Gradientas, divergencija, rotorius ir vektorinė analizė

Lauko ir koordinačių sistemos apibrėžimas

Skaliarinis laukas kiekvienam leistinam taškui priskiria vieną skaliarinę reikšmę, o vektorinis laukas – vektorių. Temperatūra gali būti skaliarinis laukas, o kiekviename taške nurodytas greitis – vektorinis laukas. Lauko rodyklės vaizduoja jo reikšmes taškuose; vien jos nenusako dalelės trajektorijos.

Naudokite nejudančias, tarpusavyje statmenas Dekarto x, y ir z ašis su nurodyta koordinačių pradžia; visų ašių koordinatės matuojamos metrais. Koordinačių sistema yra dešininė: užlenkus dešinės rankos pirštus nuo teigiamos x krypties link teigiamos y krypties, nykštys rodo teigiamą z kryptį. Komponenčių tvarka yra (x, y, z). Visi mūsų tiksliai apibrėžti hipotetiniai laukai pateikiami atvirojoje srityje D, kur −1 m < x < 3 m, −1 m < y < 3 m ir −1 m < z < 3 m.

Pirmiausia srityje D pateikiame laike nekintančios temperatūros priklausomybę T(x, y, z) = 280 K + (3 K/m)x + (4 K/m)y. K žymi kelviną. Vėliau pateikiame atskirus greičio laukus vienu nustatytu laiko momentu; jų komponenčių matavimo vienetai yra m/s. Tai mokomieji modeliai, o ne matavimai, ir jų dešimtainės reikšmės nenurodo matavimo prietaiso tikslumo. Erdvinės išvestinės tuo laiko momentu nenusako būsimo judėjimo ar tvermės dėsnio.

Diferencijuokite pagal vieną koordinatę

Dalinė išvestinė ∂T/∂x apskaičiuojama laikant y ir z pastoviais ir imant baigtinę dvipusę santykio [T(x + h, y, z) − T(x, y, z)]/h ribą, kai nenulinis ilgio pokytis h artėja prie nulio. Simbolis ∂ žymi dalinę išvestinę. Taškus ir pokyčius rinkitės taip, kad liktumėte D viduje; atviroje srityje prie kiekvieno taško galima artėti iš abiejų pusių.

Duotajai T šiame santykyje nuo padėties nepriklausantis narys ir narys su y susiprastina. Lieka (3 K/m)h/h = 3 K/m, kai h ≠ 0. Taigi ∂T/∂x = 3 K/m. Laikant x ir z pastoviais, gaunama ∂T/∂y = 4 K/m; laikant x ir y pastoviais, gaunama ∂T/∂z = 0 K/m.

Vektorinio lauko F = (Fₓ, Fᵧ, F_z) kiekviena komponentė pati yra skaliarinė x, y ir z funkcija. Diferencijuokite pasirinktą komponentę pagal pasirinktą koordinatę. Toliau pateiktuose tiesiniuose laukuose visos pirmosios dalinės išvestinės egzistuoja ir yra tolydžios visoje D srityje. Išvestinės pagal koordinates nusako kitimo erdvėje spartą; nė viena iš jų nėra išvestinė laiko atžvilgiu.

Gradientas nusako vietinį skaliarinio lauko kitimą erdvėje

Šioje fiksuotoje Dekarto koordinačių sistemoje gradientas yra ∇T = (∂T/∂x, ∂T/∂y, ∂T/∂z). Simbolis ∇ tariamas „nabla“ ir žymi erdvinį diferencialinį operatorių. Jis veikia lauką; tai nėra įprastas modelyje duotas fizikinis vektorius. Gradientas skaliarinį lauką paverčia vektoriniu lauku. Čia ∇T = (3, 4, 0) K/m.

Diferencijuojamo skaliarinio lauko vietinė išvestinė ilgio atžvilgiu bemate vienetine kryptimi u yra ∇T·u. Skaliarinė sandauga apskaičiuojama sudauginant atitinkamas komponentes ir sudedant gautas sandaugas. Jei gradientas nenulinis, jo kryptis nurodo didžiausio vietinio didėjimo kryptį, o jo modulis – šio didėjimo spartą. Jei gradientas lygus nuliui, toks aiškinimas neišskiria vienintelės krypties.

Mūsų gradiento modulis yra √(3² + 4²) K/m = 5 K/m, todėl jo vienetinė kryptis yra (3/5, 4/5, 0). Kryptis yra vektorius, kurio modulis lygus vienetui, o ne poslinkis metrais. Gradientas apibūdina temperatūros didėjimą pagal duotą statinę taisyklę. Norint iš to spręsti apie šilumos pernašą, reikėtų atskiro fizikos dėsnio.

Divergencija matuoja vietinį grynąjį srautą į išorę

Šiose Dekarto koordinatėse divergencija yra ∇·F = ∂Fₓ/∂x + ∂Fᵧ/∂y + ∂F_z/∂z. Ji vektorinį lauką paverčia skaliariniu lauku. Kiekviena komponentė diferencijuojama pagal ją atitinkančią koordinatę. Žymėjimas tašku yra trumpas šios operacijos su funkcijomis užrašas.

Norėdami ją interpretuoti, pasirinkite mažą uždarą sritį aplink tašką, integruokite F komponentę išorinės normalės kryptimi per visą srities ribą ir padalykite iš srities tūrio. Laukui, kurio pirmosios dalinės išvestinės yra tolydžios, šio santykio riba, kai rutulys traukiasi į tašką, yra divergencija tame taške. Teigiama vertė reiškia grynąjį srautą į išorę, o neigiama – grynąjį srautą į vidų šioje riboje.

Vienu laiko momentu imkime V = (αx, αy, αz), kur α = 0.50 s⁻¹. Kiekvienos komponentės vienetai yra s⁻¹ m = m/s. Šio lauko divergencija visoje D srityje yra α + α + α = 1.50 s⁻¹. Koordinačių pradžioje V yra nulinis vektorius, tačiau jo divergencija teigiama: divergenciją lemia kitimas erdvėje aplink tašką, o ne greitis tame taške.

Greičio lauko srauto per paviršių į išorę vienetai yra (m/s)m² = m³/s, o padalijus iš tūrio gaunama s⁻¹. Tai tūrinio srauto dydis, nebūtinai masės debitas. Ši greičio lauko taisyklė nenurodo masės tankio ir neteigia, kad susidaro medžiaga.

Rotorius nusako orientuotą vietinę cirkuliaciją

Dešininėje Dekarto koordinačių sistemoje rotorius yra ∇×F = (∂F_z/∂y − ∂Fᵧ/∂z, ∂Fₓ/∂z − ∂F_z/∂x, ∂Fᵧ/∂x − ∂Fₓ/∂y). Jis vektorinį lauką paverčia vektoriniu lauku. Komponenčių tvarka ir atimties ženklai yra apibrėžimo dalis.

Skaičiuojant cirkuliaciją išilgai orientuotos uždaros kreivės, sumuojama F komponentė kelio kryptimi, padauginta iš kelio ilgio. Laukui, kurio pirmosios dalinės išvestinės yra tolydžios, rotoriaus skaliarinė sandauga su n yra cirkuliacijos ir ploto santykio riba, kai plokštumoje esantys apskritimai su pasirinkta vienetine normale n traukiasi į tašką. Dešinės rankos taisyklė susieja kontūro apėjimo kryptį su n: kryptis prieš laikrodžio rodyklę, žiūrint iš teigiamos z pusės, atitinka +z. Rotorius yra išvestinėmis apibrėžtas vietinis dydis, o ne išvada, daroma iš lenktos rodyklės.

Tuo pačiu nurodytu laiko momentu duotas laukas W = (−βy, βx, 0 m/s), kur β = 0.25 s⁻¹. Jo divergencija lygi nuliui. Jo rotoriaus x ir y komponentės lygios nuliui, o z komponentė yra β − (−β) = 0.50 s⁻¹. Taigi ∇×W = (0, 0, +0.50) s⁻¹. Cirkuliacija, orientuota pagal teigiamą z kryptį, vietiniu mastu yra teigiama, nors bendras vietinis srautas į išorę lygus nuliui.

Laukų palyginimas skaičiuojant

Nenulinis greitis nebūtinai reiškia nenulinę divergenciją ar rotorių. Vienalyčio lauko U = (1 m/s, 0 m/s, 0 m/s) visos komponenčių išvestinės erdvinių koordinačių atžvilgiu lygios nuliui. Greičio modulis yra 1 m/s, o abiejų operatorių rezultatai lygūs nuliui.

Rotoriui nereikia, kad lauko rodyklės būtų išlenktos. Duotas šlyties laukas H = (γy, 0 m/s, 0 m/s), kur γ = 0.50 s⁻¹. Jo rodyklės yra horizontalios, o horizontalusis greitis didėja didėjant y. Divergencija lygi nuliui, tačiau rotoriaus z komponentė yra 0 − γ = −0.50 s⁻¹. Priešingų mažo kontūro kraštinių indėliai nevienodi, nors rodyklės tiesios.

Lentelėje palyginami keturi nurodyti greičio laukai srityje D. Divergencijos ir rotoriaus vienetai čia vienodi – s⁻¹, tačiau šie dydžiai atsako į skirtingus klausimus. Nulinis bendras rezultatas taip pat galimas, kai nenuliniai indėliai vienas kitą kompensuoja; tam nebūtina, kad visos lauko vertės būtų lygios nuliui.

Viso ribinio paviršiaus ir tūrio ryšys

Orientuoto paviršiaus n yra bedimensis vienetinis normalės vektorius, o dA – teigiamas ploto matas. Paviršinis srauto integralas ∬ F·n dA sumuoja normalines dedamąsias su jų ženklais. F·n yra teigiamas ten, kur F nukreiptas į išorę normalės n atžvilgiu, ir neigiamas ten, kur jis nukreiptas į vidų.

Taikykite šias pakankamas divergencijos teoremos sąlygas: E yra aprėžtas kūnas, kurio uždaras ribinis paviršius ∂E yra dalimis glodus; n nukreiptas iš E į išorę; F turi tolydžias pirmosios eilės dalines išvestines atviroje srityje, apimančioje E ir jo ribinį paviršių. Tuomet ∬_∂E F·n dA = ∭_E (∇·F) dV. Čia ∂E žymi visą ribinį paviršių, o dV yra teigiamas tūrio matas. Viena atskira siena to tūrio neapgaubia.

Pasirinkite E kaip kubą 0 ≤ x, y, z ≤ 2 m, visą esantį srityje D, ir naudokite V. Jo tūris yra 8 m³. Tūrinis integralas yra (1.50 s⁻¹)(8 m³) = 12 m³/s. Skaičiuojant tiesiogiai, kiekviena iš trijų sienų, kuriose x, y arba z = 2 m, duoda (1 m/s)(4 m²) = 4 m³/s; priešingose sienose, kur atitinkama koordinatė lygi nuliui, srautas lygus nuliui. Bendra suma patvirtina teoremą šiam pateiktam laukui.

Uždaro kontūro ir orientuoto paviršiaus ryšys

Cirkuliaciją užrašykite kaip ∮_C F·dr. Apskritimas ant integralo ženklo žymi uždarą kontūrą C; dr yra kryptinis ilgio pokytis išilgai jo. Greičio lauko atveju matavimo vienetai yra (m/s)m = m²/s. Jie skiriasi nuo srauto per kontūro apgaubtą paviršiaus plotą matavimo vienetų.

Stokso teoremai pasirinkite aprėžtą orientuojamą dalimis glodų paviršių S, kurio kraštas C yra paprastas uždaras dalimis glodus kontūras. Pasirinkite nuoseklią normalės n orientaciją ir pagal dešinės rankos taisyklę suderinkite su ja C kryptį. Jei F turi tolydžias pirmosios eilės dalines išvestines atviroje srityje, apimančioje S ir jo kraštą, tuomet ∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·n dA. Pakeitus abi orientacijas į priešingas, lygybė išlieka, tačiau abiejų jos pusių ženklas pasikeičia.

Naudokite stačiakampį 0 ≤ x ≤ 2 m, 0 ≤ y ≤ 1 m, z = 0, kurio n = (0, 0, 1). Eikite jo kraštu nuo (0, 0) iki (2, 0), (2, 1), (0, 1) ir atgal; koordinatės pateiktos metrais. Lauko W cirkuliacijos išilgai keturių kraštinių yra 0, +0.50, +0.50 ir 0 m²/s. Jų suma yra +1.00 m²/s ir lygi (0.50 s⁻¹)(2 m²), gaunamai iš rotoriaus normalinės dedamosios.

Prieš taikydami operatorių ar teoremą, įvardykite lauką, jo apibrėžimo sritį, matavimo vienetus ir reikiamą orientaciją. Mūsų tiesinių laukų išvestinės yra tolydžios visose nurodytose aplinkose; tikslūs aritmetiniai skaičiavimai patvirtina šiuos modelio skaičiavimus. Jie nepatvirtina realaus skysčio judėjimo ar šilumos srauto. Kitoje pamokoje pristatomos matricos ir tiesinė algebra, suteikiančios papildomų priemonių dedamųjų skaičiavimams tvarkyti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskaičiuokite T ir jo gradientą taške (1 m, 1 m, 2 m). Ar gradiento matavimo vienetai yra temperatūros vienetai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   T = 287 K, o ∇T = (3, 4, 0) K/m. Gradiento matavimo vienetai yra temperatūros vienetai, padalyti iš ilgio vienetų.

   Įstatę gauname 280 K + 3 K + 4 K; z nieko neprideda. Dalinės išvestinės visoje srityje D yra pastovios, tačiau kiekviena jų yra temperatūros pokyčio ir ilgio pokyčio santykis. T ir jo gradientas yra skirtingų rūšių fizikiniai dydžiai, turintys skirtingus vienetus.

2. Apskaičiuokite šio T kitimo spartą kryptimi u = (−4/5, 3/5, 0). Ar u yra vienetinis krypties vektorius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip, u yra vienetinis krypties vektorius, o ∇T·u = 0 K/m.

   Modulio kvadratas yra 16/25 + 9/25 = 1. Skaliarinė sandauga yra −12/5 K/m + 12/5 K/m = 0 K/m. Pagal šią tiesinę priklausomybę leistini poslinkiai ta kryptimi nekeičia T. Nulinė kitimo sparta šia viena kryptimi nereiškia, kad T turi maksimumą ar minimumą.

3. Atskirai duotas vienalytis greičio laukas J = (3 m/s, 0 m/s, 0 m/s) visoje srityje D. Raskite jo greičio modulį, divergenciją ir rotorių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Greičio modulis yra 3 m/s; divergencija yra 0 s⁻¹, o rotorius – (0, 0, 0) s⁻¹.

   Vektoriaus modulis yra 3 m/s. Kiekviena komponentė nepriklauso nuo padėties, todėl visos dalinės išvestinės pagal erdvines koordinates yra lygios nuliui. Nei divergencija, nei rotorius nėra lauko greičio modulis.

4. Raskite H = ((0.50 s⁻¹)y, 0 m/s, 0 m/s) divergenciją ir rotorių. Ar rodyklės gali išlikti horizontalios?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Divergencija yra 0 s⁻¹, o rotorius – (0, 0, −0.50) s⁻¹. Rodyklės išlieka horizontalios.

   Hₓ priklauso nuo y, todėl ∂Hₓ/∂x = 0, o ∂Hₓ/∂y = 0.50 s⁻¹. Kitos komponentės yra lygios nuliui. Taigi vienintelė nenulinė rotoriaus komponentė yra ∂Hᵧ/∂x − ∂Hₓ/∂y = −0.50 s⁻¹. Kitimas tarp eilių sukuria cirkuliaciją, nors kiekviena rodyklė nukreipta išilgai x ašies.

5. Koks yra V lauko srautas į išorę per vieną 2 m kraštinės kubo sieną y = 2 m? Ar ši viena siena gali pakeisti visą uždarą paviršių pateiktoje divergencijos teoremoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Srautas per šią sieną yra +4 m³/s. Ji negali pakeisti viso uždaro paviršiaus, per kurį srautas yra +12 m³/s.

   Sienos išorinė normalė nukreipta +y kryptimi, normalinė dedamoji yra 1 m/s, o plotas – 4 m². Teorema susieja tūrinį integralą su visų į išorę nukreiptų srautų per ribą indėliais. Viena atvira siena neapgaubia kubo.

6. Nurodytame stačiakampyje lauko W krašto apėjimo kryptį pakeiskite į kryptį pagal laikrodžio rodyklę, žiūrint iš teigiamosios z pusės. Kaip pasikeičia cirkuliacija? Kaip reikia pakeisti paviršiaus orientaciją, kad išliktų Stokso teoremos lygybė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Cirkuliacija tampa −1.00 m²/s. Pasirinkite normalę n = (0, 0, −1), kad rotoriaus srautas per paviršių taip pat taptų −1.00 m²/s.

   Pakeitus orientuoto kelio kryptį į priešingą, jo kreivinis integralas pakeičia ženklą. Pats rotorius nepasikeičia, tačiau jo skaliarinė sandauga su priešingai nukreipta normale yra −0.50 s⁻¹, todėl per 2 m² plotą gaunama −1.00 m²/s. Pakeitus tik kelio kryptį ir palikus +z orientaciją, teoremos reikalaujamos orientacijos būtų nesuderintos.

Ką verta įsidėmėti

• Laukas nusako skaliarines arba vektorines vertes nurodytos atskaitos sistemos ir srities taškuose; erdvinės išvestinės pačios savaime nenusako kitimo laike.
• Gradientas diferencijuojamą skaliarinį lauką paverčia vektoriumi, apibūdinančiu vietinius erdvinius kitimo greičius; jo vienetai yra skaliaro vienetai, padalyti iš ilgio vieneto.
• Divergencija yra skaliarinis dydis, nusakantis vietinį grynąjį srautą į išorę tūrio vienetui; ji skiriasi nuo lauko greičio modulio.
• Rotorius yra orientuotas vektorius, kurio normalinė dedamoji nusako vietinę cirkuliaciją ploto vienetui; skaičiuokite jį laikydamiesi nurodytų ženklų Dekarto koordinačių sistemoje ir dešinės rankos taisyklės.
• Divergencijos teoremai reikia visos uždaros, į išorę orientuotos ribos ir pakankamai reguliaraus lauko jos gaubiamoje srityje.
• Stokso teorema susieja paviršiaus normalę su krašto apėjimo kryptimi ir reikalauja pakankamai reguliaraus lauko paviršiaus aplinkoje. Išlaikykite šias sąlygas, vienetus ir modelio galiojimo ribas.