiu. Apskritimai žymi tikslius lentelėje pateiktus laiko momentus ir vertes.

Kai t > 0, apibrėžiame baigtinio laiko kitimo greitį lambda_F(t;x0) = ln(abs(G(t;x0)))/t. Natūralusis logaritmas multiplikatyvų stiprinimo koeficientą paverčia adityviu dydžiu, o padaliję iš praėjusio laiko gauname kitimo greitį. Jo vienetas yra s⁻¹. Teigiama vertė reiškia bendrą tangentinio pokyčio sustiprėjimą per visą šį intervalą, net jei paskutinėje intervalo dalyje pokytis mažėjo.

Apatiniame grafike λ_F naudojama atskira vertikalioji skalė. Rombai žymi vertes teigiamais laiko momentais. Kai t = 0, dalmuo neapibrėžtas: ir ln G, ir t yra lygūs nuliui. Neužpildytas apskritimas rodo tik dešiniąją ribą, kuri šiuo atskaitos atveju lygi +3/8 s⁻¹. Tai nėra λ_F vertė ties nuliu.

Abiejuose grafikuose naudojama ta pati laiko ašis. Jų vertikaliosiose ašyse vaizduojami dydžiai ir vienetai skiriasi. Linijos jungia analitiškai apskaičiuotus taškus; pasirinktas vertes nusako lentelėje pateiktos tikslios išraiškos.

Ištisinė mėlyna linija ir užpildyti skrituliai: G(t;1/8)

Ištisinė violetinė linija ir tuščiaviduriai rombai: λ_F(t;1/8), t > 0

Brūkšninė oranžinė linija: stacionarusis sprendinys, kai x₀ = 0, sparta +1/2 s⁻¹

Taškinė žalia linija: stacionarusis sprendinys, kai x₀ = 1, sparta −1/2 s⁻¹

Tuščiaviduris apskritimas ties t = 0: dešinioji riba +3/8 s⁻¹, o ne apibrėžta λ_F vertė

Šviesi taškinė pagalbinė linija: G = 1

dx/dt = x(1−x)/T; T = 2 s; a = exp(t/T); atskaitos x₀ = 1/8

Abiejose dalyse: 720 px per (12 ln 2) s. Viršuje: 120 px vienam stiprinimo koeficiento vienetui. Apačioje: 260 px vienam s⁻¹.

Rodoma: 0 ≤ t ≤ (12 ln 2) s. Pasirinktos pradinės modelio būsenos: 0 ≤ x₀ ≤ 1; jų kitimas nagrinėjamas, kai t ≥ 0. λ_F apibrėžiamas tik tada, kai t > 0.

Kreivės jungia analitiškai apskaičiuotus taškus; žymekliai atitinka tikslių reikšmių lentelę. Tai pateikto modelio liestinės dinamikos dydžiai, o ne baigtinės paklaidos kitimo istorijos, chaotinis atraktorius ar empirinis prognozės patvirtinimas.

Atskaitos būsena x₀ = 1/8 iš pradžių sustiprina, o vėliau slopina liestinius pokyčius. Jos baigtinio laiko augimo tempas yra viso praėjusio intervalo vidurkis. Horizontalios palyginimo linijos gautos atskiroms stacionariosioms pradinėms būsenoms 0 ir 1; jos nėra stebėtų paklaidų įrašai. Lentelėje pateiktos tikslios pasirinktų dydžių vertės.

Tikslios atskaitos vertės, kai T = 2 s ir x₀ = 1/8
t / s	Būsena x(t)	Tangentinis stiprinimo koeficientas G	λ_F / (s⁻¹)
0	1/8	1	Neapibrėžta, kai t = 0
2 ln 2	2/9	128/81	ln(128/81)/(2 ln 2)
4 ln 2	4/11	256/121	ln(256/121)/(4 ln 2)
6 ln 2	8/15	512/225	ln(512/225)/(6 ln 2)
8 ln 2	16/23	1024/529	ln(1024/529)/(8 ln 2)
10 ln 2	32/39	2048/1521	ln(2048/1521)/(10 ln 2)
12 ln 2	64/71	4096/5041	ln(4096/5041)/(12 ln 2)

Nustatykite augimo ir grįžimo momentus

Atskaitos trajektorijai išraiškos supaprastėja iki x(t) = a/(7+a) ir G(t;1/8) = 64*a/(7+a)^2. Pradinė stiprinimo koeficiento vertė yra 1. Diferencijuojant pagal a, gaunamas skaitiklis, proporcingas 7 − a, todėl stiprinimo koeficientas didėja iki a = 7, o vėliau mažėja.

Kai t = (2 ln 7) s, būsena yra 1/2, o didžiausias stiprinimo koeficientas yra 16/7. Tuo momentu momentinė tangentinio pokyčio augimo sparta pakeičia ženklą: d ln(G)/dt = (1-2*x(t))/T. Kai būsena viršija 1/2, ši vietinė augimo sparta yra neigiama, nors sukauptas stiprinimo koeficientas vis dar gali viršyti 1.

Išsprendę lygtį G = 1, gauname (a-1)*(a-49) = 0. Be pradinio momento, grįžimas įvyksta, kai t = (4 ln 7) s; tuo metu x = 7/8. Tik po šio grįžimo baigtinio laiko augimo sparta tampa neigiama. Neigiama vietinė augimo sparta ir neigiamas vidurkis per praėjusį laiką atsako į skirtingus klausimus.

Apskaičiuokite konkrečios trajektorijos ribą

Asimptotinis Liapunovo rodiklis nusako ilgalaikę tangentinio pokyčio augimo spartą: lambda(x0) = limit(t->infinity) ln(abs(G(t;x0)))/t, kai ši riba egzistuoja. Pirmiausia kiekvienu baigtiniu laiko momentu t apskaičiuojama išvestinė pradinės būsenos atžvilgiu; tada skaičiuojama riba laiko atžvilgiu. Tai nėra ilgalaikė kitimo sparta, gauta sekant dviejų būsenų skirtumą, kai pradinis jų skirtumas fiksuotas ir nenulinis.

Bet kuriai fiksuotai x₀ vertei, tenkinančiai 0 < x₀ ≤ 1, iškelkite a prieš skliaustus vardiklyje ir gaukite G = a^(-1)/(x0+(1-x0)/a)^2. Antrasis daugiklis artėja prie teigiamos konstantos 1/x₀². Jo logaritmas, padalytas iš t, artėja prie nulio, o ln(a)/t = 1/T. Todėl kiekvienoje iš šių pateiktų trajektorijų λ = −1/T = −1/2 s⁻¹.

Konkrečiai, mūsų atskaitos trajektorijos, kurios x₀ = 1/8, rodiklis yra neigiamas, nepaisant ankstesnio augimo. Baigtinis grafikas baigiasi ties t = (12 ln 2) s, tai yra maždaug 8.32 s; jo galutinė augimo sparta yra tik apie −0.025 s⁻¹. Grafikas neteigia, kad per trumpą intervalą jau pasiekta asimptotinė augimo sparta.

Palyginkite dvi stacionariąsias trajektorijas

Kai x₀ = 0, būsena išlieka lygi nuliui, bet tangentinio pokyčio stiprinimo koeficientas yra a. Taigi λ_F = +1/T ir λ = +1/T. Kai x₀ = 1, būsena išlieka lygi vienetui, bet G = 1/a, todėl λ_F = −1/T ir λ = −1/T. Stacionarioji būsena gali stiprinti arba slopinti nedidelį nuokrypį; rodiklis nėra atskaitos būsenos judėjimo greitis.

Brūkšninė ir taškinė horizontaliosios linijos leidžia palyginti šias dvi stacionariąsias pradines būsenas. Taškinės linijos vertė taip pat lygi ilgainiui nusistovinčiam atskaitos trajektorijos rodikliui, tačiau ji nepakeičia šios trajektorijos baigtinio laiko rodiklio kreivės.

Šis pavyzdys taip pat parodo, kodėl nurodant rodiklį būtina įvardyti jo atskaitos trajektoriją. Teigiamas rodiklis ties nestabiliąja pusiausvyra x = 0 nereiškia, kad šis skaliarinis srautas yra chaotiškas. Kiekviena vidinė būsena čia monotoniškai didėja artėdama prie 1; stacionariosios trajektorijos išlieka pastovios. Vien eksponentinis tangentinio pokyčio augimas neįrodo pasikartojančios chaotinės dinamikos.

Skirtingos pradinės būsenos pagal tą pačią tikslią lygtį
Pradinė būsena	Atskaitos būsenos kitimas	Tangentinio pokyčio stiprinimo koeficientas	Asimptotinis λ / (s⁻¹)
0	Visada 0	exp(t/T)	+1/2
1/8	Didėja ir artėja prie 1	64*a/(7+a)^2	−1/2
1	Visada 1	exp(-t/T)	−1/2

Nustatykite baigtinės paklaidos ribą

Dabar palyginkite stacionarią atskaitos būseną x = 0 su tuo pačiu tiksliu modeliu, kurio pradinė būsena yra ε = 1/1000. Laikykite prognozę priimtina, kol jos absoliučioji būsenos paklaida neviršija η = 1/10. Šiame palyginime nėra triukšmo, išorinio žadinimo ar parametrų paklaidos; vienintelis skirtumas yra nurodyta pradinė būsena.

Liestinės įvertis yra ε exp(t/T). Pagal jį leistinos paklaidos ribos peržengimo laikas formaliai yra t_linear = T*ln(eta/epsilon) = (2 ln 100) s. Tai tiesinis įvertis, o ne tikslus baigtinio nuokrypio prognozės horizontas.

Tiksli paklaida yra delta(t) = epsilon*a/(1-epsilon+epsilon*a). Kai a = 100, ji yra 100/1099, vis dar mažesnė už 1/10. Prilyginę tiksliąją išraišką η, gauname a = eta*(1-epsilon)/(epsilon*(1-eta)) = 111, todėl šiame palyginime tikrasis slenksčio pasiekimo laikas yra t = (2 ln 111) s. Lygybė yra priimtina, todėl leistinas intervalas į priekį laike apima ir šį galinį tašką.

Esant šiai fiksuotai teigiamai ε vertei, paklaida ilgainiui artėja prie 1, o ne auga be ribų. Jos logaritminio stiprinimo ir t santykis artėja prie nulio. Liestinės dinamikos rodiklis ties nuliu vis tiek yra +1/2 s⁻¹, nes jį skaičiuojant pirmiausia pereinama prie be galo mažo nuokrypio ribos. Leistinoji paklaida, pradinis nuokrypis ir aiškiai nurodytas paklaidos modelis yra būtinos prognozuojamumo klausimo dalys.

Rezultatą taikykite paisydami jo sąlygų

Atskirkite tris klausimus: kaip liestinis pokytis kinta per pasirinktą baigtinį intervalą, koks yra jo asimptotinis kitimo greitis išilgai nurodytos trajektorijos ir kada nurodyta baigtinė paklaida viršija leistinąją paklaidą. Šioje pamokoje kiekvienas jų išsprendžiamas remiantis viena tikslia skaliarine lygtimi. Čia rodiklis nevertinamas pagal matavimus ir netikrinamas realios prognozavimo sistemos tinkamumas.

Tolydžiajame modelyje pakeitus laiko vienetą pasikeičia skaitinė kitimo greičio vertė. Kai τ = t/T, nulinės stacionariosios būsenos rodiklis yra +1 vienam τ vienetui, o rodiklis laiko t atžvilgiu yra +1/T, kai t matuojamas sekundėmis. Logaritmuojamas bedimensis stiprinimo koeficientas; dimensiją turinčios paklaidos negalima tiesiogiai logaritmuoti nenurodžius atskaitos santykio.

Kai būsenos dimensijų yra daugiau nei viena, taip pat būtina nurodyti trikdžio kryptį ir jam palyginti naudojamą normą. Kintančio liestinio atvaizdžio paprastai negalima pakeisti jo momentinės matricos tikrinėmis vertėmis. Čia nesiremiama jokia bendrąja ergodine ar nuo trajektorijos nepriklausoma teorema: pirmiau naudotos ribos gautos tiesiogiai iš pateikto sprendinio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Palyginkite baigtinį nuokrypį su liestiniu įverčiu

Laiko momentu t = (2 ln 2) s palyginkite atskaitos sprendinį, kurio x₀ = 1/8, su sprendiniu, kurio pradinė būsena yra 1/8 + 1/10000. Kokie yra tikslus būsenų skirtumas ir jo liestinis įvertis?

Šiuo laiko momentu a = 2, todėl atskaitos būsena yra 2/9. Sutrikdyta pradinė būsena yra 1251/10000, o iš jos gaunama būsena 2502/11251.
Atimkite vieną būseną iš kitos: 2502/11251 − 2/9 = 16/101259.
Padauginkite pradinį nuokrypį iš atskaitos sprendinio stiprinimo koeficiento: (128/81)(1/10000) = 16/101250. Šios dvi artimos trupmenos nėra lygios.

Tikslus baigtinis skirtumas yra 16/101259; liestinis įvertis yra 16/101250. Abu yra bedimensiai. Įvertis yra šiek tiek didesnis.

Stacionariųjų būsenų liestinės spartų palyginimas

Pradinėms stacionariosioms būsenoms 0 ir 1 raskite tangentinius stiprinimo koeficientus ir baigtinio laiko augimo spartas, kai t = (2 ln 2) s. Ar kuri nors atskaitos būsena kinta?

Eksponentinis daugiklis yra a = 2. Kai pradinė būsena yra 0, G = 2; kai pradinė būsena yra 1, G = 1/2.
Būsenai 0: ln(2)/(2 ln 2 s) = +1/2 s⁻¹. Būsenai 1: ln(1/2)/(2 ln 2 s) = −1/2 s⁻¹.
Įstatę abi atskaitos būsenas į dx/dt = x(1−x)/T, abiem atvejais gauname nulį. Stiprinimo koeficientai apibūdina nedidelius pradinės būsenos pokyčius.

Stiprinimo koeficientai yra 2 ir 1/2, o atitinkamos augimo spartos – +1/2 s⁻¹ ir −1/2 s⁻¹. Abi atskaitos būsenos išlieka stacionarios.

Tikslios leistinosios ribos patikra

Kai ε = 1/1000 ir η = 1/10 nulinės atskaitos būsenos aplinkoje, patikrinkite tikslią leistinosios paklaidos ribą ties a = 111 ir palyginkite ją su tiesiniu įverčiu.

Tiksli būsenos paklaida yra 111/(999+111) = 111/1110 = 1/10, todėl lygybė yra leistina.
Liestinės aproksimacijos įvertis yra 111/1000, taigi jis didesnis už 1/10. Formalų slenkstį jis pasiekė anksčiau, kai a = 100.
Tikslų eksponentinį daugiklį perskaičiuokite į praėjusį laiką: t = T ln(111) = (2 ln 111) s.

Tiksli paklaida pasiekia leistinąją ribą 1/10 po (2 ln 111) s. Tuo metu liestinės aproksimacijos įvertis yra 111/1000, o ankstesnis jo slenksčio peržengimas nėra tikslus baigtinės paklaidos prognozavimo horizontas.

Pabandykite patys

Kai T = 2 s ir x₀ = 1/8, apskaičiuokite pradinį būsenos kitimo greitį dx/dt. Ar tai Liapunovo eksponentas?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
dx/dt = 7/128 s⁻¹; tai nėra Liapunovo eksponentas.
Būsenos kitimo greitis yra (1/8)(7/8)/(2 s). Asimptotinis liestinis eksponentas trajektorijoje, prasidedančioje šia pradine būsena, yra −1/2 s⁻¹; jis apibūdina jautrumą, o ne būsenos kitimo greitį.
Kai t = (4 ln 2) s ir x₀ = 1/8, raskite būseną, liestinį stiprinimo koeficientą ir λ_F ženklą.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Būsena yra 4/11, stiprinimo koeficientas yra 256/121, o λ_F yra teigiamas.
Čia a = 4. Stiprinimo koeficientas viršija 1, todėl jo natūralusis logaritmas yra teigiamas, o dalijant iš teigiamo laiko ženklas išlieka.
Kada, esant x₀ = 1/8, liestinis stiprinimo koeficientas pirmą kartą po t = 0 vėl tampa lygus 1, ir ar tuomet atskaitos būsena yra stacionari?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Kai t = (4 ln 7) s, o būsena yra 7/8; būsena nėra stacionari.
Teigiamą laiką atitinkanti šaknis yra a = 49. Kai būsena yra 7/8, jos kitimo greitis tebėra teigiamas, nors sukauptasis liestinis stiprinimo koeficientas vėl pasiekė savo pradinį dydį.
Ar tuščiaviduris apskritimas apatiniame grafike ties t = 0 reiškia, kad λ_F(0;1/8) = 3/8 s⁻¹? Paaiškinkite.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Jis žymi ribą iš dešinės; kai t = 0, λ_F neapibrėžtas.
Pagal baigtinio laiko apibrėžimą ln G dalijamas iš teigiamo praėjusio laiko. Čia egzistuoja tolydi riba iš dešinės, tačiau įstačius nulį būtų gauta 0/0.
Ar lyginant su baigtiniu poslinkiu ε = 1/1000 tiksli paklaida yra priimtina laiku t = (2 ln 100) s, kai leistinoji paklaida yra η = 1/10, įskaitant ribinę vertę?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Taip: tiksli paklaida yra 100/1099, mažesnė už 1/10.
Dauginant kryžmiškai gaunama 1000 < 1099. Tiksli paklaida pasiekia ribinę vertę tik kai a = 111; liestinis įvertis ją pasiekia, kai a = 100.
Koks yra stacionariosios nulinės būsenos liestinis rodiklis per sekundę atskirame pateiktame modelyje, kurio bedimensė lygtis tokia pati, bet T = 1 s? Koks jis yra vienam τ = t/T vienetui?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jis yra +1 s⁻¹ ir +1 vienam τ vienetui.
Liestinis stiprinimo koeficientas nulinėje būsenoje yra exp(t/T). Rodiklis yra 1/T fizinio laiko atžvilgiu ir 1 normuoto laiko atžvilgiu. Ši atskira laiko skalė nekeičia paveikslo, kuriame T = 2 s.

Ką verta įsidėmėti

Liestinis stiprinimo koeficientas yra srauto išvestinė pradinės būsenos atžvilgiu fiksuotu baigtiniu laiku.
Baigtinio laiko logaritminiai augimo tempai ir asimptotiniai rodikliai apibūdina skirtingus laiko horizontus; abiem atvejais būtina nurodyti atskaitos trajektoriją.
Laikinas stiprinimas gali pasireikšti išilgai trajektorijos, kurios asimptotinis rodiklis yra neigiamas.
Prognozavimo horizontui esant baigtinei paklaidai taip pat reikia pradinės paklaidos, leistinosios paklaidos ir aiškiai nurodyto paklaidos modelio; vien rodiklio jam nustatyti nepakanka.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

Nonlinear Dynamics: ChaosDaniel H. Rothman — MIT OpenCourseWare; Fall 2022; notes dated 16 November 2022Paskaitų medžiaga · PDFLecture 24: Lyapunov Exponents 1.2 Diverging trajectories 1.4 Time-dependent eigenvalues — conditional averageocw.mit.edu
Eulerian Methods for Visualizing Continuous Dynamical Systems using Lyapunov ExponentsGuoqiao You, Tony Wong and Shingyu Leung — Nanjing Audit University, University of British Columbia and HKUST; author manuscriptMokslinis straipsnisEulerian Methods for Visualizing Continuous Dynamical Systems using Lyapunov Exponents 2.1 Flow map and finite-time Lyapunov exponentarxiv.org
Uncertainty dynamics and predictability in chaotic systemsL. A. Smith, C. Ziehmann and K. Fraedrich — University of Oxford, Universität Potsdam and Universität Hamburg; QJRMS 125(560), 2855–2886, 1999Tyrimo santrauka · PDFlse.ac.ukSkaityti šaltinį