Fizika · Straipsnis

Simetrija ir invariantiškumas

Nurodyti transformaciją, nustatyti, kas lieka nepakitę, ir atskirti objekto simetriją nuo fizikinio modelio invariantiškumo.

Ankstesnis straipsnis: Dydžio eilės ir Fermio įvertinimas

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Apibūdinti postūmį, posūkį ar atspindį pakankamai tiksliai, kad būtų galima palyginti du atvejus.
Nustatyti konkrečią savybę ar dydį, kurio transformacija nekeičia.
Atskirti aprašymo koordinatėmis pakeitimą nuo aktyvaus fizikinės konfigūracijos pakeitimo.
Patikrinti invariantiškumą erdvinių postūmių atžvilgiu nurodytame pastovaus greičio modelyje.
Teiginį apie fizikinę simetriją sieti su atitinkama aplinka, sąlygomis ir jį pagrindžiančiais duomenimis.

Pradėkite nuo konkrečios transformacijos

Transformacija – tai konfigūracijos ar jos aprašymo keitimo taisyklė. Postūmis perkelia ją nurodytu atstumu ir kryptimi. Posūkis pasuka ją nurodytu kampu apie pasirinktą centrą ar ašį. Atspindys sukuria jos veidrodinę konfigūraciją nurodytos tiesės ar plokštumos atžvilgiu. Ketvirtis apsisukimo yra 90°, o pusė apsisukimo – 180°. Nurodant operaciją, reikia nurodyti ir šiuos pasirinkimus.

Invariantiškumas reiškia, kad atliekant transformaciją tam tikras nurodytas dalykas lieka nepakitęs. Jei tai dydis, palyginkite jo vertes; jei tai raštas, palyginkite atitinkamas savybes. Objekto simetrijos transformacija šias savybes atvaizduoja į jas pačias. Operacija gali perkelti atskirus taškus, net jei po jos visas kontūras užima lygiai tą pačią sritį.

Nurodykite, kuri savybė yra simetriška

Idealus nepapuošto kvadrato kontūras yra simetriškas ketvirčio apsisukimo apie jo centrą atžvilgiu: pasuktas kontūras sutampa su pradiniu. Konkreti viršūnė persikelia į vietą, kurioje prieš tai buvo kita viršūnė. Jei prie vienos viršūnės pritvirtintas vienintelis spalvotas ženklas, po tokio posūkio papuoštas raštas pasikeičia. Kontūras ir papuošimas yra skirtingos savybės, kurias reikia tikrinti.

Vieno dydžio nekintamumas nepatvirtina visų savybių simetrijos. Idealaus stačiakampio plotas nekinta sukant jį kaip standų kūną, tačiau 4 cm ir 2 cm kraštinių stačiakampis, pasuktas apie savo centrą ketvirčiu apsisukimo, nesutampa su pradine savo užimta sritimi. Nurodykite ir transformaciją, ir tai, kas lyginama. Lentelėje naudojamos idealios geometrinės konfigūracijos ir toliau pristatomas judėjimo modelis.

Tas pats žodis „nepakitęs“ gali reikšti skirtingus palyginimus
Nurodytas palyginimas	Kas lieka nepakitę	Kas gali pasikeisti
Pasukti idealų nepažymėtą kvadratą apie jo centrą ketvirčiu apsisukimo	Užimamos srities kontūras	Atskiros viršūnės padėtis
Pasukti stačiakampį, kuris nėra kvadratas, apie jo centrą ketvirčiu apsisukimo	Jo plotas ir kraštinių ilgiai	Jo kontūro apimama sritis
Perkelti koordinačių pradžią nekeičiant krypties ir vieneto	Fizinis nejudančių žymeklių išsidėstymas ir atstumai tarp jų	Jų nurodomos padėties vertės
Visas padėtis apibrėžtame judėjime, kai jėga lygi nuliui, pastumti ta pačia konstanta	Jo greitis ir pastovaus greičio sąryšis	Jo pradinė ir vėlesnės padėtys fiksuotoje koordinačių sistemoje

Atskirkite koordinačių pokyčius nuo fizinių pokyčių

Koordinatė nusako padėtį koordinačių pradžios ir pasirinktos teigiamos krypties atžvilgiu. Mūsų tiesėje teigiama kryptis yra į dešinę, o padėtis x išreiškiama metrais. Antroji koordinačių pradžia tebūnie fiksuota h metrų į dešinę nuo pirmosios, paliekant tą pačią kryptį ir matavimo vienetą. Tuomet to paties taško koordinatė yra x' = x - h. Brūkšnelis žymi naująjį aprašymą. Pakeitus šias koordinačių žymas, žymekliai lieka savo vietose. Tai pasyvioji transformacija.

Atlikdami aktyvųjį poslinkį, palikite pradinę koordinačių sistemą ir palyginkite vieną išsidėstymą su kitu, pastumtu h metrų į dešinę. Kiekvieno atitinkamo taško koordinatė yra x_new = x + h. Šiuose išsidėstymuose žymeklių fizinės padėtys skiriasi. Abiem atvejais atstumai tarp žymeklių gali išlikti tokie patys, tačiau aprašomi skirtingi pokyčiai. Prieš interpretuodami skaičius, nurodykite, kurį palyginimą turite omenyje.

Tikrinkite sąryšį, o ne visų skaičių lygybę

Fizikinio dėsnio ar modelio simetrija susijusi su jį apibrėžiančiu sąryšiu atliekant nurodytą transformaciją. Nuosekliai transformuokite dydžius ir sąlygas ir patikrinkite, ar leistini judėjimai lieka leistini. Padėties vertės ar komponentės tam tikromis kryptimis gali pasikeisti, o sąryšis išlaikyti savo formą ir galiojimą. Tai skiriasi nuo klausimo, ar vieno objekto kontūras yra simetriškas.

Nagrinėkite idealią Niutono mechanikos dalelę, kurios masė yra pastovi ir teigiama ir kuri juda begaline tiese inercinėje atskaitos sistemoje — sistemoje, kurioje nulinė atstojamoji išorinė jėga leidžia judėti pastoviu greičiu. Nustatykite sąlygą, kad atstojamoji išorinė jėga būtų lygi nuliui kiekvienoje padėtyje visą nagrinėjamą laiką. Tuomet galioja pastovaus greičio taisyklė, įskaitant ir galimybę būti rimties būsenoje. Viename matmenyje v žymi greitį su ženklu: teigiamas reiškia judėjimą į dešinę, o neigiamas — į kairę.

Tegu x0 yra pradinė padėtis nuliniu laiko momentu, o t — praėjęs laikas. Kai v yra pastovus, padėtis yra x = x0 + v t: greitį padauginus iš praėjusio laiko, gaunamas padėties pokytis su ženklu. Prie kiekvienos galimo judėjimo padėties pridėkite tą pačią konstantą h, nekeisdami v ir t. Tuomet x_new = (x0 + h) + v t. Šis sąryšis turi tokią pačią pastovaus greičio formą, o pradinė padėtis yra x0_new = x0 + h. Tai galioja bet kokiam pastoviam poslinkiui apibrėžtame modelyje, kuriame tiesė yra begalinė, o jėga lygi nuliui, todėl šis modelis pasižymi erdvinio poslinkio simetrija.

Lygindami atsižvelkite į aplinką ir sąlygas

Teiginyje apie fizikinę simetriją būtina nurodyti, kaip atsižvelgiama į svarbius aplinkos veiksnius. Perkėlus aparatą, bet palikus jėgos šaltinį ankstesnėje vietoje, aparato veikimas gali pasikeisti. Lyginant simetrijos požiūriu, įtraukiami svarbūs poveikiai, pradinės sąlygos ir ribos. Pavyzdžiui, pakeitus įrenginio orientaciją gravitacijos atžvilgiu, pasikeičia daugeliui eksperimentų svarbus poveikis.

Mūsų nagrinėjami galimi dalelių judėjimai su pastumtomis padėtimis visur tenkina tą pačią nulinės jėgos sąlygą, nes tai yra aiškiai įvardyta modelio prielaida. Tikrą vežimėlį perkėlus į sritį, kurioje yra pasipriešinimas arba siena, reikėtų įtraukti šias sąveikas. Nauja koordinačių pradžia nekeičia nei sąlyčio su ta siena, nei fizikinių jėgų. Prieš laikydami du skirtingus rezultatus argumentu judėjimą aprašančio dėsnio simetrijai neigti, patikrinkite eksperimento sąrangą.

Invariantiškumą siekite su jo transformacija

Dydis gali nekisti atliekant vieną transformaciją ir kisti atliekant kitą. Stačiakampio plotas nekinta jį pasukus kaip standų kūną, tačiau padvigubinus abiejų kraštinių ilgius, plotas padidėja keturis kartus. Geometrinis panašumas išlaiko formą, nors dydis gali keistis. Todėl invariantinį dydį būtina įvardyti kartu su nagrinėjama transformacija.

Invariantiškumas atliekant transformaciją taip pat skiriasi nuo pastovumo laikui bėgant. Pastumtos dalelės modelyje išlieka pastovų greitį nusakantis sąryšis, nors judančios dalelės padėtis laikui bėgant keičiasi. Vieno skaitinio atvejo patikra iliustruoja sąryšį; algebrinis išvedimas su bet kuria konstanta h įrodo šio modelio postūmio savybę. Nė vienas iš šių žingsnių neįrodo tikslios simetrijos kiekvienam tikram aparatui ar kiekvienam galimam dėsniui.

Išsamiai suformuluokite teiginį apie simetriją

Naudingas teiginys įvardija sistemą ar jos aprašą, transformaciją, savybę ar sąryšį, kuris turi išlikti, ir taikymo sąlygas. Idealaus kontūro atveju palyginimo rezultatą galima nustatyti geometriškai. Fizikinio modelio atveju patikrinkite transformuotas jo lygtis ir prielaidas. Eksperimento atveju palyginkite atitinkamus stebėjimų rezultatus, atsižvelgdami į svarbius matavimo ribotumus.

Suformuluokite tikslią išvadą: kontūras be papildomų žymų turi šią pusės apsisukimo simetriją; šis atstumas yra invariantinis taip pastūmus koordinačių pradžią; arba šis nulinės jėgos modelis leidžia pastumtą judėjimą. Šie teiginiai paaiškina, kas buvo patikrinta, o tolesniems teiginiams reikia atskirų įrodymų.

Du poslinkiai, tas pats atstumas

1. Pradinis išsidėstymas
A yra ties 1.20 m, o B – ties 1.90 m. Atstumas tarp jų yra 1.90 m - 1.20 m = 0.70 m.
2. Pasyvusis: koordinačių pradžia 0.50 m į dešinę
Palikite žymeklius vietoje ir atimkite koordinačių pradžios poslinkį. Jų naujos koordinatės yra 0.70 m ir 1.40 m. Atstumas tarp jų lieka 0.70 m.
3. Aktyvusis: pora 0.50 m į dešinę
Išlaikykite pradinę koordinačių pradžią ir palyginkite pastumtą porą. Jų padėtys yra 1.70 m ir 2.40 m. Atstumas tarp jų išlieka 0.70 m.
4. Įvardykite, kas nekinta
Atstumas tarp jų yra invariantinis abiem nurodytais palyginimo atvejais. Vien padėčių žymėjimai neparodo, ar pasikeitė išsidėstymas, ar jo aprašymas.

Nurodytos tikslios pradinės fiksuotų žymeklių padėtys: A = 1.20 m ir B = 1.90 m; teigiama kryptis – į dešinę. Koordinačių pradžios poslinkis ir aktyvusis žymeklių poros poslinkis yra atskiros alternatyvos. Abiem atvejais atstumas tarp žymeklių išlieka, tačiau tik aktyviajame palyginime keičiasi fizinės žymeklių padėtys.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Kontūras ir jo puošyba gali skirtis

Idealus stačiakampis kontūras yra 4 cm pločio ir 2 cm aukščio, o jo centras yra fiksuotame taške. Prie viršutinio dešiniojo kampo pritvirtintas vienintelis spalvotas taškas. Palyginkite pasukimą puse apsisukimo ir ketvirčiu apsisukimo apie centrą. Kas lieka nepakitę?

Pasukus puse apsisukimo, kontūras be papildomų žymų užima tą pačią sritį. Buvęs viršutinis dešinysis kampas dabar yra ten, kur anksčiau buvo apatinis kairysis kampas.
Išskirtinis taškas persikelia į tą vietą apačioje kairėje, todėl visas pažymėtas raštas po pusės apsisukimo nesutampa su pradiniu.
Po ketvirčio apsisukimo kontūras yra 2 cm pločio ir 4 cm aukščio fiksuotų krypčių atžvilgiu. Jis užima kitą sritį, nors kraštinių ilgiai išlieka tokie patys.
Visais atvejais plotas yra 4 cm × 2 cm = 8 cm². Vien nepakitęs plotas neleidžia nustatyti, kad kontūras ar jo žymenys sutampa.

Kontūras be žymenų yra simetriškas pasukant pusę apsisukimo apie jo centrą, o raštas su išskirtiniu žymeniu – ne. Ketvirtis apsisukimo išsaugo plotą, bet negrąžina šio stačiakampio, kuris nėra kvadratas, kontūro į pradinę sritį. Lyginama remiantis tikslia idealiąja geometrija.

Skirtingiems poslinkiams – skirtingos formulės

Nejudančių žymenų A ir B duotos tikslios koordinatės tiesėje yra 1.20 m ir 1.90 m; teigiama kryptis yra į dešinę. Pirmiausia aprašykite juos atskaitos pradžios, esančios 0.50 m į dešinę, atžvilgiu. Atskirai, naudodami pradinę atskaitos pradžią, palyginkite aktyviai pastumtą porą, perkeltą 0.50 m į dešinę. Kas pasikeičia kiekvienu atveju?

Naudodami naują atskaitos pradžią, atimkite jos poslinkį: x'_A = 1.20 m - 0.50 m = 0.70 m ir x'_B = 1.90 m - 0.50 m = 1.40 m. Patys žymenys nejuda.
Aktyvų poslinkį lygindami pradinėje koordinačių sistemoje, pridėkite poslinkį: x_new,A = 1.20 m + 0.50 m = 1.70 m ir x_new,B = 1.90 m + 0.50 m = 2.40 m.
Teigiami atstumai tarp žymenų yra 1.90 - 1.20 = 0.70, 1.40 - 0.70 = 0.70 ir 2.40 - 1.70 = 0.70, visi išreikšti metrais.

Abiem palyginimo atvejais 0.70 m atstumas tarp žymenų išlieka toks pats. Pasyvus poslinkis pakeičia tik padėčių žymėjimą. Aktyvaus poslinkio atveju lyginamos poros, esančios skirtingose fizinėse vietose. Šie skaičiavimai yra atskiros alternatyvos su nurodytais tiksliais duomenimis.

Pastumto judėjimo patikra nurodytame modelyje

Neribotame Niutono modelyje, kuriame jėga lygi nuliui, dalelė pradeda judėti iš padėties x0 = 0.40 m pastoviu +0.30 m/s greičiu. Palyginkite su kitu galimu judėjimu, kurio padėtis, praėjus tokiam pačiam laikui, visada yra 1.00 m į dešinę nuo pirmojo judėjimo padėties. Naudokite duotas tikslias reikšmes laiko intervale nuo 0 iki 2.00 s. Ar abu judėjimai atitinka modelį?

Pirmoji galutinė padėtis yra x = 0.40 m + 0.30 m/s × 2.00 s = 1.00 m.
Po postūmio pradinė padėtis yra x0_new = 0.40 m + 1.00 m = 1.40 m. Esant tam pačiam greičiui, galutinė padėtis yra 1.40 m + 0.30 m/s × 2.00 s = 2.00 m.
Jų poslinkiai su ženklais yra 1.00 m - 0.40 m = +0.60 m ir 2.00 m - 1.40 m = +0.60 m.
Kiekvienu šio laiko intervalo momentu pridėjus 1.00 m, padėtis pasikeičia, o pastovus greitis nesikeičia. Abiem atvejais išlieka nustatyta nulinės jėgos sąlyga.

Abu galimi judėjimai atitinka tą patį pastovaus greičio modelį su skirtingomis pradinėmis padėtimis. Modelio sąryšis yra invariantinis šio erdvinio postūmio atžvilgiu. Tai hipotetinės judėjimo eigos pagal modelį; realios dalelės ar aparato perkėlimo procesui reikėtų atskiro fizikinio aprašymo.

Pabandykite patys

Idealus 6 cm ir 3 cm kraštinių stačiakampis pasukamas ketvirtį apsisukimo apie savo centrą, o koordinačių kryptys lieka fiksuotos. Jo plotas nepakinta. Ar tai patvirtina, kad jo kontūro ribojama sritis sutampa su pradine?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Plotas išlieka 18 cm², o horizontalusis ir vertikalusis matmenys susikeičia: iš 6 cm ir 3 cm tampa 3 cm ir 6 cm.
Šiame palyginime invariantinis dydis yra plotas. Užimamos srities kontūrų sutapimas yra kita savybė, kuri šiam stačiakampiui, kuris nėra kvadratas, po tokio posūkio negalioja.
Fiksuoto žymeklio koordinatė yra x = 2.30 m. Nauja koordinačių pradžia yra 0.80 m į dešinę, o vienetas ir kryptis lieka tie patys. Kokia yra nauja žymeklio koordinatė ir ar žymeklis pajudėjo?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
x' = 1.50 m; fizinis žymeklis nepajudėjo.
Atimkite naujos koordinačių pradžios koordinatę pradinėje sistemoje: 2.30 m - 0.80 m = 1.50 m. Tai pasyvus to paties taško koordinatės pakeitimas. Aktyvus postūmis į dešinę būtų kitas palyginimas.
Tame pačiame neribotame nulinės jėgos modelyje x0 = 0.80 m ir v = +0.20 m/s. Fiksuotoje koordinačių sistemoje pastumkite galimą judėjimą 2.00 m į dešinę. Raskite abi padėtis po 3.00 s ir abu poslinkius, naudodami tikslias pateiktas vertes.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Pirminė padėtis 1.40 m; pastumta padėtis 3.40 m. Abu poslinkiai yra +0.60 m.
Pirminiu atveju 0.80 m + 0.20 m/s × 3.00 s = 1.40 m. Nauja pradinė padėtis yra 2.80 m, todėl gauname 3.40 m. Kiekvienu judėjimo atveju atimkite to judėjimo pradinę padėtį: 1.40 - 0.80 = 0.60 ir 3.40 - 2.80 = 0.60, metrais. Abiem atvejais išlieka tas pats greitis ir tos pačios modelio sąlygos.
Nurodytos dalelės padėtys dviem laiko momentais yra 1.00 m ir 1.60 m. Pakeiskite koordinačių ašies kryptį į priešingą, nekeisdami koordinačių pradžios: x' = -x. Kas nutinka dalelės poslinkiui su ženklu ir atstumui tarp šių dviejų padėčių?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Poslinkis su ženklu pasikeičia iš +0.60 m į -0.60 m. Atstumas tarp padėčių lieka 0.60 m.
Naujos padėčių koordinatės yra -1.00 m ir -1.60 m, todėl naujas pokytis su ženklu yra -1.60 - (-1.00) = -0.60 m. Atstumas yra neneigiamas tarpas tarp padėčių. Pakeitus šias koordinates, fizinio judėjimo kryptis nepasikeičia į priešingą. Tai koordinačių palyginimas, o ne teiginys apie kiekvienos fizinės sąveikos veidrodinę simetriją.
Du aparatai po poslinkio erdvėje rodo vienodas vertes. Ar šis vienas palyginimas parodė, kad kiekvienas fizikos dėsnis yra invariantinis bet kurios transformacijos atžvilgiu?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Jis pateikia rezultatą konkrečiai eksperimentinei sąrangai, transformacijai ir matuojamam dydžiui.
Patikrinkite svarbias sąlygas ir matavimo ribotumus, o palyginimo išvadą suformuluokite siaurai. Universalus teiginys apima ir kitas sistemas bei transformacijas, kurios šiuo rezultatu nebuvo ištirtos.
Pradiniame vežimėlio judėjimo modelyje daroma prielaida, kad atstojamoji jėga lygi nuliui ir nėra kliūčių. Erdvėje fiziškai pastumtas vežimėlis pasiekia sieną, kurios padėtis kambaryje nepakito. Ar pradinis laisvojo judėjimo simetrijos palyginimas gali numatyti, kas vyksta sąlyčio metu?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Dėl sąlyčio atsiranda sąveika, kurios neapima šio modelio sąlyga, kad atstojamoji jėga lygi nuliui.
Į naują fizinį aprašymą įtraukite sieną ir jos veikiančią jėgą. Pasikeitusi sąranga gali pakeisti rezultatą, tačiau tai neparodo, kad pagrindinis dėsnis neturi erdvinės simetrijos. Pakeitus vien koordinačių pradžią, fizinis sąlytis liktų nepakitęs.

Ką verta įsidėmėti

Teiginyje apie simetriją nurodoma transformacija ir savybė arba ryšys, kurio ji nepakeičia.
Objekto kontūras, jo puošyba ir toks dydis kaip plotas gali turėti skirtingas invariantiškumo savybes.
Pasyviai keičiant koordinates, tam pačiam išsidėstymui priskiriamos naujos koordinatės; aktyviąja transformacija lyginami pakeisti išsidėstymai.
Dėsniu ar modeliu nusakomas sąryšis gali išlikti, nors atskiros padėčių reikšmės keičiasi.
Neribotame pastovaus greičio judėjimo modelyje, kai jėga lygi nuliui, galimi erdvėje pastumti judėjimai su atitinkamai pakeistomis pradinėmis padėtimis.
Atliekant fizikinius palyginimus, reikia atsižvelgti į svarbią aplinką ir sąlygas; vienas sutampantis rezultatas nepatvirtina visų simetrijų.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

The Feynman Lectures on Physics Volume I — Symmetry and vectorsRichard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands — California Institute of Technology, official online editionVadovėlio skyriusThe Feynman Lectures on Physics, Volume I, Chapter 52: Symmetry in Physical Laws The Feynman Lectures on Physics, Volume I, Chapter 11: Vectorsfeynmanlectures.caltech.edu
Ganita Prakash, Grade 6, Chapter 9: SymmetryNational Council of Educational Research and Training (NCERT), IndiaVadovėlio skyrius · PDFncert.nic.inSkaityti šaltinį
University Physics Volume 1, 5.2 Newton's First LawWilliam Moebs, Samuel J. Ling and Jeff Sanny — OpenStax / Rice UniversityVadovėlio skyriusopenstax.orgSkaityti šaltinį
Computational Chemistry from Laptop to HPC: A notebook exploration of quantum chemistry — Symmetry, Active or passive point of viewT. Fransson, M. Delcey, I. E. Brumboiu, M. Hodecker, X. Li, Z. Rinkevicius, A. Dreuw, Y. M. Rhee and P. Norman (book-level author team) — KTH Royal Institute of TechnologyVadovėlio skyriuskthpanor.github.ioSkaityti šaltinį