Fizika · Straipsnis

Dydžio eilės ir Fermio įvertinimas

Apytiksliai įvertinkite dydį remdamiesi paprastesniais dydžiais, patikrinkite jo vienetus ir dydžio eilę ir parodykite, kaip numanomi intervalai bei modelio pasirinkimai riboja atsakymą.

Ankstesnis straipsnis: Dimensijos, mastelio keitimas ir panašumas

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Užrašykite teigiamus dydžius moksliniu žymėjimu ir nurodykite taikomą dydžio eilės nustatymo susitarimą.
Įvertinimo uždavinį suskaidykite į paprastesnius pradinius dydžius ir aiškiai išreikštą jų sąryšį.
Prieš pasikliaudami įverčiu, patikrinkite kiekį nusakančius daugiklius, vienetus ir aritmetinius veiksmus.
Apskaičiuokite teigiamų pradinių dydžių sandaugos sąlygines ribas.
Atskirkite prielaidomis paremtas modelio ribas nuo matavimo rezultatų ir statistinio pasikliovimo.
Nustatykite, kurio pradinio dydžio intervalą ar neįtrauktą indėlį reikėtų tikrinti toliau.

Pradėkite nuo dydžio ir klausimo

Fermio įvertinimu dydis įvertinamas naudojant pagrįstą modelį ir apytikslius pradinius duomenis. Dažnai platus klausimas suskaidomas į smulkesnius, į kuriuos lengviau atsakyti apytiksliai. Nurodykite, ką norite įvertinti: pavyzdžiui, bendrą skysčio tūrį arba aktyvaus darbo laiką, reikalingą užduočių sekai atlikti.

Apibrėžkite situaciją ir tai, kas įtraukiama. Į aktyvaus darbo laiko įvertį gali būti neįtraukti pasiruošimas ir pertraukos, o į bendrą užbaigimo laiką jie gali būti įtraukti. Kai klausimas nepakankamai apibrėžtas, reikia prielaidų arba papildomos informacijos.

Visi skaitiniai pavyzdžiai šioje pamokoje yra išgalvoti. Kiekiai, būdingos pradinių dydžių vertės ir intervalai pateikiami mokymosi tikslais, o ne imami iš stebėjimų. Atlikdami tyrimą užrašykite, iš kur gautas kiekvienas pradinis dydis ir kaip galėtumėte jį patikrinti. Skaičiavimas pagal prielaidomis paremtus pradinius duomenis savaime nėra matavimas.

Naudokite dešimties laipsnius pagal aiškų susitarimą

Standartinė skaičiaus išraiška atskiria koeficientą ir dešimties laipsnį. Teigiamą skaitinę vertę užrašykite c × 10^n, kur 1 ≤ c < 10, o n yra sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, 7200 s = 7.2 × 10^3 s. Laipsnio rodiklis 3 reiškia, kad reikia dauginti iš 10 × 10 × 10 = 1000. Taip pat 10^0 = 1 ir 10^-3 = 1/1000 = 0.001.

Čia apytikslį mastą nurodome intervalu tarp gretimų dešimties laipsnių: nuo 10^n imtinai iki 10^(n+1) neimtinai, išreikštu nurodytu matavimo vienetu. Taigi 7200 s patenka į tūkstančių sekundžių intervalą, žymimą 10³ s. Tai mūsų aiškiai nurodytas rezultatų pateikimo susitarimas. Kai kuriuose vadovėliuose koeficientas vietoj to apvalinamas iki 1 arba 10 pagal nurodytą taisyklę. Kai intervalo riba svarbi, nurodykite susitarimą.

Intervalas nėra nei tiksli vertė, nei artumo garantija. Arti ribos esančios vertės gali būti priskirtos skirtingiems intervalams, nors yra artimos viena kitai. Norėdami palyginti du tos pačios rūšies dydžius, pirmiausia išreikškite juos tuo pačiu matavimo vienetu ir padalykite jų vertes. Santykis 10 reiškia dešimteriopą skirtumą; 100 – du iš eilės einančius dešimteriopus skirtumus. Pakeitus matavimo vienetą, gali pasikeisti skaitinis laipsnio rodiklis, nors pats dydis nesikeičia.

Mūsų susitarimas dėl intervalų tarp gretimų dešimties laipsnių, iliustruotas teigiamomis trukmėmis sekundėmis
Laipsnis	Laipsnio skaitinė vertė	Intervalas sekundėmis
10^-3	0.001	Nuo 0.001 s imtinai iki 0.01 s neimtinai
10^0	1	Nuo 1 s (imtinai) iki 10 s (neimtinai)
10^3	1000	Nuo 1000 s (imtinai) iki 10 000 s (neimtinai)
10^6	1 000 000	Nuo 1 000 000 s (imtinai) iki 10 000 000 s (neimtinai)

Prieš rinkdamiesi skaičius, sudarykite sąryšį

Užrašykite sąryšį, siejantį ieškomą dydį su paprastesniais pradiniais dydžiais. Pasikartojančius indėlius galima sujungti naudojant elementų skaičių ir tipinį vieno elemento indėlį. Kai užduotys atliekamos po vieną ir nepersidengia laike, naudingas modelis yra active time = number of tasks × average active time per task.

Šiame sąryšyje vidurkis yra bendras aktyvaus darbo laikas, padalytas iš užduočių skaičiaus. Atskiros užduotys nebūtinai trunka vienodai. Kol jų trukmė neišmatuota, pasirinktas vidurkis yra prielaida. Jei užduotys atliekamos lygiagrečiai, jų aktyvaus darbo trukmių suma nebūtinai lygi laikui, praėjusiam iki jų užbaigimo. Pasirengimą, laukimą ir pakartotinai atliekamas užduotis reikia įvertinti atskirai.

Patį elementų skaičių taip pat galima išskaidyti: total pieces = trays × average pieces per tray. Apibrėžkite kiekvieną daugiklį taip, kad tas pats elementas būtų suskaičiuotas tik vieną kartą. Pasirinkite tipines pradinių dydžių vertes, apskaičiuokite rezultatą ir tada išnagrinėkite, kaip jį pakeistų kitos leistinos pradinių dydžių vertės. Didesnis skaičiuotuvo rodomų skaitmenų skaičius nepadeda patikrinti, ar pasirinkti daugikliai apibūdina nagrinėjamą situaciją.

Skaičiuokite ir su matavimo vienetais

Kartu su skaitinėmis vertėmis dauginkite ir dalykite matavimo vienetus; sutampantys vienetai susiprastina. Rezultatas turi būti reikiamos dimensijos. Šios patikros sėkmė nepatvirtina, kad modelis fiziškai teisingas.

Laiko modelyje skaičių padauginus iš sekundžių vienai užduočiai, lieka sekundės. Tokios žymos kaip padėklai, vienetai ir užduotys padeda sekti, kas skaičiuojama, nors objektų skaičiaus dimensija lygi vienetui. Tūrio modelyje vessels × average litres per vessel lieka litrai. Indų skaičių dauginant iš litrų, neapibrėžus vienam indui tenkančio indėlio, galima nepastebėti klaidingos interpretacijos.

Prieš lygindami rezultatus, nuosekliai perskaičiuokite matavimo vienetus. Čia 1 min = 60 s ir 1 L = 1000 mL. Mililitrais išreikštą skaičiavimo rezultatą reikia perskaičiuoti prieš lyginant su litrais išreikšta riba. 1000 kartų paklaida smarkiai pakeičia skaitinį mastelį; matavimo vieneto žyma padeda ją pastebėti.

Parodykite, ką leidžia numatyti intervalai

Įvesties verčių rėžius galima naudoti modelio rezultato rėžiams nustatyti. Kai įvesties vertės teigiamos, padidinus bet kurį sandaugos daugiklį ir nekeičiant kitų, rezultatas padidėja. Apatinėms riboms nustatyti sudauginkite apatinius intervalų galus, o viršutinėms – viršutinius.

Šie rėžiai yra sąlyginiai: jie galioja, jei kiekviena įvesties vertė patenka į nurodytą intervalą ir taikomas ryšys galioja. Jei įvesties vertės tarpusavyje susijusios, gautame intervale vis tiek yra visos leistinos sandaugos vertės, tačiau jo galus apibrėžiančios įvesties vertės gali būti nepasiekiamos kartu. Papildomi apribojimai gali susiaurinti intervalą. Šiam rėžių skaičiavimui statistinis nepriklausomumas nereikalingas.

Tikrindami ribą, išsaugokite nesuapvalintus intervalo galų skaičiavimo rezultatus. Suapvalinus apatinį galą į didesnę pusę arba viršutinį galą į mažesnę pusę, galima pašalinti leistinas vertes. Pateikdami apytikslę santrauką, pažymėkite, kad ji apytikslė, ir greta išlaikykite sąlyginius rėžius.

Paaiškinkite, ką reiškia intervalas

Iš nustatytų ribų apskaičiuotas intervalas nepriskiria tikimybių jame esančioms vertėms. Todėl jis nepagrindžia teiginio apie 95% statistinį pasikliovimo lygmenį. Metrologijoje matavimo aprėpties intervalui priskiriama nurodyta tikimybė, ir jis skiriamas nuo statistinio pasikliautinojo intervalo. Šios pamokos modelio rėžiai nesuteikia nė vienos iš šių statistinių konstrukcijų.

Reprezentatyvus įvertis yra rezultatas, gautas iš pasirinktų reprezentatyvių įvesties verčių. Jis nebūtinai yra intervalo vidurio taškas, galimų atsakymų vidurkis ar labiausiai tikėtinas atsakymas. Nepateikėme informacijos, kuri leistų jam priskirti šias reikšmes.

Taip pat tikslūs aritmetiniai skaičiavimai išgalvotame modelyje neparodo realių matavimų preciziškumo. Jei faktinės įvesties vertės nepatenka į numatytą intervalą arba modelyje neatsižvelgiama į svarbų indėlį, tikrasis rezultatas gali nepatekti į apskaičiuotą intervalą. Dydį, prielaidas, pasirinktas įvesties vertes ir rėžius pateikite kartu.

Patikrinkite sprendimui svarbias prielaidas

Apsvarstykite, apie kuriuos veiksnius reikia tikslesnės informacijos ir kurie neįtraukti indėliai galėtų būti svarbūs. Vienas paprastas patikrinimo būdas – keisti vieną įvesties dydį visame jo leistiname intervale, kitus paliekant pastovius. Palyginkite gautų rezultatų santykius. Didžiausią poveikį šiame palyginime turintį įvesties dydį verta tikrinti toliau, tačiau tai nėra universali taisyklė visiems modeliams.

Taip pat patikrinkite skaičiavimo struktūrą: ar kuris nors indėlis galėjo būti praleistas, įskaičiuotas du kartus arba priskirtas netinkamam laiko intervalui? Siauras įvesties dydžio intervalas negali ištaisyti klaidingos priklausomybės. Jei nustatyta viršutinė riba viršija leistiną ribą, vien įvertis negali garantuoti, kad leistina riba nebus viršyta.

Prieš naudodami rezultatą, dar kartą patikrinkite matavimo vienetus, aritmetinius veiksmus ir samprotavimą. Kai yra susijusios, nepriklausomai patikrintos informacijos, palyginkite rezultatą su ja. Atliekant tikrą tyrimą, vienetų skaičiaus patikrinimas ar tipinių užduočių trukmės matavimas galėtų patikslinti įvesties dydžius; čia pateiktos išgalvotos vertės yra mokomieji duomenys, o ne tokių patikrinimų rezultatai.

Nuo priimtų įvesties dydžių iki sąlyginio tūrio įverčio

1. Apibrėžkite dydį
Įvertinkite bendrą skysčio tūrį, įpiltą į vieną kartą pripildomus indus. Formuluodami šį klausimą išlaikykite nurodytas išimtis.
2. Susiekite daugiklius ir vienetus
Bendras įpilto skysčio tūris = indų skaičius × vidutinis į vieną indą įpilto skysčio tūris. Indų skaičiavimo žymenys susiprastina, lieka litrai.
3. Pasirinkite reprezentatyvų įvertį
Pasirinkti įvesties dydžiai duoda 30 × 0.20 L = 6 L. Nenustatyta, kad šis rezultatas yra labiausiai tikėtinas tūris.
4. Išlaikykite sąlygines ribas
Teigiamų ribinių verčių sandaugos yra 25 × 0.15 L = 3.75 L ir 35 × 0.25 L = 8.75 L. Šis intervalas galioja, jei galioja įvesties dydžių ribos ir pripildymo modelis.
5. Pasirinkite kitą patikrą
Patikrinkite indų skaičių, vidutinį į vieną indą įpilto skysčio tūrį ir tai, ką apima dydis. Intervalas žymi modelio nustatytas ribas; pasikliovimo lygmuo nebuvo apskaičiuotas.

Originalus išgalvotas planas: nuo 25 iki 35 indų, o vidutinis vienam indui tenkantis įpilto skysčio tūris – 0.15–0.25 L, įskaitant visas intervalų ribines vertes. Kiekvienas indas pripildomas vieną kartą. Reprezentatyvūs įvesties dydžiai yra 30 indų ir 0.20 L vienam indui. Skaičiuojamas tik į indus įpiltas skystis; išsiliejęs ir kitur likęs skystis neįtraukiamas. Šie įvesties dydžiai pateikti kaip modelio prielaidos; jokių matavimo duomenų ar tikimybių nepateikta.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Įvertinkite aktyvaus tikrinimo trukmę pagal tris veiksnius

Išgalvotame plane numatyta 12 padėklų; daroma prielaida, kad kiekviename padėkle yra vidutiniškai 25 vienetai. Kiekvienas vienetas tikrinamas vieną kartą. Tarkime, kad vidutinė aktyvaus tikrinimo trukmė yra 18 s vienam vienetui ir kad vienetai tikrinami po vieną. Įvertinkite bendrą aktyvaus tikrinimo trukmę, neįskaičiuodami pasiruošimo, pertraukų ir pakartotinių patikrinimų.

Išskaidykite bendrą vienetų skaičių: 12 trays × 25 pieces/tray = 300 pieces.
Padauginkite iš numanomos vieno vieneto tikrinimo trukmės: 300 pieces × 18 s/piece = 5400 s.
Perskaičiuokite į minutes, naudodami 60 s vienai minutei: 5400 s / (60 s/min) = 90 min.
Užrašykite rezultatą kaip 5.4 × 10^3 s. Apytikriai tai yra apie 5 × 10^3 s, arba keli tūkstančiai sekundžių. Nesuapvalintas modelio rezultatas yra 5400 s.

Pagal pasirinktus įvesties dydžius aktyvaus tikrinimo trukmė yra 5400 s, arba 90 min. Pagal mūsų susitarimą ji patenka į tūkstančių sekundžių intervalą. Suapvalinta išraiška atitinka numatytą apytikrį įvertį; nei skaičiavimas, nei jo rezultato skaitmenys nenustato tikrosios tikrinimo trukmės. Norint nustatyti bendrą atlikimo trukmę, reikėtų įtraukti ir visas neįskaičiuotas laiko sąnaudas.

Nustatykite bendro tūrio ribas pagal du teigiamus įvesties dydžius

Tarkime, kad pagal išgalvotą pripildymo planą naudojama nuo 25 iki 35 indų imtinai, kiekvienas jų pripildomas vieną kartą, o vidutinis skysčio tūris viename inde yra nuo 0.15 L iki 0.25 L imtinai. Reprezentatyviajam įverčiui naudokite 30 indų ir 0.20 L vienam indui. Ieškomas dydis yra į indus supilto skysčio tūris, neįskaitant išsiliejusio ar kitur likusio skysčio. Koks įvertis ir kokios sąlyginės ribos gaunamos?

Naudokite total fill volume = vessel count × average fill volume per vessel. Skaičiuojamų objektų žymenys susiprastina, lieka litrai.
Naudojant reprezentatyviąsias įvesties vertes, gaunama 30 × 0.20 L = 6 L.
Kai daugikliai teigiami, apatinė riba yra 25 × 0.15 L = 3.75 L, o viršutinė – 35 × 0.25 L = 8.75 L.
Naudojant lygybę 1 L = 1000 mL, gaunamos tos pačios ribos: 3750–8750 mL. Pakeitus vienetą, pasikeičia skaitinė skalė, bet ne tūriai.

Reprezentatyvusis įvertis yra 6 L, o sąlyginės modelio ribos – 3.75–8.75 L imtinai. Šios tikslios intervalų galinių verčių sandaugos gaunamos iš nustatytų intervalų. Tai nėra išmatuoti tūriai, 95 % pasikliautinasis intervalas ar teiginys, kad vertės, artimos 6 L, yra labiau tikėtinos. Ribos apima tik apibrėžtą į indus supilto skysčio tūrį.

Nuspręskite, kurio įvesties dydžio prielaidą verta patikrinti

Atskirame išgalvotame nuosekliosios patikros modelyje yra 180–220 užduočių, o vidutinis aktyvaus darbo laikas vienai užduočiai yra 8–32 s; visos intervalų galinės vertės įskaitomos. Kaip reprezentatyviąsias įvesties vertes naudokite 200 užduočių ir 20 s vienai užduočiai. Palyginkite šių dviejų įvesties intervalų poveikį aktyvaus darbo laikui. Ar šis modelis garantuoja, kad aktyvaus darbo laikas neviršys 5000 s?

Reprezentatyvusis rezultatas yra 200 × 20 s = 4000 s.
Vidutinį laiką laikykite lygų 20 s ir keiskite užduočių skaičių: gaunama nuo 180 × 20 s = 3600 s iki 220 × 20 s = 4400 s. Galinių verčių santykis yra 4400/3600 = 11/9, apytiksliai 1.22.
Užduočių skaičių laikykite lygų 200 ir keiskite vidutinį laiką: gaunama nuo 200 × 8 s = 1600 s iki 200 × 32 s = 6400 s. Galinių verčių santykis yra 6400/1600 = 4.
Leiskite abiem įvesties dydžiams kisti savo intervaluose: sąlyginės ribos yra 180 × 8 s = 1440 s ir 220 × 32 s = 7040 s.
Šiame palyginime numanomas vienos užduoties trukmės intervalas turi didesnį dauginamąjį poveikį. Patikrinkite šį pradinį duomenį ir nuoseklaus užduočių atlikimo laiko modelį, prieš laikydami reprezentatyvų rezultatą garantija dėl atlikimo trukmės.

Atskirai tikrinant vidutinės trukmės intervalą, atsakymas pasikeičia 4 kartus; tikrinant kiekio intervalą – maždaug 1.22 karto. Visas sąlyginis intervalas yra 1440–7040 s, įskaitant abu galus. Kadangi į jį patenka didesnės nei 5000 s vertės, nurodytas modelis negarantuoja, kad leistina aktyvaus darbo laiko riba nebus viršyta. Ribos viršijimo tikimybė nebuvo apskaičiuota.

Pabandykite patys

Užrašykite nurodytą 0.0063 s trukmę standartine skaičiaus išraiška ir nustatykite jos dydžio eilės intervalą pagal šios pamokos susitarimą. Jei 1 ms = 0.001 s, ar užrašius ją kaip 6.3 ms trukmė pasikeičia?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
0.0063 s = 6.3 × 10^-3 s; ši trukmė patenka į 10^-3 s dydžio eilės intervalą. Ji taip pat lygi 6.3 ms – trukmė nepasikeičia.
Koeficientas 6.3 yra intervale nuo 1 imtinai iki 10 neimtinai. Dydžio eilės intervalas tęsiasi nuo 0.001 s imtinai iki 0.01 s neimtinai. Dalijant iš 0.001 s vienai milisekundei, pasikeičia skaitinė išraiška matavimo vienetais, o ne pats dydis.
Du nurodyti teigiami ilgiai yra 9 × 10^4 m ir 9 × 10^2 m. Kiek kartų pirmasis yra didesnis? Kiek nuoseklių dešimteriopų skirtumų tai atitinka?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jis yra 100 kartų didesnis; tai atitinka du nuoseklius dešimteriopus skirtumus.
Išreiškus tuo pačiu matavimo vienetu, santykis yra 90 000/900 = 100 = 10 × 10. Vienodi koeficientai susiprastina. Jei koeficientai nevienodi, lyginant vien laipsnius būtų praleista dalis santykio.
Sugalvotame modelyje kiekviename iš 5 stelažų yra po 16 objektų. Su kiekvienu objektu atliekama viena 30 s trukmės užduotis; užduotys atliekamos po vieną, be pasiruošimo, tarpų ar pakartojimų. Koks bendras aktyvaus darbo laikas gaunamas sekundėmis ir minutėmis?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
2400 s, arba 40 min.
Objektų skaičius yra 5 × 16 = 80. Tuomet 80 × 30 s = 2400 s, o 2400 s / (60 s/min) = 40 min. Kiekvieną objektą skaičiuojant vieną kartą ir nurodant, kad užduotys atliekamos nuosekliai, suma atitinka apibrėžtą laiką. Tai pateikti modelio pradiniai duomenys.
Pagal sugalvotą planą vieną kartą pripildoma 10–12 indų, o vidutinis vienam indui tenkantis tūris yra 0.40–0.50 L; įtraukiami visi intervalų galai. Pripildymui reikalingam tūriui taikomas sandaugos modelis. Kokios jo ribos ir ar 5 L atsargų būtinai pakaks šiam tūriui?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ribos yra 4–6 L, įskaitant galines reikšmes. Negarantuojama, kad turimo 5 L kiekio pakaks kiekvienam leistinam pripildymo tūriui.
Teigiamų ribinių reikšmių sandaugos yra 10 × 0.40 L = 4 L ir 12 × 0.50 L = 6 L. Leistinas viršutinis rezultatas viršija 5 L. Ši išvada susijusi su užduotyje apibrėžtu pripildymo modeliu; nepateikta nei tikimybė, nei papildomas kiekis išsiliejimui kompensuoti.
Pagal užduotyje apibrėžtą aktyvaus darbo trukmės modelį gaunama 1000 s. Atskiras užduotyje apibrėžtas pasiruošimo etapas trunka 600 s ir vyksta prieš aktyvų darbą; šie etapai nepersidengia, o kitų uždelsimų nėra. Kokia patikslinta bendra trukmė? Ar daugiau skaitmenų pradiniame aktyvaus darbo trukmės skaičiavime ištaisytų šį praleidimą?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
1600 s. Daugiau skaitmenų neįtrauktų praleisto pasiruošimo etapo.
Kadangi šie trukmės dėmenys nepersidengia, sudėkite 600 s + 1000 s = 1600 s. Ši pataisa pakeičia bendrą trukmę aprašantį sąryšį. Nepilno modelio skaitinis tikslumas negali kompensuoti praleisto dėmens.
Dviejų tūrių sąlyginiai modelių intervalai yra 4–6 L ir 8–10 L, įskaitant galines reikšmes. Ar pirmasis tūris būtinai mažesnis, jei galioja abu modeliai ir įvesties ribos? Ar tokia tvarka vis dar išplauktų, jei antrasis intervalas būtų 5–9 L?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Taip, lyginant 4–6 L su 8–10 L. Lyginant 4–6 L su 5–9 L, garantuota tvarka neišplaukia.
Pirmuoju atveju net didžiausias pirmasis tūris, 6 L, yra mažesnis už mažiausią antrąjį tūrį, 8 L. Pakeisti intervalai persidengia: leistini pasirinkimai yra pirmasis tūris 6 L ir antrasis 5 L arba pirmasis 4 L ir antrasis 9 L. Šiems pasirinkimams tikimybės nepriskirtos.

Ką verta įsidėmėti

Prieš pasirinkdami įvertinimo įvesties duomenis, apibrėžkite dydį ir tai, kas į jį įtraukiama.
Nurodydami dydžio eilės mastelį, įvardykite matavimo vienetą ir taikomą susitarimą.
Išskaidykite klausimą į aiškiai apibrėžtus veiksnius, tada patikrinkite skaičiavimą, matavimo vienetus ir aritmetiką.
Teigiamų dydžių sandaugos ribinės reikšmės suteikia sąlygines ribas, kai galioja įvesties ribos ir modelis.
Priimtos ribos ir reprezentatyvūs įverčiai nesuteikia matavimo duomenų ir nepagrindžia statistinio pasikliovimo.
Patikrinkite didelę įtaką turinčių įvesties dydžių intervalus ir neįtrauktus indėlius, atsižvelgdami į sprendimą, kurį įvertis turi pagrįsti.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.