Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai

Skaityti matricą eilutėmis ir stulpeliais

Matrica yra stačiakampė elementų lentelė. Jos horizontalios elementų sekos yra eilutės, o vertikalios – stulpeliai. Matricos, turinčios m eilučių ir n stulpelių, matmenys yra m × n, o aᵢⱼ žymi i-osios eilutės ir j-ojo stulpelio elementą. Šie eilučių ir stulpelių skaičiai nėra fizikinio dydžio dimensija ar vienetas.

Pateikite tikslią bedimensę realiųjų skaičių matricą A = [[2, 1]; [1, 2]]. Šiame glaustame užraše kabliataškis skiria eilutes, o kableliai – eilutės elementus. A matmenys yra 2 × 2, o a₁₂ = 1 ir a₂₂ = 2. Kvadratinės matricos eilučių ir stulpelių skaičiai yra lygūs. Stulpelis [q₁; q₂] yra 2 × 1 matrica.

Vienodų matmenų matricose sudėkite atitinkamus elementus; dauginant iš skaliaro, dauginamas kiekvienas elementas. Taigi [u₁; u₂] + [w₁; w₂] = [u₁ + w₁; u₂ + w₂] ir c[u₁; u₂] = [cu₁; cu₂]. Mūsų nagrinėjamais atvejais, kai reikšmės išreiškia ilgį, c yra bedimensis realusis skaičius, o sudėti galima tik suderinamus fizikinius dydžius.

Fiksuokite koordinačių bazę ir vienetus

Nurodykite fiksuotą idealiąją plokštumą, atskaitos pradžią ir statmenas ašis, kurių teigiamos kryptys yra į dešinę ir aukštyn. Abu poslinkio komponentai q₁ ir q₂ matuojami metrais. Jų stulpelis q vaizduoja vieną poslinkio vektorių šioje fiksuotoje bazėje. Kanoniniai koordinačių stulpeliai yra e₁ = [1; 0] ir e₂ = [0; 1], todėl q = q₁e₁ + q₂e₂. Bazė lemia vienintelį tokį vaizdavimą komponentais. Čia e stulpeliai nurodo bemates koordinačių kryptis, o q koeficientai turi ilgio vienetus.

Apibrėžkime originalų hipotetinį skaičiavimą p = A q visoms realiosioms ilgio komponentėms q₁ ir q₂, įvesčiai ir išvesčiai naudodami tą pačią komponenčių bazę ir tą pačią dydžio rūšį – poslinkį. Visi A elementai yra bedimensiai, todėl išvesties komponentės matuojamos metrais. Ši lygtis apibrėžia matematinį atvaizdį, bet ne jėgos dėsnį, kitimo laike taisyklę ar stebimo kūno judėjimą.

Vien matmenų atitikties fizikiniam skaičiavimui nepakanka. Kiekviena sandauga, sumuojama skaičiuojant išvesties komponentę, turi atitikti tos komponentės dydžio rūšį ir matavimo vienetus. Kituose modeliuose koeficientai gali turėti matavimo vienetus, kurie skirtingiems elementams gali būti skirtingi. Naudojant šią nepakeistą bedimensę matricą A, vieną įvesties komponentę matuojant metrais, o kitą – sekundėmis, tokie reiškiniai kaip 2 m + 2 s būtų netaisyklingi. Pakeitus bazę ar komponenčių tvarką, reikia atitinkamai pakeisti ir jų pateikimą, o ne be pakeitimų naudoti senuosius elementus.

Eilutės daugyba iš stulpelio

Dauginant matricas, atitinkami eilutės ir stulpelio elementai dauginami, o gautos sandaugos sudedamos. Mūsų dviejų komponenčių įvesčiai A q = [2q₁ + q₂; q₁ + 2q₂]. Naudojant tiksliai pateiktą q = [1 m; −2 m], gaunama [2(1 m) + (−2 m); 1 m + 2(−2 m)] = [0 m; −3 m].

Bendruoju atveju m × n matricą galima iš dešinės dauginti iš n × r matricos ir gauti m × r matricą. Vidiniai matmenys n turi sutapti. Todėl 2 × 3 matricos ir 3 × 1 stulpelio sandaugos matmenys yra 2 × 1. Matmenų atitiktis tikrinama prieš atliekant aritmetinius veiksmus ar fiziškai interpretuojant rezultatą.

Sandaugos elementas i eilutėje ir j stulpelyje yra Σₖ aᵢₖ bₖⱼ, kur Σₖ reiškia sumavimą pagal sutampantį indeksą k. Tai nėra dviejų ištisų matricų daugyba po elementą. Kai A veikia q, kiekvieną sumą sudaro du dėmenys; pagal mūsų apibrėžtą modelį kiekvienas dėmuo matuojamas metrais.

Tiesiškumas ir veiksmų tvarka

Atvaizdis T(q) = A q yra tiesinis: T(u + w) = T(u) + T(w) ir T(cu) = cT(u), kai įvestys suderinamos, o c yra bedimensis realusis skaliaras. Šios lygtys čia apibrėžia tiesiškumą. Jos gaunamos pritaikius skirstomumo dėsnį eilutės sumoms. Visų pirma, nulis atvaizduojamas į nulį. Prie kiekvieno rezultato pridėjus pastovų nenulinį išvesties poslinkį, šis nulinės įvesties reikalavimas nebūtų tenkinamas.

Dabar toje pačioje bazėje apibrėžkime antrą bedimensį atvaizdį B = [[1, 2]; [0, 1]]. Pirmiausia pritaikius B, o paskui A, gaunama A(Bq) = (AB)q; pirmas veikia dešiniausias atvaizdis. Šiai porai, dauginant eilutes iš stulpelių, gaunama AB = [[2, 5]; [1, 4]], o BA = [[4, 5]; [1, 2]].

Sandaugos skiriasi, nors abiejų matmenys yra 2 × 2. Matricų daugyba bendruoju atveju nėra komutatyvi. Kai kurios poros yra komutatyvios; neteigiama, kad kiekvienos poros sandaugos skiriasi. Mūsų pateiktam q = [1 m; −2 m], (AB)q = [−8 m; −7 m] ir (BA)q = [−6 m; −3 m]. Tvarka pakeičia šį apibrėžtą skaičiavimą, tačiau nenustato tikros fizinių judesių sekos.

Sistema ir atvaizdis

Taikant atvaizdį, pradedama nuo q ir apskaičiuojama A q. Sprendžiant tiesinių lygčių sistemą A q = b, pradedama nuo pateikto tikslinio stulpelio b ir ieškoma nežinomo q. Šios sistemos lygtys yra 2q₁ + q₂ = b₁ ir q₁ + 2q₂ = b₂. Nežinomieji yra tik pirmojo laipsnio ir nėra dauginami tarpusavyje; tai tiesinės lygtys. Mūsų modelyje tikslinės b komponentės matuojamos metrais.

Antrosios eilės vienetinė matrica yra I = [[1, 0]; [0, 1]]; ji nekeičia tinkamo dydžio stulpelio. Atvirkštinė matrica A⁻¹ tenkina A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Ji atlieka atvirkštinį matematinį atvaizdį. Realiosios antrosios eilės matricos K = [[a, b]; [c, d]] determinantas yra det K = ad − bc; K turi atvirkštinę matricą tada ir tik tada, kai šis skaičius nelygus nuliui. Žymenį det rašome aiškiai, kad determinantą atskirtume nuo vektoriaus modulio.

Kai det K ≠ 0, antrosios eilės atvirkštinė matrica yra K⁻¹ = (1/(ad − bc))[[d, −b]; [−c, a]]. Padauginę K iš skaitiklyje esančios matricos bet kuria tvarka, gauname (ad − bc)I; taip patikriname šią formulę. Matricai A gauname det A = 4 − 1 = 3 ir A⁻¹ = (1/3)[[2, −1]; [−1, 2]]. Taigi norimą išvestį b = [5 m; 4 m] atitinka vienintelė įvestis q = A⁻¹b = [2 m; 1 m]; įstatę ją, patikriname abi lygtis.

Patikrinkite, ką reiškia singuliarumas

Kvadratinė matrica, kurios determinantas lygus nuliui, yra singuliarioji ir neturi abipusės atvirkštinės matricos. Tai nereiškia, kad kiekviena su ja susijusi lygčių sistema neturi sprendinio. Atsakymas priklauso nuo norimos išvesties: singuliarioji sistema gali būti nesuderinama arba turėti daugiau nei vieną įvestį.

Pateikite atskirą tikslią bedimensę matricą S = [[0, 0]; [0, 2]] tame pačiame fiksuotame komponenčių bazise. Kai įvesties komponentės yra ilgiai, ji veikia taip: S q = [0 m; 2q₂]. Jos determinantas lygus nuliui. Pirmoji įvesties komponentė išvestyje išnyksta, todėl pagal išvestį šios komponentės negalima vienareikšmiškai atkurti.

Jei norimos išvesties pirmoji komponentė nelygi nuliui, pirmosios lygties neįmanoma tenkinti. Kai ši komponentė lygi nuliui, antroji lygtis nustato q₂, o q₁ gali būti bet koks realusis ilgis. Šios išvados tiesiogiai išplaukia iš nurodytos S; jos parodo, kodėl determinanto tikrinimą būtina derinti su konkrečiomis lygtimis ir norima išvestimi. Dalyba iš nuliui lygaus determinanto neleistina.

Apibrėžkite tikrinę porą su nenuliniu vektoriumi

Kvadratinei matricai, vaizduojančiai atvaizdį iš erdvės į ją pačią, tikrinę porą sudaro nenulinis vektorius v ir skaliaras λ, tenkinantys A v = λv. Graikiška raidė λ žymi tikrinę vertę, o v yra tikrinis vektorius. Čia ieškome realiųjų λ ir realiųjų stulpelių, o įvestis ir išvestis išreiškiamos tame pačiame fiksuotame bazise. Tikrinio vektoriaus lygtis atrenka tokį komponenčių derinį, kurio išvestis yra to paties derinio skaliarinis kartotinis; tai nėra bendras teiginys, kad visos įvestys turi šį derinį.

Nulinis vektorius neįtraukiamas, nes A[0; 0] = λ[0; 0] galioja kiekvienam λ ir neišskiria jokios tikrinės vertės. Vis dėlto nulis gali būti tikrinė vertė. Mūsų atskirai matricai S galioja S e₁ = [0; 0] = 0e₁, o e₁ = [1; 0] yra nenulinis. Neigiama tikrinė vertė pakeistų nenulinio komponenčių derinio ženklą į priešingą; nulinė tikrinė vertė duoda nulinę išvestį, todėl vien „ta pati kryptis“ nėra išsamus apibrėžimas.

Jei v yra tikrinis vektorius, kiekvienas jo kartotinis cv, kur c yra nenulinis bedimensis realusis skaičius, taip pat yra tikrinis vektorius su ta pačia λ: A(cv) = cAv = cλv = λ(cv). Todėl pasirinkto tikrinio vektoriaus modulis ir ženklas nėra vienareikšmiškai apibrėžti. Mūsų pateiktuose v stulpeliuose naudojami bedimensiai koordinačių santykiai. Padauginus tokį stulpelį iš nenulinio ilgio, gaunama ilgio dimensiją turinti įvestis, kuriai mūsų bedimensė A pasižymi ta pačia mastelio keitimo savybe; λ lieka bedimensė.

Raskite ir patikrinkite simetrinį pavyzdį

Transponuotoje matricoje Aᵀ eilutės ir stulpeliai sukeičiami vietomis. Realioji kvadratinė matrica yra simetrinė, kai Aᵀ = A, arba, lygiaverčiai, aᵢⱼ = aⱼᵢ. Mūsų A yra simetrinė: abu neįstrižaininiai elementai lygūs 1. Pateiksime dvi tikslias realiąsias jos tikrines poras, užuot darę prielaidą, kad kiekvienai realiajai matricai gaunamas toks pat rezultatas.

Perrašykite tikrinio vektoriaus lygtį taip: (A − λI)v = 0. Kad egzistuotų nenulinis sprendinys, matrica A − λI turi būti singuliarioji, todėl išspręskite det(A − λI) = 0. Šiuo atveju gauname (2 − λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3 = (λ − 3)(λ − 1) = 0. Realiųjų skaičių sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas daugiklis lygus nuliui, todėl λ = 3 arba λ = 1. Kiekvienai galimai tikrinei vertei dar reikia rasti nenulinį vektorių ir patikrinti daugybą.

Kai λ = 3, iš (A − 3I)v = 0 gauname v₂ = v₁; pasirinkite v₊ =, tuomet A v₊ = = 3v₊. Kai λ = 1, gauname v₂ = −v₁; pasirinkite v₋ = [1; −1], tuomet A v₋ = [1; −1] = v₋. Apatiniai indeksai su pliuso ir minuso ženklais atskiria šiuos pasirinktus koordinačių derinius. Tai tikslūs pateikto statinio atvaizdžio sąryšiai. Išvadoms apie fizikinę virpesių modą, dažnį ar stabilumą reikėtų papildomų fizikinių lygčių ir sąlygų; vien šios tikrinių verčių ir vektorių poros nenusako jokios trajektorijos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodykite bedimensės matricos R = [[4, −1, 0]; [2, 3, 5]] dydį, elementų skaičių ir r₂₃. Ar 2 × 3 čia žymi fizikinį vienetą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Matricos R dydis yra 2 × 3, ji turi šešis elementus; r₂₃ = 5. Matricos dydis nurodo eilučių ir stulpelių skaičių, o ne fizikinį vienetą.

   Matrica turi dvi eilutes, o kiekvienoje eilutėje yra po tris elementus. Indeksas 23 nurodo eilutę 2 ir stulpelį 3. Suskaičiavę elementus gauname 2(3) = 6.

2. Bedimensės matricos C dydis yra 2 × 3, o bedimensės matricos D dydis yra 3 × 1. Ar sandauga CD apibrėžta ir koks jos dydis? Ar sandauga DC apibrėžta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sandauga CD apibrėžta, jos dydis yra 2 × 1. Pagal matricų daugybos taisyklę sandauga DC neapibrėžta.

   Sandaugos CD vidiniai matmenys 3 ir 3 sutampa. Sandaugos DC vidiniai matmenys yra 1 ir 2, ir jie nesutampa. Pakeitus dauginimo tvarką, suderinamumą reikia tikrinti atskirai.

3. Į nepakeistą bedimensę matricą A kas nors įstato q = [1 m; 2 s] ir teigia, kad p₁ = 2 m + 2 s yra poslinkis. Ar tai fiziškai pagrįsta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Dėmenų dydžių rūšys ir dimensijos nesuderinamos, todėl ši suma nurodytame modelyje neapibrėžia poslinkio.

   Suderintas 2 × 1 dydis nepašalina vienetų neatitikimo. Pradinis atvaizdis reikalauja, kad abu įvesties dydžiai būtų poslinkio komponentės. Kituose modeliuose galima naudoti elementus su vienetais, kad būtų gauti suderinami išvesties dėmenys, tačiau tuos koeficientus ir dydžių prasmę būtina aiškiai nurodyti.

4. Naudodami pateiktą matricą S, išspręskite Sq = [0 m; 6 m]. Tada nustatykite, ar Sq = [1 m; 6 m] turi bent vieną sprendinį. Visos q komponentės yra realiosios ilgio vertės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai dešinioji pusė yra [0 m; 6 m], q₂ = 3 m, o q₁ gali būti bet kuri realioji ilgio vertė. Kai dešinioji pusė yra [1 m; 6 m], sprendinių nėra.

   Taikant S gaunama [0 m; 2q₂]. Pirmoji dešinioji pusė leidžia lygybę 0 m = 0 m ir nustato tik q₂. Antroji reikalautų lygybės 0 m = 1 m, kuri neįmanoma. Taigi vien tai, kad matrica singuliari, nereiškia, jog nė vienai dešiniajai pusei nėra sprendinio.

5. Ar e₁ = [1; 0] yra matricos S tikrinis vektorius ir kokia jo tikrinė vertė? Ar [0; 0] galima vadinti tikriniu vektoriumi? Naudokite bedimensius koordinačių stulpelius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nenulinis e₁ yra tikrinis vektorius, kurio tikrinė vertė yra 0. Nulinis stulpelis nėra tikrinis vektorius.

   Se₁ = [0; 0] = 0e₁ tenkina lygtį, kai pradinis vektorius yra nenulinis. Nulinis stulpelis tenkintų A v = λv su bet kuria λ verte, todėl pagal apibrėžimą jis nelaikomas tikriniu vektoriumi. Nulinė tikrinė vertė ir nulinis tikrinis vektorius yra skirtingos sąlygos.

6. Patikrinkite, ar w = yra matricos A tikrinis vektorius, palygindami abu lygybės Aw = λw komponentus. Taip pat patikrinkite vektoriaus [−4; −4] tikrinę vertę. Šie stulpeliai yra bedimensiai.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   [2; 1] nėra tikrinis vektorius. [−4; −4] yra tikrinis vektorius, kurio tikrinė vertė yra 3.

   Aw =. Pirmajam komponentui reikėtų λ = 5/2, o antrajam – λ = 4; vienas skaliaras negali tenkinti abiejų sąlygų. A[−4; −4] = [−12; −12] = 3[−4; −4], o pradinis vektorius yra nenulinis.

Ką verta įsidėmėti

• Matricos matmenys nusako eilučių ir stulpelių skaičių, o ne fizikinį matavimo vienetą.
• Prieš interpretuodami sandaugą, patikrinkite, ar sutampa vidiniai matmenys, ar tinkama daugybos tvarka ir ar suderinami dydžių nariai.
• Matrica vaizduoja tiesinį atvaizdį nurodytose bazėse; apskaičiuoti atvaizdžio reikšmę ir rasti nežinomą pradinį vektorių yra skirtingos užduotys.
• Realiosios matricos, turinčios dvi eilutes ir du stulpelius, determinantas yra ad − bc; kai determinantas nenulinis, egzistuoja iš abiejų pusių atvirkštinė matrica.
• Singuliarusis atvaizdis vieną galutinį vektorių gali gauti iš daugelio pradinių vektorių, o kito – iš nė vieno; patikrinkite konkrečias lygtis.
• Tikrinis vektorius turi būti nenulinis, tačiau jo tikrinė vertė gali būti lygi nuliui. Padauginus tikrinį vektorių iš nenulinio skaliaro, tikrinė vertė išlieka ta pati.
• Pateiktos simetrinės matricos tikslios tikrinių verčių ir tikrinių vektorių poros yra matematiniai rezultatai; fizikinės modos ar stabilumo interpretacijai reikia papildomų lygčių ir sąlygų.