Gravitacija, planetų judėjimas ir orbitos

Palydovas nuolat krinta

Įsivaizduokite nedidelį palydovą, judantį šonine kryptimi virš planetos. Gravitacija nuolat keičia jo greitį planetos link. Esant tinkamai pradinei padėčiai ir greičiui, jo trajektorija gali niekada nesusikirsti su paviršiumi. Judėjimas orbita yra judėjimas veikiant gravitacijai; buvimas orbitoje nereiškia, kad gravitacija išnyko.

Iš pradžių laikysime, kad daug didesnis pagrindinis kūnas inercinėje atskaitos sistemoje yra apytiksliai nejudantis. Padėtis matuojama nuo jo centro. Tai naudingas ribinis atvejis, kai jo masė M yra daug didesnė už orbita skriejančio kūno masę m. Vėliau grįšime prie to, kas pasikeičia, kai juda abu kūnai.

Straipsnis „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia darbui su matavimo vienetais; „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ – reikšmių įstatymui ir kvadratinių šaknų skaičiavimui; „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ – darbui su kryptimis ir statmenomis dedamosiomis. Čia reikalingos jėgos, energijos ir judesio kiekio momento sąvokos pristatomos šiame straipsnyje. Joks dar nepaskelbtas mechanikos straipsnis nėra būtinas.

Traukos jėga mažėja didėjant atstumui

Tegu r yra teigiamas atstumas tarp dviejų taškinių masių. Niutono gravitacinės jėgos didumas yra F = GMm/r², kur G yra gravitacijos konstanta. Nagrinėjant tašką už sferiškai simetriško pagrindinio kūno ribų, šio kūno masę galima laikyti sutelkta jo centre. Atstumas matuojamas nuo to centro, o ne nuo paviršiaus.

Žymėkime μ = GM – gravitacinį parametrą, kurio vienetai yra m³/s². Kai r yra padėties vektorius nuo nejudančio centrinio kūno iki palydovo, palydovą veikianti jėga yra F = −μm r/|r|³. Minuso ženklas reiškia, kad jėga yra traukos jėga. Centrinį kūną veikia tokio pat dydžio, bet priešingos krypties sąveikos jėga, nors jo pagreitis yra gerokai mažesnis, kai M yra gerokai didesnė.

Nekeičiant masių ir padvigubinus atstumą tarp kūnų, jėga sumažėja keturis kartus. Ši taisyklė taikoma atstumui tarp kūnų: padvigubinus aukštį virš paviršiaus, atstumas tarp kūnų centrų paprastai nepadvigubėja. Skaičiavimams naudosime išgalvotą parametrą μ = 20 m³/s² ir palydovo masę m = 1 kg, nesiedami modelio su tikra planeta.

Pirmiausia – jėgos ir pagreičio balansas apskritiminėje orbitoje

Judant spindulio r apskritimu pastoviu greičio moduliu v, į centrą nukreiptas pagreitis yra v²/r. Šį pagreitį suteikia gravitacija: μm/r² = mv²/r. Šiame modelyje veikia viena jėga. Žodis „įcentrinė“ nusako jos poveikį centro link, o ne papildomą jėgą, atsveriančią gravitaciją.

Suprastinę m, gauname v² = μ/r. Kai r = 5 m, v² = 4 m²/s², todėl apskritiminės orbitos greičio modulis yra 2 m/s. Į centrą nukreiptas pagreitis yra 0.8 m/s². Greičio modulis yra pastovus, tačiau greičio vektorius kinta, nes keičiasi jo kryptis.

Periodas T yra vieno pilno apsisukimo trukmė. Apskritimo ilgį padaliję iš greičio modulio, šiame pavyzdyje gauname T = 2πr/v = 5π s. Esant tam pačiam spinduliui, kitoks skersinis greitis paprastai lemia kitokią pradinę orbitą; apskritiminės orbitos formulės negalima taikyti kiekviename elipsės taške.

Viena elipsė, du skirtingi greičiai

Neradialinė surištoji orbita, kai veikia tik izoliuota atvirkštinio kvadrato dėsniui paklūstanti sąveika, yra elipsė, kurios atskiras atvejis yra apskritimas. Jos didysis pusašis a lygus pusei ilgiausio skersmens. Ekscentricitetas e apibūdina jos formą: 0 ≤ e < 1, o apskritimui e = 0. Ribiniu atveju, kai centrinis kūnas laikomas nejudančiu, jis yra židinyje, kuris paprastai nesutampa su elipsės centru.

Mūsų originalios elipsės a = 5 m ir e = 0.6. Jos mažasis pusašis yra b = a√(1 − e²) = 4 m. Centrinį kūną padėkime taške (0, 0) m, o elipsės centrą – taške (−3, 0) m. Artimiausias taškas, pericentras, yra (2, 0) m; tolimiausias, apocentras, yra (−8, 0) m. Jų atstumai nuo centrinio kūno yra a(1 − e) = 2 m ir a(1 + e) = 8 m.

Diagramoje abiem erdvinėms kryptims naudojamas vienodas mastelis. Kvadratas žymi pericentrą, o trikampis – apocentrą; rombas žymi centrinį kūną, o kryželis – elipsės centrą. Greičio rodyklėms naudojamas atskiras bendras mastelis; jos nukreiptos pagal trajektorijos liestinę ir rodo judėjimo prieš laikrodžio rodyklę greičio modulius 4 m/s ir 1 m/s. Jos leidžia palyginti du laiko momentus toje pačioje orbitoje, o ne vaizduoja palydovą dviejose vietose vienu metu ar nurodo praėjusį laiką.

Impulso momentas paaiškina greičio kitimą

Pastovios masės palydovo impulso momentas centrinio kūno atžvilgiu yra L = r × mv. Gravitacijos jėga yra lygiagreti spindulio vektoriui, todėl jos jėgos momentas r × F šio atskaitos taško atžvilgiu lygus nuliui. Taigi L išlieka pastovus, nors palydovą veikia nenulinė jėga ir jo impulsas kinta.

Orbitos plokštumoje užrašykime h = |r × v| = |L|/m – savitąjį impulso momentą, kurio vienetas yra m²/s. Pericentre ir apocentre spindulio ir greičio vektoriai yra statmeni, todėl šiuose taškuose h = rv. Pagal mūsų vertes (2 m)(4 m/s) = (8 m)(1 m/s) = 8 m²/s. Kituose taškuose naudokite statmenąją greičio dedamąją v⊥: h = rv⊥. Visas greičio vektorius paprastai nėra statmenas spindulio vektoriui.

Įsivaizduojamas spindulio vektorius nuo centrinio kūno brėžia plotą sparta dA/dt = h/2. Čia ši sparta yra 4 m²/s. Kai ji pastovi, per vienodus laiko tarpus nubrėžiami vienodi sektorių plotai: tai Keplerio plotų dėsnis. Jis nereiškia, kad įveikiami vienodi atstumai. Trikampis tiesiomis kraštinėmis tarp dviejų baigtiniu atstumu nutolusių padėčių tik apytiksliai atitinka nubrėžtą sritį, kurią riboja kreiva orbita.

Energija išlieka pastovi, nors greitis kinta

Pasirinkime, kad gravitacinė potencinė energija lygi nuliui, kai atstumas tarp kūnų begalinis. Nejudančio centrinio kūno modelyje U = −μm/r. Kinetinė energija yra K = mv²/2, o visa mechaninė energija – E = K + U. Neigiama potencinė energija atspindi šį nulinio lygio pasirinkimą; ji nereiškia neigiamo greičio ar neigiamos masės.

Pericentre K = 8 J ir U = −10 J. Apocentre K = 0.5 J ir U = −2.5 J. Abi sumos lygios −2 J. Tolstant nuo centrinio kūno palydovo greitis mažėja, nes didėjant potencinei energijai mažėja kinetinė energija. Darant prielaidą, kad sąveika konservatyvioji, visa jo energija išlieka pastovi.

Šio modelio elipsei E = −μm/(2a), todėl v² = μ(2/r − 1/a). Apskritiminės orbitos, kurios spindulys 5 m, pavyzdyje a ir energija −2 J yra tokie patys, tačiau impulso momentas skiriasi. Vien energija nenustato orbitos formos ir krypties.

Neigiama E atitinka surištą neradialų judėjimą pagal Keplerio dėsnius. Pasirinkus tą patį nulinį lygį, E = 0 yra pabėgimo energijos slenkstis, o E > 0 leidžia nesurištą judėjimą. Esant tam tikram atstumui nuo centro, atitinkamas pabėgimo greitis yra √(2μ/r). Vien energija ir greitis neparodo, ar trajektorija išvengia kieto centrinio kūno arba atmosferos. Radialios susidūrimo trajektorijos nepatenka į čia taikomą neradialių elipsinių orbitų klasifikaciją.

Periodas priklauso nuo didžiojo pusašio

Keplerio periodų dėsnis uždaviniui su nejudančiu pagrindiniu kūnu yra T² = (4π²/μ)a³. Apskritimo atveju a lygu r. Elipsės atveju a yra pusė mažiausio ir didžiausio atstumų sumos; tai nėra momentinis spindulys ir apskritai nėra šio spindulio vidurkis laiko atžvilgiu.

Mūsų elipsės plotas yra πab = 20π m². Padaliję jį iš pastovaus sektorinio greičio 4 m²/s, gauname T = 5π s. Judėjimo apskritimu, kurio spindulys 5 m, periodas taip pat yra 5π s. Šių orbitų formos, greičiai ir judesio kiekio momentai skiriasi, tačiau vienodi didysis pusašis ir gravitacinis parametras lemia vienodą periodą.

Taikant šį artinį orbitoms aplink tą patį pagrindinį kūną, padvigubinus a, T² padidėja 8 kartus, o T – 2√2 karto. Lyginant periodus aplink skirtingus pagrindinius kūnus, taip pat reikia atsižvelgti į skirtingus jų gravitacinius parametrus. Orbitos matavimas gali apriboti šio parametro vertę tik patikrinus geometriją, laiko matavimus ir modelio prielaidas.

Grįžkime prie dviejų judančių kūnų

Tiksliajame izoliuotos dviejų kūnų sistemos uždavinyje pagal Niutono mechaniką abu kūnai juda aplink bendrą masės centrą. Jų tarpusavio padėties vektoriui taikomose orbitos formulėse naudojamas gravitacinis parametras G(M + m). Šiame periodų dėsnyje didysis pusašis priklauso santykinei orbitai. Kai M yra daug didesnė už m, šis parametras apytiksliai lygus GM, o pagrindinio kūno judėjimas yra nežymus.

Prognozuojant tikras orbitas taip pat atsižvelgiama į prognozės tikslui svarbius poveikius: kiti gravitaciškai veikiantys kūnai, nukrypimai nuo sferinės simetrijos, atmosferos pasipriešinimas ir variklių trauka gali pakeisti paprastąją trajektoriją. Šioje pamokoje reliatyvistinių pataisų nepaisoma. Uždara kreivė idealiajame modelyje neparodo, kaip tiksliai jis prognozuoja išmatuotą orbitą.

Norėdami taikyti modelį, įvardykite atskaitos sistemą, nustatykite atstumą tarp kūnų centrų ir pradinį greitį, pasirinkite veikiančias jėgas ir patikrinkite tvermės dėsnius. Įjungus erdvėlaivio variklį, pasikeičia jo orbitinė būsena; naują orbitą reikia apskaičiuoti pagal pasikeitusią būseną. Čia pateikta supaprastinta elipsė yra nuoseklus palyginimo pavyzdys, o ne paleidimo planas ar duomenys apie kurią nors konkrečią planetą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Masėms nekintant, atstumas padidėja nuo 3 m iki 6 m. Kiek kartų pasikeičia Niutono gravitacijos jėgos modulis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jis tampa lygus ketvirtadaliui pradinės vertės.

   Atstumas padvigubėja, o jėga yra proporcinga 1/r². Jei būtų duotas aukščio pokytis, pirmiausia reikėtų apskaičiuoti atstumą tarp kūnų centrų.

2. Gravitaciškai surištos neradialinės elipsinės orbitos mažiausias atstumas yra 3 m, o didžiausias – 9 m. Raskite a ir e.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a = 6 m, o e = 0.5.

   Naudokite a = (rp + ra)/2 = 6 m ir e = (ra − rp)/(ra + rp) = 6/12. Abu atstumai matuojami nuo židinio, kuriame yra centrinis kūnas.

3. Pateiktoje elipsinėje orbitoje 1 kg masės palydovo judesio kiekio momento L modulis yra 8 kg m²/s. Raskite greitį apocentre, kur r = 8 m.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1 m/s.

   Apocentre spindulio vektorius ir greičio vektorius yra statmeni, todėl v = L/(mr). Šis trumpesnis skaičiavimo būdas tinka tik esant čia nurodytam statmenumui; bendruoju atveju jis duoda v⊥.

4. Esant tam pačiam μ = 20 m³/s², kitos elipsinės orbitos didysis pusašis yra 10 m. Koks jos periodo santykis su pateiktos elipsinės orbitos, kurios a = 5 m, periodu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Periodas yra 2√2 karto ilgesnis, t. y. 10√2π s.

   Kai μ nekinta, T² yra proporcingas a³, todėl periodų santykis yra √(2³). Pritaikykite šį santykį pradiniam 5π s periodui.

5. Judant tarp dviejų pateiktos elipsės apsidžių, U kinta nuo −10 J iki −2.5 J. Raskite ΔU ir ΔK.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ΔU = +7.5 J ir ΔK = −7.5 J.

   Iš galutinių verčių atimkite pradines. Iš mechaninės energijos tvermės dėsnio gauname ΔK = −ΔU; galutinė kinetinė energija yra 0.5 J.

6. Du vienodos masės M kūnai sąveikauja izoliuotoje sistemoje. Ar jų santykinės orbitos gravitacinis parametras yra GM, ar 2GM? Ar kuris nors kūnas nejuda jų masės centre?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Santykinio judėjimo gravitacinis parametras yra 2GM. Kai orbita neradialinė, nė vienas kūnas nėra nejudantis jų bendrame masės centre.

   Tikslus gravitacinis parametras yra G(M + M). Abu kūnai juda aplink bendrą masės centrą; artinys, kuriame centrinis kūnas laikomas nejudančiu, netinka vienodoms masėms.

Ką verta įsidėmėti

• Gravitacija keičia orbita judančio kūno greičio vektorių; įcentrinis pagreitis yra atitinkamos jėgos sukeltas ir į centrą nukreiptas pagreitis.
• Elipsę nagrinėkite atskaitos tašku laikydami židinį, kuriame yra centrinis kūnas, ir nepamirškite prielaidų, kuriomis grindžiamas šio kūno nejudrumas.
• Veikiant centrinei jėgai, judesio kiekio momentas jos centro atžvilgiu išlieka pastovus; vienodi nušluoti plotai nereiškia vienodų nueito kelio ilgių.
• Kai potencinės energijos nulinis lygis pasirinktas begalybėje, kinetinė ir potencinė energija gali kisti, o jų suma išlikti pastovi.
• Kai gravitacinis parametras nekinta, vienodi didieji pusašiai lemia vienodus Keplerio periodus, net jei ekscentricitetai skiriasi.
• Tiksliame dviejų kūnų santykinio judėjimo uždavinyje naudojamos abiejų kūnų masės; norint prognozuoti tikras trajektorijas, reikia atsižvelgti į reikšmingus trikdžius ir stebėjimų duomenis.