GLOBAL KNOWLEDGE ARK

Fizika · Straipsnis

Dimensijos, mastelio keitimas ir panašumas

Atskirti dydžio dimensiją nuo jo vieneto, tikrinti lygtis ir apskaičiuoti, kaip dydžio pokytis veikia geometriją, remiantis nurodytomis prielaidomis.

Ankstesnis straipsnis: Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

  • Atskirti dydžio rūšį, matavimo vienetą ir fizikinę dimensiją.
  • Nustatyti paprastas dimensijas dauginant arba dalijant ilgio, masės ir laiko dimensijas.
  • Paaiškinti, ką dimensijų patikra gali atmesti ir ko ji negali nustatyti.
  • Apskaičiuoti pagal sąlygą geometriškai panašių blokų plotų, tūrių ir masių santykius.
  • Atskirti geometrinį panašumą nuo papildomų dinaminio panašumo reikalavimų.
01

Įvardykite dydį ir jo vienetą

Vienetas yra atskaitos dydis, naudojamas dydžio vertei išreikšti. Tą patį nurodytą ilgį galima užrašyti kaip 0.50 m = 50 cm, nes 1 m = 100 cm. Keičiant vienetą, skaitinė vertė keičiasi, o ilgis nesikeičia. Ilgis ir laiko tarpas yra skirtingų rūšių dydžiai, todėl skaičius be dydžio ir jo vieneto yra neišsami informacija.

Dimensija nusako dydžio priklausomybę nuo pagrindinių dydžių pasirinktoje sistemoje. Ji neleidžia atskirti visų dydžių rūšių. SI sistemoje energijos ir jėgos momento dimensijos yra vienodos, tačiau tai skirtingų rūšių dydžiai; jėgos momentas nusako jėgos sukamąjį poveikį. Todėl vien dimensija ar vienetas neatskleidžia visos dydžio prasmės.

02

Dimensijų sudarymas paprastais veiksmais

Čia pateiktuose mechanikos pavyzdžiuose ilgio dimensiją žymėkite didžiąja raide L, masės – M, o laiko – T. Tai dimensijų simboliai, o ne vienetai metras, kilogramas ir sekundė. Užraše [q] skliaustai reiškia dydžio q dimensiją. SI sistemoje naudojamos ir kitos pagrindinės dimensijos; šiai pamokai reikia tik šių trijų.

Sudauginus du ilgius, gaunama ploto dimensija: L × L = L^2. Sudauginus tris, gaunama L^3. Kvadratas reiškia dydžio sandaugą su pačiu savimi; kubas – trijų daugiklių sandaugą. Padalijus atstumą iš praėjusio laiko, gaunama greičio dimensija L/T. Lentelėje šios dimensijos atskiriamos nuo vienetų pavyzdžių.

Čia naudojamų dydžių dimensijos ir vienetų pavyzdžiai
DydisDimensijaVienetų pavyzdžiai
IlgisLm arba cm
MasėMkg arba g
Praėjęs laikasTs
PlotasL²m² arba cm²
TūrisL³m³ arba cm³
GreitisL/Tm/s arba cm/s
Masės tankisM/L³kg/m³ arba g/cm³
03

Patikrinkite kiekvieno nario dimensiją

Fizikinius dydžius siejančios lygties abiejų pusių dimensijos turi sutapti. Sudedamų ar atimamų narių dimensijos taip pat turi sutapti. Ši patikra būtina, tačiau ji nepakeičia dydžių prasmės patikros.

Stačiakampio, kurio kraštinių ilgiai yra a ir b, reiškinio ab dimensija yra L². Reiškinio a + b dimensija yra L, todėl taip užrašytas jis negali išreikšti to stačiakampio ploto. Taip pat patikrinkite visas konstantas: konstanta gali turėti matavimo vienetus. Grynai skaitinio daugiklio, pavyzdžiui, 2, dimensija lygi vienetui, todėl jis nekeičia ab dimensijos.

04

Dimensiškai suderintą lygtį vis tiek reikia pagrįsti

Dimensijų patikros atitiktis nenustato grynai skaitinio koeficiento ir nepatvirtina fizikos dėsnio. Tiek A = ab, tiek A = 2ab dimensijos sutampa su ploto dimensija, kai 2 yra grynasis skaičius. Vien dimensijos neleidžia pasirinkti vieno iš šių reiškinių. Stačiakampio geometrija duoda A = ab; daugiklis 2 reikštų dvigubai didesnį plotą.

Siūlomą sąryšį visada pateikite kartu su modeliu ir jo sąlygomis. Skirtingi dydžiai gali turėti tas pačias dimensijas, o lygtis gali atitikti dimensijų patikrą, nors aprašo ne tą dydį ar situaciją. Dimensinė analizė gali atskleisti neatitiktį, tačiau fizikinei prognozei vis tiek reikia įrodymų ir tolesnio samprotavimo.

05

Vienodai keiskite visos figūros mastelį

Geometrinis panašumas reiškia, kad visiems atitinkamiems ilgiams taikomas tas pats teigiamas mastelio koeficientas, o forma išlieka nepakitusi. Apibrėžkite k = new length / original corresponding length, naudodami tą patį matavimo vienetą. Šis ilgių santykis yra bedimensis: jo dimensija lygi vienetui. Pakeitus tik kai kurių ilgių mastelį, forma gali pasikeisti. Įtraukite storius ir kitus svarbius ilgius, jei jie priklauso lyginamai figūrai.

Tarkime, pradinių stačiakampio gretasienio briaunų ilgiai yra a, b ir c, o atitinkami naujojo gretasienio briaunų ilgiai yra ka, kb ir kc. Atitinkamos sienos plotas pasikeičia iš ab į (ka)(kb) = k^2 ab. Tūris pasikeičia iš abc į (ka)(kb)(kc) = k^3 abc. Taigi, kai k = 2, sienos plotas padidėja keturis kartus, o tūris – aštuonis kartus. Tai geometriniai skaičiavimai, atliekami esant nurodytai panašumo sąlygai.

06

Prieš perskaičiuodami masę pagal mastelį, įtraukite prielaidas apie medžiagą

Tūrio kitimo santykis savaime nenusako masės kitimo santykio. Masės tankis – tai masė tūrio vienete: rho = m/V. Čia rho yra tankio simbolio pavadinimas, o m žymi masę, ne metro vienetą. Pertvarkę lygtį gauname m = rho V. Jei du pilnaviduriai blokai turi tą patį nurodytą vienodą tankį, aštuonis kartus didesnis tūris reiškia aštuonis kartus didesnę masę. Jei jų tankiai skiriasi, lygindami atsižvelkite į abi tankio vertes.

Idealaus kubo, kurio briaunos ilgis a, kiekvienos iš šešių sienų plotas yra a². Visas jo išorinio paviršiaus plotas yra S = 6a^2, o tūris – V = a^3. Padaliję gauname S/V = 6/a. Taigi padvigubinus a, santykis S/V sumažėja perpus, nors pats S padidėja keturis kartus. Šio santykio dimensija yra L^2/L^3 = 1/L; jis nėra bedimensis. Jei vertė nurodyta „vienam centimetrui“, tai reiškia dalybą iš centimetro.

Toliau nagrinėjamų blokų geometrija ir tankis yra tiksliai duoti išgalvotame mokomajame pavyzdyje. Apskaičiuoti skaitmenys nenusako realių matavimų tikslumo. Tuščiaviduris blokas, kitoks tankis ar nekintantis storis gali pakeisti palyginimą. Prieš taikydami mastelio keitimo taisyklę, nurodykite šiuos pasirinkimus.

07

Formų panašumas nereiškia elgsenos panašumo

Geometrinis panašumas savaime nereiškia dinaminio panašumo. Tiriant mechaninius modelius, dinaminis panašumas siejamas su atitinkamų jėgų santykiais. Lyginant fluidų srautus, atitinkami jėgų santykiai turi sutapti; vien ilgių atitiktis šių santykių nepatikrina. Šioje pamokoje supažindinama su šiuo skirtumu, neišvedant fluidų tekėjimo kriterijų.

Mūsų kubo skaičiavimai apibūdina dydį, paviršiaus plotą, tūrį ir masę pagal duotas prielaidas. Jie nepatikrina nei jėgų, nei judėjimo. Elgsenai prognozuoti reikia tinkamo fizikinio modelio, svarbių savybių ir sąlygų. Prieš laikydami pakeisto mastelio formą tinkamu fizikiniu modeliu, nustatykite, kas turi atitikti, kad būtų galima pateikti tokią prognozę.

Vienas ilgio mastelio koeficientas ir formos bei tankio sąlygos

  1. 1. Ilgis: mastelio koeficientas 2

    Kraštinės ilgis kinta nuo 2 cm iki 4 cm. Visi atitinkami kubų ilgiai keičiami tuo pačiu koeficientu, todėl kubai yra geometriškai panašūs.

  2. 2. Visas išorinio paviršiaus plotas: mastelio koeficientas 4

    Šešių sienų plotas kinta nuo 24 cm² iki 96 cm². Ploto mastelio koeficientas yra 2 × 2 = 4.

  3. 3. Tūris: mastelio koeficientas 8

    Tūris kinta nuo 8 cm³ iki 64 cm³. Tūrio mastelio koeficientas yra 2 × 2 × 2 = 8.

  4. 4. Masė: koeficientas 8, kai tankis vienodas

    Kai abiem pilnaviduriams kubams priskirtas toks pat, visame tūryje vienodas tankis, masė kinta nuo 16 g iki 128 g. Jei tankis būtų kitoks, reikėtų iš naujo palyginti mases.

Šie išgalvoti idealūs pilnaviduriai kubai išlaiko tą pačią formą: visi ilgiai keičiami tuo pačiu masteliu, kraštinei kintant nuo 2 cm iki 4 cm. Abiejų kubų tankis laikomas vienodu visame tūryje ir lygiu 2 g/cm³. Pateiktos tikslios vertės iliustruoja modelio skaičiavimus ir nepatvirtina realių matavimų tikslumo ar dinaminio panašumo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Taikykite dimensijas nepamiršdami geometrijos

Duoti tikslūs idealaus stačiakampio kraštinių ilgiai: a = 0.30 m ir b = 0.20 m. Palyginkite galimas ploto išraiškas ab, a + b ir 2ab, kur 2 yra bedimensis skaičius. Kurios išraiškos neatitinka dimensijų patikros, o kuri nusako šio stačiakampio plotą?

  1. Reikiama ploto dimensija yra L². Ir ab, ir 2ab dimensija yra L²; a + b dimensija yra L, todėl ši išraiška neatitinka dimensijų patikros.
  2. Iš stačiakampio geometrijos gauname A = 0.30 m × 0.20 m = 0.0600 m².
  3. Išraiška 2ab duotų 0.1200 m². Ji atitinka dimensijų patikrą, tačiau duoda dvigubą stačiakampio plotą.

Suma a + b netinka plotui išreikšti. Abi sandaugos atitinka dimensijų patikrą, tačiau nurodyto stačiakampio plotas yra 0.0600 m², jį nusako ab. Koeficientą nustato geometrija, o vien dimensijos jo nenustato. Šiame pavyzdyje matmenys nurodyti tiksliai.

Dviejų panašių pilnavidurių kubų palyginimas

Išgalvotame pavyzdyje dviejų idealių pilnavidurių kubų briaunų ilgiai yra tiksliai 2 cm ir 4 cm. Abiejų kubų tankis visame tūryje yra vienodas ir pagal sąlygą lygus 2 g/cm³. Palyginkite jų bendruosius išorinio paviršiaus plotus, tūrius, mases ir paviršiaus ploto bei tūrio santykius.

  1. Bendras ilgių mastelio koeficientas yra k = 4 cm / 2 cm = 2.
  2. Bendrieji šešių sienų plotai yra 6 × (2 cm)^2 = 24 cm² ir 6 × (4 cm)^2 = 96 cm²; jų santykis yra 4.
  3. Tūriai yra (2 cm)^3 = 8 cm³ ir (4 cm)^3 = 64 cm³; jų santykis yra 8.
  4. Pagal formulę m = rho V gauname 2 g/cm³ × 8 cm³ = 16 g ir 2 g/cm³ × 64 cm³ = 128 g; jų santykis taip pat yra 8.
  5. Padalykite paviršiaus plotą iš tūrio: 24 cm² / 8 cm³ = 3/cm ir 96 cm² / 64 cm³ = 1.5/cm. Antrasis santykis yra perpus mažesnis už pirmąjį.

Padvigubinus visus kubo ilgius, paviršiaus plotas padidėja keturis kartus, o tūris – aštuonis kartus. Masė padidėja aštuonis kartus, nes nurodyti tankiai yra lygūs. S/V sumažėja perpus ir turi atvirkštinio ilgio vienetą. Šie rezultatai nenustato nei realios medžiagos tankio, nei jokio kubų elgsenos dėsnio.

Didesnė siena nebūtinai reiškia panašų kūną

Idealios stačiakampės plokštės nurodyti tikslūs matmenys yra 0.30 m, 0.20 m ir 0.010 m. Antrosios plokštės matmenys yra 0.60 m, 0.40 m, o storis toks pat – 0.010 m. Ar šie stačiakampiai gretasieniai, vertinami kaip ištisi kūnai, yra geometriškai panašūs? Kokie jų tūriai?

  1. Palyginkite atitinkamus ilgius: 0.60/0.30 = 2, 0.40/0.20 = 2 ir 0.010/0.010 = 1.
  2. Visiems trims ilgiams nėra vieno bendro mastelio koeficiento. Plačiosios jų sienos yra panašūs stačiakampiai, tačiau patys stačiakampiai gretasieniai nėra geometriškai panašūs.
  3. Tūriai yra 0.30 m × 0.20 m × 0.010 m = 0.000600 m³ ir 0.60 m × 0.40 m × 0.010 m = 0.002400 m³.

Kūnai, vertinami kaip visuma, nėra geometriškai panašūs. Jų tūrių santykis yra 4, nes du ilgio matmenys padvigubėja, o storis lieka nepakitęs. Taikant aštuongubo tūrio taisyklę būtų remiamasi prielaida, kurios šis atvejis neatitinka. Šiam geometriniam skaičiavimui nereikia jokių prielaidų apie medžiagą ar masę.

Pabandykite patys

  1. Duotas ilgis užrašytas kaip 0.50 m ir kaip 50 cm. Ar jo dimensija pasikeitė? Ar kuris nors iš šių užrašų nusako plotą?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Ne. Abu užrašai nusako ilgį, kurio dimensija yra L, o ne plotą.

    Pakeitus vienetą, pasikeičia skaitinė vertė, tačiau ilgis lieka tas pats. Ploto dimensija būtų L², o jo vienetas būtų ploto vienetas, pavyzdžiui, m².

  2. Kai nueitas kelias d ir praėjęs laikas t yra teigiami, palyginkite d/t ir d × t kaip galimas vidutinio greičio išraiškas. Kokios jų dimensijos?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    d/t dimensija yra L/T – greičio dimensija. d × t dimensija yra LT, todėl ši išraiška greičiui netinka.

    Pagal išraiškas ilgio dimensiją padalykite iš laiko dimensijos arba jas sudauginkite. Dimensijų patikra atmeta sandaugą. Nueito kelio dalijimas iš praėjusio laiko taip pat atitinka vidutinio greičio prasmę.

  3. Stačiakampio, kurio kraštinių ilgiai a ir b yra teigiami, abiejose išraiškose A = ab ir A = 5ab naudojamas grynai skaitinis koeficientas. Ar pagal dimensijas galima parinkti stačiakampio ploto formulę?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Ne. Abiejų išraiškų dimensija yra ploto dimensija L², tačiau iš stačiakampio geometrijos gauname A = ab.

    Grynojo skaičiaus dimensija lygi vienetui, todėl 5 nekeičia dimensijų sandaugos. Vien dimensijų atitiktis neleidžia nustatyti šio koeficiento ar teisingo sąryšio.

  4. Dviejų idealių pilnavidurių vienalyčių kubų naujojo ir pradinio kubo briaunų ilgių santykis yra 3. Nurodyta, kad antrojo kubo tankis yra perpus mažesnis už pirmojo. Kokie jų tūrių ir masių santykiai?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Tūrių santykis 27; masių santykis 13.5.

    Kiekvienos atitinkamos kubo briaunos ilgis patrigubėja, todėl tūrių santykis yra 3 × 3 × 3 = 27. Pagal m = rho V masių santykis yra 0.5 × 27 = 13.5. Vien iš geometrijos tankių santykio nustatyti negalima.

  5. Palyginkite naujosios ir pradinės briaunos ilgių santykį su kubo viso paviršiaus ploto ir tūrio santykiu. Ar abu santykiai yra bedimensiai?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Ne. Briaunų ilgių santykio dimensija lygi vienetui; paviršiaus ploto ir tūrio santykio dimensija yra 1/L.

    Santykyje L/L = 1 vienodos ilgio dimensijos susiprastina. Santykiui S/V galioja L^2/L^3 = 1/L. Lygindami skaitines vertes, išlaikykite atvirkštinio ilgio vienetą ir naudokite nurodytus paviršiaus plotą bei tūrį.

  6. Modelis ir kitas objektas yra tos pačios formos, o visų atitinkamų ilgių santykis yra pastovus. Ar vien to pakanka dinaminiam panašumui nustatyti?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Ne. Tai nustato geometrinį panašumą, tačiau atitinkamus jėgų santykius dar reikia patikrinti.

    Ilgių palyginimas nesuteikia informacijos apie jėgas. Norėdami įvertinti numatytą elgseną, nurodykite fizikinį modelį, sąlygas ir būtiną atitiktį; nespręskite apie dinaminį panašumą vien iš formos.

Ką verta įsidėmėti

  • Vienetas nusako skaitinį atskaitos dydį; dimensija nurodo priklausomybę nuo pagrindinių dydžių.
  • Ta pati dimensija nebūtinai reiškia tos pačios rūšies dydį.
  • Dimensijų neatitiktis reiškia, kad užrašyta lygtis negali būti teisinga; jų atitiktis nenustato koeficientų ir neįrodo dėsnio.
  • Bendras ilgių daugiklis k atitinkamiems stačiakampiams gretasieniams lemia sienų plotų daugiklį k² ir tūrių daugiklį k³.
  • Masėms palyginti taip pat reikia informacijos apie tankį, o paviršiaus ploto ir tūrio santykis nėra bedimensis.
  • Vien geometrinis panašumas nepagrindžia dinaminio panašumo ar elgsenos prognozės.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

  1. Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)2 šaltiniai
    1. The International System of Units (SI), 9th edition, version 4.01Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)Žinynasbipm.orgSkaityti šaltinį
    2. International Vocabulary of Metrology (VIM3), 1.2 kind of quantityJoint Committee for Guides in Metrology (JCGM), hosted by BIPMŽinynasjcgm.bipm.orgSkaityti šaltinį
  2. Physics Part I, Class XI, Chapter 1: Units and MeasurementNational Council of Educational Research and Training (NCERT), IndiaVadovėlio skyrius · PDFncert.nic.inSkaityti šaltinį
  3. Fluid Mechanics, Chapter 6, Lecture 17: Physical SimilarityGautam Biswas and Suman Chakraborty (official course-level attribution), NPTEL Fluid Mechanics, IIT KanpurPaskaitų medžiagaFluid Mechanics, Chapter6: Principles of Physical Similarity and Dimensional Analysis, Lecture17: Geometric SimilarityFluid Mechanics, Chapter6: Principles of Physical Similarity and Dimensional Analysis, Lecture17: Dynamic Similarityarchive.nptel.ac.in
  4. University Physics Volume 1, 14.1 Fluids, Density, and Pressure — density definition blockWilliam Moebs, Samuel J. Ling and Jeff Sanny — OpenStax / Rice UniversityVadovėlio skyriusopenstax.orgSkaityti šaltinį