Vienmatė kinematika

Vežimėlis grįžta, bet yra nuvažiavęs kelią

Įsivaizduokite pažymėtą tašką ant vežimėlio, judančio tiesiu takeliu. Pasirinkite nekintamą koordinačių ašį x, kurioje koordinatė didėja į dešinę. Laiko atskaitos pradžioje taško koordinatė yra 2 m, o jis juda į kairę 3 m/s greičiu. Tarkime, kad per kitas 3 s jo pagreitis yra pastovus, lygus 2 m/s² ir nukreiptas į dešinę. Tai tikslios mokymui skirtos prielaidos, o ne pateikti vežimėlio stebėjimo duomenys.

Taškas iš pradžių lėtėja, pakeičia judėjimo kryptį ir grįžta į 2 m padėtį laiko momentu 3 s. Jo galutinė koordinatė lygi pradinei, tačiau jis judėjo takeliu. Apskaičiuosime krypties pasikeitimo momentą ir nueitą kelią, tada šį skirtumą paaiškinsime pasitelkę du priklausomybės nuo laiko grafikus. Kinematika aprašo šį judėjimą; jį sukeliančių jėgų nustatymas yra atskiras klausimas.

Naudinga iš anksto mokėti įstatyti reikšmes, atlikti aritmetinius veiksmus su teigiamais ir neigiamais skaičiais ir išlaikyti vienetus sandaugose bei santykiuose. Šį parengiamąjį turinį pateikia paskelbtos temos „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Čia reikalingi judėjimą apibūdinantys dydžiai ir samprotavimas remiantis grafikais pristatomi vietoje. Pradėkite nuo vežimėlio ir jo lentelės; matematinė analizė yra neprivalomas būdas grįžti prie kitimo greičio ir ploto argumentų.

Apibrėžkite koordinatę, laiko atskaitą ir kitimo greičius

Viso judėjimo metu stebėkite tą patį pažymėtą tašką ir nurodykite nejudančią atskaitos sistemą bei ašį. Neigiama koordinatė reiškia padėtį neigiamoje pasirinktos koordinačių pradžios pusėje; neigiamas greitis reiškia judėjimą koordinačių mažėjimo kryptimi. Tai skirtingi teiginiai. Mūsų vežimėlio padėties koordinatė gali būti teigiama, nors jis juda į kairę. Modelis aprašo šią vieną koordinatę, bet neaprašo vežimėlio dydžio, sukimosi ar jėgų.

Praėjusį laiką žymėkime t; nurodytu pradiniu momentu t = 0. Pradinė padėtis x₀ ir pradinis greitis v₀ atitinka tą patį įvykį. Intervalui t₁ < t₂ poslinkis yra Δx = x(t₂) − x(t₁), o vidutinis greitis yra Δx/(t₂ − t₁). Simbolis Δ reiškia skirtumą. Greičio matavimo vienetas yra m/s; momentinio greičio modulis yra |v| ir negali būti neigiamas.

Momentinis greitis yra vietinė padėties kitimo sparta: padėčių skirtumo ir atitinkamo laiko skirtumo santykio riba, kai ši riba egzistuoja. Pagreitis yra vietinė greičio kitimo sparta, kurios matavimo vienetas yra m/s². Padėties priklausomybės nuo laiko grafike greitis yra vietinis nuolydis; greičio priklausomybės nuo laiko grafike pagreitis yra vietinis nuolydis. Grafiko aukštis rodo vertikaliojoje ašyje pažymėto dydžio vertę, o ne to dydžio kitimo spartą. Čia pateikti glodieji modeliai turi šias kitimo spartas savo apibrėžimo sričių viduje ir tolydžias vienpuses kitimo spartų reikšmes pavaizduotuose galiniuose taškuose.

Pradėkite nuo pastovaus greičio atvejo patikros

Kai greitis su ženklu u yra pastovus, per vienodus laiko tarpus poslinkiai yra vienodi: x(t) = x₀ + ut. Sandaugos ut matavimo vienetas yra (m/s)s = m, todėl ją galima pridėti prie padėties koordinatės. Greitis išlieka u, o pagreitis lygus nuliui. Vien pastovus greičio modulis nereikštų pastovaus greičio su ženklu, jei kryptis keistųsi.

Kaip atskirą pavyzdį imkime x₀ = −1 m ir u = +0.5 m/s, kai 0 ≤ t ≤ 4 s. Laiko momentu 4 s, x = −1 m + (0.5 m/s)(4 s) = 1 m. Poslinkis yra 2 m. Kadangi šiame intervale taškas juda tik į dešinę, jo nueitas kelias taip pat yra 2 m, o vidutinis greitis su ženklu ir vidutinis greičio modulis abu lygūs 0.5 m/s.

Padėties grafikas yra tiesė, kurios nuolydis yra +0.5 m/s, o greičio grafikas yra horizontali tiesė ties +0.5 m/s. Šis paprastas atvejis leidžia patikrinti nuolydžio, aukščio ir matavimo vienetų prasmę prieš įtraukiant pagreitį. Lygtis naudojama tik nurodytoje 0–4 s apibrėžimo srityje.

Remkitės pastovaus pagreičio prielaida

Pastovus pagreitis a reiškia, kad per kiekvieną laiko tarpą Δt greitis su ženklu pakinta dydžiu aΔt. Pradėjus nuo t = 0, gaunama v(t) = v₀ + at. Taigi greičio priklausomybės nuo laiko grafikas yra tiesė. Jo vidurkis intervale yra intervalo galinių reikšmių aritmetinis vidurkis: ankstesnių ir vėlesnių reikšmių, vienodai nutolusių nuo intervalo vidurio, porų sumos yra vienodos. Šiai galinių reikšmių vidurkio taisyklei būtina afininė greičio priklausomybė, kurią užtikrina pastovus pagreitis.

Poslinkis lygus vidutinio greičio ir trukmės sandaugai. Kai t > 0, nuo 0 iki t, Δx = [(v₀ + v(t))/2]t = v₀t + (1/2)at². Taigi x(t) = x₀ + v₀t + (1/2)at²; kai t = 0, ši padėties formulė duoda x₀. Daugiklis 1/2 yra bedimensis; at² matavimo vienetas yra m. Pagreitis turi būti pastovus visame intervale, o ne tik jo pradžioje ir pabaigoje. Jei pagreitis kinta, judėjimą reikia apskaičiuoti kitaip.

Mūsų vežimėliui x₀ = 2 m, v₀ = −3 m/s ir a = +2 m/s², kai 0 ≤ t ≤ 3 s. Įstatę šias reikšmes gauname x(t) = 2 m − (3 m/s)t + (1 m/s²)t² ir v(t) = −3 m/s + (2 m/s²)t. Teigiamas pagreitis didina greitį su ženklu. Kol v yra neigiamas, jo modulis dėl to mažėja; kai v tampa teigiamas, modulis didėja. Teigiamas pagreitis ne visada reiškia didėjantį greičio modulį.

Padėtį ir greitį nuskaitykite pagal tą patį laiką

Prieš pažvelgdami į abu grafikus, numatykite, kuri padėties kreivės dalis leidžiasi žemyn. Abi horizontaliosios ašys rodo tą patį praėjusį laiką nuo 0 iki 3 s. Viršutinė vertikalioji ašis rodo padėtį metrais, o apatinė – greitį metrais per sekundę. Grafikų aukščiai ir vertikaliųjų ašių skalės turi skirtingas reikšmes. Viršutinė brūkšninė pagalbinė linija jungia vienodas pradinę ir galinę padėtis; ji yra koordinačių atskaitos linija, o ne vežimėlio judėjimo grafikas.

Padėties kreivė pasiekia minimumą, kai jos nuolydis lygus nuliui, praėjus 1.5 s. Tuo pačiu metu greičio tiesė kerta nulį. Tuščiaviduriai apskritimai žymi pradžią, rombai – judėjimo krypties pasikeitimą, o kvadratai – pabaigą. Prieš krypties pasikeitimą greitis yra neigiamas, o po jo – teigiamas. Vežimėlis pakeičia judėjimo kryptį todėl, kad šiame modelyje greitis keičia ženklą, o ne vien todėl, kad akimirką jo greitis lygus nuliui.

Plotas su ženklu tarp greičio tiesės ir nulinio greičio ašies nusako poslinkį. Čia kiekviena dalis yra trikampis, todėl pakanka paprastų skaičiavimų dauginant pagrindą iš aukščio: −(1/2)(1.5 s)(3 m/s) = −2.25 m prieš krypties pasikeitimą ir +(1/2)(1.5 s)(3 m/s) = +2.25 m po jo. Šie poslinkiai vienas kitą panaikina. Jų modulių suma lygi nueitam keliui, nes kiekvienoje šio judėjimo dalyje judama viena kryptimi. Trikampio ploto matavimo vienetai yra metrai; tai nėra fizinis plotas trasoje.

Prieš sudėdami kelius, raskite krypties pasikeitimą

Išspręskite lygtį v(t) = 0: −3 m/s + (2 m/s²)t = 0, iš kurios gauname t = 1.5 s. Šis laikas patenka į 0–3 s intervalą. Įstatę jį į x(t), gauname −0.25 m. Patikrinkite greičio ženklus prieš šį momentą ir po jo: iki šio momento taškas juda į kairę, o po jo – į dešinę. Už nurodyto intervalo ribų rasta greičio nulinė vertė nepatvirtintų, kad šiame intervale judėjimo kryptis pasikeičia.

Pirmoje judėjimo atkarpoje taškas juda nuo 2 m iki −0.25 m ir nueina 2.25 m kelią. Antroje jis juda nuo −0.25 m atgal iki 2 m ir nueina dar 2.25 m. Visas kelias yra 4.5 m; bendras poslinkis yra 2 m − 2 m = 0 m. Per 3 s vidutinis greičio modulis yra 4.5 m/3 s = 1.5 m/s, o vidutinis greitis yra 0 m/3 s = 0 m/s.

Pašalinę laiką iš judėjimo su pastoviu pagreičiu lygčių, taip pat gauname v² = v₀² + 2a(x − x₀). Tai gali būti naudinga, kai laikas nežinomas, tačiau pakėlus kvadratu greičio ženklas neišlieka. Mūsų modelyje x = 0 m ir laiko momentu 1 s, ir laiko momentu 2 s, o greičiai yra atitinkamai −1 m/s ir +1 m/s. Greičio ženklą pasirinkite atsižvelgdami į laiką, kryptį ir apibrėžimo sritį; iš įpročio paėmę teigiamą kvadratinę šaknį, galite pasirinkti ne tą judėjimo atkarpą.

Atskirkite modelio pritaikymą nuo jo fizinės prielaidos

Tarkime, vietoj to žinome tris tikslias laiko ir padėties poras: (0 s, 2 m), (1 s, 0 m) ir (3 s, 2 m). Pasirinktoje judėjimo su pastoviu pagreičiu modelių šeimoje užrašykime x(t) = 2 m + ut + (1/2)at², kur pradinis greitis u ir pastovus pagreitis a yra nežinomi. Dvi vėlesnių laiko momentų poros leidžia sudaryti dvi nepriklausomas lygtis šiems dviem nežinomiesiems.

Laiko momentu 1 s turime u(1 s) + (1/2)a(1 s)² = −2 m. Laiko momentu 3 s turime u(3 s) + (1/2)a(3 s)² = 0 m. Iš antrosios lygties atimkite pirmąją, padaugintą iš trijų: a(3 s²) = 6 m, taigi a = 2 m/s². Įstatę šią vertę, gauname u = −3 m/s. Šios tikslios poros vienareikšmiškai nustato šiuos koeficientus šioje modelių šeimoje.

Padėtys neįrodo, kad pagreitis iš tikrųjų išliko pastovus. Norėdami pateikti konkretų kontrpavyzdį toje pačioje 0–3 s apibrėžimo srityje, prie vežimėlio padėties funkcijos pridėkite (2 m/(9 s³))t(t − 1 s)(t − 3 s). Šis papildomas narys lygus nuliui visais trimis duomenų laiko momentais, tačiau laiko momentu 1.5 s jis lygus −0.25 m, todėl alternatyvi padėtis yra −0.5 m. Pridėtas kubinis narys lemia kintantį pagreitį. Taigi sutapimas su baigtiniu padėčių sąrašu nenustato trajektorijos, kuriai netaikomi jokie apribojimai, ir nepatvirtina fizinių prielaidų, kuriomis grindžiama pritaikyta modelių šeima.

Patikrinkite įvykį, prielaidą ir galiojimo intervalą

Prieš pasirinkdami lygtį, surašykite žinomus dydžius, jų ženklus ir vienetus, ieškomą įvykį ir galiojantį laiko intervalą. Nuosekliai naudokite tą pačią laiko atskaitos pradžią: jei laikrodis rodo T, o judėjimas prasideda jam rodant 10 s, praėjęs laikas yra t = T − 10 s. Įstatę T į formulę, kurios pradinės sąlygos nustatytos ties t = 0, aprašytumėte kitą pradinį įvykį.

Greičių intervalo pradžioje ir pabaigoje aritmetinis vidurkis tinka judėjimui su pastoviu pagreičiu, o ne bet kokiam judėjimui. Pavyzdžiui, intervale 0 ≤ t ≤ 1 s pateiktą funkcijų porą y(t) = (1 m/s³)t³ ir vᵧ(t) = (3 m/s³)t² atitinka 1 m poslinkis ir 1 m/s vidutinis greitis. Greičiai intervalo pradžioje ir pabaigoje yra 0 m/s ir 3 m/s, o jų aritmetinis vidurkis yra 1.5 m/s. Greičio priklausomybė nuo laiko yra kreivinė, todėl šis trumpasis skaičiavimo būdas netinka.

Kai judėjimas matuojamas, įvertinkite, kaip stebėjimai, neapibrėžtis ir netirti laiko momentai susiję su numanoma modelių šeima. Kelios sutampančios vertės nei patvirtina pastovų pagreitį, nei nustato jėgas. Paskelbtos temos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ suteikia galimybę pasirinktinai grįžti prie bendrųjų vietinio kitimo greičio ir ploto su ženklu skaičiavimų. Kita mokymosi plano tema „Judėjimas dviem ir trimis matmenimis“ išplečia koordinačių aprašą už vienos ašies ribų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagal pagrindinį vežimėlio modelį raskite padėtį, greitį, greičio modulį ir pagreitį laiko momentu 0.5 s. Ar tuo momentu vežimėlio greičio modulis didėja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 0.75 m, v = −2 m/s, greičio modulis = 2 m/s ir a = +2 m/s²; vežimėlis lėtėja.

   Į pateiktas funkcijas įstatykite 0.5 s. Greitis yra neigiamas, o pagreitis – teigiamas, todėl prieš krypties pasikeitimą greičio modulis mažėja. Teigiama koordinatė ir teigiamas pagreitis nereiškia, kad judama į dešinę ar kad greičio modulis didėja.

2. Kuriais laiko momentais intervale 0–3 s pagrindinio vežimėlio koordinatė yra x = 0 m? Koks jo greitis kiekvienu iš šių momentų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laiko momentu 1 s greitis yra −1 m/s; laiko momentu 2 s greitis yra +1 m/s.

   Tarkime, q = t/(1 s) yra bedimensis sekundžių skaičius. Kai x = 0 m, 2 − 3q + q² = (q − 1)(q − 2) = 0. Taigi q = 1 arba 2, o tai atitinka 1 s ir 2 s; abu momentai priklauso apibrėžimo sričiai. Įstačius į v(t), galima atskirti abi judėjimo kryptis; vien greičio kvadrato lygtis abiem momentais duoda tą pačią greičio kvadrato vertę.

3. Pagrindinio vežimėlio judėjimo pradžiai priskiriamas laikrodžio rodmuo T = 10 s, nekeičiant jo fizinės pradinės būsenos. Raskite jo koordinatę ir greitį, kai šis laikrodis rodo 11 s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Praėjęs laikas yra 1 s, todėl koordinatė yra 0 m, o greitis – −1 m/s.

   Formulėse, kurių pradinės sąlygos nustatytos ties t = 0, naudokite t = T − 10 s = 1 s. Tas pats judėjimas dabar atitinka laikrodžio rodmenų intervalą 10–13 s. Tiesiogiai naudojant 11 s kaip praėjusį laiką, būtų pasirinkta neteisinga pradžia ir išeita už pateiktos praėjusio laiko apibrėžimo srities 0–3 s.

4. Palikite koordinačių pradžią ir laikrodį nepakeistus, bet apgręžkite koordinačių ašies kryptį, pagrindiniam vežimėliui apibrėždami z = −x. Kokie yra jo pradinė koordinatė, pradinis greitis, pagreitis, bendras poslinkis ir nueitas kelias?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z₀ = −2 m, pradinis greitis +3 m/s, pagreitis −2 m/s², bendras poslinkis 0 m ir nueitas kelias 4.5 m.

   Apgręžus fiksuotos ašies kryptį, pasikeičia koordinatės, greičio ir pagreičio ženklai. Poslinkis taip pat pakeičia ženklą, todėl nulis lieka nuliu. Fiziniai atskirų judėjimo atkarpų ilgiai ir praėjusio laiko intervalai nesikeičia; nueitas kelias tebėra 4.5 m.

5. Kai y(t) = (1 m/s³)t³ ir vᵧ(t) = (3 m/s³)t² intervale 0–1 s, palyginkite pagal poslinkį apskaičiuotą vidutinį greitį su intervalo pradžios ir pabaigos greičių aritmetiniu vidurkiu. Ar galima taikyti pastovaus pagreičio atvejui skirtą trumpesnį skaičiavimo būdą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinis greitis yra 1 m/s, o intervalo galų greičių aritmetinis vidurkis yra 1.5 m/s. Šio trumpesnio skaičiavimo būdo taikyti negalima.

   Taškas per 1 s juda nuo 0 m iki 1 m. Jo greičiai intervalo galuose yra 0 m/s ir 3 m/s, tačiau greičio funkcija yra kvadratinė, o pagreitis kinta. Netenkinama pastovaus pagreičio prielaida, būtina intervalo galų greičių vidurkio taisyklei taikyti.

6. Pastovaus pagreičio modelių šeimoje atskiras tikslus duomenų įrašas nurodo, kad x = 1 m, kai t = 0 s, x = 2 m, kai t = 1 s, ir x = 5 m, kai t = 2 s. Raskite pradinį greitį ir pagreitį. Ar vien baigtinis duomenų įrašas įrodo, kad judėjimas priklauso šiai modelių šeimai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pasirinktoje modelių šeimoje pradinis greitis yra 0 m/s, o pagreitis yra 2 m/s²; vien duomenų įrašas neįrodo, kad judėjimas priklauso šiai modelių šeimai.

   Kai x₀ = 1 m, vėlesnės duomenų poros duoda u(1 s) + a(0.5 s²) = 1 m ir u(2 s) + a(2 s²) = 4 m. Iš antrosios lygties atėmę dvigubą pirmąją lygtį, gauname a(1 s²) = 2 m. Įstatę atgal, gauname u = 0 m/s. Kaip ir išnagrinėtame kontrpavyzdyje, baigtinį duomenų taškų rinkinį gali atitikti ir kitos glodžios padėties funkcijos.

Ką verta įsidėmėti

• Judėjimui viena ašimi aprašyti atsižvelgiant į ženklus reikia nuosekliai naudojamos nekintamos koordinačių sistemos, stebimo taško, laiko atskaitos pradžios ir apibrėžimo srities.
• Kai greitis pastovus, padėties funkcija yra tiesinė; kai pagreitis pastovus visame intervale, greičio funkcija yra afininė, o padėties funkcija – kvadratinė.
• Grafiko ordinatė, vietinis nuolydis ir plotas su ženklu po greičio priklausomybės nuo laiko grafiku išreiškia skirtingus dydžius, kurių matavimo vienetai skiriasi.
• Kad judėjimo kryptis pasikeistų, turi pasikeisti greičio ženklas; prieš sudėdami kelio atkarpų ilgius, ties šiuo tašku padalykite kelią.
• Poslinkis ir vidutinis greitis gali būti lygūs nuliui net tada, kai nueitas kelias ir vidutinis greičio modulis yra teigiami.
• Tikslūs duomenų taškai gali leisti nustatyti koeficientus nurodytoje modelių šeimoje, tačiau nepatvirtina šios šeimos fizinio pagrįstumo.