Integralai ir kelių kintamųjų analizė

Kitimo spartos integravimas mažais intervalais

Išvestinė nusako vietinę kitimo spartą. Integralu galima sukaupti šios spartos indėlį per intervalą. Jei greitis su ženklu yra tiksliai pastovus ir lygus +2 m/s visą 0.5 s laiką, poslinkis yra (+2 m/s)(0.5 s) = +1 m. Kai greitis kinta, vieną pasirinktą jo vertę padauginus iš viso praėjusio laiko, nebūtinai gaunamas teisingas poslinkis.

Padalykite laiko intervalą į mažus intervalus, kurių trukmė Δt yra teigiama. Kiekviename iš jų pasirinkite laiko momentą, greitį tuo momentu padauginkite iš to intervalo trukmės, tada sudėkite sandaugas, atsižvelgdami į jų ženklus. Simbolis Σ reiškia nurodytų narių sudėtį, tad šią svertinę sumą galima užrašyti Σ v(sample time) Δt. Kiekvieno nario matavimo vienetai yra (m/s)s = m. Tokios sumos vadinamos Rymano sumomis.

Baigtinė suma, sudaryta iš pasirinktų taškų verčių, paprastai yra artinys. Jei kitimo sparta yra tolydi uždarame baigtiniame intervale, šios sumos artėja prie vienintelės vertės, kai didžiausio dalinio intervalo plotis artėja prie nulio. Tolydumas reiškia, kad artėjant prie kiekvieno taško funkcijos vertės artėja prie jos vertės tame taške; intervalo galiniame taške artėjama iš intervalo pusės. Matematinis intervalų smulkinimas nereiškia, kad matavimo prietaisas gali atskirti kiek norima trumpus laiko tarpus.

Kaip skaityti apibrėžtinį integralą

Sukauptą vertę užrašykite kaip ∫_a^b f(u) du – funkcijos f apibrėžtinį integralą nuo a iki b. Funkcija f yra pointegralinė funkcija; u yra integravimo kintamasis; a ir b yra integravimo rėžiai. Žymuo du nurodo kintamąjį, kurio intervalų pločiai įtraukiami į sumą. Fiksuota rėžių pora duoda vieną vertę, kurios matavimo vienetai yra f ir u matavimo vienetų sandauga.

Kai a ≤ b, teigiamos funkcijos vertės duoda teigiamus įnašus, o neigiamos – neigiamus. Grafike tai atitinka plotą virš horizontaliosios ašies, iš kurio atimamas plotas po ja. Tačiau rezultatas savaime nėra fizikinis plotas: integruojant greičio priklausomybės nuo laiko grafiką gaunami metrai, nes jo ašių matavimo vienetai yra m/s ir s, o ne du ilgio vienetai.

Gretimų intervalų integralus galima sudėti: ∫_a^b f(u) du = ∫_a^c f(u) du + ∫_c^b f(u) du, kai a ≤ c ≤ b ir funkcija yra integruojama. Sukeitus rėžius, pasikeičia ženklas, o kai rėžiai sutampa, gaunamas nulis. Tai matematiniai susitarimai dėl integravimo rėžių. Vien laiko rėžių sukeitimas neaprašo kito kūno judėjimo atgal laiku.

Atskirkite poslinkį nuo kelio

Pateikite originalų tikslų modelį, aprašantį vieno pasirinkto kūno taško judėjimą tiesia koordinačių ašimi. Nustatykite koordinačių pradžią, teigiama kryptimi laikykite kryptį į dešinę, o laiką t skaičiuokite nuo nurodytos pradžios. Greičio projekcija yra v(t) = 3 m/s − (1 m/s²)t tik tada, kai 0 ≤ t ≤ 5 s, įskaitant abu intervalo galus. Ši taisyklė galioja kiekvienu šio intervalo laiko momentu; lentelė ir grafikas iliustruoja šią sąlygą. Tai nėra matavimai.

Vienmačio judėjimo atveju greičio modulis yra neneigiamas dydis |v(t)|. Bendras poslinkis yra ∫_0s^5s v(t) dt, o nueitas kelias – ∫_0s^5s |v(t)| dt. Čia v = 0, kai t = 3 s; iki šio momento greičio projekcija yra teigiama, o po jo – neigiama. Trikampio formos srities teigiamas įnašas yra (1/2)(3 s)(3 m/s) = +4.5 m. Neigiamas įnašas yra −(1/2)(2 s)(2 m/s) = −2 m.

Bendras poslinkis yra +4.5 m − 2 m = +2.5 m. Nueitas kelias gaunamas sudedant modulius: 4.5 m + 2 m = 6.5 m. Pateiktame modelyje taškas pirmiausia juda į dešinę, o paskui dalį kelio grįžta į kairę; jo galutinė padėtis nebūtinai sutampa su nueitu keliu. Nueitas kelias yra neneigiamas ir gali būti lygus nuliui, jei taškas visą intervalą lieka rimties būsenos.

Raskite pirmykštę funkciją ir jos konstantą

Funkcijos f pirmykštė funkcija F nagrinėjamame intervale tenkina sąlygą F′(u) = f(u). Brūkšnelis žymi išvestinę. Jungiame intervale pridėjus konstantą C išvestinė nepasikeičia, o pirmykštės funkcijos sudaro šeimą F(u) + C. Tai užrašoma ∫ f(u) du = F(u) + C – neapibrėžtiniu integralu be fiksuotų rėžių. Jis nusako funkcijų šeimą, kitaip nei apibrėžtinis integralas, kurio rezultatas yra viena sukaupta vertė.

Mūsų greičio modeliui pasirinkite F(t) = (3 m/s)t − (1/2)(1 m/s²)t². Šios funkcijos išvestinė yra 3 m/s − (1 m/s²)t. Elementarus patikrinimas remiasi tuo, kad t išvestinė yra 1, o t² išvestinė yra 2t: kai h ≠ 0, [(t + h)² − t²]/h = 2t + h, ir šis reiškinys artėja prie 2t. Konstantos išvestinė lygi nuliui. Šie patikrinimai taikomi laiko reikšmėms pateiktos apibrėžimo srities viduje.

Taigi x(t) = F(t) + C atitinka nurodytą greitį, o C matuojama metrais. Norėdami pasirinkti vieną padėties kitimo laike funkciją, taip pat nurodykite x(0) = −1 m. Kadangi F(0) = 0 m, C = −1 m. Vien greitis paliktų šią atskaitos padėties konstantą nenustatytą. Pakeitus konstantą, visos padėtys pasislenka, tačiau jų skirtumai lieka nepakitę.

Atidžiai taikykite pagrindinę analizės teoremą

Viena pagrindinės analizės teoremos forma susieja kaupimą su vietiniu kitimo greičiu. Jei f yra tolydi intervale [a, b], apibrėžkime A(u) = ∫_a^u f(s) ds; tuomet A′(u) = f(u) vidiniuose taškuose a < u < b. Raidė s yra laikinas integravimo kintamasis, besiskiriantis nuo viršutinį rėžį nusakančio argumento u. Kiekvienai pasirinktai u reikšmei A(u) yra viena apibrėžtinio integralo vertė; keičiant u gaunama kaupimo funkcija.

Skaičiuodami taikykite šias pakankamas sąlygas: f yra tolydi intervale [a, b]; F yra tolydi intervale [a, b], diferencijuojama jo viduje, o ten F′ = f. Tuomet ∫_a^b f(u) du = F(b) − F(a). Diferencijuojamumas reiškia, kad egzistuoja baigtinė dvipusė skirtuminio santykio riba. Šių sąlygų pakanka mūsų pavyzdžiams; tai nėra teiginys, kad kiekviena integruojama funkcija turi būti tolydi.

Mūsų tiesinė funkcija v yra tolydi nurodytame intervale, o jos pirmykštė funkcija F, kuri yra daugianaris, tenkina šias sąlygas. F(5 s) = 15 m − 12.5 m = 2.5 m, o F(0) = 0 m. Šių reikšmių skirtumas patvirtina integralo reikšmę su ženklu. Ta pati C susiprastina reiškinyje (F(b) + C) − (F(a) + C). Kai duota x(0) = −1 m, galutinė padėtis yra x(5 s) = −1 m + 2.5 m = +1.5 m.

Vieno lauko argumento keitimas

Dabar pereikime prie atskiro originalaus statinio lakšto modelio. Naudokite idealią plokštumą su statmenomis koordinačių ašimis ir metrais matuojamomis koordinatėmis: koordinačių pradžia yra apatiniame kairiajame lakšto kampe, teigiama x kryptis – į dešinę, o teigiama y kryptis – į viršų. Duota stačiakampė sritis R yra 0 ≤ x ≤ 3 m ir 0 ≤ y ≤ 2 m. Jos paviršinis masės tankis, t. y. masė ploto vienetui, yra σ(x, y) = 2 kg/m² + (1 kg/m³)x + (0.5 kg/m³)y. Graikiška raidė σ žymi šį lauką; kiekvieną vietą nusako dvi argumento reikšmės, kurias atitinka viena tankio reikšmė.

Dalinė išvestinė nusako vieno argumento keitimo poveikį, kai kitas argumentas laikomas pastoviu. Vidiniame taške ∂σ/∂x = lim as h → 0 of [σ(x + h, y) − σ(x, y)]/h, kai egzistuoja ši baigtinė dvipusė riba; ∂ yra dalinės išvestinės simbolis. Čia h yra ilgio pokytis. Narys su y lieka pastovus, todėl ∂σ/∂x = 1 kg/m³. Panašiai, laikant x pastoviu, gaunama ∂σ/∂y = 0.5 kg/m³.

Šie vienetai yra (kg/m²)/m: paviršinio masės tankio pokytis koordinačių ašies ilgio vienetui. Vien tai, kad išvestinės vienetas užrašytas kg/m³, nepaverčia σ tūriniu masės tankiu. Vidiniame taške (1 m, 1 m) σ = 3.5 kg/m². Abi dalinės išvestinės nusako pokyčius šiame statiniame lauke, o ne kitimą laike ar lakšto medžiagos judėjimą. Čia teiginiai apie dvipuses ribas taikomi, kai 0 < x < 3 m ir 0 < y < 2 m; išvestinėms kraštuose reikėtų nurodyti vienpusės išvestinės susitarimą arba išplėsti apibrėžimo sritį.

Sumavimas nurodytoje srityje

Norėdami susumuoti lakšto masę, padalykite R į mažus stačiakampius. Kiekvieno jų plotas yra teigiamas: ΔA = Δx Δy. Kai tankis kinta, pasirinktame taške paimtos tankio reikšmės ir ΔA sandauga apytiksliai lygi to stačiakampio masei. Sudėkite šias sandaugas ir mažinkite stačiakampių kraštinių ilgius abiejų koordinačių kryptimis, kad jie artėtų prie nulio. Riba yra dvilypis integralas M = ∬_R σ(x, y) dA. Dvilypis integralas žymi sumavimą pagal du argumentus; M žymi bendrą modelio masę.

Šioje statmenų Dekarto koordinačių sistemoje mato dA vienetai yra kvadratiniai metrai. Taigi (kg/m²)m² = kg. Tai yra teigiamas nurodytos srities ploto matas; pasirinkus vieną lakšto pusę, jo masei nesuteikiamas teigiamas ar neigiamas ženklas. Toliau pagal abi koordinates integruojama nuo mažesnės iki didesnės ribos. Kitoms koordinačių sistemoms ar kreivomis linijomis apribotoms sritims reikia tinkamų matų ir ribų; stačiakampės srities formulė nėra universalus šių patikrinimų pakaitalas.

Uždarame stačiakampyje tolydžios funkcijos dvilypį integralą galima apskaičiuoti kaip du nuoseklius, arba kartotinius, integralus bet kuria tvarka. Mūsų tiesinė tankio funkcija srityje R yra tolydi ir teigiama. Pasirinkę pirmiausia integruoti pagal x, o tada pagal y, gauname M = ∫_0m^2m [∫_0m^3m σ(x, y) dx] dy. Pirmiausia skaitykite vidinį integralą su dx: integruokite pagal x, laikydami y pastoviu. Tada integruokite gautą y funkciją.

Susumuoto dydžio patikrinimas

Užrašykite tankį kaip σ = B + D x + E y, kur B = 2 kg/m², D = 1 kg/m³ ir E = 0.5 kg/m³. Kai y yra pastovus, pirmykštė funkcija pagal x yra (B + E y)x + (D/2)x². Apskaičiavus integralą nuo 0 iki 3 m, gaunama H(y) = 10.5 kg/m + (1.5 kg/m²)y. Vidinio integralo rezultato vienetai yra kg/m, nes dar lieka vienas integravimas pagal ilgio koordinatę.

Integruojant H nuo y = 0 iki 2 m, gaunama (10.5 kg/m)(2 m) + (1/2)(1.5 kg/m²)(2 m)² = 21 kg + 3 kg = 24 kg. Tai tikslus rezultatas pagal pateiktą tankio modelį. Tačiau srities plotas yra (3 m)(2 m) = 6 m². Toje pačioje srityje galima skaičiuoti skirtingus integralus, nes pointegralinė funkcija lemia, kas sumuojama.

Prieš interpretuodami bet kurį rezultatą, nustatykite dydį, jo vienetus, intervalą arba sritį, ženklų susitarimą ir taikomos teoremos sąlygas. Šiuos skaičiavimus leidžia atlikti mūsų pateikti tolydieji modeliai. Tikslūs aritmetiniai skaičiavimai nenustato tikro kūno greičio, realaus lakšto tankio ar matavimų tikslumo; šiems fizikiniams klausimams atsakyti reikia įrodymų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Atskirame tiksliame modelyje greitis su ženklu visą 3 s intervalą yra −2 m/s; judama tiese, kurios teigiama kryptis yra į dešinę. Raskite bendrą poslinkį ir nueitą kelią.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendras poslinkis yra −6 m; nueitas kelias yra 6 m.

   Integruojant pastovų greitį su ženklu gaunama (−2 m/s)(3 s) = −6 m. Greičio modulis yra |-2 m/s| = 2 m/s, todėl jo integralas yra 6 m. Neigiamas ženklas nurodo poslinkio kryptį, o ne neigiamą nueitą kelią.

2. Duotajai v(t) funkcijai 0–5 s intervale imkite penkis 1 s ilgio dalinius intervalus ir naudokite jų kairiųjų galų laiko momentus 0, 1, 2, 3 ir 4 s. Apskaičiuokite Rymano sumą. Ar ji lygi tiksliam integralui su ženklu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Suma yra (3 + 2 + 1 + 0 − 1)(m/s)(1 s) = 5 m. Ji skiriasi nuo tikslaus integralo su ženklu, lygaus +2.5 m.

   Kiekviena pasirinkta vertė atstoja visą atitinkamą baigtinio ilgio dalinį intervalą, nors v tame intervale kinta. Ši pagal kairiuosius galus sudaryta suma yra artinys. Nurodyta tolydi priklausomybė kartu su ribiniu apibrėžimu arba pagrindine integralinio skaičiavimo teorema leidžia gauti tikslų integralą; vien penkių pasirinktų verčių tam nepakanka.

3. Duotajam greičiui ∫_0s^5s v(t) dt = +2.5 m. Kam lygu ∫_5s^0s v(t) dt? Jei abiejuose intervalo galuose prie F pridedama ta pati 7 m konstanta, ar pasikeičia apibrėžtinis integralas su pradine rėžių tvarka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Integralas su sukeistais rėžiais yra −2.5 m. Abiejuose intervalo galuose prie F pridėjus tą pačią konstantą, integralas su pradine rėžių tvarka lieka +2.5 m.

   Sukeitus rėžius, apibrėžtinis integralas pakeičia ženklą. Reiškinyje [F(5 s) + 7 m] − [F(0) + 7 m] pridėtos konstantos panaikinamos. Šis rėžių sukeitimas yra matematinis susitarimas, o ne papildoma fizinė trajektorija.

4. Tegu f yra tolydi intervale [a, b], o A(u) = ∫_a^u f(s) ds. Ką pateikta pagrindinė integralinio skaičiavimo teorema duoda vidiniame taške a < u < b? Ar ji teigia, kad intervalo gale egzistuoja įprasta dvipusė išvestinė, remiantis vien šia apibrėžimo sritimi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Srities viduje A′(u) = f(u). Pateiktas rezultatas neteigia, kad vien šioje srityje apibrėžta įprasta dvipusė išvestinė kraštiniame taške.

   Tolydumas užtikrina rezultatą apie vietinę kaupimosi spartą. Prie vidinio taško galima artėti iš abiejų pusių. Prie kraštinio taško duotojoje srityje galima artėti tik iš vienos pusės, todėl bet kokiai išvestinei kraštiniame taške būtinas aiškiai nurodytas apibrėžimo susitarimas arba pagrįstas funkcijos pratęsimas.

5. Apskaičiuokite duotosios σ(x, y) vertę vidiniame taške (1 m, 1 m) ir nurodykite ∂σ/∂x bei ∂σ/∂y tame taške. Ar skaičiuojant ∂σ/∂x laikoma, kad y nekinta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   σ = 3.5 kg/m², ∂σ/∂x = 1 kg/m³, o ∂σ/∂y = 0.5 kg/m³. Skaičiuojant dalinę išvestinę pagal x, y laikomas pastoviu.

   Tankis yra 2 kg/m² + 1 kg/m² + 0.5 kg/m². Skaičiuojant dalinę išvestinę pagal x, dėmuo su y yra pastovus; skaičiuojant dalinę išvestinę pagal y, dėmuo su x yra pastovus. Išvestinių vienetai nusako tankio pokytį vienam koordinatės ilgio vienetui ir nereiškia, kad σ tampa tūriniu masės tankiu.

6. Tame pačiame 3 m ir 2 m kraštinių ilgio stačiakampyje atskiras tikslus plokštelės modelis turi vienodą paviršinį masės tankį 4 kg/m². Apskaičiuokite ∬_R 1 dA ir ∬_R (4 kg/m²) dA. Kuris integralas duoda plotą, o kuris – masę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∬_R 1 dA = 6 m² duoda plotą; ∬_R (4 kg/m²) dA = 24 kg duoda masę.

   Konstanta 1 yra bedimensė, todėl jos sandaugos su dA vienetai lieka kvadratiniai metrai. Tankį padauginus iš to paties ploto gaunama (4 kg/m²)(6 m²) = 24 kg. Vien sritis nenusako, koks dydis kaupiamas; svarbūs pointegralinė funkcija ir vienetai.

Ką verta įsidėmėti

• Apibrėžtinis integralas kaupia svertinius įnašus tarp nurodytų ribų; baigtinės sumos, sudarytos iš atrinktų taškų verčių, bendruoju atveju yra apytikslės.
• Išlaikykite ženklus ir vienetus: integruojant kitimo spartą, jos vienetai dauginami iš integravimo kintamojo vienetų.
• Nurodytame judėjimo tiese modelyje integruojant greitį gaunamas bendras poslinkis, o integruojant jo neneigiamą modulį – nueitas kelias.
• Neapibrėžtinis integralas apima konstantą; skaičiuojant verčių intervalo galuose skirtumą, ta pati konstanta panaikinama, jei tenkinamos nurodytos pagrindinės integralinio skaičiavimo teoremos sąlygos.
• Dalinė išvestinė aprašo kitimą keičiant vieną įvesties kintamąjį, o kitus laikant pastoviais, kai egzistuoja atitinkama riba.
• Integruojant tolydų paviršinį masės tankį nurodytame stačiakampyje gaunama masė; interpretaciją lemia matas, sritis, integravimo ribos ir pointegralinė funkcija.