Fizika · Straipsnis

Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos

Perskaitykite lauko lygtį, nurodykite jos apibrėžimo sritį ir duomenis, patikrinkite pateiktą tikslųjį sprendinį ir sužinokite, kaip Grino funkcija leidžia sudaryti atsaką tinkamam tiesiniam kraštiniam uždaviniui.

Ankstesnis straipsnis: Paprastosios diferencialinės lygtys

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Atskirti kelių kintamųjų funkciją nuo vieno kintamojo funkcijos.
Skaityti dalinių išvestinių žymėjimą ir nustatyti diferencialinės lygties su dalinėmis išvestinėmis eilę.
Patikrinti pateikto uždavinio apibrėžimo sritį, matavimo vienetus, pradines ir kraštines reikšmes.
Patikrinti tikslųjį sprendinio kandidatą įstatant jį į lygtį, neteigiant, kad įrodyta bendroji egzistavimo ar vienaties teorema.
Paaiškinti tiesinį operatorių, išorinio poveikio narį ir superpozicijos taikymo sąlygas.
Patikrinti elementarų erdvinį Grino branduolį ir integruoti nurodytą šaltinį, suderinant matavimo vienetus.

Kaip skaityti lauko su dviem argumentais aprašą

Skaliarinis laukas kiekvienam leistinam argumentų deriniui priskiria vieną skaliarinę reikšmę. Čia u(x, t) erdvinei koordinatei x ir laiko žymai t priskiria ilgio dimensiją turintį skaičių. Pasirinkime tiesią koordinačių ašį, jos pradžią x = 0 ir teigiamą kryptį į dešinę; x matuojamas metrais, o t – sekundėmis nuo nurodyto pradinio momento. Lauko reikšmė u taip pat matuojama metrais, tačiau ji nėra judančio kūno koordinatė.

Dalinė išvestinė uₜ = ∂u/∂t reiškia diferencijavimą pagal t, laikant x pastoviu; uₓ = ∂u/∂x atveju pastoviu laikomas t. Žymėjimas uₓₓ = ∂²u/∂x² reiškia diferencijavimą du kartus pagal x. Kadangi mūsų u turi ilgio dimensiją, šių išvestinių matavimo vienetai yra atitinkamai m/s, m/m ir 1/m. Taigi bedimensis erdvinis gradientas nėra kitimo laike greitis.

Paprastoji diferencialinė lygtis (angl. ODE) sieja nežinomą vieno nepriklausomojo kintamojo funkciją ir jos paprastąsias išvestines. Diferencialinė lygtis su dalinėmis išvestinėmis (angl. PDE) sieja nežinomą kelių nepriklausomųjų kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines. Diferencialinė lygtis su dalinėmis išvestinėmis nustato laukui apribojimus; tą lauką apibrėžianti formulė yra sprendinio kandidatas, kurį reikia patikrinti. Toliau pateiktiems pavyzdžiams pakanka įprastų algebros žinių, išvestinių, skaičiuojamų kitus argumentus laikant pastoviais, ir apibrėžtinių integralų.

Nurodykite lygtį, sritį ir vienetus

Pateikite tikslų koeficientą κ = 1 m²/s ir lygtį uₜ = κuₓₓ. Ši lygtis yra difuzijos lygties pavidalo. Čia tai yra sutartas matematinis uždavinys ilgio dimensiją turinčiam laukui, neteigiant, kad jį aprašančiai lygčiai paklūsta konkreti medžiaga ar matuojamas procesas. Visi šio straipsnio koeficientai ir skaičiai pateikti kaip tikslūs dydžiai skaičiavimams.

Laukas pateiktas, kai 0 ≤ x ≤ 2 m ir 0 ≤ t ≤ 1 s. Dalinių išvestinių lygtį taikome srities viduje: 0 < x < 2 m, 0 < t < 1 s; kraštuose bus nurodyti duomenys. Abiejų lygties pusių matavimo vienetai yra m/s, nes (m²/s)(1/m) = m/s. Vienetų patikra būtina suderinamumui patikrinti, tačiau tai nėra eksperimentinis lygties pagrįstumo įrodymas.

Lygties eilė yra aukščiausia joje esančių išvestinių eilė. Pasirinkta dalinių išvestinių lygtis yra antrosios eilės dėl uₓₓ, nors kintamojo t atžvilgiu ji yra pirmosios eilės. Eilė nenurodo įvesties kintamųjų skaičiaus. Nei vien eilė, nei laiko žymens buvimas nepasako, kokie duomenys užtikrins, kad bet kuris uždavinys būtų išsprendžiamas.

Tiksliai pateikto lauko nurodyti įvesties ir išvesties dydžiai
Simbolis	Reikšmė	Vienetai ir leistinos reikšmės
x	Erdvinė koordinatė, teigiama kryptis – į dešinę	m; 0 ≤ x ≤ 2 m
t	Laiko žyma nuo nurodytos pradžios	s; 0 ≤ t ≤ 1 s
u(x, t)	Priskirta skaliarinio lauko vertė	m; apskaičiuojama pagal toliau pateiktą sprendinio kandidato formulę

Pradinių ir kraštinių duomenų atskyrimas

Pradinė sąlyga nusako pradinį profilį erdvėje. Erdvinė kraštinė sąlyga apriboja lauko vertes srities kraštuose per nagrinėjamą laiko intervalą. Diferencialinės lygties su dalinėmis išvestinėmis uždavinį sudaro ne tik lygtis, bet ir jos sritis bei tinkami duomenys. Mūsų pasirinktam uždaviniui nustatykime u(x, 0) = 1 m + x²/(1 m), kai 0 ≤ x ≤ 2 m.

Nustatykime vertes intervalo galuose u(0, t) = 1 m + (2 m/s)t ir u(2 m, t) = 5 m + (2 m/s)t, kai 0 ≤ t ≤ 1 s. Jos nusako vertes, o ne nuolydžius; tokios nustatytų verčių sąlygos vadinamos Dirichlė sąlygomis. Vertės kinta priklausomai nuo t, nors intervalo galų x koordinatės nekinta.

Dviejuose kampuose, kuriuose t = 0, pradinis profilis duoda 1 m ir 5 m vertes, sutampančias su kraštinėmis vertėmis. Ši paprasta suderinamumo patikra svarbi sprendinio kandidatui, kuris kampuose yra tolydus. Ji nėra išsami patikra, ar kiekviena diferencialinė lygtis su dalinėmis išvestinėmis ir kiekvienas duomenų pasirinkimas turi sprendinį. Skirtingoms lygtims ir skirtingiems kraštinių sąlygų pasirinkimams reikia savų sąlygų.

Pateikto tikslaus sprendinio kandidato patikra

Nurodytame stačiakampyje pateikime u(x, t) = 1 m + x²/(1 m) + (2 m/s)t. Laikant x pastoviu, gaunama uₜ = 2 m/s. Laikant t pastoviu, gaunama uₓ = 2x/(1 m) ir uₓₓ = 2/(1 m). Taigi κuₓₓ = 2 m/s ir tiksliai sutampa su uₜ visame stačiakampio viduje.

Įstačius t = 0, gaunamas nustatytas pradinis profilis. Įstačius x = 0 ir x = 2 m, gaunamos dvi nustatytos kraštinės funkcijos. Polinomas yra tolydus uždarame stačiakampyje ir turi reikiamas išvestines jo viduje. Šios patikros patvirtina, kad šis sprendinio kandidatas tenkina šią lygtį ir šiuos duomenis.

Pavyzdžiui, kai x = 1 m ir t = 0.5 s, gaunama 1 m + 1 m + 1 m = 3 m. Prie viso galimo sprendinio pridėjus konstantą 1 m, abi dalinių išvestinių lygties išvestinės liktų nepakitusios, tačiau pasikeistų pradinės ir kraštinės reikšmės. Todėl išspręsti vien lygtį yra ne tas pats, kas išspręsti šį suformuluotą uždavinį. Egzistavimas, vienatis ir fizinis adekvatumas yra atskiri klausimai; šis įstatymas į lygtį jų neišsprendžia kitiems uždaviniams.

Taikykite tiesiškumą atsižvelgdami į duomenis

Apibrėžkime diferencialinį operatorių D[f] = fₜ − κfₓₓ: tai taisyklė, kuri pakankamai kartų diferencijuojamam laukui f priskiria kitą lauką. Jis yra tiesinis, nes D[af + bg] = aD[f] + bD[g], kai a ir b yra bedimensės pastovios realiosios reikšmės, o laukai yra suderinami. Čia šią savybę patikriname taikydami dalines išvestines kiekvienam nariui. Mūsų pirmasis galimas sprendinys tenkina D[u] = 0 m/s.

Lygtyje D[f] = r(x, t) yra duotas poveikio arba šaltinio narys r. Šis pavadinimas savaime nereiškia mechaninės jėgos; čia r matuojamas m/s. Kai dešinioji pusė lygi nuliui, lygtis yra homogeninė; kai ji nelygi nuliui, lygtis yra nehomogeninė. Imkime v(x, t) = (3 m/s)t, nepriklausantį nuo x. Tuomet D[v] = 3 m/s ir D[u + v] = 3 m/s.

Sudėjus laukus, taip pat sudedamos jų pradinės ir kraštinės reikšmės. Lauko u + v pradinis profilis yra toks pat kaip u, nes v(x, 0) = 0 m, tačiau jo reikšmėse intervalo galuose dabar yra (5 m/s)t. Panašiai 2u vis dar tenkina D[2u] = 0 m/s, bet padvigubina nenulinius nurodytus duomenis. Mūsų homogeninės tiesinės lygties sprendinių su nuliniais pradiniais profiliais ir nulinėmis Dirichlė reikšmėmis intervalo galuose tiesiniai deriniai išlaiko šiuos nulinius duomenis. Visada tikrinkite ne tik operatorių, bet ir duomenis.

Supraskite Grino funkcijos vaidmenį

Tinkamam tiesiniam uždaviniui Grino funkcija aprašo atsaką į vienetinį lokalizuotą šaltinį. Integruojant šiuos atsakus su duoto šaltinio nustatytais svoriais, galima sudaryti atsaką į tą šaltinį. Branduolys turi atitikti nurodytą operatorių, sritį ir kraštines sąlygas. Branduolys yra tokio integralo dviejų argumentų svorinė funkcija.

Ši konstrukcija taikoma su sąlyga, kad nagrinėjamam uždaviniui ir šaltinių klasei egzistuoja tinkama Grino funkcija ir sprendinio išraiška. Dėl nenulinių kraštinių ar pradinių duomenų gali reikėti papildomų atsako narių. Vienas branduolys nėra universalus metodas kiekvienai dalinių išvestinių lygčiai, o vien tiesiškumas neįrodo egzistavimo ar vienaties. Čia nereikalaujame sudėtingesnio matematinių idealių taškinių šaltinių aprašymo.

Norėdami tiesiogiai patikrinti, dabar pasirinkime atskirą lygtį P[w] = −wₓₓ = h(x, t) intervale 0 < x < L, kur L = 2 m, 0 ≤ t ≤ 1 s ir w(0, t) = w(L, t) = 0 m. Čia w reikšmės turi ilgio matmenį, o h matuojamas 1/m. Laiko išvestinės nėra: kiekvienai fiksuotai t reikšmei tai yra vienmatis erdvinis kraštinis uždavinys. Žyma t parenka profilį, o ne nusako kitimą pagal pradines sąlygas.

Patikrinkite intervalo branduolį

Tegu x yra padėtis, kurioje norime rasti atsaką, o z – šaltinio padėtis; abi matuojamos metrais, kai 0 ≤ x, z ≤ L. Šiam uždaviniui su nulinėmis reikšmėmis intervalo galuose naudokite G(x, z) = x(L − z)/L, kai x ≤ z, ir G(x, z) = z(L − x)/L, kai x ≥ z. Kiekviena išraiška turi metro vienetus. Kai x = z, abi duoda tą pačią reikšmę z(L − z)/L, todėl apibrėžimas yra vienareikšmis.

Kai šaltinio padėtis z yra fiksuota intervalo viduje, branduolys lygus nuliui ties x = 0 ir x = L. Kiekviena jo dalis yra tiesinė x atžvilgiu, todėl Gₓₓ = 0, kai x ≠ z. Nuolydžiai x atžvilgiu yra (L − z)/L kairėje ir −z/L dešinėje. Iš dešiniojo nuolydžio atėmus kairįjį, gaunama −1. Šis šuolis išreiškia vienetinio šaltinio normavimą mūsų neigiamos antrosios išvestinės operatoriui. Toje vietoje branduolys turi lūžį; jo įprastinė išvestinė x atžvilgiu, taigi ir įprastinė antroji išvestinė, tame lūžio taške neapibrėžta.

Intervalo galai ir ilgis L tiesiogiai įeina į G išraišką. Pakeitus kraštinę sąlygą arba intervalą, reikia iš naujo patikrinti atitinkamą branduolį. Pavyzdžiui, kai x = 0.5 m ir z = 1.5 m, šaka x ≤ z duoda G = (0.5 m)(0.5 m)/(2 m) = 0.125 m. Šis branduolio skaičiavimas nepateikia nei išmatuoto erdvinio atsako, nei judančio objekto trajektorijos.

Pavyzdžiui, kai x = 0.5 m ir z = 1.5 m, šaka x ≤ z duoda G = (0.5 m)(0.5 m)/(2 m) = 0.125 m.

Dvi pasirinkto erdvinio branduolio šakos, kai L = 2 m
Padėčių sąryšis	G(x, z)	Nuolydis x atžvilgiu atokiau nuo lūžio taško
0 ≤ x < z ≤ L	x(L − z)/L	(L − z)/L
0 ≤ z < x ≤ L	z(L − x)/L	−z/L
x = z	z(L − z)/L	Įprastos išvestinės pagal x nėra, kai 0 < z < L

Integruokite nurodytą šaltinį

Šiame erdviniame uždavinyje atsakas išreiškiamas taip: w(x, t) = ∫₀ᴸ G(x, z)h(z, t) dz. Integruokite pagal šaltinio koordinatę z, laikydami x ir t pastoviais. Vienetai yra m × (1/m) × m = m. Pateikite originalų šaltinį h(z, t) = (2/(1 m))(1 + t/τ), vienodą visoms z vertėms, kai τ = 1 s. Santykis t/τ yra bedimensis.

Esant fiksuotam t, šią pastovią šaltinio vertę pažymėkite h₀(t). Padalijus integralą ties z = x, gaunami du dėmenys: h₀(t)(L − x)x²/(2L) ir h₀(t)x(L − x)²/(2L). Jų suma yra h₀(t)x(L − x)/2. Taigi w(x, t) = (1/(1 m))(1 + t/τ)x(L − x). Tiesiogiai gauname wₓₓ = −h₀(t), o vertės abiejuose galuose yra lygios nuliui; taip patikrinama, ar atsakas atitinka pasirinktą lygtį ir duomenis.

Ties x = 1 m atsakas yra 1 m, kai t = 0, ir 2 m, kai t = 1 s. Padvigubinus šį šaltinį ir išlaikius nulines kraštines vertes, šis atsakas padvigubėja. Tai tikslios pasirinkto erdvinio modelio išvados, o ne stebėtas judėjimas tarp šių profilių. Lygčiai su dalinėmis išvestinėmis, kurioje yra išvestinių pagal laiką, reikėtų atskirų pradinių duomenų ir tinkamo atsako konstravimo. Lygtį, sritį, duomenis, vienetus ir teiginį apie fizikinę prasmę pateikite kartu.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Patikrinkite lauką ir visas nustatytas vertes

Kai u = 1 m + x²/(1 m) + (2 m/s)t, patikrinkite, ar nurodytos srities viduje galioja uₜ = κuₓₓ, kai κ = 1 m²/s. Patikrinkite pradinius ir galų duomenis, tada apskaičiuokite u, kai x = 1 m, t = 0.5 s.

Laikykite x pastoviu: uₜ = 2 m/s. Laikykite t pastoviu ir du kartus diferencijuokite pagal x: uₓₓ = 2/(1 m).
Padauginkite iš κ: (1 m²/s)(2/(1 m)) = 2 m/s. Abi lygties su dalinėmis išvestinėmis pusės sutampa visoje srities vidinėje dalyje.
Kai t = 0, laukas yra 1 m + x²/(1 m). Kai x = 0, jis yra 1 m + (2 m/s)t; kai x = 2 m, jis yra 5 m + (2 m/s)t. Tai tiksliai atitinka nustatytus duomenis, įskaitant abu pradinius kampinius taškus.
Nurodytame vidiniame taške x²/(1 m) = 1 m ir (2 m/s)(0.5 s) = 1 m, todėl u = 3 m.

Siūlomas sprendinys tenkina pateiktą dalinių išvestinių lygtį ir atitinka visus nurodytus duomenis; u(1 m, 0.5 s) = 3 m. Tai matematinis šio siūlomo sprendinio patikrinimas, o ne fizinės medžiagos bandymas.

Pridėkite lauką ir sekite jo duomenų kitimą

Kai D[f] = fₜ − κfₓₓ, prie patikrinto u pridėkite v = (3 m/s)t. Raskite f = u + v šaltinio narį, pradinį profilį ir reikšmes galiniuose taškuose.

Pridėtam laukui vₜ = 3 m/s ir vₓₓ = 0/(1 m), todėl D[v] = 3 m/s.
Dėl tiesiškumo D[f] = D[u] + D[v] = 0 m/s + 3 m/s = 3 m/s. Lygiavertiškai, f = 1 m + x²/(1 m) + (5 m/s)t, todėl fₜ = 5 m/s ir κfₓₓ = 2 m/s.
Kai t = 0, pridėtas laukas lygus nuliui, todėl pradinis profilis lieka 1 m + x²/(1 m).
Kai x = 0, f = 1 m + (5 m/s)t; kai x = 2 m, f = 5 m + (5 m/s)t. Kai t = 1 s, šios reikšmės galiniuose taškuose yra 6 m ir 10 m.

Naujasis šaltinio narys yra 3 m/s. Pradinis profilis nepakinta, o galinių taškų funkcijose atsiranda 5 m/s koeficientas prie t. Tai šio naujo uždavinio sprendinys, o ne pradinio vienalyčio uždavinio su jo pradinėmis kraštinėmis reikšmėmis sprendinys.

Sudarykite ir patikrinkite erdvinį atsaką

Naudokite nurodytą intervalo branduolį lygčiai −wₓₓ = h su nulinėmis reikšmėmis galiniuose taškuose, kai L = 2 m, τ = 1 s ir h = (2/(1 m))(1 + t/τ). Integruokite esant fiksuotam t ir raskite w(1 m, 1 s).

Šaltinio reikšmę esant šiam fiksuotam t pažymėkite h₀(t). Kai 0 ≤ z ≤ x, naudokite G = z(L − x)/L; kai x ≤ z ≤ L, naudokite G = x(L − z)/L.
Kadangi ∫₀ˣ z dz = x²/2, pirmasis indėlis yra h₀(t)(L − x)x²/(2L). Kadangi ∫ₓᴸ (L − z) dz = (L − x)²/2, antrasis indėlis yra h₀(t)x(L − x)²/(2L).
Jų suma yra h₀(t)x(L − x)[x + (L − x)]/(2L) = h₀(t)x(L − x)/2. Sumos antroji išvestinė pagal x yra −h₀(t), o abiejuose intervalo galuose suma lygi nuliui.
Kai t = 1 s, h₀ = 4/(1 m). Kai x = 1 m, x(L − x) = 1 m². Atsakas yra (4/(1 m))(1 m²)/2 = 2 m.

w(x, t) = (1/(1 m))(1 + t/τ)x(L − x), todėl w(1 m, 1 s) = 2 m. Tai erdvinio kraštinio uždavinio atsakų šeima; jos lygtis nenusako jokio kitimo laike dėsnio.

Pabandykite patys

Nežinomas laukas f(x, t) tenkina fₜ = κfₓₓ, kai κ yra nurodyta nenulinė konstanta. Ar tai dalinių išvestinių diferencialinė lygtis, ar paprastoji diferencialinė lygtis, ir kokia yra jos bendra eilė?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Tai antrosios eilės dalinių išvestinių diferencialinė lygtis: pirmosios eilės pagal t ir antrosios eilės pagal x.
Nežinomasis priklauso nuo dviejų nepriklausomųjų kintamųjų, o lygtyje naudojamos dalinės išvestinės. Aukščiausia lygtyje esančių išvestinių eilė yra antroji; kintamųjų skaičius eilės nenustato.
Duota u = 1 m + x²/(1 m) + (2 m/s)t. Raskite uₓ, kai x = 0.5 m. Ar ši išvestinė nusako kitimo laike greitį?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
uₓ = 2x/(1 m) = 1 yra bedimensis dydis. Tai erdvinis gradientas, o ne kitimo laike greitis.
Diferencijuojant pagal x, t laikomas pastoviu. Ir laukas, ir x matuojami ilgio vienetais, todėl jų vienetų santykis yra m/m. Išvestinė pagal laiką čia turi m/s vienetus ir kitą prasmę.
Tarkime, g = u + 1 m, kur u yra patikrinta funkcija, o nurodyti duomenys lieka tokie patys kaip pirminiame uždavinyje. Ar g tenkina dalinių išvestinių diferencialinę lygtį? Ar ji tenkina visas pirminio uždavinio sąlygas?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ji tenkina dalinių išvestinių diferencialinę lygtį, bet netenkina pirminių pradinių ir kraštinių sąlygų.
Pridėtos konstantos išvestinė pagal t ir antroji išvestinė pagal x yra lygios nuliui, todėl D[g] = 0 m/s. Visos jos pradinės vertės ir vertės intervalo galuose yra 1 m didesnės, nei reikalaujama pirminiame uždavinyje.
Duotoji funkcija u tenkina D[u] = 0 m/s, o jos reikšmė yra u(0, 0) = 1 m. Ar 2u tenkina tą pačią diferencialinę lygtį? Ar išlieka ta pati reikšmė kampiniame taške?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Lygtis lieka tenkinama, tačiau reikšmė kampiniame taške tampa 2 m.
Dėl tiesiškumo D[2u] = 2D[u] = 0 m/s. Taip pat padvigubėja visos nenulinės pradinės ir kraštinės reikšmės, todėl pasikeičia visas apibrėžtas uždavinys.
Kai L = 2 m, apskaičiuokite G taške x = 0.5 m, z = 1.5 m. Esant šiai fiksuotai z reikšmei, kokie yra nuolydžiai x atžvilgiu abipus x = z ir jų šuolis, iš dešiniojo nuolydžio atėmus kairįjį?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
G = 0.125 m; kairysis nuolydis yra 0.25, dešinysis nuolydis yra −0.75, o šuolis yra −1.
Kai x < z, taikoma išraiška x(L − z)/L = (0.5 m)(0.5 m)/(2 m). Nuolydžiai yra (L − z)/L = 0.25 ir −z/L = −0.75. Jie skiriasi, todėl vidiniame lūžio taške įprastinė išvestinė x atžvilgiu neegzistuoja.
Kai t = 1 s, pasirinktas šaltinis duoda w(1 m, 1 s) = 2 m. Jei šis šaltinis padvigubinamas visame x intervale, o nulinės kraštinės sąlygos intervalo galuose ir L lieka tokie patys, koks yra naujasis atsakas intervalo viduryje? Ar tai nusako judėjimą nuo t = 0?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Naujasis atsakas intervalo viduryje yra 4 m. Tai nenusako kitimo laike ar judančio objekto trajektorijos.
Integralas su šiuo nepakitusiu branduoliu yra tiesinis šaltinio atžvilgiu, todėl padvigubinus šaltinį padvigubėja pasirinktas atsakas, o reikšmės intervalo galuose lieka nulinės. Operatoriuje −∂²/∂x² nėra išvestinės laiko atžvilgiu; t žymi erdvinių uždavinių šeimos narį.

Ką verta įsidėmėti

Dalinių išvestinių lygtis nustato nežinomo lauko ir jo dalinių išvestinių sąryšį; lygties eilę nusako aukščiausia išvestinės eilė.
Nurodykite sritį, suderintus matavimo vienetus ir tinkamus pradinių bei kraštinių sąlygų duomenis.
Įstatant galima patikrinti pateiktą galimą sprendinį, neįrodant bendrosios egzistavimo ar vienaties teoremos arba fizikinio dėsnio.
Tiesiniais deriniais jungiamos ne tik lauko vertės, bet ir išoriniai poveikiai bei uždavinio duomenys.
Grino funkcija yra susieta su konkrečiu tiesiniu uždaviniu, įskaitant jo sritį ir kraštines sąlygas.
Patikrintas intervalo branduolys formuoja erdvinius atsakus; vien laiko žymuo nenusako kitimo laike.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.