Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos

Pasirinkite vieną vežimėlį ir įvardykite jį veikiančias jėgas

Ranka stumia vežimėlį į dešinę 12 N jėga, o takas veikia jį į kairę nukreipta 3 N pasipriešinimo jėga. Ar turėtume šiuos skaičius atimti, pridėti dar vieną jėgą, nes vežimėlis juda, ar įtraukti jėgą, kuria vežimėlis veikia ranką? Pirmiausia pasirinkime kūną: mūsų sistemą sudaro tik vežimėlis. Ranka, takas ir Žemė yra už jos ribų.

Naudojame pateiktą mokomąjį modelį, kuriame masė yra pastovi: m = 3 kg. Nagrinėjant slenkamąjį judėjimą, vežimėlis vaizduojamas tašku; sukimasis, deformacija ir tikrosios sąlyčio jėgų veikimo vietos į šį modelį neįtraukiami. Pasirinkite nejudančias statmenas ašis: x nukreiptą į dešinę, o y – į viršų. Laikas t skaičiuojamas nuo nurodyto pradinio momento.

Kai 0 ≤ t ≤ 2 s, palikite tik keturias lentelėje pateiktas išorinių jėgų komponentes. Modelyje duotas žemyn nukreiptas gravitacinis pagreitis, kurio modulis g = 10 m/s², taigi Žemės traukos jėgos, veikiančios vežimėlį, modulis yra m g = 30 N. Į viršų nukreipta atramos jėga S iš pradžių nežinoma. Vežimėlio aukštis nekinta. Tai nustatytos sąlygos, o ne matavimų rezultatai ar universalios tikro tako vertės.

Susieti atstojamąją jėgą su pagreičiu

Greitis nusako padėties kitimo spartą ir kryptį; jo matavimo vienetas – m/s. Pagreitis nusako greičio kitimo spartą; jo matavimo vienetas – m/s². Šiuos vektorius žymėkime v ir a. Simbolis Δ reiškia pokytį: kai pagreitis pastovus, per laiko intervalą Δt greičio pokytis yra Δv = a Δt. Į dešinę nukreiptas greitis rodo, kad vežimėlis juda į dešinę, tačiau vien iš jo negalima nustatyti pagreičio krypties.

Mūsų dalelės, kurios masė teigiama ir pastovi, modelyje antrasis Niutono dėsnis užrašomas F_net = m a. Atstojamoji jėga F_net yra pasirinktą kūną veikiančių išorinių jėgų vektorinė suma. Šiose ašyse F_net,x = m a_x ir F_net,y = m a_y. Sutvarkytoje poroje pirmiausia nurodoma x, o po to y reikšmė; po poros parašytas matavimo vienetas taikomas abiem reikšmėms. Jėga matuojama niutonais: 1 N = 1 kg m/s². Padaliję N iš kg, gauname m/s², o ne m/s.

Daroma prielaida, kad pasirinkta atskaitos sistema yra inercinė: laisva dalelė joje išlaikytų pastovų greitį. Ši sąlyga svarbi; vien nubrėžus nejudančias ašis, ji nėra užtikrinama. Pagreitį turinčioje atskaitos sistemoje judėjimo lygtims paprastai reikia papildomų narių. Čia visais atvejais taikome jėgų balansą inercinėje atskaitos sistemoje.

Kai aukštis nekinta, a_y = 0. Kai aukštyn veikia tik S, o žemyn – 30 N jėga, S − 30 N = (3 kg)(0 m/s²), taigi S = 30 N. Horizontalia kryptimi F_net,x = 12 N − 3 N = 9 N ir a_x = 9 N/(3 kg) = 3 m/s². Vadinasi, F_net = (9, 0) N ir a = (3, 0) m/s².

Nubraižykite atskiras jėgas ir atskirai – atstojamąją

Kūno jėgų diagramoje pasirinktas kūnas atskiriamas nuo aplinkos ir parodomos jį veikiančios išorinės jėgos. Šiame taškinio kūno modelyje visas keturias rodykles brėžkite iš to paties taško ir prie kiekvienos nurodykite, kuris kūnas veikia kurį. Bendra rodyklių pradžia atitinka slenkamojo judėjimo skaičiavimą; ji nereiškia, kad tikrosios jėgos veikia tame pačiame fiziniame taške.

Abiejose paveikslo dalyse naudojamas tas pats jėgų mastelis. 30 N atramos ir sunkio jėgų rodyklės yra vienodo ilgio ir priešingų krypčių. Į dešinę nukreipta 12 N rodyklė yra keturis kartus ilgesnė už į kairę nukreiptą 3 N rodyklę. Koordinačių žymėjimas nurodo kryptis; trumpos jo linijos nėra jėgos.

Dešinėje dalyje atskirai parodyta apskaičiuota 9 N atstojamoji jėga. Nepridėkite jos kairėje dalyje kaip penktos išorinės jėgos. Taip pat greitis ir pagreitis yra kitų rūšių dydžiai, todėl jų neturi būti šiame jėgų sąraše. Atramos jėga S ir pasipriešinimo jėga R yra statmenos tako sąlyčio jėgos dedamosios; naudokite šias dvi rodykles ir papildomai nepridėkite jų bendro sąlyčio jėgos vektoriaus.

Jėgų pusiausvyra gali reikšti tolygų judėjimą

Pirmasis Niutono dėsnis teigia, kad inercinėje atskaitos sistemoje dalelės greitis išlieka pastovus, jei išorinių jėgų atstojamoji visą laiko intervalą lygi nuliui. Tai apima ir ramybės būseną, ir judėjimą tiesia linija pastoviu nenuliniu greičiu. Kuri būsena išlieka, lemia pradinis greitis.

Apsvarstykime atskirą vežimėlio modelio variantą: 12 N rankos jėgą pakeiskime 3 N jėga į dešinę ir palikime 3 N pasipriešinimo jėgą į kairę, 30 N atramos reakcijos jėgą ir 30 N sunkio jėgą. Visų komponenčių suma, atsižvelgiant į jų ženklus, lygi nuliui. Jei pradinis greitis yra (1, 0) m/s, jis išlieka (1, 0) m/s visą nurodytą laiko intervalą. Ši dalelė juda būdama slenkamojo judėjimo pusiausvyroje.

Teiginys, kad greitis vienu laiko momentu lygus nuliui, reiškia ką kita. Dalelė gali akimirką būti rimties būsenos, nors jos greitis kinta. Nenuliniam greičiui taip pat nereikia papildomos „judėjimo jėgos“: nustatykite sąveikas, o ne išgalvokite jėgą pagal judėjimo kryptį.

Trečiojo dėsnio poros veikia du objektus

Šiame Niutono mechanikos modelyje trečiasis Niutono dėsnis susieja tarpusavio sąveikos jėgas į poras: jėga, kuria A veikia B, yra tokio paties didumo ir priešingos krypties nei jėga, kuria B veikia A. Jėgų žymėjimuose veikiantis objektas ir objektas, kurį jėga veikia, susikeičia vietomis. „Veiksmas“ ir „atoveiksmis“ įvardija vienu metu veikiančias poros jėgas; jie nereiškia ankstesnio stūmimo ir po jo sekančio vėlesnio atsako.

Pagrindinį vežimėlį veikianti aukštyn nukreipta atramos reakcijos jėga ir žemyn nukreipta sunkio jėga nėra trečiojo Niutono dėsnio jėgų pora. Abi veikia vežimėlį. Žemės žemyn nukreiptai jėgai, veikiančiai vežimėlį, porinė jėga yra vežimėlio aukštyn nukreipta gravitacinė jėga, veikianti Žemę. Tako aukštyn nukreiptai atramos reakcijos jėgai, veikiančiai vežimėlį, porinė jėga yra vežimėlio žemyn nukreipta jėga, veikianti taką.

A ir B kūnams pasirinkite atskiras diagramas ir kiekvienoje pažymėkite atitinkamą poros jėgą. Šios poros jėgos nepanaikina nė vieną iš kūnų veikiančios jėgos. Jei abu kūnai yra vienos bendros sistemos ribose, šios poros sąveika yra vidinė, o poros jėgos bendroje tos sistemos jėgų sumoje viena kitą panaikina. Kitas išorines jėgas vis tiek reikia nustatyti.

Nežinomų jėgų nustatymas pagal sąlygas

Vien antrojo Niutono dėsnio nepakanka visų jėgų dydžiams nustatyti. Spyruoklės, trinties, gravitacinei ar kitokios sąveikos jėgai nustatyti reikia tinkamo jėgos modelio arba pateiktos informacijos. Mūsų 12 N stūmimo jėga ir 3 N sąlyčio pasipriešinimo jėga yra duotos. Neišvedėme trinties dėsnio ir neteigėme, kad pasipriešinimo jėga visada yra tokio dydžio ar krypties.

Čia atramos reakcijos jėga lygi m g, nes vertikalusis pagreitis lygus nuliui, o į modelį neįtraukta jokia kita vertikali jėga. Kad pamatytumėte, kodėl ši sąlyga svarbi, pakeiskite modelį vienu laiko momentu: palikite m = 3 kg ir 30 N sunkio jėgą, bet nurodykite aukštyn nukreiptą pagreitį a_y = 2 m/s², kai vertikaliai veikia tik atramos reakcijos ir sunkio jėgos. Tada S − 30 N = (3 kg)(2 m/s²), todėl S = 36 N. „Normalinė“ reiškia statmeną sąlyčio paviršiui, o ne savaime lygią sunkio jėgai.

Išsamiai skaičiuojant jėgas nurodoma, kurie dydžiai duoti, o kurie apskaičiuojami, ir patikrinama, ar rezultatas atitinka modelio apribojimus. Nei nubrėžtų rodyklių ilgiai, nei aritmetiniai skaičiavimai neįrodo, kad tikrą vežimėlį veikia būtent tokios jėgos.

Nuosekliai rinkitės kryptį, kūną ir laiką

Kiekvieną skaičiavimą pradėkite nurodydami kūną ir laiko momentą arba intervalą. Išvardykite išorines sąveikas, pasirinkite ženklus ir sudėkite atitinkamas vektorių komponentes. Atstojamąją jėgą padalykite iš to kūno teigiamos, pastovios masės. Pradinį greitį naudokite tik tada, kai užduotyje taip pat klausiama, kaip keičiasi greitis.

Horizontaliųjų jėgų moduliai 12 N ir 3 N nesudaro 15 N jėgos, nukreiptos į dešinę: komponentės su ženklais yra +12 N ir −3 N. Taip pat pagal trečiąjį Niutono dėsnį ranką veikiančios jėgos negalima įtraukti į vežimėlį veikiančių jėgų balansą. Sumaišius kūnus, kuriuos veikia jėgos, sistema pakeičiama to nenurodant.

Lygtyje F_net = m a, kai m teigiama, atstojamosios jėgos ir pagreičio kryptys sutampa. Greičio kryptis gali būti kitokia. Atskirai nurodytu laiko momentu 3 kg masės vežimėlį, judantį į dešinę 2 m/s greičiu, gali veikti 12 N stūmimo jėga į dešinę ir 15 N pasipriešinimo jėga į kairę. Jo horizontalioji atstojamoji jėga yra −3 N, o a_x = −1 m/s². Tuo momentu jis juda į dešinę ir lėtėja; šiame pavyzdyje nenurodomas nei vėlesnis pasipriešinimo dėsnis, nei trajektorija.

Paisykite Niutono modelio taikymo ribų

Šie pavyzdžiai nagrinėja pastovios masės materialiojo taško slenkamąjį judėjimą atskaitos sistemoje, kuri laikoma inercine. Tikras matmenis turintis kūnas taip pat gali suktis ar deformuotis. Vien nulinė atstojamoji jėga nepatvirtina visiškos jo mechaninės pusiausvyros; sukimosi pusiausvyra yra atskiras klausimas. Mūsų taškinėse schemose, kuriose visos jėgų rodyklės prasideda tame pačiame taške, šis klausimas aiškiai paliekamas nuošalyje.

Niutono mechanika yra artinys, taikomas tada, kai nagrinėjamam klausimui ir reikiamam tikslumui reliatyvistinių bei kvantinių efektų galima nepaisyti. Judėjimui greičiu, artimu šviesos greičiui, ir elgsenai, kuriai būtinas kvantinis aprašymas, reikia kitų modelių. Viena greičio ar dydžio ribinė vertė nenulemia modelio tinkamumo visose situacijose.

Šiuos atvejus galite išnagrinėti naudodami aritmetinius veiksmus su ženklais, vektorius ir Δv = a Δt, kai pagreitis pastovus; diferencialinio ir integralinio skaičiavimo nereikia. Kitoje pamokoje „Trintis, įtempimas, pasipriešinimas, spyruoklės ir kontaktinės jėgos“ nagrinėjami čia pateikti jėgų modeliai. Ji gali patikslinti jėgų sąrašą nepridedant jėgos vien todėl, kad kas nors juda.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tam tikru momentu 3 kg masės vežimėlio greitis yra v_x = +2 m/s, jį veikia +12 N rankos jėga ir −15 N pasipriešinimo jėga. Kitos jėgų dedamosios atsveria viena kitą. Raskite a_x ir pasakykite, ar vežimėlis tuo momentu jau būtinai turi judėti į kairę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a_x = −1 m/s². Tuo momentu vežimėlis juda į dešinę.

   Horizontali atstojamoji jėga yra 12 N − 15 N = −3 N; padaliję iš 3 kg, gauname −1 m/s². Greičio ir pagreičio ženklai skiriasi. Tolesniam judėjimui nustatyti reikia laiko intervalo modelio, kuris nepateiktas.

2. Prie keturių pagrindinį vežimėlį veikiančių jėgų pridėjus atskirai pavaizduotą 9 N atstojamąją jėgą, gaunama 18 N jėga, nukreipta į dešinę. Kokia klaida padaryta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tos pačios sąveikos įskaičiuotos du kartus. Teisinga atstojamoji jėga tebėra 9 N, nukreipta į dešinę.

   9 N rodyklė žymi apskaičiuotą P, R, S ir W sumą, o ne penktąją sąveiką. Vien vežimėliui sudarytame jėgų sąraše yra keturios išorinių jėgų rodyklės.

3. Kitu nurodytu momentu m = 3 kg, sunkio jėga yra 30 N, nukreipta žemyn, o a_y = +2 m/s². Vertikaliai veikia tik sunkio jėga ir statmena atramos reakcijos jėga. Raskite į viršų nukreiptą atramos reakcijos jėgą S.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S = 36 N, nukreipta į viršų.

   S − 30 N = (3 kg)(2 m/s²) = 6 N. Taigi S = 36 N. Pagrindinio pavyzdžio pastovaus aukščio sąlyga pakeista, todėl S = 30 N nebegalima naudoti.

4. Inercinėje atskaitos sistemoje dalelę, kurios masė teigiama ir pastovi, visą laiko intervalą veikia nulinė atstojamoji jėga, o jos pradinis greitis yra (1, 0) m/s. Ar ji yra rimties būsenos? Ir atvirkščiai: ar vienu laiko momentu stebimas greitis v = (0, 0) m/s leidžia nustatyti, kad atstojamoji jėga lygi nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ji nėra rimties būsenos: jos greitis išlieka (1, 0) m/s. Vien nulinis momentinis greitis neleidžia nustatyti, kad jėga lygi nuliui.

   Jėgos sąlyga, galiojanti visą laiko intervalą, nustato nulinį pagreitį, o ne pradinį greitį. Vienu laiko momentu nulinis greitis gali kisti, todėl vis tiek reikia pagreičio arba jėgos sąlygos.

5. Kuri jėga pagrindiniame vežimėlio modelyje pagal trečiąjį Niutono dėsnį sudaro porą su tako į viršų nukreipta 30 N atramos jėga, veikiančia vežimėlį? Ar šią porą sudaro Žemės į apačią nukreipta 30 N jėga, veikianti vežimėlį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Porą sudaro vežimėlio į apačią nukreipta 30 N jėga, veikianti taką. Žemės jėga, veikianti vežimėlį, šios poros nesudaro.

   Trečiojo Niutono dėsnio jėgų poroje tie patys du kūnai apsikeičia veikiančiojo ir veikiamojo kūno vaidmenimis. Vežimėlio jėgų diagramoje ir atramos, ir sunkio jėga veikia vežimėlį, tačiau kyla iš skirtingų sąveikų.

6. Nagrinėkite 2 kg masės kūno A ir 4 kg masės kūno B sąveikos atvejį. Besimokantysis teigia, kad abiejų kūnų pagreičio modulis yra 3 m/s², nes jų sąveikos jėgų moduliai yra vienodi. Pataisykite šį teiginį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kūno A pagreitis išilgai x ašies yra −3 m/s², o kūno B – +1.5 m/s². Jų pagreičių moduliai skiriasi.

   Kiekvienos jėgos 6 N modulis dalijamas iš kūno, kurį ji veikia, masės. Vienodo modulio ir priešingų krypčių sąveikos jėgos nereiškia, kad masės ar pagreičiai yra vienodi. Teiginys taikomas tik nurodytam laiko momentui.

Ką verta įsidėmėti

• Pasirinkite kūną ir, prieš sumuodami dedamąsias, įvardykite kiekvieną išorinę jėgą, nurodydami, kuris kūnas ją sukelia ir kurį kūną ji veikia.
• Niutoniniame dalelės, kurios masė teigiama ir pastovi, modelyje ir inercinėje atskaitos sistemoje lygtis F_net = m a susieja atstojamąją jėgą su pagreičiu.
• Atstojamoji jėga yra apskaičiuotas vektorius, o ne dar viena sąveika, kurią reikėtų įtraukti į tą patį jėgų sąrašą.
• Kai jėgos tam tikrą laiko intervalą yra subalansuotos, greitis gali būti pastovus ir nelygus nuliui; pats judėjimas nesukuria papildomos jėgos.
• Trečiojo dėsnio jėgų poros veikia skirtingus kūnus. Vienodi jėgų moduliai gali lemti skirtingus pagreičių modulius.
• Ryšiai ir jėgų modeliai lemia nežinomuosius; taškinio kūno jėgų diagramos ir Niutono mechanikos artiniai turi nurodytas taikymo ribas.