Variacinis skaičiavimas, tenzoriai, grupės ir diferencialinė geometrija

Keturi klausimai apie matematinius modelius

Funkcijoms lyginti, bazei keisti, transformacijoms komponuoti ir geometriniams dydžiams matuoti reikia skirtingų matematinių priemonių. Kiekvieną priemonę pristatysime pasitelkdami pateiktą tikslų modelį, o paskui jas susiesime. Modeliuose nėra matavimų ar išvestų judėjimo dėsnių.

Funkcija kiekvienai leistinai argumento reikšmei priskiria funkcijos reikšmę. Jos išvestinė nusako vietinį kitimą, o integralas sumuoja reikšmes tam tikroje srityje. Pasirinkus bazę, vektorius turi komponentes. Matrica veikia stulpelį: kiekvienos eilutės elementai sudauginami su atitinkamais stulpelio elementais, o sandaugos sudedamos. Tai toliau šiame tekste naudojamos būtinos pradinės žinios.

Variacinis skaičiavimas lygina ištisas leistinąsias funkcijas. Tenzorius gali nusakyti daugialinijinį ryšį nepriklausomai nuo bazės, kuria jis aprašomas. Grupė susistemina transformacijas, kurias galima komponuoti ir apgręžti. Diferencialinė geometrija tiria glodžias lokalias koordinates ir geometrinius dydžius, tokius kaip ilgis ir kreivumas. Šioje pamokoje įrodomi trys nedidelės apimties atvejai; bendriesiems variaciniams uždaviniams, bet kokiems tenzoriams, tolydžiosioms grupėms ir bendriesiems kreivumo skaičiavimams reikia tolesnių studijų.

Funkcijos parinkimas laikantis apribojimų

Tegu t yra laiko koordinatė intervale 0 ≤ t ≤ τ, kur τ = 2 s. Leistinoji q yra realiąsias vertes įgyjanti padėties funkcija, šiame intervale turinti tolydžią pirmąją išvestinę; tai žymima q ∈ C¹([0, τ]). Jos reikšmės intervalo galuose yra fiksuotos: q(0) = 0 m ir q(τ) = L = 4 m. Išvestinės intervalo galuose suprantamos kaip vienpusės. Tarpinėms padėtims ir q' ženklui apribojimų nėra.

Nurodykime J[q] = ∫₀^τ (q'(t))² dt. Laužtiniai skliaustai pabrėžia, kad argumentas yra visa funkcija. Tokia funkcijoms skaliarines vertes priskirianti taisyklė vadinama funkcionalu. Čia q' vienetai yra m/s, todėl J vienetai yra m²/s. Šis iš anksto nustatytas baudos dydis yra minimizuojamas dydis; nei energija, nei mechaninis veikimas, nei stebėta trajektorija nėra pateikti.

Norėdami varijuoti q, pasirinkime bet kurią η ∈ C¹([0, τ]), kurios vienetai yra m ir η(0) = η(τ) = 0 m. Kai ε yra bedimensis realusis parametras, qε = q + εη išlieka leistinoji. Keičiame funkciją kandidatę, bet jos apibrėžimo sritį ir reikšmes intervalo galuose paliekame fiksuotas.

Pirmoji variacija šia kryptimi yra δJ[q; η] = (d/dε)J[q + εη], kai ε = 0. Išskleidę kvadratą gauname J[q + εη] = J[q] + 2ε∫₀^τ q'η' dt + ε²∫₀^τ (η')² dt, todėl δJ[q; η] = 2∫₀^τ q'η' dt. Visų trijų koeficientų vienetai yra m²/s. Šiam funkcionalui ir šioms tolydžioms išvestinėms formulė yra tiksli.

Funkcija kandidatė yra stacionari, kai ši pirmoji variacija lygi nuliui su kiekviena leistinąja η. Jei funkcionalas diferencijuojamas, lokalusis minimumas turi būti stacionarus, kai leistinosios variacijos yra abipusės, kaip šiuo atveju: tuomet kiekviena funkcija ε ↦ J[q + εη] turi minimumą taške ε = 0. Vien stacionarumas minimumo neįrodo. Kiti apribojimai gali pakeisti tai, kurios variacijos yra leistinos.

Minimumo įrodymas tiksliai išskaidant

Nagrinėkime q*(t) = (L/τ)t = (2 m/s)t. Su kiekviena leistinąja η šios funkcijos pirmoji variacija yra 2(L/τ)∫₀^τ η' dt = 2(L/τ)[η(τ) − η(0)] = 0 m²/s. Taigi q* yra stacionari.

Kiekvieną leistinąją q galima užrašyti q = q* + η, kur η, kaip reikalaujama, abiejuose intervalo galuose lygi nuliui. Dar kartą išskleidę gauname J[q] = L²/τ + 2(L/τ)[η(τ) − η(0)] + ∫₀^τ (η')² dt = 8 m²/s + ∫₀^τ (η')² dt. Paskutinis integralas yra neneigiamas, todėl įrodytas globalusis minimumas visoje nurodytoje C¹ klasėje.

Lygybei būtina, kad tolydžios neneigiamos funkcijos (η')² integralas būtų lygus nuliui. Jei ji kuriame nors taške būtų teigiama, dėl tolydumo jos indėlis aplinkiniame intervale būtų teigiamas. Vadinasi, η' visur lygi nuliui, η yra pastovi, o nulinės reikšmės intervalo galuose lemia η = 0. Minimumas yra vienintelis.

Pakeiskime tikslo funkcionalą į −J nekeisdami leistinumo sąlygų. Ta pati q* yra stacionari, tačiau įrodyta nelygybė tampa −J[q] ≤ −8 m²/s: dabar q* atitinka globalųjį maksimumą. Išvadą lemia pasirinktas tikslo funkcionalas ir papildomas pagrindimas remiantis ženklais, o ne žodis „stacionari“.

Bilinearinis tenzorius – daugiau nei jo komponenčių masyvas

Realiojoje dvimatėje Euklido plokštumoje pasirinkite statmenus vienetinius krypties vektorius e₁ ir e₂. Poslinkio vektorius v ir w užrašykite skaliarinėmis komponentėmis vₓ, vᵧ, wₓ ir wᵧ, matuojamomis metrais. Apibrėžkite B(v, w) = 2vₓwₓ + vᵧwᵧ. Jos reikšmės matavimo vienetas yra m², o koeficientai – bedimensiai. Tai apibrėžta svertinė bilinearinė forma, kuriai nesuteikta jokia su medžiaga ar energija susijusi interpretacija.

Bilinearinė reiškia tiesinė kiekvieno argumento atžvilgiu, kai kitas argumentas fiksuotas: bedimensiams realiesiems a ir b galioja B(av + bw, z) = aB(v, z) + bB(w, z), o atitinkama tapatybė galioja ir antrajam argumentui. Skaliarines reikšmes įgyjanti bilinearinė forma yra antrosios eilės kovariantinis tenzorius, taip pat vadinamas (0, 2) tipo tenzoriumi. Skaičius du nurodo vektorinių argumentų skaičių; matricos rangas yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų stulpelių skaičius.

Komponentes užrašius stulpeliais, B(v, w) = v_oldᵀ C_old w_old, kur C_old = [[2, 0], [0, 1]]. Viršutinis indeksas ᵀ reiškia transponavimą: eilutės ir stulpeliai sukeičiami vietomis. Dabar naudokite e'₁ = e₂ ir e'₂ = −e₁. Šias naujosios bazės kryptis, išreikštas senojoje bazėje, įrašykite į matricos S = [[0, −1], [1, 0]] stulpelius.

Tam pačiam vektoriui galioja v_old = S v_new, todėl v_new = S⁻¹v_old. Įstatę į B išraišką, gauname C_new = Sᵀ C_old S ir B(v, w) = v_newᵀ C_new w_new. Laikantis nurodyto susitarimo, ši transformavimo taisyklė šiai bilinearinei formai galioja su bet kuria apverčiamąja bazės matrica. Tik kai S yra ortogonalioji, kaip šiuo atveju, galioja S⁻¹ = Sᵀ.

Keičiant bazę, keičiasi ir vektorių, ir formos komponentės, tačiau B reikšmė tiems patiems argumentams išlieka nepakitusi. Vien masyvo, nenurodžius objekto, argumentų ir transformavimo taisyklės, nepakanka tenzoriui nustatyti. Euklidinės normos kvadratui apskaičiuoti naudojama skaliarinė sandauga; mūsų svertinė B yra kita forma. Koordinačių pakeitimas neleidžia savavališkai pakeisti nė vienos iš šių formų matricos.

Keturių grįžtamųjų sukimų komponavimas

Visoje plokštumoje palikite pradines statmenas ašis ir koordinačių pradžią fiksuotas. Apibrėžkite aktyvųjį sukimą R(x, y) = (−y, x), kur x ir y matuojami metrais. Jis pakeičia vektorių arba tašką. Tai skiriasi nuo to paties vektoriaus aprašymo pakeistoje bazėje. Kartojant gaunama R²(x, y) = (−x, −y), R³(x, y) = (y, −x) ir R⁴ = E, kur E yra tapatusis atvaizdis.

Imkite G = {E, R, R², R³} su kompozicija f ∘ g, kuri reiškia, kad pirmiausia taikomas g, o paskui f. Grupei būtinas uždarumas jos operacijos atžvilgiu, asociatyvumas, neutralusis elementas ir kiekvieno elemento atvirkštinis elementas. Komutatyvumas yra papildoma savybė, o ne grupės reikalavimas.

Kai i ir j priklauso {0, 1, 2, 3}, galioja Rⁱ ∘ Rʲ = Rᵏ, kur k yra i + j dalybos iš 4 liekana, o R⁰ = E. Tai įrodo uždarumą. Kompozicija yra asociatyvi, nes ir (f ∘ g) ∘ h, ir f ∘ (g ∘ h) argumentą p atvaizduoja į f(g(h(p))). E yra neutralusis elementas tiek iš kairės, tiek iš dešinės. Elementų E, R, R² ir R³ atvirkštiniai elementai yra atitinkamai E, R³, R² ir R.

Kiekvienas elementas yra R laipsnis, todėl tai yra ciklinė grupė C₄. Ši grupė taip pat yra komutatyvi, nes i + j = j + i. Lentelėje pateiktos visų šešiolikos sutvarkytų elementų porų sandaugos. Šie keturi sukimai sudaro baigtinę grupę; ji neapima visų galimų sukimo kampų.

R išsaugo Euklidinį ilgį: (−y)² + x² = x² + y², o toks pat skaičiavimas su skirtumais parodo, kad išsaugomi atstumai. Tačiau R nebūtinai išsaugo kitą pateiktą formą. Kai v = (3, 4) m, B(v, v) = 34 m², o B(Rv, Rv) = B((−4, 3), (−4, 3)) = 41 m². Transformacijų grupė yra pasirinktos taisyklės simetrija tik tada, kai ši taisyklė yra invariantinė tų transformacijų atžvilgiu. Vien iš šios grupės elementų išvardijimo neišplaukia joks tvermės dėsnis.

Koordinatės gali kisti priklausomai nuo vietos

Glodi lokalioji koordinačių korta priskiria srities taškams koordinates ir toje srityje turi glodų atvirkštinį atvaizdį. Mūsų plokštumoje apsiribokime sritimi x > 0 ir y > 0. Naudokime r > 0, matuojamą metrais, ir 0 < θ < π/2, kur θ yra bedimensė skaitinė kampo vertė radianais. Formulių x = r cos θ ir y = r sin θ atvirkštinės formulės yra r = √(x² + y²) ir θ = arctan(y/x). Ši korta neapima koordinačių pradžios bei koordinačių ašių ir leidžia išvengti kampo nevienareikšmiškumo.

Parametrizacijos p(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) koordinačių krypčių vektoriai yra ∂p/∂r = (cos θ, sin θ) ir ∂p/∂θ = (−r sin θ, r cos θ). Pirmasis yra bedimensis, o antrojo vienetai yra m. Jie priklauso nuo vietos ir yra tiesiškai nepriklausomi, kai r > 0. Čia jie yra statmeni, tačiau kampinės koordinatės krypties vektoriaus norma yra r, taigi jis nėra vienetinis.

Liestinis vektorius viename taške aprašo kryptį ir dydį to taško tiesinėje liestinėje plokštumoje. Jei jo koordinačių koeficientai yra δr, matuojamas metrais, ir bedimensis δθ, tai jo Dekarto komponentes nusako δp = (∂p/∂r)δr + (∂p/∂θ)δθ. Taigi δx = cos θ δr − r sin θ δθ ir δy = sin θ δr + r cos θ δθ.

Išskleidus Euklido normos kvadratą, mišrieji nariai susiprastina ir gaunama |δp|² = (δr)² + r²(δθ)². Čia naudojama Rymano metrika yra glodžiai kintanti simetrinė bilinearinė forma, apibrėžta liestiniams vektoriams ir kiekvienam nenuliniam liestiniam vektoriui priskirianti teigiamą ilgio kvadratą. Simetriškumas reiškia, kad sukeitus du jos argumentus vietomis vertė nesikeičia. Jos matrica yra G_polar = [[1, 0], [0, r²]], aprašanti tą pačią Euklido geometriją kitomis koordinatėmis.

Radialinis koeficientas yra bedimensis, o kampinio koeficiento r² vienetai yra m², nes koordinačių vienetai skiriasi. Abiejų ilgio kvadrato dėmenų vienetai yra m². Reiškinys ds² = dr² + r²dθ² yra atitinkamas linijos elementas, lokaliai įvertinamas išilgai diferencijuojamos kreivės; tai nėra tiksli baigtinio ilgio stygos formulė. Mūsų C₄ transformacijos veikia visoje plokštumoje, o ši konkreti korta priskiria koordinates tik teigiamojo kvadranto taškams.

Nurodykite, kurį kreivį turite omenyje

Plokščioje plokštumoje nubrėžtas apskritimas yra išlinkęs kaip kreivė. Dukart tolydžiai diferencijuojama kreivė vadinama reguliariąja, jei jos išvestinė niekur nėra lygi nuliui. Kai lanko ilgis s matuojamas metrais, o T yra bedimensis vienetinis liestinis vektorius, kreivės kreivis yra κ = |dT/ds|, jo vienetai – m⁻¹.

Apskritimo, kurio spindulys r₀ = 2 m, lankui naudokime p(θ) = r₀(cos θ, sin θ). Didėjančio θ kryptimi T = (−sin θ, cos θ), o s = r₀θ su galima pridėtine konstanta. Todėl dT/ds = (−cos θ, −sin θ)/r₀ ir κ = 1/r₀ = 0.5 m⁻¹. Tai geometrinės išvestinės kampo ir lanko ilgio atžvilgiu, o ne nurodyta raida laike.

Gauso kreivis K_G yra kitas dydis – vidinis paviršiaus kreivis, kurio vienetai yra m⁻², kai ilgiai matuojami metrais. Jį lemia paviršiaus metrika, nepriklausomai nuo to, kaip paviršius įdėtas į jį supančią erdvę. Euklido plokštumos K_G = 0 m⁻². Išreiškus jį polinėmis koordinatėmis, ši vertė nepasikeičia. Todėl nenulinis apskritimo kreivės kreivis nesuteikia jį talpinančiai plokštumai vidinio kreivio.

Kintanti metrikos komponentė r² nusako, kokį ilgį tam tikroje vietoje atitinka kampinės koordinatės pokytis. Vien jos kitimas nėra vidinio kreivio nustatymo kriterijus. Kita vertus, liestinio vektoriaus normos skaičiavimas pagal lokaliąją metriką yra tikslus net tada, kai jo koordinačių koeficientai užrašyti mažais baigtiniais skaičiais: šie koeficientai nusako vektorių viename baziniame taške, o ne skirtumą tarp dviejų galinių taškų, nutolusių vienas nuo kito baigtiniu atstumu.

Aiškiai įvardykite objektą, pokytį ir sąlygas

Šios keturios priemonės yra susijusios, bet viena kitos nepakeičia. Variacijos leidžia palyginti leistinąsias funkcijas; pasyvusis bazės keitimas aprašo tą patį tenzorių ir tuos pačius vektorius; aktyvioji grupės transformacija keičia įvestis; koordinačių žemėlapis aprašo sritį ir jos liestines kryptis. Pati metrika yra bilinearinis tenzorius, dabar priskiriamas kiekvienam taškui. Jos komponentės keičiasi keičiant koordinates, o geometriniai ilgiai lieka tokie patys.

Prieš naudodami bet kurią iš šių priemonių, nurodykite apibrėžimo sritį, leistinąsias įvestis, dydžių rūšis, vienetus ir atliekamą operaciją. Funkcijos uždavinyje C¹ reguliarumas ir variacijos, lygios nuliui intervalo galuose, leidžia pateikti tikslų įrodymą. Tenzoriaus uždavinyje būtina, kad bazės keitimas būtų apgręžiamas. Koordinačių žemėlapyje sąlyga r > 0 ir apribotas kampo intervalas užtikrina glodų atvirkštinį atvaizdį. Kreivės kreivumui būtinas nurodytas reguliarumas.

Fizikinei išvadai reikia ne tik matematikos, bet ir fizikinio modelio. Funkcionalo ekstremumas pats savaime nenusako tikrojo judėjimo; ilgį išlaikantys sukimai nebūtinai išlaiko B; nuo koordinačių priklausantys koeficientai patys savaime neleidžia nustatyti kreivumo. Kitas skyrius „SI vienetai ir šiuolaikinė metrologija“ susieja nurodytus dydžius ir vienetus su fizikiniu matavimu.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pateiktoje q_a šeimoje pasirinkite a = −1. Patikrinkite reikšmes galiniuose taškuose, raskite padėtį, kai t = 1 s, ir apskaičiuokite J[q_a], nurodydami vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmės galiniuose taškuose yra 0 m ir 4 m. Kai a = −1, q_a(1 s) = 1 m ir J[q_a] = 32/3 m²/s.

   Kai u = 1/2, L[u − u(1 − u)] = 4 m(1/2 − 1/4) = 1 m. Daugiklis u(1 − u) abiejuose galiniuose taškuose vis tiek lygus nuliui. Pakėlus a kvadratu išraiškoje J[q_a], gaunama 8(1 + 1/3) m²/s.

2. Ar toje pačioje visoje leistinųjų C¹ funkcijų klasėje q*(t) = (2 m/s)t yra funkcionalo −J minimumo, maksimumo taškas, ar nei vienas, nei kitas? Ar jo pirmoji variacija lygi nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   q* yra vienintelis funkcionalo −J globaliojo maksimumo taškas, kuriame jo reikšmė yra −8 m²/s, o pirmoji variacija lygi nuliui kiekviena leistinąja kryptimi.

   Pakeitus tikslaus skaidinio ženklą, gaunama −J[q] = −8 m²/s − ∫₀^τ (η')² dt. Antrasis narys negali padidinti reikšmės, o lygybė galima tik tada, kai η = 0. Pirmoji variacija yra δJ su priešingu ženklu, todėl ties q* ji tebėra lygi nuliui.

3. Imkite w_old = (1, 2) m su tais pačiais S ir B. Raskite w_new ir B(w, w) naujojoje bazėje, tada raskite B(Rw, Rw) senojoje bazėje. Taip pat palyginkite euklidinių normų kvadratus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   w_new = (2, −1) m ir B(w, w) = 6 m²; kai Rw = (−2, 1) m, gaunama B(Rw, Rw) = 9 m². Abiejų euklidinių normų kvadratai yra 5 m².

   Pasyviajame skaičiavime naudojama C_new = [[1, 0], [0, 2]], ir gaunama 2² + 2(−1)² = 6, išreikšta m². Aktyviajame skaičiavime paliekama C_old ir gaunama 2(−2)² + 1² = 9, išreikšta m². Euklidinė forma vietoj to sudeda abiejų komponenčių kvadratus.

4. Grupėje C₄ raskite R³ ∘ R² ir R³ atvirkštinį elementą. Pritaikykite šią kompoziciją taškui (1, 2) m; dešiniausia transformacija atliekama pirmiausia.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   R³ ∘ R² = R, R³ atvirkštinis elementas yra R, o ši kompozicija tašką (1, 2) m atvaizduoja į (−2, 1) m.

   Laipsnių rodiklių suma yra 5, o jos dalybos iš 4 liekana yra 1. R³ ∘ R = R⁴ = E tiek dauginant iš kairės, tiek iš dešinės. Skaičiuojant tiesiogiai, R² atvaizduoja (1, 2) į (−1, −2), o tada R³ šią porą atvaizduoja į (−2, 1).

5. Taške, kuriame r = 3 m ir θ = π/4, liestinio vektoriaus komponentės yra δr = 0 m ir δθ = 1/10. Nurodykite kampinės koordinatės metrikos koeficientą su jo vienetu ir apskaičiuokite vektoriaus normą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kampinės koordinatės metrikos koeficientas yra r² = 9 m², o liestinio vektoriaus norma yra 3/10 m = 0.3 m.

   Normos kvadratas yra 0 m² + (9 m²)(1/10)² = 9/100 m². Ištraukus teigiamą kvadratinę šaknį gaunama 3/10 m. Laikant bedimensį δθ ilgiu, būtų praleistas būtinas radialinis daugiklis.

6. Euklidinėje plokštumoje yra 2 m spindulio apskritimo lankas. Nurodykite šios kreivės kreivį ir plokštumos Gauso kreivį su vienetais. Ar kintanti polinių koordinačių metrikos komponentė r² suteikia plokštumai vidinį kreivumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lanko kreivis yra κ = 0.5 m⁻¹; plokštumos kreivis yra K_G = 0 m⁻². Kintanti komponentė r² nesuteikia šiai plokštumai vidinio kreivumo.

   Apskritimo vienetinio liestinės vektoriaus kitimas lanko ilgio atžvilgiu duoda 1/r₀. Gauso kreivis susijęs su vidine paviršiaus metrika, o ne su atskiros kreivės posūkiu. Polinės koordinatės pakeičia metrikos komponentes, tačiau išlaiko plokščiąją euklidinę geometriją.

Ką verta įsidėmėti

• Variaciniame uždavinyje prieš ieškant ekstremumo apibrėžiamos leistinos funkcijos, apribojimai ir funkcionalas.
• Nulinė pirmoji variacija užtikrina stacionarumą; neneigiama liekana įrodo, kad čia nagrinėjamas konkretus minimumas yra vienintelis.
• Bilinijinis tenzorius ir jo komponenčių matrica yra skirtingi objektai: pasyviai keičiant bazę, vektoriaus ir tenzoriaus komponentės transformuojamos kartu.
• C₄ tenkina visus keturis grupės reikalavimus kompozicijos atžvilgiu, tačiau pasirinktos fizikinės ar matematinės taisyklės invariantiškumą reikia patikrinti atskirai.
• Nuo koordinačių priklausanti metrika liestinės vektoriaus koeficientus paverčia geometriniais ilgiais su suderintais matavimo vienetais.
• Kreivės kreivumas ir paviršiaus Gauso kreivumas yra skirtingi dydžiai; kreivas apskritimas gali būti vidujai plokščioje plokštumoje.