Paprastosios diferencialinės lygtys

Perskaitykite nežinomai funkcijai taikomą sąlygą

Atliekant algebrinį skaičiavimą, pavyzdžiui, 3a + 2 = 8, ieškoma skaičiaus a. Diferencialinėje lygtyje yra nežinoma funkcija ir viena ar kelios jos išvestinės. Jos sprendinys yra funkcija, kuri nurodytame intervale tenkina lygtį, kai į ją įstatoma ši funkcija ir jos išvestinės.

Paprastojoje diferencialinėje lygtyje, sutrumpintai PDL, naudojamos išvestinės vieno nepriklausomojo kintamojo atžvilgiu. Funkcijoje y(t) nepriklausomasis kintamasis yra t, o y – priklausomasis dydis. Lygtis y′(t) = F(t, y(t)) nusako kitimo greitį pagal pateiktą formulę F; ji dar nepateikia išreikštinės y(t) išraiškos. Brūkšnelis žymi išvestinę t atžvilgiu.

Nors F turi argumentų vietas ir t, ir dabartinei y vertei, nežinoma funkcija y(t) vis tiek turi tik vieną nepriklausomąjį kintamąjį. Palyginkite tiesiogiai pateiktą x(t) su pateikta x′(t): pastaroji nustato, kaip x kinta, o pradinę vertę gali tekti pasirinkti. Vien diferencialinė lygtis nebūtinai apibrėžia vienintelę funkciją.

Nurodykite dydžius, vienetus ir leistiną intervalą

Originaliame tiksliame mokomajame modelyje sekite vieną pasirinktą tašką, judantį tiese. Nustatykite koordinačių pradžią, o kryptį į dešinę laikykite teigiama. Tegul t yra laikas sekundėmis nuo nurodytos laiko atskaitos pradžios, o x(t) – ženklą turinti padėties koordinatė metrais. Nurodykite x′(t) = 1.20 m/s + (0.40 m/s²)(t − 1 s), tik kai 0 < t < 4 s.

Čia nežinomasis yra x, o nepriklausomasis kintamasis – t. Išvestinės vienetai yra m/s. Dešinėje pusėje (m/s²)s = m/s, todėl dėmenis galima sudėti. Tai kiekvienam intervalo laiko momentui duota kitimo spartos taisyklė, o ne iš kelių duomenų taškų nustatyta išvestinė. Jos skaitiniais koeficientais neteigiama nieko apie matavimų glaudumą ar jėgos dėsnį.

Taip pat nurodykite x(1 s) = −0.50 m. Ši sąlyga duota atvirojo laiko intervalo viduje. Užrašykite h = t − 1 s – laiko poslinkį, matuojamą sekundėmis. Tai, kad sąlyga vadinama pradine, nereiškia, jog jos laikas turi būti lygus nuliui ar sutapti su pirmuoju leistinu laiko momentu: ji nustato sprendinio reikšmę pasirinktu atskaitos laiko momentu.

Nustatykite eilę ir pradinius duomenis

Lygties eilė yra aukščiausia diferencialinėje lygtyje esančios išvestinės eilė. Mūsų x′ taisyklė yra pirmosios eilės. Atskira lygtis x″ = 0.40 m/s² yra antrosios eilės, nes x″ yra x′ išvestinė laiko atžvilgiu. Laipsnis, kuriuo pakeltas t aiškiai išreikštame daugianariame sprendinyje, nenustato diferencialinės lygties eilės.

Integruojant tą atskirą antrosios eilės modelį intervale 0 < t < 4 s, gaunama x = A + B h + (0.20 m/s²)h². Konstantų A ir B vienetai yra atitinkamai m ir m/s. Padėtis x(1 s) nustato A, o greitis x′(1 s) nustato B. Dvi skirtingos B reikšmės gali atitikti tą pačią pradinę padėtį, bet skirtingas vėlesnes padėtis.

Lygtis kartu su nurodytais pradiniais duomenimis sudaro pradinių sąlygų uždavinį. Šiuose reguliariuose pirmosios ir antrosios eilės pavyzdžiuose atitinkamos reikšmės nustato konstantas. Vien duomenų skaičius nėra universalus egzistavimo ar vienaties įrodymas; taip pat reikia patikrinti lygtį, jos apibrėžimo sritį ir papildomas sąlygas.

Patikrinkite ir lygtį, ir pradinę sąlygą

Norėdami patikrinti siūlomą pirmosios eilės lygties sprendinį, patikrinkite jo apibrėžimo sritį ir diferencijuojamumą, apskaičiuokite išvestinę ir įstatykite į lygtį kiekvienu nurodyto intervalo laiko momentu. Tada atskirai patikrinkite pradinę reikšmę. Sutapimas tik vienu laiko momentu neįrodo tapatybės visame intervale.

Padėties uždaviniui nagrinėkime g(t) = −0.50 m + (1.20 m/s)h + (0.20 m/s²)h². Kadangi h = t − 1 s, šios funkcijos išvestinė yra g′ = 1.20 m/s + (0.40 m/s²)h. Ji sutampa su duota kitimo sparta visame intervale 0 < t < 4 s, o kai h = 0, gaunama g(1 s) = −0.50 m.

Prie g pridėjus 1 m, išvestinė nepasikeičia, todėl gauta funkcija vis dar tenkina diferencialinę lygtį, bet netenkina pirminės pradinės sąlygos. Ir atvirkščiai, praleidus h² dėmenį, išsaugoma pradinė sąlyga ir net teisinga kitimo sparta laiko momentu 1 s, tačiau gaunama pastovi 1.20 m/s išvestinė. Laiko momentu 2 s nurodyta kitimo sparta yra 1.60 m/s, todėl ši tiesinė funkcija lygties netenkina.

Integruoti žinomą kitimo greičio funkciją nuo laiko

Kai y′ = f(t), o f yra tolydi intervale, kuriam priklauso t₀, pradinių sąlygų uždavinio sprendinys yra y(t) = y₀ + ∫_t₀^t f(s) ds. Raidė s žymi laikiną integravimo kintamąjį. Pagal pagrindinę integralinio skaičiavimo teoremą išvestinė vidiniuose intervalo taškuose lygi f, o sutampančios integravimo ribos, kai t = t₀, užtikrina pradinę sąlygą.

Integruodami mūsų kitimo greitį, gauname x = C + (1.20 m/s)h + (0.20 m/s²)h². Daugiklis 0.20 yra pusė kitimo greičio koeficiento 0.40, nes diferencijuojant h² gaunama 2h. Kai h = 0, iš pradinės sąlygos gauname C = −0.50 m. Kiekvieno dėmens matavimo vienetas yra metras.

Kai t = 3 s, h = 2 s, todėl x = −0.50 m + 2.40 m + 0.80 m = +2.70 m. Tai padėties koordinatė su ženklu pasirinkto atskaitos pradžios taško atžvilgiu; poslinkis nuo 1 s yra +3.20 m. Tolydus kitimo greitis ir pradinė sąlyga apibrėžia šį tikslų rezultatą nurodytame modelio intervale.

Išspręsti lygtį, kai kitimo greitis priklauso nuo dabartinės būsenos

Dabar apibrėžkime atskirą hipotetinį temperatūros modelį intervale 0 < t < 7 s. Tegul T_ref = 280 K yra pastovi atskaitos temperatūra, o θ(t) = T(t) − T_ref – temperatūros perviršis kelvinais. Nustatykime θ′ = −θ/τ, kur τ = 2 s, ir θ(1 s) = θ₀ = 8 K. Dešiniosios pusės matavimo vienetai yra K/s. Ši lygtis yra nustatyta prielaida, o ne įrodymas, kad ją tenkina kiekvienas vėstantis objektas.

Kitimo greitis priklauso nuo nežinomojo θ, todėl integruojamoji funkcija nėra iš anksto pateikta vien laiko funkcija. Šios lygties kintamieji yra atskiriami: šakoje, kur priklausomojo kintamojo reikšmė nelygi nuliui, dalijant galima atskirti būsenos ir laiko daugiklius. Pirmiausia patikrinkime pastoviuosius sprendinius, nes dalijant juos galima prarasti. Čia θ = 0 yra lygties sprendinys, tačiau jis netenkina nurodytos 8 K pradinės sąlygos.

Teigiamajai šakai pažymėkime z = θ/θ₀ – teigiamą bedimensį santykį, taigi z′ = −z/τ ir z(1 s) = 1. Natūralusis logaritmas ln yra realiosios eksponentinės funkcijos, įgyjančios teigiamas reikšmes, atvirkštinė funkcija; čia jo argumentas yra z, o ne kelvinais matuojamas dydis. Jo išvestinė išilgai sprendinio yra (ln z)′ = z′/z = −1/τ. Integruodami nuo 1 s, gauname ln z = −h/τ, taigi θ = (8 K)e^(−h/τ).

Laipsnio rodiklis −h/τ yra bedimensis. Diferencijuodami šį galimą sprendinį, gauname θ′ = −(8 K/τ)e^(−h/τ) = −θ/τ; kai h = 0, θ reikšmė yra 8 K. Jis išlieka teigiamas kiekvienu leistinu laiko momentu, todėl pasirinkta logaritmo šaka yra pagrįsta. Tiesioginis patikrinimas patvirtina sprendinį, tačiau nereiškia, kad šį kintamųjų atskyrimo metodą galima taikyti visoms paprastosioms diferencialinėms lygtims.

Suformuluoti pakankamą lokalaus egzistavimo ir vienaties kriterijų

Uždaviniui y′ = F(t, y), y(t₀) = y₀ taikykime šį pakankamą lokalų kriterijų: F ir jos dalinė išvestinė būsenos kintamojo atžvilgiu ∂F/∂y egzistuoja ir yra tolydžios atviroje stačiakampėje srityje, kuriai priklauso (t₀, y₀). Skaičiuojant šią dalinę išvestinę, t laikomas pastoviu. Tuomet pakankamai mažame intervale, kuriam priklauso t₀, egzistuoja vienintelis diferencijuojamas sprendinys, kurio grafikas yra tos stačiakampės srities viduje. Egzistavimas reiškia, kad sprendinys yra; vienatis taikoma tai pačiai lygčiai ir tai pačiai pradinei sąlygai.

Esant šioms reguliarumo sąlygoms, aprėžta tolydi išvestinė būsenos kintamojo atžvilgiu riboja artimų būsenų kitimo greičių skirtumus, todėl paaiškėja šios išvestinės vaidmuo lokalaus vienatiškumo rezultate. Mūsų padėties kitimo greičio dalinė išvestinė būsenos kintamojo atžvilgiu yra 0 s⁻¹, o temperatūros perviršio kitimo greičio – −1/τ = −0.50 s⁻¹. Abi kitimo greičio formulės ir šios dalinės išvestinės yra tolydžios pradinių duomenų aplinkoje.

Lokali garantija nenusako viso būsimo laiko intervalo, nepateikia uždaros formulės ir nepatvirtina fizikinio modelio pagrįstumo. Jei šio pakankamo kriterijaus negalima taikyti, vien tai savaime neleidžia spręsti, kad sprendinys neegzistuoja arba nėra vienintelis. Šiems klausimams reikia kito argumento; netenkinama pakankama sąlyga nereiškia priešingos išvados.

Patikrinkite pratęsimą ir modelio ribas

Apsvarstykite atskirą formalų pavyzdį su bedimensiu nežinomuoju z: z′ = z²/τ, τ = 2 s, z(1 s) = 1. Jo kitimo greičio vienetai yra s⁻¹, o dalinė išvestinė pagal būsenos kintamąjį 2z/τ yra tolydi, todėl lokalų kriterijų galima taikyti pradinės sąlygos aplinkoje. Vis dėlto šio pradinių sąlygų uždavinio sprendinys yra z(t) = 1/[1 − (t − 1 s)/τ] jungiajame intervale, kuriam priklauso pradinės sąlygos laiko momentas ir kuriame t < 3 s.

Laiko momentu 2 s sprendinio vertė yra 2; laiko momentu 2.5 s ji yra 4. Kai t artėja prie 3 s iš mažesnių verčių pusės, teigiamas vardiklis artėja prie nulio, o z auga be ribų. Jokia baigtinė vertė laiko momentu 3 s neleidžia sprendinio tolydžiai ir diferencijuojamai pratęsti per šį momentą. Algebriškai apskaičiavus to paties reiškinio vertę laiko momentu 4 s, gaunama −2, tačiau ši vertė priklauso atskiram intervalui kitoje singuliariojo laiko momento pusėje, o ne pradinių sąlygų uždavinio sprendinio tęsiniui.

Šis formalus neaprėžtas augimas yra matematinio modelio rezultatas, o ne įrodymas, kad fizikinis dydis tampa begalinis. Padėties ir temperatūros pavyzdžiuose laikykitės nurodytų intervalų, dydžių prasmių ir pateiktų prielaidų net tada, kai jų formulių vertes galima apskaičiuoti ir kitur. Kitoje pamokoje „Dalinės diferencialinės lygtys ir Gryno funkcijos“ pristatomos lygtys, kuriose nežinomasis priklauso nuo kelių nepriklausomųjų kintamųjų, o pradiniai arba kraštiniai duomenys reikalauja papildomo dėmesio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pateikta lygtis x′ = 1.20 m/s + (0.40 m/s²)(t − 1 s) turi kvadratinį sprendinį. Kokios eilės yra ši diferencialinė lygtis? Kokios eilės yra atskira lygtis x″ = 0.40 m/s² ir koks jos išvestinės matavimo vienetas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoji lygtis yra pirmosios eilės. Atskira lygtis su x″ yra antrosios eilės, o x″ matavimo vienetas yra m/s².

   Lygties eilę lemia aukščiausios eilės išvestinė lygtyje, o ne t laipsnis jos sprendinyje. Padėties išvestinės laiko atžvilgiu matavimo vienetas yra m/s; diferencijuojant dar kartą, dalijama iš dar vienos sekundės.

2. Pradiniam padėties uždaviniui patikrinkite q(t) = −0.50 m + (1.20 m/s)(t − 1 s). Jos pradinė reikšmė sutampa su x(1 s). Ar ji yra diferencialinės lygties sprendinys intervale 0 < t < 4 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jos išvestinė yra 1.20 m/s, tačiau nustatyta kitimo sparta laiko momentu 2 s yra 1.60 m/s.

   Ji tenkina pradinę sąlygą ir atitinka kitimo spartą tik laiko momentu 1 s. Laiko momentu 2 s jos išvestinė nuo reikalaujamos kitimo spartos skiriasi −0.40 m/s. Sprendinys turi tenkinti kitimo spartos lygtį visame nurodytame intervale.

3. Palikite pradinę padėties kitimo spartos lygtį, bet jos pradinę sąlygą pakeiskite į x(1 s) = +0.50 m. Kas pasikeičia sprendinyje ir kam lygu x(3 s)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kiekvienu leistinu laiko momentu padėtis padidėja tuo pačiu pastoviu dydžiu 1 m, o išvestinė lieka tokia pati. Naujoji x(3 s) vertė yra +3.70 m.

   Pasikeičia tik C: iš −0.50 m į +0.50 m. Laiko momentu 3 s kitimo spartos nulemti nariai lieka 2.40 m + 0.80 m. Skirtingi pradinių sąlygų uždaviniai gali turėti skirtingus sprendinius, nepažeidžiant sprendinio vienatinumo esant bet kuriai vienai pradinei sąlygai.

4. Pagal nurodytą temperatūros modelį raskite θ ir T, kai t = 1 s + (2 s)ln 4. Ar realiosios eksponentinės funkcijos argumentą galima užrašyti kaip −h, kai h matuojamas sekundėmis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   θ = 2 K ir T = 282 K. Argumentas yra −h/(2 s) – bedimensis santykis.

   Tuo laiko momentu e^(−h/(2 s)) = e^(−ln 4) = 1/4, todėl (8 K)/4 = 2 K. Ieškomas laiko momentas patenka į intervalą 0 < t < 7 s. Vien laikas su matavimo vienetu nėra nurodytos realiosios eksponentinės funkcijos argumentas; padalijus iš laiko mastelio, vienetas panaikinamas.

5. Pakeiskite temperatūros perviršio pradinę sąlygą į θ(1 s) = 0 K, palikdami θ′ = −θ/(2 s). Ar θ(t) = 0 K yra sprendinys? Ar būtų galima dalyti iš θ arba normuoti pagal šią nulinę pradinę vertę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pastovi nulinio temperatūros perviršio funkcija yra sprendinys. Dalyti iš θ arba iš nulinės pradinės vertės negalima.

   Jos išvestinė yra 0 K/s, o dešinioji pusė taip pat lygi 0 K/s. Ji duoda T = T_ref = 280 K, o ne absoliutųjį nulį. Taikant teigiamosios šakos logaritmavimo metodą, dalijant buvo atmestas nulinis atvejis, todėl jį reikia patikrinti tiesiogiai. Šiai tiesinei kitimo spartai vietinės vienatinumo sąlygos tebegalioja nulinės pradinės vertės aplinkoje.

6. Ar formaliajam uždaviniui z′ = z²/(2 s), z(1 s) = 1 vietinių pakankamų sąlygų patikra garantuoja baigtinį sprendinį, kurį galima pratęsti per laiko momentą 3 s? Ar algebrinę vertę −2 laiko momentu 4 s galima sujungti su pradine šaka pereinant per 3 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais – ne. Vietinių sąlygų patikra garantuoja sprendinį laiko momento 1 s aplinkoje; patikrinta šaka tampa neaprėžta, kai t artėja prie 3 s iš mažesnių verčių pusės.

   Kitimo sparta ir jos dalinė išvestinė būsenos kintamojo atžvilgiu yra tolydžios pradinės vertės aplinkoje, tačiau vietinė teorema negarantuoja neriboto intervalo. Laiko momentu 3 s sprendinio formulės vardiklis tampa lygus nuliui, ir jokia baigtinė vertė negali tolydžiai sujungti išsiskiriančių šakų. Algebrinė vertė laiko momentu 4 s priklauso nesujungtai šakai ir nepratęsia duotojo pradinių sąlygų uždavinio sprendinio.

Ką verta įsidėmėti

• Paprastoji diferencialinė lygtis nustato sąryšį tarp nežinomos funkcijos ir jos paprastųjų išvestinių vieno nepriklausomojo kintamojo atžvilgiu; ji nėra vien vieno skaičiaus radimo uždavinys.
• Prieš interpretuodami sprendinį, nurodykite priklausomąjį dydį, išvestinės matavimo vienetus, pradinius duomenis ir leistiną intervalą.
• Patikrinkite, ar siūloma funkcija tenkina lygtį visame nurodytame intervale, ir atskirai patikrinkite, ar ji tenkina pradinį duomenį.
• Žinomą tolydžią nuo laiko priklausančią kitimo spartą galima integruoti, o integravimo konstantą parinkti pagal pradinius duomenis. Lygtims su atskiriamaisiais kintamaisiais, kurių kitimo sparta priklauso nuo būsenos, prieš dalydami patikrinkite pastoviuosius sprendinius.
• Šiuose modeliuose su matavimo vienetais realiojo logaritmo argumentai ir eksponentinės funkcijos argumentai yra bedimensiai; temperatūros perviršį sumažinus perpus, absoliučioji temperatūra nesumažėja perpus.
• Kitimo spartos ir jos dalinės išvestinės būsenos kintamojo atžvilgiu tolydumas yra pakankama vietinio sprendinio vienatinumo garantija. Sprendinio tęsimas, egzistavimas visą laiką ir fizinis pagrįstumas lieka atskiri klausimai.