Fizika · Straipsnis

Vektoriai ir vektorinės erdvės

Aprašyti poslinkį komponentėmis fiksuotų ašių atžvilgiu, atlikti veiksmus su suderinamais vektoriais ir pasitelkus nedidelius pavyzdžius su tiksliomis vertėmis supažindinti su tiesiniu apvalkalu, tiesiniu nepriklausomumu, baze ir realiosiomis vektorinėmis erdvėmis.

Ankstesnis straipsnis: Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Atskirti vektorių, jo komponentes su ženklais ir neneigiamą jo modulį.
Sudėti ir atimti poslinkio vektorius bei dauginti juos iš skaliaro, naudojant fiksuotas ašis ir suderinamus matavimo vienetus.
Suprasti poslinkių schemą, kurioje vieno vektoriaus pradžia sutampa su ankstesnio vektoriaus galu, ir nepainioti jos su išmatuota trajektorija.
Paaiškinti tiesinį derinį, tiesinį apvalkalą ir tiesinį nepriklausomumą plokštumoje.
Remiantis tiesiniu apvalkalu ir tiesiniu nepriklausomumu patikrinti bazę ir koeficientų jos atžvilgiu vienatinumą.
Atskirti baigtinio matmens matematines vektorines erdves nuo fizikinių rodyklių ir fizikinių dydžių dimensijų.

Sieti kryptį, modulį ir fizikinę prasmę

Poslinkis apibūdina padėties pokytį, turintį ir kryptį, ir modulį. Jis vaizduojamas rodykle: jos pradžia žymi pradinę padėtį, o smaigalys – galutinę. Vektorius žymime A ir B; |A| reiškia vektoriaus A modulį. Nenulinis poslinkis turi kryptį. Nulinio poslinkio modulis lygus nuliui, o vienareikšmės krypties jis neturi.

Mūsų sukurtame hipotetiniame pavyzdyje nagrinėjame vieną pasirinktą tašką fiksuotoje plokštumoje. Statmenos x ir y ašys turi fiksuotą koordinačių pradžią; teigiama x kryptis yra į dešinę, o teigiama y kryptis – aukštyn. Padėtys ir poslinkio komponentės išreiškiamos metrais. Pateikti tikslūs taškai yra O = (0 m, 0 m), P = (2 m, 1 m) ir Q = (3 m, 0 m). Tai sutartos modelio vertės, o ne matavimo rezultatai.

Prasmingai skaičiuojant būtina išlaikyti ne tik matavimo vienetus, bet ir dydžio rūšį. Metrologijoje dydžio rūšis skiriama nuo dimensijos: ta pati dimensija dar nereiškia tos pačios dydžio rūšies. Čia atliekame veiksmus su poslinkiais vienoje atskaitos sistemoje. Poslinkio ir greičio negalima sudėti taip, tarsi jie būtų tas pats dydis; abiejų užrašymas dviejų skaičių poromis šio skirtumo nepanaikina.

Dedamųjų skaitymas fiksuotose ašyse

Poroje pirmiausia nurodoma x dedamoji, o po jos – y dedamoji. Norėdami rasti poslinkį iš pradinio taško į galinį, iš galinio taško koordinačių atimkite atitinkamas pradinio taško koordinates: A_x = x_end − x_begin ir A_y = y_end − y_begin. Taigi poslinkis iš O į P yra A = (2 m, 1 m), o iš P į Q – B = (1 m, −1 m). Neigiama B vektoriaus y dedamoji reiškia poslinkį žemyn mūsų pasirinktose ašyse.

Dedamoji su ženklu yra skaliarinis dydis nurodytos ašies kryptimi; atitinkamas dedamosios vektorius nukreiptas išilgai tos ašies. Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje vektoriaus modulis yra |A| = sqrt(A_x^2 + A_y^2). Čia sqrt reiškia neneigiamą kvadratinę šaknį. Mūsų vektoriui A gauname |A| = sqrt((2 m)^2 + (1 m)^2) = sqrt(5) m. Tai, kad jo dedamosios teigiamos, nereiškia, kad jo modulis yra 3 m.

Bedimensiai vienetiniai vektoriai e_x ir e_y nurodo teigiamas ašių kryptis; kiekvieno jų modulis lygus vienetui. Galime užrašyti A = (2 m)e_x + (1 m)e_y. Metras yra skaliarinių dedamųjų, o ne e_x ar e_y matavimo vienetas. Dedamosios priklauso nuo pasirinktos bazės; pakeitus ašies kryptį, pasikeičia atitinkamų dedamųjų ženklai, bet ne vaizduojamas poslinkis.

Mūsų sukurto pavyzdžio tikslūs poslinkiai fiksuotose statmenose ašyse (metrais)
Vektorius	x dedamoji (m)	y dedamoji (m)	Modulis (m)
A: iš O į P	2	1	sqrt(5)
B: iš P į Q	1	−1	sqrt(2)
R = A + B: iš O į Q	3	0	3

Suderinamų vektorių sudėtis, atimtis ir daugyba iš skaliaro

Naudokite tą pačią atskaitos sistemą ir suderinamus matavimo vienetus, tada sudėkite atitinkamas komponentes. Mūsų du vienas po kito einantys poslinkiai duoda R = A + B = (2 m + 1 m, 1 m − 1 m) = (3 m, 0 m). Taikant trikampio taisyklę, B pradžia dedama ties A galu; R jungia pirmojo vektoriaus pradžią su paskutiniojo galu. Rodyklės rodo atstojamuosius poslinkius, o ne išsamias judėjimo trajektorijas ar trukmes tarp nurodytų taškų.

Iš bedimensio realiojo daugiklio dauginamos abi komponentės: 2A = (4 m, 2 m) ir −A = (−2 m, −1 m). Neigiamas daugiklis pakeičia nenulinio vektoriaus kryptį į priešingą, o vektoriaus modulis padauginamas iš daugiklio absoliučiosios vertės. Dauginant iš nulio gaunamas nulinis vektorius. Atimtis reiškia priešingo vektoriaus pridėjimą: A − B = A + (−B) = (1 m, 2 m).

Mūsų atstojamojo vektoriaus modulis yra 3 m, o dviejų pradinių vektorių moduliai yra sqrt(5) m ir sqrt(2) m. Sudėję šiuos modulius, negauname |R|. Skirtumą paaiškina tai, kad y komponentės viena kitą panaikina. Pirmiausia apskaičiuokite vektorių sumą, tada jos modulį; kad rodyklių diagrama tiksliai vaizduotų kryptis ir ilgius, abiejose erdvinėse ašyse turi būti naudojamas tas pats fizikinio ilgio mastelis.

Poslinkio rodyklių sudėtis vienoje fiksuotoje plokštumoje

1. Išlaikykite tas pačias ašis
Abi statmenos padėties ašys sugraduotos metrais ir vienodu masteliu. Koordinačių pradžia ir teigiamos kryptys nekinta. Tai erdvinė diagrama be laiko ašies.
2. Perkeldami rodyklę išlaikykite jos komponentes
Vektoriaus B komponentės yra (1 m, −1 m) tiek nuo P iki Q, tiek palyginimui skirtoje jo kopijoje, prasidedančioje taške O. Nubraižytos rodyklės pradžios perkėlimas nekeičia šio poslinkio vektoriaus.
3. Pridėkite vieno pradžią prie kito galo
Taške P esantis vektoriaus A galas yra vektoriaus B pradžia. Jų atstojamasis vektorius eina nuo O iki Q: jo komponentės yra (3 m, 0 m), todėl jo modulis yra 3 m. y komponentės viena kitą panaikina.

Mūsų sukurtame hipotetiniame pavyzdyje nustatytos tikslios padėtys: O = (0 m, 0 m), P = (2 m, 1 m) ir Q = (3 m, 0 m). A eina iš O į P, B – iš P į Q, o R = A + B – iš O į Q. Palyginimui skirta B kopija prasideda taške O ir turi tas pačias komponentes (1 m, −1 m). Abiejų erdvinių ašių vienetai yra metrai, o ilgio mastelis vienodas. Rodyklės aprašo bendruosius poslinkius, o ne išsamius nueitus kelius, trukmes ar matavimų preciziškumą.

Sudarykite kombinacijas ir tikrinkite nepriklausomumą

Tiesinė kombinacija yra vektorių ir skaliarų sandaugų suma. Šių vektorių tiesinis apvalkalas yra visų tokių rezultatų aibė. Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, jei vienintelė kombinacija, lygi nuliniam vektoriui, yra ta, kurios visi koeficientai lygūs nuliui. Šie apibrėžimai taikomi pasirinktai vektorinei erdvei ir joje leidžiamiems skaliarams.

Vienas mūsų sukurtas suderinamų poslinkio vektorių derinys yra 2A − B = (4 m − 1 m, 2 m + 1 m) = (3 m, 3 m). Daugikliai 2 ir −1 yra bedimensiai. Jei koeficientas turėtų fizikinius vienetus, reikėtų atskirai patikrinti gauto dydžio rūšį ir vienetus; tai nebūtų ta pati daugybos iš realiųjų skaičių operacija poslinkių erdvėje.

Kad algebrą nagrinėtume be papildomų fizikinio turinio klausimų, dabar naudokime realiųjų skaičių poras. Dauginant porą (1, 0) iš skaliaro, galima gauti kiekvieną porą (c, 0), bet negalima gauti (0, 1). Sistema (1, 0), (2, 0) yra tiesiškai priklausoma, nes kombinacijoje 2(1, 0) − (2, 0) = (0, 0) naudojami nenuliniai koeficientai. Abu vektoriai lieka vienoje tiesėje, todėl ši sistema negeneruoja visų plokštumos porų.

Bazė generuoja be pertekliaus

Bazė generuoja erdvę ir kartu yra tiesiškai nepriklausoma. Tuomet kiekvieno vektoriaus koeficientai šioje bazėje yra vienareikšmiškai apibrėžti. Baigtinėmatė vektorinė erdvė turi baigtinę bazę; jos matmuo yra bazės vektorių skaičius. Čia baigtinis matmuo reiškia nepriklausomų algebrinių krypčių skaičių, o ne baigtinį elementų skaičių ar aprėžtą fizinės erdvės sritį.

Visų sutvarkytųjų realiųjų skaičių porų erdvėje R² apibrėžkime u = (1, 0) ir w = (1, 1). Kiekvieną porą galima užrašyti kaip (a, b) = (a − b)u + b w. Palyginus antrąsias komponentes, nustatoma, kad vektoriaus w koeficientas yra b, o tada iš pirmųjų komponenčių nustatoma, kad vektoriaus u koeficientas yra a − b. Tai tiesiogiai įrodo tokios išraiškos egzistavimą ir vienareikšmiškumą, todėl u ir w sudaro bazę. Jie neprivalo būti statmeni ar turėti vienodus modulius.

Ta pati skaičių pora (2, 1) įprastinėje bazėje (1, 0), (0, 1) turi koeficientus (2, 1), o mūsų bazėje u, w – koeficientus (1, 1). Prieš aiškindami koeficientų reikšmę, nurodykite bazę. Vektorinės erdvės R² matmuo yra 2. Pora vaizduojamo fizikinio poslinkio dimensija vis tiek yra ilgio dimensija; skaičius 2 nepaverčia jo plotu.

Vektorinėse erdvėse gali būti ne tik rodyklės

Realioji vektorinė erdvė yra aibė su sudėties ir daugybos iš realiųjų skaičių operacijomis, uždara abiejų operacijų atžvilgiu ir tenkinanti tiesines taisykles: sudėties komutatyvumą ir asociatyvumą, nulinio elemento ir priešingų elementų egzistavimą, daugybos iš skaliaro distributyvumą ir asociatyvumą bei daugybos iš vieneto tapatumo savybę. Vien uždarumo nepakanka. Žodis „skaliaras“ čia reiškia leidžiamą realųjį skaičių, o ne bet kokį skaliarinį fizikinį dydį su vienetais.

Kaip nedidelį originalų abstraktų pavyzdį imkime aibę, kurios elementai yra visi reiškiniai p(z) = a + b z, kur a ir b yra realieji skaičiai, o z – bedimensis realusis įvesties dydis. Įtraukime ir pastoviuosius reiškinius bei nulinį reiškinį. Reiškinius sudėkime sudėdami atitinkamus koeficientus, o daugindami iš realiojo skaičiaus padauginkime kiekvieną koeficientą. Šių operacijų rezultatai lieka aibėje, o reikiamos tiesinės taisyklės kyla iš realiųjų skaičių aritmetikos.

Reiškiniai 1 ir z sudaro bazę: a + b z = a(1) + b(z). Jei c + d z = 0 kiekvienam z, įstatę z = 0 gauname c = 0, o tada įstatę z = 1 gauname d = 0. Taigi bazės vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir generuoja visą erdvę. Šios erdvės matmuo yra 2, o elementų joje yra be galo daug. Jos vektoriai yra reiškiniai, o ne rodyklės erdvėje; vien vektorinės erdvės taisyklės nesuteikia jiems fizikinės krypties, ilgio ar kampo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Sudėkite poslinkius prieš skaičiuodami modulį

Naudokite hipotetinius taškus O = (0 m, 0 m), P = (2 m, 1 m) ir Q = (3 m, 0 m), kurių tikslios koordinatės pateiktos nurodytoje fiksuotų statmenų ašių sistemoje. Raskite poslinkį A iš O į P, poslinkį B iš P į Q, atstojamąjį poslinkį ir jo modulį. Ar šis modulis nusako faktinį įveikto kelio ilgį?

Apskaičiuokite galinių taškų koordinačių skirtumus: A = (2 m − 0 m, 1 m − 0 m) = (2 m, 1 m) ir B = (3 m − 2 m, 0 m − 1 m) = (1 m, −1 m).
Sudėkite atitinkamas komponentes: R = A + B = (3 m, 0 m).
Apskaičiuokite |R| = sqrt((3 m)^2 + (0 m)^2) = 3 m. Atstojamasis poslinkis nukreiptas į dešinę.
Pateikti galiniai taškai nusako bendruosius poslinkius. Jie nenurodo, kokiomis tiksliai trajektorijomis buvo judama, todėl pagal juos negalima nustatyti faktinio viso įveikto kelio ilgio.

Atstojamasis poslinkis yra (3 m, 0 m), o jo modulis – 3 m. Tai poslinkis iš O į Q, o ne nustatytas kelio ilgis ar matavimo rezultatas.

Raskite vienareikšmiškai nustatomus koeficientus kitoje bazėje

Erdvėje R² naudokite u = (1, 0) ir w = (1, 1). Raskite realiuosius koeficientus c ir d, kad (2, −1) = c u + d w. Paaiškinkite, kodėl jie nustatomi vienareikšmiškai.

Užrašykite komponenčių porą: c u + d w = (c + d, d).
Antroji komponentė turi tenkinti sąlygą d = −1.
Tuomet iš pirmosios gauname c + (−1) = 2, taigi c = 3.
Patikrinkite 3(1, 0) − (1, 1) = (2, −1). Antroji komponentė vienareikšmiškai nustato d, o pirmoji – c; jokia kita koeficientų pora netinka.

Koeficientai yra c = 3 ir d = −1. Koeficientai šioje bazėje skiriasi nuo įprastos komponenčių poros (2, −1), tačiau vaizduojamas vektorius išlieka tas pats.

Abstrakčių vektorių sudėtis pagal jų koeficientus

Reiškinių a + b z realiojoje vektorinėje erdvėje imkite p(z) = 2 − z ir q(z) = −1 + 3z. Raskite p + q ir 2p − q. Nurodykite kiekvieno rezultato koeficientus sutvarkytoje bazėje 1, z.

Sudėkite pastoviuosius narius ir koeficientus prie z: (p + q)(z) = (2 − 1) + (−1 + 3)z = 1 + 2z.
Pirmiausia padauginkite p iš skaliaro: 2p(z) = 4 − 2z.
Atimkite q: (2p − q)(z) = (4 + 1) + (−2 − 3)z = 5 − 5z.
Sutvarkytoje bazėje 1, z koeficientų poros yra atitinkamai (1, 2) ir (5, −5). Abu rezultatai priklauso nurodytai erdvei.

p + q yra 1 + 2z, o 2p − q yra 5 − 5z. Tai abstrakčios dvimatės erdvės vektoriai; vien jų koeficientų poros neaprašo fizinių poslinkių.

Pabandykite patys

Duotas poslinkis (−3 m, 4 m) statmenų ašių sistemoje, kurioje teigiamos kryptys yra į dešinę ir aukštyn. Ar jo modulis neigiamas? Raskite jį ir apibūdinkite komponenčių kryptis.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jo modulis yra 5 m. x dedamosios vektorius nukreiptas į kairę, o y dedamosios vektorius – aukštyn.
Modulis yra sqrt((−3 m)^2 + (4 m)^2) = sqrt(25) m = 5 m. Komponenčių ženklai nurodo kryptis koordinačių ašių atžvilgiu; modulis yra neneigiamas.
Duotam poslinkiui A = (2 m, 1 m) raskite A + (−A). Ar rezultato kryptis vienareikšmiškai apibrėžta?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Rezultatas yra (0 m, 0 m); jo modulis lygus nuliui, o kryptis nėra vienareikšmiškai apibrėžta.
Abi komponentės panaikinamos: (2 m − 2 m, 1 m − 1 m) = (0 m, 0 m). Nulinis vektorius išlieka poslinkių algebros dalimi, nors iš jo negalima nustatyti krypties.
Ar galima sudėti poslinkį (1 m, 0 m) ir greitį (1 m/s, 0 m/s) vien todėl, kad abu užrašyti dviem komponentėmis? Ką reikia patikrinti prieš sudedant fizikinius vektorius?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Patikrinkite, ar dydžių rūšys ir vienetai suderinami ir ar naudojama ta pati koordinačių sistema.
Poslinkio ir greičio fizikinė prasmė bei vienetai skiriasi. Toks užrašas neapibrėžia jų sumos nei kaip poslinkio, nei kaip greičio. Prieš sudėdami suderinamus poslinkius, jų komponenčių vienetus nuosekliai suvienodinkite.
Erdvėje R² nagrinėkite u = (1, 2) ir v = (2, 4). Ar jie tiesiškai nepriklausomi? Ar jų tiesiniam apvalkalui gali priklausyti (0, 1)?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jie tiesiškai priklausomi, o jų tiesiniam apvalkalui nepriklauso (0, 1).
Derinyje 2u − v = (0, 0) nulinis vektorius gaunamas naudojant nenulinius koeficientus. Kiekviena tiesinė kombinacija yra (c + 2d)(1, 2), kurios antroji komponentė lygi pirmosios komponentės dvigubai vertei. Pora (0, 1) netenkina šio sąryšio.
Kai u = (1, 0) ir w = (1, 1), raskite vektoriaus (3, 2) koeficientų porą sutvarkytojoje bazėje u, w. Ar ji sutampa su įprasta skaitine komponenčių pora?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Jo koeficientų pora šioje bazėje yra (1, 2); ji skiriasi nuo įprastos komponenčių poros (3, 2).
1(1, 0) + 2(1, 1) = (3, 2). Bazė lemia, kaip koeficientai nusako vektorių; pakeitus bazę, vaizduojamas vektorius nesikeičia.
Reiškinių a + b z realiosios erdvės bazė yra 1, z. Ar matmuo 2 reiškia, kad joje yra tik du reiškiniai? Ar vien jos vektorinės erdvės struktūra suteikia reiškiniui 2 − z erdvinę kryptį?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Į abu klausimus atsakymas – ne. Ji turi du bazės vektorius, be galo daug elementų ir neturi automatiškai priskirtos erdvinės krypties.
Realieji koeficientai a ir b leidžia sudaryti be galo daug reiškinių. Matmuo nusako bazės vektorių skaičių. Norint reiškinius interpretuoti kaip fizines rodykles arba pasirinkti ilgio ir kampo sampratą, reikėtų papildomų apibrėžimų.

Ką verta įsidėmėti

Prieš atlikdami skaičiavimus su fizikiniais vektoriais, nurodykite fizikinį dydį, vienetus ir koordinačių sistemą.
Komponentės su ženklu priklauso nuo fiksuotų ašių; modulis yra neneigiamas, o nulinis vektorius neturi vienareikšmės krypties.
Prieš skaičiuodami modulį, sudėkite suderinamas komponentes; atimtį atlikite pridėdami priešingą vektorių.
Tiesinis apvalkalas apima visas tiesines kombinacijas; tiesinis nepriklausomumas reiškia, kad jokia netriviali kombinacija nėra lygi nuliniam vektoriui.
Bazės vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir generuoja visą erdvę, todėl koeficientai yra vienareikšmiai; vektorinės erdvės matmuo nusako bazės vektorių skaičių.
Abstrakti vektorinė erdvė nebūtinai aprašo erdvines rodykles ir savaime neturi fizikinių ilgių bei krypčių.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

OpenStax University Physics Volume 1 — Vectors and componentsWilliam Moebs, Samuel J. Ling and Jeff Sanny — OpenStax / Rice UniversityVadovėlio skyriusUniversity Physics Volume 1, 2.1 Scalars and Vectors University Physics Volume 1, 2.2 Coordinate Systems and Components of a Vectoropenstax.org
International vocabulary of metrology, 1.2 Kind of quantityJoint Committee for Guides in Metrology, Working Group 2 — official BIPM-hosted VIM3Žinynasjcgm.bipm.orgSkaityti šaltinį
Mathematics Course 111: Algebra I, Part IV: Vector Spaces (1996–97)D. R. Wilkins — School of Mathematics, Trinity College Dublin, IrelandPaskaitų medžiaga · PDFmaths.tcd.ieSkaityti šaltinį