Furjė analizė, Laplaso transformacijos ir specialiosios funkcijos

Nurodykite periodą ir jo fazę

Signalu čia vadinama pateikta skaliarinė laiko funkcija; ji nebūtinai yra matavimo rezultatas. Teigiamas T yra periodas, jei f(t + T) = f(t) kiekvienam leistinam t. Periodinė funkcija gali turėti daugiau nei vieną periodą. Mūsų Furjė pavyzdys pateiktas visiems realiesiems t, matuojamiems sekundėmis nuo pasirinkto atskaitos momento, o funkcijos vertės išreiškiamos metrais. Šios priskirtos vertės nenusako judančio kūno trajektorijos.

Pasirinkime T = 4 s ir apibrėžkime φ(t) = 2πt/T. Tai bedimensė skaitinė kampo θ(t) = φ(t) rad vertė radianais. Toliau pateiktų sinuso, kosinuso ir eksponentinės funkcijos argumentai yra skaitiniai ir bedimensiai. Kai t padidėja dydžiu T, fazė padidėja 2π. Naudojame ciklų dažnį ν = 1/T = 0.25 Hz; dažnis, išreiškiamas ciklais per sekundę, skiriasi nuo kampinio dažnio, išreiškiamo radianais per sekundę.

n-oji harmonika, kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, išreiškiama cos(nφ) arba sin(nφ), o jos ciklų dažnis yra nν. Pirmosios harmonikos periodas yra T, o antrosios – T/2 = 2 s; abi kartojasi po laiko T. Harmonika reiškia pasirinktą pagrindinį dažnį, padaugintą iš sveikojo skaičiaus, o ne nepriklausomai išmatuotą fizikinį rezonansą.

Taikykite ortogonalumą per visą periodą

Baigtinis Furjė skleidinys išreiškia funkciją kaip f(t) = c₀ + Σₙ₌₁ᴺ [aₙ cos(nφ) + bₙ sin(nφ)], kur N yra baigtinis teigiamas sveikasis skaičius. Simbolis Σ reiškia, kad šiuos narius reikia sudėti. c₀ vadiname pastoviuoju nariu; ši sutartis skiriasi nuo pastoviojo nario užrašymo kaip a₀/2. Būtina nurodyti Furjė koeficientų normavimą. Čia c₀, aₙ ir bₙ išreiškiami metrais, kaip ir signalas, o sinusinės ir kosinusinės bazinės funkcijos yra bedimensės.

Ortogonalumas reiškia, kad skirtingų pasirinktų bazinių funkcijų sandaugos integralas per vieną visą periodą yra lygus nuliui. Kai indeksai yra teigiami sveikieji skaičiai, tai galioja dviem kosinusams su skirtingais indeksais, dviem sinusams su skirtingais indeksais ir bet kuriai sinuso bei kosinuso porai. Kiekvieno sinuso ar kosinuso vidurkis per visą periodą taip pat lygus nuliui. Tos pačios funkcijos sandaugos su savimi integralai yra ∫₀ᵀ cos²(nφ) dt = ∫₀ᵀ sin²(nφ) dt = T/2; pastoviajai bazinei funkcijai gauname ∫₀ᵀ 1 dt = T.

Iš šių tapatybių gauname c₀ = (1/T)∫₀ᵀ f(t) dt, aₙ = (2/T)∫₀ᵀ f(t)cos(nφ) dt ir bₙ = (2/T)∫₀ᵀ f(t)sin(nφ) dt. Pateiktos baigtinės sumos integralą išskaidykite į baigtinio skaičiaus jos narių integralus: dėl ortogonalumo visi kiti baziniai komponentai išnyksta, o normavimo daugiklis T/2 panaikina daugiklį 2/T. Visi integralai čia egzistuoja, nes pateikta baigtinė trigonometrinė suma yra tolydi. Integruojant per ne visą periodą, tos pačios ortogonalumo tapatybės paprastai negalioja.

Patikrinkite vieną tikslų baigtinį skleidinį

Pateikite pradinę tikslią funkciją f(t) = 2 m + (3 m)cos φ − (1 m)sin(2φ). Jos baigtiniame skleidinyje c₀ = 2 m, a₁ = 3 m, b₂ = −1 m, o visi kiti sinusų ir kosinusų koeficientai lygūs nuliui. Pavyzdžiui, padauginus iš sin(2φ) ir suintegravus lieka tik −(1 m)(T/2), todėl b₂ = −1 m. Koeficientas su ženklu nėra nei naujas dažnis, nei didžiausia viso signalo vertė.

Lentelėje pateiktos pasirinktos vertės gaunamos iš šios formulės, o ne iš matavimo ar interpoliavimo taisyklės. Kai t = 0.5 s, φ = π/4, cos φ = √2/2 ir sin(2φ) = 1. Taigi f = (1 + 3√2/2) m. Paprastesnės funkcijos f₀(t) = 2 m + (3 m)cos φ vertės sutampa su f vertėmis, kai t = 0, 1, 2 ir 3 s, nes tuose taškuose sin(2φ) lygus nuliui, tačiau skiriasi 1 m, kai t = 0.5 s. Šios keturios atskaitos neleidžia atskirti dviejų funkcijų.

Pateikta baigtinė formulė pagal savo konstrukciją yra tiksli kiekvienam realiajam t. Norint taikyti Furjė analizę bet kuriai funkcijai, reikia nurodyti jos klasę, koeficientus apibrėžiančių integralų egzistavimo sąlygas ir numatomą konvergavimo prasmę bei sąlygas; baigtinis skleidinio nukirtimas nebūtinai atkuria visą funkciją. Šioje pamokoje nei nustatomas visas bet kurio signalo spektras iš atskaitų, nei įrodoma atkūrimo begaline eilute ar inversijos teorema.

Apibrėžkite vienpusę Laplaso transformaciją

Dabar naudokime funkciją g(t), duotą, kai t ≥ 0. Jos vienpusė Laplaso transformacija yra G(p) = ∫₀∞ e^(−pt)g(t) dt visur, kur šis nesavasis integralas konverguoja. Žodis „vienpusė“ nurodo intervalą, prasidedantį nuo nulio. Čia p yra realusis parametras, matuojamas atvirkštinėmis sekundėmis, todėl pt yra bedimensis; įprastoje bendresnėje teorijoje galima naudoti ir kompleksinį parametrą. Branduolys e^(−pt) yra eksponentinė svorio funkcija, o e – natūraliosios eksponentės pagrindas.

Nesavasis integralas reiškia, kad reikia imti lim as R → ∞ of ∫₀ᴿ e^(−pt)g(t) dt, kur R yra teigiama laiko vertė. Jo egzistavimas priklauso nuo visos pointegralinės funkcijos elgesio ties intervalo galais ir esant didelėms laiko vertėms. Algebrinėmis operacijomis gautos baigtinės išraiškos nepakanka, jei ši integralą apibrėžianti riba neegzistuoja. Kai p neigiamas, branduolys auga, tačiau pakankamai sparčiai mažėjanti g vis tiek gali lemti, kad sandauga bus integruojama.

Pagal mūsų susitarimą g matuojama metrais, branduolys yra bedimensis, o dt matuojamas sekundėmis, todėl G matavimo vienetai yra m·s. Tai skiriasi nuo pirmiau pateiktų normuotųjų Furjė koeficientų, kurių daugikliai 1/T arba 2/T panaikina integravimo laiko vienetą. Transformacija išreiškia funkciją per kitą parametrą; p nėra papildomas matuojamas laikas ar nauja erdvinė koordinatė.

Nustatykite sritį prieš išvesdami formulę

Imkime tikslią funkciją g(t) = A e^(−t/τ) visiems t ≥ 0, kai A = 4 m ir τ = 2 s. Tai matematiškai duoti duomenys, o ne teiginys apie išmatuotą slopimo procesą. Jos pointegralinė funkcija su svoriu yra A e^(−ct), kur c = p + 1/τ matuojamas atvirkštinėmis sekundėmis. Kai p realusis, ji eksponentiškai mažėja tada ir tik tada, kai c > 0, arba p > −0.5 s⁻¹. Tai pasirinkto transformaciją apibrėžiančio integralo konvergavimo sritis.

Kai c > 0, integralas baigtiniame intervale yra ∫₀ᴿ A e^(−ct) dt = (A/c)(1 − e^(−cR)). Tai gaunama diferencijuojant pirmykštę funkciją −(A/c)e^(−ct). Kadangi e^(−cR) artėja prie nulio, G(p) = A/(p + 1/τ), išlaikant apibrėžimo sritį. Kai p = 0.5 s⁻¹, c = 1 s⁻¹ ir G = 4 m·s; kai p = 0, G = 8 m·s.

Kai c = 0, pointegralinė funkcija yra teigiama konstanta A, o jos integralas A R auga neribotai. Kai c < 0, pointegralinė funkcija auga eksponentiškai, o integralas taip pat diverguoja. Pavyzdžiui, į racionaliąją išraišką įstatę p = −1 s⁻¹, gauname −8 m·s, tačiau ši p vertė nepatenka į šios transformacijos konvergavimo sritį, todėl gautas rezultatas nėra transformaciją apibrėžiančio integralo vertė. Išraiška ir jos apibrėžimo sritis turi būti pateikiamos kartu.

Išlaikykite pradines vertes transformacijos algebroje

Naudinga taisyklė su apibrėžtomis taikymo ribomis yra L[g′](p) = pG(p) − g(0). Čia L reiškia tą pačią vienpusę transformaciją. Pakankamos šio skaičiavimo sąlygos yra tokios: g yra tolydžiai diferencijuojama, kai t ≥ 0, g ir g′ integralai su svoriu konverguoja absoliučiai, o e^(−pR)g(R) → 0, kai R → ∞. Absoliutusis konvergavimas reiškia, kad absoliučiosios vertės integralas yra baigtinis. Tai pakankamos prielaidos pateiktam išvedimui, o ne visų transformuojamų funkcijų klasifikacija.

Integruojant dalimis naudojama ∫ u v′ dt = [uv] − ∫ u′v dt. Pasirinkus u = e^(−pt) ir v = g(t), gaunama ∫₀ᴿ e^(−pt)g′(t) dt = e^(−pR)g(R) − g(0) + p∫₀ᴿ e^(−pt)g(t) dt. Esant nurodytoms prielaidoms, perėjus prie ribos gaunama ši taisyklė. Pradinė vertė joje išlieka: diferencijavimas nevirsta vien daugyba iš p.

Mūsų eksponentinei funkcijai g galioja g′ = −g/τ, o visos šios prielaidos tenkinamos, kai p > −1/τ. Todėl −G/τ = pG − A, arba (p + 1/τ)G = A, ir tai sutampa su tiesioginio integravimo rezultatu. Abiejose išvestinės taisyklės pusėse matavimo vienetai yra metrai: (1/s)(m·s) = m. Tokios taisyklės leidžia tinkamas tiesines diferencialines lygtis paversti algebriniais sąryšiais, išlaikant pradinius duomenis. Nežinomos pradinės funkcijos atkūrimas yra atskiras žingsnis, kuriam reikia tinkamo atvirkštinės transformacijos metodo ir sąlygų.

Įveskite apibrėžtą specialiąją funkciją

Matematikoje standartiniai pavadinimai ir apibrėžimai suteikiami ir kitoms naudingoms funkcijoms, ne tik įprastoms laipsninėms, eksponentinėms ar trigonometrinėms funkcijoms. Pavadinta specialioji funkcija gali glaustai perteikti pasikartojantį integralą ir jo aprašytas savybes. Čia naudokite paklaidų funkciją, kuri realiajam bedimensiam z apibrėžiama taip: erf(z) = (2/√π)∫₀ᶻ e^(−u²) du. Integravimo kintamasis u yra bedimensis skaičius, nesusijęs su laiko kintamuoju t. Mūsų pavyzdžiui pakanka šio apibrėžimo realiųjų skaičių srityje; nurodytame šaltinyje nagrinėjama ir platesnė kompleksinių skaičių sritis.

Pointegralinė funkcija yra tolydi, todėl šis integralas baigtiniame intervale egzistuoja kiekvienam realiajam z. Kai z neigiamas, integralas nuo 0 iki z pakeičia integravimo kryptį. Iš apibrėžimo gauname erf(0) = 0, o iš e^(−u²) lyginumo gauname erf(−z) = −erf(z). Pagal pagrindinę integralinio skaičiavimo teoremą realiajam z galioja d erf(z)/dz = (2/√π)e^(−z²). Tai apibrėžtos funkcijos matematinės savybės.

Pavadinimas leidžia išlaikyti tikslią išraišką su šiuo integralu, nepriskiriant jai nepatikrintos dešimtainės vertės ir nepakeičiant jos įprasta elementariąja formule. Modelyje su matavimo vienetais argumentą pirmiausia reikia sudaryti kaip bedimensį dydį, pavyzdžiui, t/τ. Tikimybės, paklaidų intervalų ar medžiagos savybių interpretacijai reikėtų atskiro fizikinio arba statistinio modelio; vien pavadinimas jokios tokios interpretacijos nesuteikia.

Išreikškite baigtinį integralą ir nustatykite jo vertės rėžius

Pateikite atskirą pradinę funkciją q(t) = B e^[−(t/τ)²], apibrėžtą tik intervale 0 ≤ t ≤ τ, kai B = 3 m ir τ = 2 s. Raskite I = ∫₀^τ q(t) dt. Čia ilgio matavimo vienetais išreikštas signalas integruojamas laiko atžvilgiu, todėl gaunami m·s vienetai; tai savaime nėra nueitas kelias. Apibrėžkite z = t/τ, tuomet intervalo galai tampa 0 ir 1, o dt = τ dz.

Atlikus kintamojo keitimą, gaunama I = Bτ∫₀¹ e^(−z²) dz = Bτ(√π/2)erf(1). Su duotomis B ir τ vertėmis gaunama I = 3√π m·s erf(1). Specialiosios funkcijos argumentas yra bedimensė viršutinė riba τ/τ = 1. Pastovūs daugikliai išlaiko integralo fizikinius vienetus.

Kai 0 ≤ z ≤ 1, galioja 1/e ≤ e^(−z²) ≤ 1. Integruojant šiuos įverčius ir padauginant iš Bτ = 6 m·s, gaunama 6/e m·s ≤ I ≤ 6 m·s. Tai matematiniai įverčiai pagal tikslų duotą modelį, o ne statistinės pasikliautinosios ribos ar matavimo neapibrėžtis. Furjė skleidinys, Laplaso transformacijoje taikomas svorinis integravimas ir pavadinimą turinti specialioji funkcija turi skirtingus apibrėžimus; kiekvienas iš jų tampa naudingas, kai aiškiai nurodomi jo normavimas, apibrėžimo sritis, sąlygos ir vienetai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai T = 4 s ir φ = 2πt/T, raskite pagrindinio svyravimo dažnį, antrosios harmonikos svyravimų dažnį ir φ, kai t = 1 s. Ar φ turi sekundės vienetą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dažniai yra 0.25 Hz ir 0.5 Hz; φ = π/2 yra bedimensis dydis.

   ν = 1/T, o antrosios harmonikos dažnis yra 2ν. Laikų santykis t/T = 1/4 yra bedimensis. φ yra atitinkamo kampo, išreikšto radianais, skaitinė vertė, todėl tinka kaip trigonometrinės funkcijos argumentas.

2. Duotajai funkcijai f viso periodo integralas ∫₀ᵀ f(t)sin(2φ) dt yra −2 m·s. Kai T = 4 s, taikydami mūsų normavimą raskite b₂ ir jo matavimo vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   b₂ = (2/T)(−2 m·s) = −1 m.

   Daugiklis 2/T = 0.5 s⁻¹ panaikina integralo laiko matavimo vienetą. Neigiamas ženklas priklauso šiam sinuso koeficientui. Tos pačios bazinės funkcijos kvadrato integralas yra T/2, todėl taikomas toks normavimas.

3. Palyginkite duotąją funkciją f su f₀ = 2 m + (3 m)cos φ. Ar jų vertės laiko momentais t = 0, 1, 2 ir 3 s leidžia jas atskirti? Kokia yra f − f₀ vertė, kai t = 0.5 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tais keturiais laiko momentais vertės sutampa. Kai t = 0.5 s, f − f₀ = −1 m.

   Tais keturiais laiko momentais, išreikštais sveikuoju sekundžių skaičiumi, sin(2φ) lygus nuliui. Kai t = 0.5 s, 2φ = π/2, o sinusas lygus 1. Šios dvi aiškiai apibrėžtos funkcijos parodo, kad tos kelios atskaitos vienareikšmiškai nenusako visos periodinės funkcijos.

4. Ar pasirinktai funkcijai g, kai A = 4 m ir τ = 2 s, p = 0 priklauso konvergavimo sričiai? Jei taip, raskite G(0) ir jos matavimo vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip. G(0) = Aτ = 8 m·s.

   0 > −0.5 s⁻¹, todėl bendra eksponentinė funkcija vis dar slopsta. Padalijus 4 m iš 0.5 s⁻¹, gaunama 8 m·s. Kai p = 0, svorinis branduolys yra 1, o pačios funkcijos g slopimas užtikrina, kad integralas yra baigtinis.

5. Racionalusis reiškinys 4 m/(p + 0.5 s⁻¹) lygus −8 m·s, kai p = −1 s⁻¹. Ar tai yra pasirinktos funkcijos g vienpusės transformacijos, apskaičiuotos pagal ją apibrėžiantį integralą, vertė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Šią transformaciją apibrėžiantis integralas esant tokiai p vertei diverguoja.

   Bendras koeficientas c = −0.5 s⁻¹ yra neigiamas, todėl teigiama pointegralinė funkcija yra (4 m)e^[(0.5 s⁻¹)t] ir auga eksponentiškai. Baigtinė algebrinė išraiška už konvergavimo srities ribų nesuteikia šio integralo vertės.

6. Pasirinktai funkcijai q, kai τ = 2 s, išreikškite q(t) dt integralą nuo 0 iki τ naudodami erf ir nustatykite jo rėžius, kaip parodyta pirmiau. Kodėl viršutinę ribą atitinka erf(1), o ne erf(2 s)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Integralas lygus 3√π m·s erf(1) ir yra tarp 6/e m·s ir 6 m·s. Viršutinę ribą atitinkantis bedimensis santykis yra τ/τ = 1.

   Atlikus keitinį z = t/τ, gaunama dt = τ dz, o integravimo ribos tampa 0 ir 1. Funkcija erf buvo apibrėžta bedimensiam realiajam argumentui. Pointegralinės funkcijos vertės šiame intervale yra tarp 1/e ir 1; daugiklis Bτ = 6 m·s išlaiko pradinius matavimo vienetus.

Ką verta įsidėmėti

• Baigtiniam Furjė skleidiniui naudojamas nurodytas periodas, harmoninių funkcijų bazė ir koeficientų normavimas.
• Ortogonalumas per visą periodą leidžia atkurti pateiktos baigtinės sumos koeficientus; kelių taškų verčių gali nepakakti visai funkcijai nustatyti.
• Vienpusė Laplaso transformacija yra nesavasis integralas su svoriu, turintis ne tik algebrinę išraišką, bet ir konvergavimo sritį.
• Transformacijos rezultato matavimo vienetai priklauso nuo apibrėžimo; pagal mūsų Laplaso transformacijos susitarimą metrais išreikštas pradinis dydis duoda rezultatą, kurio vienetai yra m·s.
• Išvestinės transformavimo taisyklėje išlieka pradinės vertės; ji taikoma laikantis nurodytų integralų konvergavimo ir ribinio perėjimo sąlygų.
• Specialioji funkcija turi tikslų apibrėžimą; jos argumentas turi būti bedimensis, o modelio daugikliuose prieš funkciją reikia išlaikyti matavimo vienetus.