Kraštinės sąlygos ir stovinčiosios bangos

Pradėkime nuo dviejų įtvirtintų galų

Duotos stygos ilgis pusiausvyros būsenoje yra L = 2 m. Jos galų skersinis poslinkis visada lygus nuliui. Laiko momentu t = 0 s taškas, pažymėtas x = 0.5 m, yra 0.01 m virš pusiausvyros padėties, o taškas, pažymėtas x = 1.5 m, yra 0.01 m žemiau jos. Abiejų taškų pradinis skersinis greitis lygus nuliui. Pasirinkus glodų stygos profilį tarp galų, šis pavyzdys bus tikslus.

Naudokite vieną nekintančią inercinę atskaitos sistemą. Pusiausvyros padėties žyma x didėja į dešinę; y yra skersinis poslinkis su ženklu, teigiamas į viršų. Šiame modelyje materialiojo taško žyma x nekinta, o jo y kinta. Galui taikoma sąlyga nusako, kaip jis turi elgtis visą laiką. Pradiniai duomenys nusako visos stygos pradinę būseną.

Temos „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ ir „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ parengia reikšmių įstatymui, grafikams ir sinuso bei kosinuso fazėms. „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ yra paskelbta tema, prie kurios galima grįžti norint prisiminti dydžių žymėjimą. Reikalingos apibrėžtys pateikiamos čia, todėl pirmiausia stebėkite taškus ir remkitės tikslia lentele.

„Paprastieji harmoniniai svyravimai“ yra neprivaloma tema, prie kurios galima grįžti norint prisiminti periodinį judėjimą. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ ir „Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“ yra neprivalomos temos, prie kurių galima grįžti atliekant patikras su išvestinėmis. Bangos dėsnis apibrėžiamas čia; pirmą kartą skaitant kita pamoka apie bangas nėra būtina.

Nurodykime stygos dėsnį

Tarkime, turime vienalytę idealią stygą, kurios įtempimo jėga T = 4/5 N, o masė, tenkanti pusiausvyros būsenos ilgio vienetui, ρ = 1/5 kg/m. Styga yra lanksti, jos skersinio poslinkio nuolydžiai maži, nėra išilginio judėjimo, slopinimo ar išorinio žadinimo. Modelis apibrėžtas srityje 0 ≤ x ≤ 2 m ir t ≥ 0 s. Jį nusako lygtis y_tt = (T/ρ)y_xx; apatiniai indeksai žymi antrąsias išvestines pagal nurodytą dydį.

T/ρ = 4 m²/s², todėl teigiamas bangos sklidimo greitis yra c = √(T/ρ) = 2 m/s. Abiejose lygties pusėse gaunamas pagreitis, matuojamas m/s²: y_xx vienetai yra 1/m, o c² vienetai yra m²/s². Įtempimo jėga nėra spyruoklės standumas, o ρ nėra masė, tenkanti tūrio vienetui.

Šie pateikti dydžiai ir lygtys apibrėžia mokomąjį modelį. Mažas nuolydis pagrindžia skersinio judėjimo artinį, tačiau nepatvirtina išmatuotos realios stygos paklaidos. Tiesiogiai patikrinsime du glodžius laukus, užuot iš baigtinio taškų skaičiaus brėžinyje nustatę vienintelį lauką.

Parinkite įtvirtintus galus atitinkančią formą

Kai galai įtvirtinti, kraštinės sąlygos yra y(0,t) = y(L,t) = 0. Išbandykime nenulinę erdvinę formą sin(kx), kur k yra bangos skaičius, matuojamas rad/m. Kairiajame gale reikšmė jau lygi nuliui. Dešiniajame gale reikšmė išlieka lygi nuliui, kai sin(kL) = 0, todėl teigiamos galimos vertės yra k_n = nπ/L, kai n = 1, 2, 3, … . Nulinis laukas yra atskiras trivialus atvejis.

Pasirinkime n = 2. Tuomet k = π/m ir ω = ck = 2π/s. Apibrėžkime lauką y(x,t) = (0.01 m) sin((π/m)x) cos((2π/s)t). Kiekviena fazė yra bedimensė, o jos skaitinė vertė išreiškiama radianais. Iš kampinio dažnio ω gauname dažnį f = ω/(2π) = 1 Hz ir periodą P = 1 s.

Jo nejudantys mazgai yra x = 0 m, 1 m ir 2 m: jų poslinkis ir skersinis greitis bet kuriuo metu išlieka lygūs nuliui. Pasirinktuose pūpsniuose x = 0.5 m ir 1.5 m poslinkio amplitudė yra 0.01 m. Abiejų stygos dalių tarp mazgų poslinkiai yra priešingų ženklų, o jų dalelės juda priešingomis fazėmis.

Viena normalioji svyravimų moda turi vieną nekintamą erdvinę formą, padaugintą iš vieno svyruojančio laikinio daugiklio. Forma keičia ženklą vietoje; jos mazgai nejuda išilgai stygos. Kiti leistini indeksai aprašo kitas formas, bet tai nereiškia, kad taip paleidus stygą turi būti sužadinta kiekviena iš jų.

Pasirinkite pradinę būseną

Pasirinktas kosinuso daugiklis nusako pradinę formą y(x,0) = (0.01 m) sin((π/m)x) ir pradinį greitį y_t(x,0) = 0 m/s. Vien galų sąlygos nenusako nei amplitudės, nei šių paleidimo sąlygų. Pavyzdžiui, laikinį kosinuso daugiklį pakeitus sin((2π/s)t), abi įtvirtintų galų sąlygos išlieka, tačiau pradinis poslinkis yra nulinis, o pradinis greitis bendruoju atveju nenulinis.

Prieš įstatydami konkretaus taško reikšmę, patikrinkime lygtį: y_tt = −ω²y ir y_xx = −k²y. Kadangi ω = ck, tai y_tt − c²y_xx = 0 visame nurodytame intervale, įskaitant visus mazgus ir laiko momentus, kai y yra lygus nuliui. Tikrinant šią tapatybę tiesiogiai, nedalijama iš sinuso ar kosinuso, kurio reikšmė lygi nuliui.

Patikrinome šį pateiktą lauką ir jo duomenis. Neišskaidėme bet kokio pradinio stygos užgavimo į be galo daug modų ir neįrodėme bendrosios pilnumo ar egzistavimo teoremos. Tai papildomi matematiniai klausimai.

Atskirkite tiesų momentinį profilį nuo rimties

Kai t = 1/4 s, cos((2π/s)t) = 0, todėl kiekvieno taško poslinkis lygus nuliui: momentinėje nuotraukoje profilis yra tiesus. Vien šis teiginys nieko nepasako apie skersinį greitį tuo momentu.

Pirmiausia diferencijuokite: y_t(x,t) = −(π/50 m/s) sin((π/m)x) sin((2π/s)t). Tuo pačiu ketvirčio sekundės momentu kairiojo pūpsnio greitis yra −π/50 m/s, o dešiniojo – +π/50 m/s. Jie pereina pusiausvyros padėtį judėdami priešingomis kryptimis.

Nejudančio mazgo erdvinis sinusinis daugiklis visada lygus nuliui; tiesaus momentinio profilio laikinis kosinusinis daugiklis lygus nuliui tik pasirinktu momentu. Kai x = 1 m, ir poslinkis, ir skersinis greitis išlieka lygūs nuliui. Ne mazguose esantis materialusis taškas gali pereiti pusiausvyros padėtį judėdamas.

Pakeiskite tik dešiniojo galo sąlygą

Kairįjį galą palikite įtvirtintą, tačiau dešiniajam galui taikykite kitą idealų įrengimo būdą: nykstamai mažos masės galas gali slankioti skersine kryptimi, neveikiamas išorinės skersinės jėgos. Šiame tiesiniame modelyje nulinės jėgos sąlyga yra T y_x(L,t) = 0. Kadangi T > 0, gauname y_x(L,t) = 0. Įtempimo jėga tebėra 4/5 N; nulinė skersinė jėga nereiškia nulinės įtempimo jėgos.

Nenulinei sinusinei formai dešiniojo galo sąlyga tampa cos(kL) = 0. Leistinas teigiamas vertes užrašykite taip: k_n = (2n+1)π/(2L), kur n = 0, 1, 2, … . Pasirinkite n = 0: k = π/(4 m) ir ω = π/(2 s). Pateiktas poslinkio laukas, kai paleidžiama iš rimties, yra y(x,t) = (0.01 m) sin((π/(4 m))x) cos((π/(2 s))t).

Kai x = L ir t = 0 s, šio lauko poslinkis yra +0.01 m, o nuolydis lygus nuliui. Horizontali liestinė tenkina jėgos sąlygą, nors galas nėra įtvirtintas ties y = 0. Pasirinktas svyravimo periodas yra 4 s. Šis idealus galas su nustatytu judėjimo apribojimu nėra prognozė bet kokiam realiam galui, kuris staiga paleidžiamas.

Palyginkite leistinus pasirinkimus

Greitis c = 2 m/s nesikeičia, nes įtempimo jėga ir ilginis tankis nesikeičia. Leistina erdvinė forma pasikeičia, nes pasikeičia dešiniojo galo judėjimo apribojimas. Todėl pasikeičia ir pasirinktas kampinis dažnis. Abiejose eilutėse taikomi skirtingi, aiškiai nurodyti indeksavimo susitarimai: kai abu galai įtvirtinti, n = 2, o kai vienas galas įtvirtintas, kitas neveikiamas skersinės jėgos, n = 0.

Įtempimo jėgos keitimas būtų kitoks palyginimas. Kai abiejų įtvirtintų galų atveju išlaikoma forma su n = 2, esant pastoviam ilginiam tankiui c yra proporcingas √T, o ω = ck. Taip prognozuojamas dažnis pagal pateiktą idealų modelį; tai nėra priverstinių svyravimų rezonanso smailė ar stebimas realaus įrenginio dažnis.

Palyginkite profilius ir materialiųjų taškų judėjimą

Viršutiniame ir viduriniame grafikuose pateikti dviejų modelių su skirtingomis kraštinėmis sąlygomis erdviniai profiliai laiko momentu t = 0 s. Viršutinė trumpais brūkšneliais pažymėta kreivė taip pat rodo visą nulinį profilį laiko momentu t = 1/4 s. Apatiniame grafike vaizduojamas dviejų pastoviais žymenimis pažymėtų to viršutinio modelio materialiųjų taškų judėjimas bėgant laikui.

Lentelėje naudojami tie patys žymenys: x_L = 0.5 m ir x_R = 1.5 m. Poslinkis ir greitis pateikti atskiruose stulpeliuose su skirtingais matavimo vienetais. Abiejų taškų poslinkiai vienu metu pasiekia nulį ketvirčio periodo momentais, o jų greičių ženklai yra priešingi.

Visuose trijuose grafikuose vertikalioji poslinkio skalė yra vienoda. Erdvinio profilio grafikų horizontaliosiose ašyse naudojami metrai, o laiko grafiko – sekundės. Dėl vertikaliojo padidinimo erdvinių profilių nuolydžiai atrodo gerokai didesni už jų fizines vertes; modelyje su abiem įtvirtintais galais |y_x| ≤ π/100, o modelyje su nulinės skersinės jėgos kraštine sąlyga |y_x| ≤ π/400. Brėžinyje tikrieji kampai neišlaikomi.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Palikite pradinį ilgį, įtempimo jėgą ir tankį, bet abiejuose galuose įtvirtintai stygai pasirinkite n = 1. Raskite k, ω ir P ir patikrinkite formą galuose.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   k = π/(2 m), ω = π/s ir P = 2 s. Forma sin((π/(2 m))x) lygi nuliui ties x = 0 m ir 2 m. Tai kita leistina įtvirtintų galų forma, o ne pradinis paleidimas, kai n = 2.

   Naudokite k_n = nπ/L, kai n = 1, tada ω = ck ir P = 2π/ω. Pakeitus indeksą, reikia patikrinti sinuso reikšmes galuose.

2. Pradiniame lauke, kai n = 2 ir t = 1/8 s, palyginkite tašką x = 1 m su dviem pūpsniais. Ar vidurinis mazgas yra pusiausvyros padėtyje tik tą akimirką?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taške x = 1 m erdvinis sinusinis daugiklis lygus nuliui, todėl y ir y_t visą laiką lygūs nuliui. Šią akimirką pūpsnių poslinkiai yra +√2/200 m ir −√2/200 m, nes cos(π/4) = √2/2. Vidurinis taškas yra nejudantis mazgas, o ne tik taškas, užfiksuotas akimirką, kai laikinis daugiklis lygus nuliui.

   Mazgo erdvinis sinusinis koeficientas lygus nuliui, o pūpsnių koeficientai yra +1 ir −1. Kai t = 1/8 s, laikinis kosinusinis daugiklis lygus √2/2; nulinis erdvinis daugiklis ir pasirinkto momento laikinis daugiklis turi skirtingą prasmę.

3. Raskite poslinkį ir skersinį greitį pradiniame lauke su abiem įtvirtintais galais, kai x = 0.5 m ir t = 1/4 s. Paaiškinkite, kodėl išvados skiriasi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y = 0 m, nes cos(π/2) = 0; y_t = −π/50 m/s, nes diferencijuotas laikinis daugiklis yra −sin(π/2). Taškas juda žemyn per pusiausvyros padėtį, o ne yra rimties būsenoje.

   Greitis yra lauko išvestinė laiko atžvilgiu, todėl jo išraiškoje yra laikinis sinusinis daugiklis. Įstačius reikšmes vien į poslinkio išraišką, negalima nustatyti, ar taškas yra rimties būsenoje.

4. Esant tiems patiems abiem įtvirtintiems galams, patikrinkite bandomąją išraišką y_trial = (0.01 m) cos((π/m)x) cos((2π/s)t) abiejuose galuose, kai t = 0 s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmės abiejuose galuose lygios +0.01 m, nes cos(0) = cos(2π) = 1. Bandomoji išraiška netenkina sąlygos y(0,t) = y(2 m,t) = 0. Vien diferencialinės lygties tenkinimas šio neatitikimo kraštinėms sąlygoms nepašalintų.

   Laukas turi tenkinti ir jį aprašantį dėsnį, ir nurodytas sąlygas galuose. Šiuo atveju jau vien nenulinės reikšmės galuose rodo, kad bandomoji išraiška netinka pasirinktam kraštiniam uždaviniui su abiem įtvirtintais galais.

5. Modelyje su mišriomis kraštinėmis sąlygomis nurodykite y, T ir T y_x, kai x = 2 m ir t = 0 s. Paaiškinkite, kuris dydis pagal kraštinę sąlygą turi būti lygus nuliui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y = +0.01 m, T = 4/5 N ir T y_x = 0 N. Nuliui lygi skersinė jėga krašte; modelyje įtempimo jėga išlieka nenulinė, o galo poslinkis gali būti nenulinis.

   Esant mišriosioms kraštinėms sąlygoms, dešiniajame gale nuolydis lygus nuliui. Padauginus šį bedimensį nuolydį iš išliekančios įtempimo jėgos, gaunama nulinė skersinė jėga, o poslinkio neriboja fiksuotos vertės sąlyga.

6. Palikite L = 2 m, ρ = 1/5 kg/m ir n = 2 atvejui, kai abu galai įtvirtinti, bet nustatykite T = 16/5 N. Raskite naujus c, ω ir P. Ar tai yra priverstinių svyravimų rezonanso smailės prognozė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   T/ρ = 16 m²/s², todėl c = 4 m/s. Leistinas k lieka π/m, taigi ω = 4π/s, o P = 1/2 s. Tai pasirinkta laisvųjų svyravimų moda pakeistame idealiajame modelyje; nepateikta nei išorinio žadinimo, nei rezonansinio atsako matavimo.

   Pakeista įtempimo jėga yra keturis kartus didesnė už pradinę, todėl, esant tam pačiam tankiui, teigiamas sklidimo greitis padvigubėja. Erdvinę formą lemia nepakitusios galų sąlygos; ω keičiasi dėl c pokyčio, nors jokio išorinio žadinimo nepateikta.

Ką verta įsidėmėti

• Kraštiniai duomenys apriboja galus visą laiką; pradinis poslinkis ir greitis nusako paleidimo sąlygas.
• Nejudantis mazgas nėra tas pats, kas akimirka, kai visas poslinkio profilis lygus nuliui; prieš spręsdami, ar materialusis taškas juda, apskaičiuokite išvestinę.
• Fiksuotas poslinkis ir nulinė skersinė jėga gale lemia skirtingas formas. Nulinė skersinė jėga galima ir esant nenulinei įtempimo jėgai bei nenuliniam galo poslinkiui.