Dvimatis ir trimatis judėjimas

Sekite vieną tašką plokštumoje

Pradžioje taškas yra 1 m į kairę nuo nekintamos koordinačių pradžios ir 3 m virš jos. Po vienos sekundės jis yra 1 m į dešinę ir 2 m virš jos. Pakito abi jo koordinatės: +2 m horizontaliąja kryptimi ir −1 m vertikaliąja kryptimi. Vienu padėties skaičiumi negalima nurodyti abiejų padėčių.

Pasirinkite teigiamą x kryptį į dešinę, o teigiamą y kryptį – aukštyn; ašys turi būti statmenos, o koordinatės matuojamos metrais. Padėtį užrašykite kaip sutvarkytą porą (x, y): pirmoji vieta skirta x, antroji – y. Mūsų dvi padėtys yra (−1, 3) m ir (1, 2) m. Po poros parašytas m taikomas abiem jos elementams.

Sekame vieną pasirinktą tašką, o ne kintantį matmenis turinčio kūno kontūrą. Laikas t – tai nuo nurodytos pradžios praėjęs laikas, matuojamas sekundėmis. Koordinačių pradžia ir ašių kryptys visą šią pamoką nekinta. Judėjimas bus aprašytas tikslia mokomąja formule, o ne atkurtas iš išmatuotų taškų.

Nurodykite koordinačių funkcijas

Kai 0 ≤ t ≤ 2 s, duotos funkcijos x(t) = −1 m + (2 m/s)t ir y(t) = 3 m − (1 m/s²)t². Simbolis x(t) reiškia x koordinatę laiko momentu t. Kiekvieno sudedamojo vienetas yra m: greičio koeficientą padauginus iš laiko arba pagreičio matmenis turintį koeficientą padauginus iš laiko kvadrato, gaunamas ilgis.

Kad būtų patogu įstatyti reikšmes, pažymėkime τ = t/(1 s) – bedimensę skaitinę laiko sekundėmis reikšmę. Tuomet x = (−1 + 2τ)m ir y = (3 − τ²)m. Kai t = 1 s, τ = 1, todėl (x, y) = (1, 2) m. Kai t = 2 s, padėtis yra (3, −1) m. Šios formulės apibrėžia visą trajektoriją nurodytame intervale, o ne tik tris išvardytas padėtis.

Padėties vektorius r nukreiptas iš koordinačių pradžios į tašką. Naudojant šias nekintamas kryptis, r = x eₓ + y eᵧ, kur eₓ ir eᵧ yra statmeni vienetinio modulio vektoriai, nukreipti teigiamomis ašių kryptimis. Jie nurodo kryptis ir neturi fizikinio matavimo vieneto. Koordinatės x ir y su savo ženklais yra skaliarinės komponentės, o x eₓ ir y eᵧ – vektorinės komponentės.

Atimkite galinių taškų koordinates

Poslinkis Δr yra galutinės ir pradinės padėties skirtumas. Simbolis Δ reiškia pokytį. Nuo 0 s iki 2 s, Δx = 3 m − (−1 m) = 4 m ir Δy = −1 m − 3 m = −4 m. Taigi Δr = (4, −4) m: į dešinę ir žemyn. Atimkite atitinkamas komponentes toje pačioje nekintamoje koordinačių sistemoje.

Modulis |Δr| yra neneigiamas šio vektoriaus ilgis. Kadangi mūsų ašys statmenos, pagal Pitagoro teoremą |Δr| = √(Δx² + Δy²) = √(32 m²) = 4√2 m. Kvadratinės šaknies simbolis nurodo neneigiamą šaknį. Komponenčių suma, atsižvelgiant į jų ženklus, 4 m + (−4 m) = 0 m nėra šis ilgis.

Poslinkis nustatomas pagal galinius taškus. Nueitas kelias nustatomas pagal tikrosios trajektorijos ilgį. Kreiva trajektorija tarp galinių taškų yra ilgesnė už juos jungiančią tiesią atkarpą. Sujungę tris parodytas padėtis, neapskaičiavome kelio šia kreiva trajektorija.

Raskite kitimo spartą ir greičio modulį

Vidutinis vektorinis greitis per nenulinį laiko intervalą gaunamas kiekvieną poslinkio komponentę padalijus iš praėjusio laiko. Momentinis greitis yra ribinė padėties kitimo sparta, kai intervalas aplink nagrinėjamą laiko momentą mažėja. Jo komponentės apibūdina judėjimą išilgai ašių tuo momentu, o padėties komponentės apibūdina vietą.

Štai vietinis mūsų kreivės skaičiavimas. Tegul h yra nenulinis laiko prieaugis, o t ir t + h priklauso 0–2 s intervalui; pažymėkime ε = h/(1 s). x skirtuminis santykis [x(t + h) − x(t)]/h yra tiksliai 2 m/s. Išskleidus (τ + ε)², gaunamas y skirtuminis santykis [y(t + h) − y(t)]/h = −(2τ + ε)m/s. Kai h artėja prie nulio, ε taip pat artėja prie nulio, todėl v = (2, −2τ)m/s. Ši ribinė kitimo sparta taip pat vadinama padėties išvestine. Intervalo gale naudokite tik vienpusę ribą iš duotojo intervalo vidaus.

Laiko momentu 1 s greitis yra (2, −2) m/s: į dešinę ir žemyn, nors padėtis (1, 2) m yra į dešinę ir aukščiau koordinačių pradžios. Greičio modulis yra greičio vektoriaus ilgis: |v| = √(vₓ² + vᵧ²). Čia jis lygus 2√2 m/s, o ne nuliui lygiai abiejų komponenčių sumai, gautai atsižvelgiant į jų ženklus. Taškas nejuda tik tada, kai kiekviena greičio komponentė lygi nuliui.

Pagreitis yra greičio kitimo sparta. Šiame pavyzdyje vₓ išlieka 2 m/s, o vᵧ per kiekvieną papildomą sekundę pakinta −2 m/s. Taigi a = (0, −2) m/s² visame duotajame intervale, o jo galuose kitimo sparta nustatoma vienpusiškai. Tai duotasis pagreitis; nenustatyta jokia jėga ar gravitacinė priežastis.

Išlaikykite trečiąją koordinatę

Dabar aprašykite antrąją trajektoriją trimatėje erdvėje. Palikite tas pačias x(t) ir y(t) ir pridėkite z(t) = 1 m + (1 m/s)t = (1 + τ)m tame pačiame 0–2 s intervale. Teigiama z kryptis yra statmena ir x, ir y kryptims, nukreipta iš x–y plokštumos į žiūrovą. Visos trys kryptys ir koordinačių pradžia lieka fiksuotos.

Užrašykite padėtį kaip R = x eₓ + y eᵧ + z e_z arba kaip sutvarkytą trejetą (x, y, z). Didžioji R skiria šią trajektoriją nuo plokščiosios. Jos greitis yra V = (2, −2τ, 1)m/s, nes z kas sekundę padidėja 1 m; jos pagreitis yra A = (0, −2, 0)m/s². Atskirų komponenčių padėtys, kitimo spartos ir vienetai turi tas pačias reikšmes kaip ir anksčiau.

Trims statmenoms kryptims Pitagoro teoremą taikykite pirmiausia x–y porai, o tada z: |V| = √(Vₓ² + Vᵧ² + V_z²). Kai laikas yra 1 s, |V| = √[(4 + 4 + 1)m²/s²] = 3 m/s. Projekcija į x–y plokštumą vis dar atrodo kaip plokščioji trajektorija, kurioje tuo metu greičio modulis yra 2√2 m/s. Praleidus z, praleista ir greičio komponentė.

Lentelėje pateiktos tikslios iš anksto nustatytos vertės. Kvadratinės šaknys kitais dviem laiko momentais paliktos tikslia forma; šie įrašai nenurodo matavimo prietaiso tikslumo. Trajektorijos aprašymas trimis koordinatėmis nereiškia, kad ji užpildo tūrį.

Projekcijos ir koordinačių kitimo grafikų skaitymas

Kairiajame skydelyje pavaizduotos erdvinės x ir y koordinatės. Vienodus atstumus metrais abiejose ašyse atitinka vienodo ilgio atkarpos. Ištisinė kreivė yra R(t) projekcija į x–y plokštumą ir kartu plokščioji trajektorija r(t). Apskritimai, rombai ir kvadratai žymi padėtis laiko momentais 0 s, 1 s ir 2 s. Grafiko viduje nulines koordinačių vertes žyminčios linijos susikerta fiksuotoje koordinačių pradžioje; apatinio kairiojo grafiko kampo koordinatės yra (−2, −2) m.

Dešiniajame skydelyje pavaizduotos x(t), y(t) ir z(t) priklausomybės nuo laiko, naudojant tą pačią laiko ašį. Judėjimas horizontaliai šiame skydelyje reiškia vėlesnį laiką, o ne erdvinę kryptį. Ištisinė mėlyna linija, brūkšninė violetinė kreivė ir taškinė žalia linija žymi tris koordinates. Norėdami nustatyti R(t), nuskaitykite visas tris koordinates tuo pačiu laiko momentu. Greta esančioje lentelėje pateiktos tos pačios pasirinktos vertės.

Laiko momentu 1 s y ir z koordinatės abi lygios 2 m, todėl jas žymi bendras rombas. Laiko momentu 2 s x ir z abi lygios 3 m, todėl jas žymi bendras kvadratas. Bendras simbolis išlaiko abi komponenčių vertes; tai nereiškia, kad trūksta koordinatės. Visos kreivės baigiasi ties 0 s ir 2 s. Jų glotni forma gaunama iš visam intervalui pateiktų funkcijų, o ne laikant tris žymeklius trajektorijos įrodymu.

Pabandykite uždengti dešiniojo skydelio z liniją. Iš erdvinės projekcijos neįmanoma nustatyti, ar z didėja, mažėja, ar yra pastovi. Pavyzdžiui, pakeitus z(t) pastovia 1 m verte, ši projekcija liktų nepakitusi, tačiau trimatis judėjimas pasikeistų.

Palyginkite maršrutą su jo galiniais taškais

Norėdami apskaičiuoti nueitą kelią netaikydami lanko ilgio skaičiavimo metodo, naudokite atskirą tiksliai apibrėžtą maršrutą. Pradėkite taške (0, 0, 0) m. Tolygiai judėkite 3 m +x kryptimi per 1 s, tada 4 m +y kryptimi per kitas 2 s, tada 12 m +z kryptimi per kitas 4 s. Kiekvienoje atkarpoje judėjimas yra tiesiaeigis ir monotoniškas, tai yra joje judėjimo kryptis nepasikeičia į priešingą. Lentelėje pateikti galiniai taškai.

Nueitas kelias yra šių teigiamų atkarpų ilgių suma: 3 m + 4 m + 12 m = 19 m. Poslinkis yra (3, 4, 12) m, o jo modulis √[(9 + 16 + 144)m²] = 13 m. Šie atsakymai apibūdina skirtingus dydžius. Visas maršrutas įveikiamas per 7 s.

Vidutinis skaliarinis greitis yra visas nueitas kelias, padalytas iš viso praėjusio laiko: 19/7 m/s. Vidutinis vektorinis greitis yra bendras poslinkis, padalytas iš to paties laiko: (3/7, 4/7, 12/7)m/s, o jo modulis yra 13/7 m/s. Kai judėjimo kryptis keičiasi, vidutinis skaliarinis greitis ir vidutinio vektorinio greičio modulis skiriasi; nė vienas iš jų negaunamas sudedant greičio komponentes.

Staigūs posūkiai yra idealizacijos. Laiko momentu 1 s greitis artėjant iš ankstesnių laiko momentų yra (3, 0, 0)m/s, o artėjant iš vėlesnių laiko momentų – (0, 2, 0)m/s. Šiame posūkio taške nėra vieno įprastinio momentinio greičio, ir neteigiama, kad jame yra baigtinis įprastinis pagreitis. Baigtinės vidutinės viso maršruto vertės išlieka aiškiai apibrėžtos.

Koordinačių modelio taikymo ribos

Mūsų glodžiosios trajektorijos aprašo x, y ir z kaip atskiras to paties laiko funkcijas. Galime apskaičiuoti kiekvienos funkcijos reikšmę ir sujungti tuo laiko momentu gautas reikšmes. Šis naudingas atskyrimas nėra teiginys apie statistinį nepriklausomumą ar taisyklė, kad fizinės priežastys niekada nesusieja judėjimo skirtingomis kryptimis.

Kai duotas pastovus pagreičio vektorius fiksuotomis Dekarto koordinačių ašių kryptimis, kiekvienai komponentei galioja pastovaus pagreičio formulė: koordinatė = pradinė koordinatė + pradinė greičio komponentė × t + ½ × pagreičio komponentė × t². Mūsų x, y ir z formulės ją atitinka, kai pradinė padėtis yra (−1, 3, 1)m, pradinis greitis – (2, 0, 1)m/s, o pagreitis – (0, −2, 0)m/s². Taikydami šią formulę, laikykitės nurodytos laiko atskaitos pradžios ir intervalo.

Trajektorija aprašo, kaip juda pasirinktas taškas. Norint paaiškinti, kodėl jis juda ta trajektorija, reikia tinkamo sąveikų ir sąlygų modelio. Kita mokymosi plano tema – Niutono dėsniai ir laisvojo kūno jėgų diagramos. Čia iš pradžių apibrėžti judėjimai leidžia mums praktikuotis su koordinatėmis ir jų kitimo spartomis, nesiremiant tuo vėlesniu paaiškinimu.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kokia yra x koordinatė plokštuminio judėjimo modelyje, kai t = 0.25 s? Ar taškas juda į kairę, ar į dešinę išilgai x ašies?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = −0.5 m; taškas juda į dešinę išilgai x ašies +2 m/s greičiu.

   Kai τ = 0.25, gauname x = (−1 + 0.5)m. Taškas yra į kairę nuo koordinačių pradžios, tačiau jo koordinatės kitimo sparta yra teigiama. Koordinatės ženklas nenulemia greičio komponentės ženklo.

2. Nurodytu pradiniu momentu t = 0 s plokštuminio judėjimo modelyje vᵧ = 0. Ar taškas yra rimties būsenoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jo greičio komponentė x ašies kryptimi yra +2 m/s, todėl jo greičio modulis plokštumoje yra 2 m/s.

   Rimties būsenoje abi greičio komponentės turi būti lygios nuliui. Kitimo spartos šiame intervalo galiniame taške yra vienpusės ribos, imamos pateikto intervalo viduje; jos nieko neteigia apie ankstesnę trajektoriją.

3. Laiko momentu 1 s greičio vektorius plokštumoje yra (2, −2)m/s. Sudėjęs komponentes, kažkas teigia, kad greičio modulis lygus nuliui. Koks yra teisingas greičio modulis ir kodėl?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   2√2 m/s. Statmenos komponentės sujungiamos naudojant jų modulių kvadratus, o ne jų sumą su ženklais.

   Greičio modulio kvadratas = (2 m/s)² + (−2 m/s)² = 8 m²/s². Priešingi komponenčių ženklai skirtingose statmenose ašyse nepanaikina vektoriaus.

4. Palyginkite R(t) su trajektorija S(t), kurios x(t), y(t) ir apibrėžimo sritis yra tokie patys, tačiau visoje apibrėžimo srityje z(t) = 1 m. Ar jų vienodos projekcijos į x–y plokštumą reiškia, kad laiko momentu 1 s jų greičio moduliai yra lygūs?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Laiko momentu 1 s R greičio modulis yra 3 m/s, o S greičio modulis – 2√2 m/s.

   R greičio komponentė V_z = 1 m/s; S greičio z komponentė lygi nuliui. Pridėjus šios trečiosios komponentės kvadratą, pasikeičia viso greičio vektoriaus norma, nors erdvinė projekcija lieka nepakitusi.

5. Judėjimo plokštumoje atveju pagal y(t) apskaičiuokite vidutinę y koordinatės kitimo spartą nuo 1 s iki 1.5 s. Ar ji lygi momentinei y koordinatės kitimo spartai ties 1 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinė y koordinatės kitimo sparta yra −2.5 m/s; momentinė kitimo sparta ties 1 s yra −2 m/s. Jos skiriasi.

   y(1 s) = 2 m, o y(1.5 s) = 0.75 m. Koordinatės pokytį −1.25 m padaliję iš 0.5 s, gauname −2.5 m/s. Ribinė greičio komponentės formulė vᵧ = −2τ m/s duoda −2 m/s, kai τ = 1.

6. Ar trijų atkarpų maršrute atstumas tarp pradžios ir pabaigos taškų 13 m gali pakeisti nueitą kelią 19 m skaičiuojant vidutinį skaliarinį greitį? Ar priskyrus posūkio taškui ties 1 s greičio vektorių prieš posūkį, tame taške atsiranda įprastas momentinio greičio vektorius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais – ne. Vidutiniam skaliariniam greičiui apskaičiuoti naudojamas 19 m kelias, o dėl nevienodų vienpusių greičio vektorių posūkio taške įprastas momentinio greičio vektorius neegzistuoja.

   Atstumas tarp pradžios ir pabaigos taškų yra poslinkio modulis, todėl |vidutinis vektorinis greitis| = 13/7 m/s. Vidutinis skaliarinis greitis yra 19/7 m/s. Pasirinkus vieną pusę staigiame posūkio taške, greičio vektoriaus dvipusė riba vis tiek neegzistuoja.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš sujungdami komponentes, nurodykite fiksuotas koordinačių ašių kryptis, koordinačių pradžią, matavimo vienetus ir laiko apibrėžimo sritį.
• Padėties, poslinkio, greičio ir pagreičio vektoriai yra skirtingi; greičio modulis yra neneigiamas greičio vektoriaus dydis.
• Kai koordinačių ašys statmenos, vektoriaus modulį lemia komponenčių kvadratai, o ne jų suma su ženklais.
• Projekcija į x–y plokštumą neapima z koordinatės. Visų trijų koordinačių kitimo duomenys tuo pačiu laiko momentu išsaugo visą trimatę padėtį.
• Nueitas kelias matuojamas išilgai maršruto, o poslinkis jungia jo pradžios ir pabaigos taškus. Todėl vidutinis skaliarinis greitis ir |vidutinis vektorinis greitis| gali skirtis.
• Atskiri komponenčių skaičiavimai nepatvirtina, kad fizikinės priežastys yra nesusietos, o idealiuose aštriuose kampuose įprasti momentiniai kitimo greičiai nebūtinai egzistuoja.