Furjė analizė ir bangų paketai

Pradėkite nuo vieno lokalizuoto pavidalo

Nurodytu pradiniu laiko momentu mažo skersinio trikdžio pavidalas yra f(x) = A exp[−(x/ℓ)²] cos(k₀x), kur A = 0.02 m, ℓ = 1 m ir k₀ = 4 m⁻¹. Fiksuota išilginė koordinatė x didėja į dešinę visoje realiųjų skaičių tiesėje; teigiamas skersinis poslinkis nukreiptas aukštyn. Tai iš anksto nustatytos modelio vertės, o ne matavimų rezultatai.

Dėl teigiamos gaubtinės E(x) = A exp[−(x/ℓ)²] svyravimai toli nuo koordinačių pradžios yra maži. Kosinusas yra nešančioji banga: jis sukuria pasikartojančius svyravimus šios gaubtinės viduje. Kadangi |cos(k₀x)| ≤ 1, tai −E(x) ≤ f(x) ≤ E(x). Tai vienas lokalizuoto bangų paketo pavyzdys. Gauso gaubtinė yra teigiama kiekvienai baigtinei x vertei.

Pasiruošimui naudokite „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ bei „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. „Kompleksiniai skaičiai ir kompleksinės eksponentinės funkcijos“ paaiškina toliau vartojamus žymėjimus. Pradėkite nuo pavidalo, paveikslo ir tikslių lentelių; „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ yra pasirenkami grįžimo keliai išvestinių ir integralų patikroms. „Furjė analizė, Laplaso transformacijos ir specialiosios funkcijos“ pateikia ankstesnį įvadą į baigtinį skaidymą.

Čia k ir k₀ yra kampiniai erdviniai bangos skaičiai, išreiškiami m⁻¹. Sandaugos kx ir k₀x yra bedimensės skaitinės fazės radianais: kampas, kurio skaitinė fazė yra φ, lygus φ rad. Santykiai x/ℓ ir eksponentinių funkcijų argumentai taip pat yra bedimensiai. Įvedus laiką, bangos pavidalo ir medžiagos taško vaidmenys bus skirtingi.

Atkurkite baigtinę periodinę išraišką

Pirmiausia naudokite atskirą tiksliai apibrėžtą periodinį profilį h(x) = a₀ + a₁ cos(2πx/L) + b₂ sin(4πx/L), kur L = 4 m, a₀ = 0.003 m, a₁ = 0.008 m ir b₂ = −0.004 m. Jis pateiktas visoms realiosioms x vertėms ir kartojasi kas L. Pagal šią konvenciją pastovusis narys yra pats a₀.

Visame intervale 0 ≤ x ≤ L skirtingos sinusinės arba kosinusinės harmonikos, kurių numeriai yra teigiami sveikieji skaičiai, yra ortogonalios: jų sandaugos integralas lygus nuliui. Sinuso ir kosinuso sandaugos integralas taip pat lygus nuliui. Vieno tokio sinuso arba kosinuso kvadrato integralas lygus L/2. Šie teiginiai pagrindžiami sandaugos keitimo suma tapatybėmis, kuriomis sandaugos išreiškiamos pilnais svyravimų ciklais.

Todėl padauginus h iš cos(2πx/L) ir integruojant išskiriamas a₁: a₁ = (2/L) ∫₀ᴸ h(x) cos(2πx/L) dx. Panašiai b₂ = (2/L) ∫₀ᴸ h(x) sin(4πx/L) dx, o a₀ = (1/L) ∫₀ᴸ h(x) dx. Kiekvieno integralo matavimo vienetas yra m²; padalijus iš L gaunamas koeficientas metrais.

Ši baigtinė formulė yra tiksli, nes buvo pateikti visi trys nariai. Ortogonalumas leidžia nustatyti jų koeficientus, tačiau neįrodo, kad bet kuri funkcija lygi begalinei Furjė eilutei. Pakeitus integravimo intervalą, čia naudojamas ortogonalumas gali išnykti.

Nurodykite tolydžiosios transformacijos konvenciją

Lokalizuotas profilis f nėra periodinis, todėl vietoj vieno periodo harmonikų su sveikaisiais numeriais naudojame tolydų erdvinį kintamąjį k. Jo Furjė amplitudę apibrėžiame taip: f̂(k) = ∫₋∞^∞ f(x) exp(−ikx) dx. Menamasis vienetas tenkina lygybę i² = −1, o exp(iφ) = cos φ + i sin φ, kai fazė φ yra realusis skaičius.

Mūsų atvirkštinės transformacijos konvencija yra f(x) = (1/(2π)) ∫₋∞^∞ f̂(k) exp(ikx) dk, kai tenkinamos būtinos atvirkštinės transformacijos sąlygos. Daugiklio 1/(2π) vieta yra konvencijos dalis. Šaltinyje, kuriame šis daugiklis įtrauktas į tiesioginės transformacijos amplitudę, naudojama amplitudė skiriasi nuo f̂.

Kadangi ir f, ir x matuojami metrais, f̂ matavimo vienetas yra m². Atvirkštinėje transformacijoje dk matavimo vienetas yra m⁻¹, todėl gaunamas poslinkis metrais. Kintamasis k žymi vienu metu esančias erdvines komponentes; jis nėra nei laikas, nei medžiagos taško padėtis. Paliekamos abiejų ženklų k vertės.

Šio pateikto Gauso funkcija moduliuoto kosinuso atveju f ir toliau išvedama amplitudė yra glodžios ir absoliučiai integruojamos funkcijos. Atvirkštinę transformaciją patikriname šiai konkrečiai porai. Nei baigtinė diagrama, nei diskretizuotos sumos konvergavimas neįrodo, kad atvirkštinė transformacija galioja kiekvienam galimam signalui.

Išveskite dvi Gauso komponentes

Naudinga žinoma Gauso integralo tapatybė yra ∫₋∞^∞ exp(−u²) exp(−iau) du = √π exp(−a²/4), kai a yra realusis bedimensis dydis. Vienas pagrindimo būdas – pažymėti šį integralą G(a), diferencijuoti po integralo ženklu remiantis integruojama Gauso funkcijos majorante ir integruoti dalimis, gaunant G′(a) = −aG(a)/2. Gauso integralas duoda G(0) = √π, todėl nustatomas nurodytas rezultatas.

Naudokite cos(k₀x) = [exp(ik₀x) + exp(−ik₀x)]/2 ir tiesioginės transformacijos integrale atlikite keitinį u = x/ℓ. Kiekviena eksponentinė funkcija pastumia Gauso funkcijos argumentą vienu nešančiosios bangos skaičiumi. Gaunamas rezultatas f̂(k) = (Aℓ√π/2){exp[−ℓ²(k−k₀)²/4] + exp[−ℓ²(k+k₀)²/4]}.

Kiekvieno iš šių dviejų narių atvirkštinės transformacijos integralas yra (A/2) exp[−(x/ℓ)²] exp(±ik₀x). Juos sudėjus gaunamas pradinis realusis kosinusinis profilis. Gauso tapatybė pagrindžia šį tikslų atkūrimą visoje realiojoje k ašyje; šiame pavyzdyje nereikia nei kontūrinio integravimo, nei begalinių eilučių lygybės.

Pagrindinių verčių atveju užrašykime C = (√π/100) m². Tuomet f̂(k) yra dviejų Gauso funkcijų su daugikliu C suma. Ji yra realioji, lyginė ir teigiama kiekvienam baigtiniam k. Nešančiosios bangos koordinatės ±4 m⁻¹ nurodo atskirų narių centrus; dėl persidengimo jos nėra tikslios jų sumos maksimumų vietos.

Profilio ir jo amplitudės palyginimas

Viršutiniame paveiksle pavaizduota f ir dvi ją ribojančios gaubtinės, kai t = 0 s. Užpildytais apskritimais pažymėti taškai x = −π/4 m, 0 m ir π/4 m. Profilis gali būti neigiamas, nors jo teigiama gaubtinė išlieka teigiama; gaubtinė riboja svyravimų dydį, o ne vaizduoja kitą poslinkio kitimą laike.

Apatiniame paveiksle pavaizduota realioji amplitudė f̂ kaip k funkcija. Neužpildytais rombais pažymėti taškai k = −4 m⁻¹, 0 m⁻¹ ir 4 m⁻¹. Vertikaliojoje ašyje atidėtas dydis matuojamas m², o ne metrais, kaip viršutiniame grafike. Šių grafikų horizontaliosios ir vertikaliosios ašių masteliai skiriasi, ir jie nevaizduoja geometrinės dalelės trajektorijos.

Visi gretimų lentelių įrašai yra tikslios modelio išraiškos. Sujungtos baigtinės kreivių atkarpos apytiksliai vaizduoja analitines funkcijas. Spalvos, ištisinės ir brūkšninės linijos bei apskritimo ir rombo formos žymekliai padeda atskirti jų paskirtį.

Išlaikykite integralą visoje tiesėje

Spektro lentelėje naudojama C = (√π/100) m² iš ankstesnės formulės. Vienodos reikšmės ties priešingomis k vertėmis atspindi šį realųjį lyginį profilį. Furjė amplitudė savaime nėra tikimybės tankis, energijos tankis ar galios spektras; tokioms interpretacijoms reikia papildomų apibrėžčių ir fizikinės informacijos.

Pavaizduoti tik intervalai −3 ≤ x ≤ 3 m ir −10 ≤ k ≤ 10 m⁻¹. Tai vaizdavimo langai, o ne fiziniai galai ar nešiklio ribos. Ir Gauso gaubtinė, ir spektrinė amplitudė turi uodegas už šių langų ribų.

Atvirkštinės transformacijos integralą pakeitus integralu, apribotu pavaizduotu k langu, uždavinys pasikeičia. Kai x = 0, praleista pointegralinė funkcija yra teigiama, todėl atmetus šias uodegas gaunama griežtai mažesnė vertė nei atliekant visą atvirkštinę transformaciją. Brėžinys ar baigtinė kvadratūra gali būti naudingi, tačiau nei vienas, nei kitas savaime nėra tikslus atkūrimas visoje tiesėje.

Stebėkite pateiktą nedispersinį bangų paketą

Dabar pateikime y(x,t) = f(x−ct), kur c = 2 m/s, x yra bet kuris realusis skaičius, o 0 ≤ t ≤ 1 s. Tai pasirinktas tiesinis vienalytis bangos modelis be išorinio poveikio, kuriame c yra pastovus, o lygtis yra ∂²y/∂t² = c² ∂²y/∂x². Interpretacija kaip skersinės bangos stygoje galioja tik tiesiniu režimu, kai stygos nuolydis mažas; iš šių pateiktų skaičių nesprendžiama nei apie įtempimą, nei apie tankį, nei apie matavimais nustatytą tikslumą.

Tarkime, z = x−ct, o f′ ir f″ žymi išvestines pagal ilgio dimensiją turintį funkcijos argumentą. Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname ∂y/∂t = −cf′(z), ∂²y/∂t² = c²f″(z) ir ∂²y/∂x² = f″(z). Taigi pateikta laikinė eiga tenkina lygtį. Abiejų pusių matavimo vienetas yra m/s². Pradiniai duomenys apima y(x,0) = f(x) ir ∂y/∂t(x,0) = −cf′(x).

Lygiavertiškai kiekvienai erdvinei komponentei priskiriamas daugiklis exp[ik(x−ct)]. Šis bendras poslinkis išsaugo visą formą: šiame apibrėžtame nedispersiniame atvejyje gaubtinė ir nešančioji banga slenka kartu. Slopinimas, išorinis poveikis, atspindintys galai ir netiesinė bangos skaičiaus bei dažnio priklausomybė į šį atvejį neįtraukti.

Fiksuotoje išilginėje padėtyje y laikui bėgant kinta skersine kryptimi. Bangos vaizdo judėjimas į dešinę greičiu c nepatvirtina, kad materialusis taškas juda išilgine kryptimi greičiu c. Furjė aprašymas taip pat savaime neparodo, kad pasirinktas modelis tinka realiai terpei.

Pakeiskite vieną plotį, kurio prasmė apibrėžta

Parametras ℓ yra teigiamas atstumas, kuriame E(x)/E(0) pasiekia exp(−1). Kiekvienai iš dviejų atskirų paslinktų Gauso funkcijų spektre esant nuokrypiui |k∓k₀| = 2/ℓ, to nario vertės ir jo vertės centre santykis yra exp(−1). Tai apibrėžti atstumai ir nuokrypiai, o ne numanomi suminio spektro standartiniai nuokrypiai.

Laikant A ir k₀ pastovius ir keičiant ℓ nuo 1 m iki 0.5 m, gaubtinės atstumas sumažėja perpus, o kiekvienos atskiros spektrinės funkcijos nuokrypis padvigubėja nuo 2 m⁻¹ iki 4 m⁻¹. Daugiklis Aℓ√π/2 taip pat sumažėja perpus. Tai tikslus pavyzdys, rodantis, kad trumpesnei erdvinei gaubtinei reikia platesnio erdvinių komponenčių diapazono.

Šis palyginimas yra nurodytos funkcijų šeimos ir pasirinktos konvencijos matematinė savybė. Tai nėra universali pločių sandauga, teiginys apie kvantinę neapibrėžtį ar išvada apie baigtinę eksperimentinę skiriamąją gebą. Kai būsite pasirengę, grįžkite prie integralų patikrinimų; forma, ženklai, vienetai ir langų skirtumai jau paaiškina pagrindinį palyginimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudodamiesi duotąja baigtine h išraiška intervale 0 ≤ x ≤ L, nustatykite a₁ ir cos(6πx/L) koeficientą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a₁ = 0.008 m; trečiojo kosinuso koeficientas yra 0 m.

   Ortogonalumas per visą periodą išskiria duotąjį pirmąjį kosinusą. Konstantos, pirmojo kosinuso ir antrojo sinuso projekcijos į išraiškoje nesantį trečiąjį kosinusą visos lygios nuliui.

2. Jei f yra poslinkis metrais, o x matuojamas metrais, kokie yra f̂ ir atvirkštinio integralo vienetai pagal nurodytą susitarimą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f̂ vienetas yra m²; atvirkštinio integralo vienetas yra m.

   Tiesioginėje transformacijoje sandaugos f dx vienetas yra m². Atvirkštinėje transformacijoje dk vienetas yra m⁻¹, o eksponentinė funkcija ir 1/(2π) yra bedimensiai.

3. Ar taške x = π/4 m teigiama gaubtinė reiškia teigiamą profilio poslinkį? Pateikite tikslią profilio vertę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. f(π/4 m) = −0.02 exp(−π²/16) m.

   Gaubtinė yra teigiama, tačiau nešančiosios bangos fazės skaitinė vertė yra π, o cos π = −1. Modulio riba nenusako poslinkio ženklo.

4. Ar atvirkštiniame integrale palikus tik intervalą −10 ≤ k ≤ 10 m⁻¹ užtikrinamas tikslus atkūrimas taške x = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne; taip praleidžiamas griežtai teigiamas indėlis.

   Kai x = 0, atvirkštinės transformacijos eksponentinė funkcija lygi 1, o f̂(k) yra teigiama kiekvienai baigtinei k vertei. Jos nenulinės uodegos už parodyto intervalo ribų yra tikslaus integralo per visą tiesę dalis.

5. Raskite y(1 m, 0.5 s). Ar tai rodo, kad ties ta žyme esanti medžiaga judėjo išilgine kryptimi 2 m/s greičiu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y(1 m, 0.5 s) = 0.02 m. Išilginis medžiagos judėjimas nenustatytas.

   Argumentas x−ct lygus nuliui, todėl gaunama f(0). Formulė nusako skersinį poslinkį ties fiksuotomis išilginės koordinatės žymėmis; c yra profilio slinkimo greitis.

6. Nekeisdami A ir k₀, pakeiskite ℓ = 1 m į ℓ = 0.5 m. Kaip pasikeičia gaubtinės exp(−1) lygio atstumas ir kiekvieno atskiro Gauso formos spektrinio dėmens exp(−1) lygio nuokrypis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atstumas sumažėja perpus – nuo 1 m iki 0.5 m; nuokrypis padvigubėja – nuo 2 m⁻¹ iki 4 m⁻¹.

   Apibrėžiančios sąlygos yra |x| = ℓ ir |k∓k₀| = 2/ℓ. Jos apibūdina šią šeimą ir kiekvieną atskirą spektrinį dėmenį, o ne universalų jų sumos pločio statistinį rodiklį.

Ką verta įsidėmėti

• Ortogonalumas per visą periodą leidžia atkurti pateiktos baigtinės struktūros koeficientus.
• Nurodykite Furjė transformacijos konvenciją ir išlaikykite f̂ matavimo vienetą m², kai f ir x matuojami metrais.
• Šio Gauso funkcija moduliuoto kosinuso dvipusis Gauso formos amplitudės spektras ir atvirkštinė transformacija yra tiksliai patikrinti.
• Baigtinis stebėjimo intervalas ir baigtinė laužtė nepakeičia integralo per visą tiesę.
• Nurodytasis nedispersinis bangų paketas slenka išlaikydamas formą; medžiagos poslinkis yra atskiras dydis.