Jėgos momentas, judesio kiekio momentas ir giroskopai

Pradėkime nuo jėgos, veikiančios ne koordinačių pradžioje

Pasirinkite nejudantį koordinačių pradžios tašką O. Dalelė yra taške P = (3 m, 4 m): 3 m į dešinę ir 4 m į viršų. Tame taške pridėkite 5 N jėgą, nukreiptą į viršų. Jos veikimo tiesė yra vertikali tiesė, einanti per P ir nutolusi nuo O per 3 m. Jėgos sukamojo poveikio taško O atžvilgiu dydis yra (3 m)(5 N) = 15 N m. Šis atstumas parodytas pirmame viršutiniame skydelyje.

Šis sukamasis poveikis yra jėgos momentas. Naudojame dešininę koordinačių sistemą: x ašis nukreipta į dešinę, y – į viršų, o teigiama z kryptis – iš lapo plokštumos į mus. Į viršų nukreipta jėga sukuria teigiamą jėgos momento z komponentę. Žiūrint iš teigiamos z ašies pusės į lapą, tai atitinka sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę. Tai nurodo jėgos momento kryptį, o ne dabartinę dalelės judėjimo kryptį.

Tarkime, kad atskaitos sistema yra inercinė ir joje galioja Niutono dėsnis dalelei F = m a; taip pat laikykime mases pastoviomis ir teigiamomis. Čia F yra atstojamoji jėga, m – masė, o a – pagreitis, t. y. greičio kitimo sparta. Mūsų pateiktos vertės priklauso tiksliems mokomiesiems modeliams. Jos nėra išmatuotos jėgos ar patikrintas konkretaus įrenginio aprašymas.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia skaičiavimams su dydžiais; „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ – darbui su statmenomis ašimis; „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ – darbui su komponentėmis. Reikiamos sąvokų reikšmės pristatomos ir čia. Skaitydami pirmą kartą, sekite komponenčių skaičiavimus ir užtamsintą plotą. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ yra pasirenkamas grįžimo kelias kitimo spartos įrodymui nagrinėti.

Vienodo didumo skirtingų krypčių jėgų palyginimas

Tegu r yra padėties vektorius iš O į P, o F – taške P veikianti jėga. Jėgos momentas yra vektorius τ = r × F. Vektorinė sandauga nusako statmeną kryptį ir modulį |r||F| sin θ, kur θ yra kampas tarp vektorių. Modulis taip pat lygus |F| d, kur d yra statmenas atstumas nuo O iki jėgos veikimo tiesės.

Mūsų x–y plokštumoje vienintelė jėgos momento komponentė yra τ_z = x F_y − y F_x. Į viršų nukreiptai jėgai τ_z = (3 m)(5 N) − (4 m)(0 N) = +15 N m. Ši komponentės formulė nusako ir ženklą; modulis yra jos absoliučioji vertė.

Trijuose viršutiniuose paveiksluose r = (3 m, 4 m), o jėgos modulis yra 5 N, tačiau jėgos kryptis keičiasi. Statmena tangentinė jėga (−4 N, 3 N) sukuria +25 N m jėgos momentą. Radialinė jėga (3 N, 4 N), nukreipta išilgai r, sukuria 0 N m jėgos momentą. Tai atskiri atvejai toje pačioje padėtyje, o ne trys vienu metu veikiančios jėgos.

Padėties ir jėgos rodyklėms naudojami skirtingi, pažymėti masteliai. Jėgos rodyklės smaigalys nėra kita dalelės padėtis. Jėgos momentas pateikiamas N m vienetais. Nors darbo dimensija tokia pati, jėgos momentas ir darbas yra skirtingi dydžiai; vien jėgos momento vertė nepasako, kiek energijos perduota ar koks yra kampinis poslinkis.

Pasirinkite judesio kiekio momento atskaitos tašką

Judesio kiekis yra p = m v, čia v – dalelės greičio vektorius. Judesio kiekio momentas taško O atžvilgiu yra L = r × p. Jo matavimo vienetas – kg m²/s. Dalelė neprivalo judėti apskritimu, kad turėtų judesio kiekio momentą taško atžvilgiu.

Pradinėje padėtyje suteikime 2 kg masės dalelei greitį v = (−4 m/s, 3 m/s). Jos judesio kiekis yra p = (−8 kg m/s, 6 kg m/s). Tuomet L_z = x p_y − y p_x = (3 m)(6 kg m/s) − (4 m)(−8 kg m/s) = +50 kg m²/s.

Dabar aprašykime tą patį momentą taško O′, esančio 1 m į dešinę nuo O, atžvilgiu, naudodami lygiagrečias ašis. Naujasis r′ yra (2 m, 4 m), o p ir F nepakinta. L′_z yra 44 kg m²/s, o aukštyn nukreiptos jėgos momentas τ′_z yra 10 N m. Taip pakeičiamas atskaitos taškas, o ne pati dalelė ar jėga. Visada nurodykite, kurio pradžios taško atžvilgiu apskaičiuojamas jėgos momentas arba judesio kiekio momentas.

Jėgos momentas ir judesio kiekio momento pokytis

Mūsų pastovios masės dalelei nejudančio inercinės atskaitos sistemos pradžios taško atžvilgiu atstojamasis jėgos momentas lygus momentiniam judesio kiekio momento kitimo greičiui: τ = dL/dt. Simbolis d/dt reiškia vietinį kitimo greitį laiko atžvilgiu. Per laiko intervalą sukauptas jėgos momentas sudaro jėgos momento impulsą ir yra lygus ΔL, t. y. galutinio L ir pradinio L skirtumui.

Kitimo greičio sąryšis gaunamas įvertinus abiejų L = r × m v daugiklių kitimą. Narys, atsirandantis dėl padėties kitimo, yra v × m v; jis lygus nuliui, nes abu vektoriai lygiagretūs. Narys, atsirandantis dėl greičio kitimo, yra r × m a = r × F. Šiam išvedimui reikia pastovios m ir nejudančio inercinės atskaitos sistemos pradžios taško; ši formulė netinka bet kaip judančiam pradžios taškui.

Jei atstojamasis jėgos momentas tam tikru momentu lygus nuliui, tuo momentu judesio kiekio momento kitimo greitis taip pat lygus nuliui. Jei atstojamasis išorinių jėgų momentas lygus nuliui per visą laiko intervalą, bendrasis L per tą intervalą išlieka pastovus, kai tenkinamos toliau nurodytos sistemos sąlygos. Nė vienas teiginys nereikalauja, kad L būtų lygus nuliui ar kad dalelės nejudėtų.

Įprasta skaliarinė taisyklė galioja siauresnėmis sąlygomis. Kietajam kūnui, kuris gali suktis tik apie nejudančią sukimosi ašį, apibrėžkime I_axis = Σ m_i r_perp,i²: sudėkime kiekvienos masės ir jos statmenojo atstumo iki ašies kvadrato sandaugas. Atskaitos pradžios tašką pasirinkime ant tos nejudančios ašies. Jei I_axis pastovus, L_axis = I_axis ω ir τ_axis = I_axis α, kur ω ir α yra kampinis greitis ir jo kitimo greitis, įvertinant jų ženklus. Bendruoju atveju trimačio kūno L nebūtinai lygiagretus jo kampinio greičio vektoriui.

Vienos jėgos poveikis laikui bėgant

Apatiniam grafikui pasirinkite tik aukštyn nukreiptos jėgos atvejį. Intervale 0 ≤ t ≤ 0.5 s nustatykime x(t) = 3 m − (4 m/s)t ir y(t) = 4 m + (3 m/s)t + (5/4 m/s²)t². 2 kg masės dalelės greitis yra (−4 m/s, 3 m/s + (5/2 m/s²)t), o pagreitis — (0 m/s², 5/2 m/s²). Todėl ją veikianti pastovi atstojamoji jėga yra (0 N, 5 N).

Dalelei judant į kairę, horizontalusis jėgos petys trumpėja. Todėl τ_z(t) = (15 N m) − (20 N m/s)t. Jėgos momentas sumažėja nuo 15 iki 5 N m, nors atstojamoji jėga išlieka pastovi. Apatiniame grafike pavaizduota būtent ši tiesinė jėgos momento priklausomybė nuo laiko, o ne dalelės trajektorija.

Naudodami r × m v gauname L_z(t) = 50 kg m²/s + (15 N m)t − (10 N m/s)t². Kai t = 0.5 s, L_z = 55 kg m²/s. Pokytis yra +5 kg m²/s. Užtušuotos srities plotas jėgos momento priklausomybės nuo laiko grafike duoda tą patį rezultatą: [(15 + 5) N m / 2](0.5 s) = 5 N m s = 5 kg m²/s.

Čia jėgos momento vidurkis per baigtinį laiko intervalą yra 10 N m. Jis skiriasi nuo jėgos momento verčių abiejuose intervalo galuose. Plotas reiškia jėgos momento impulsą, o ne darbą. Darbui apskaičiuoti reikėtų jėgos ir poslinkio skaliarinės sandaugos arba tinkamo jėgos momento ir posūkio kampo sąryšio, o ne šio ploto jėgos momento priklausomybės nuo laiko grafike. Apie elgseną už pateikto laiko intervalo ribų nieko neteigiama.

Sistemos dydžių sumavimas tinkamomis sąlygomis

Pasirinktam dalelių, kurių masės pastovios, rinkiniui susumuokite L_i = r_i × m_i v_i to paties nejudančio inercinės atskaitos sistemos koordinačių pradžios taško atžvilgiu. Vidinės jėgos veikia tarp rinkinio dalelių; išorinės jėgos veikia iš pasirinkto rinkinio išorės. Bendrojo judesio kiekio momento kitimo greitis iš pradžių apima abiejų rūšių jėgų momentus.

Vienos vidinių dalelių poros vienodo dydžio ir priešingų krypčių jėgos f ir −f sukuria bendrą jėgos momentą (r_i − r_j) × f. Jis lygus nuliui, jei jėgos veikia išilgai daleles jungiančios tiesės. Vien vienodo dydžio ir priešingų krypčių nepakanka. Kai visų vidinių porų centrinių jėgų momentai taip panaikina vienas kitą, dL_total/dt = τ_external,total. Čia apsiribojame Niutono mechanikos dalelių sistemomis, o ne teigiame, kad tai galioja visoms laukų ar reliatyvistinėms sąveikoms.

Atstojamoji išorinė jėga ir atstojamasis išorinių jėgų momentas atsako į skirtingus klausimus. Taškuose (0 m, +1 m) ir (0 m, −1 m) pridėkite dvi išorines jėgas: atitinkamai (+1 N, 0 N) ir (−1 N, 0 N). Jų vektorinė suma lygi nuliui, tačiau kiekvienos jėgos τ_z yra −1 N m, tad bendras momentas yra −2 N m. Ši jėgų pora gali keisti judesio kiekio momentą, nors atstojamoji jėga lygi nuliui.

Ir atvirkščiai: radialinė jėga, kurios veikimo tiesė eina per O, gali būti nelygi nuliui, nors jos momentas taško O atžvilgiu lygus nuliui. Jei per visą laiko intervalą atstojamasis išorinių jėgų momentas išlieka lygus nuliui ir galioja nurodytas vidinių jėgų momentų panaikinimas, bendras judesio kiekio momentas išlieka pastovus. Atskiros dalelės vis tiek gali keistis judesio kiekio momentu. Vien tvermė nenustato jų trajektorijų ir nereiškia mechaninės pusiausvyros.

Supraskite precesiją kaip krypties kitimą

Giroskopas yra besisukantis rotorius, kurio ašis gali keisti kryptį. Precesija reiškia, kad ši ašis sukasi aplink kitą ašį. Rotoriaus sukimasis ir precesija yra skirtingi judėjimai, vykstantys skirtingais kampiniais greičiais. Norėdami suprasti kryptį, pirmiausia įsivaizduokite jėgos momentą kaip judesio kiekio momento vektorių keičiantį dydį.

Kai L nelygus nuliui, jam statmenas jėgos momentas lemia nulinį momentinį L modulio kitimo greitį. Tačiau jo kryptis vis tiek gali kisti. Kad modulis išliktų pastovus per visą laiko intervalą, šis statmenumas turi išlikti visą intervalą, o ne tik jo pradžioje. Be to, bendruoju atveju rotoriaus sukimosi ašis nebūtinai sutampa su jo viso judesio kiekio momento kryptimi.

Kitame pavyzdyje nagrinėjame standų ašinės simetrijos rotorių, įtvirtintą inercinėje atskaitos sistemoje nejudančiame atramos taške, pateiktą vienalytį gravitacinį lauką ir nykstamai mažus nuostolius. Tarkime, kad dėl tinkamų pradinių sąlygų lėta nusistovėjusi precesija jau vyksta, o judesio kiekio momente atramos taško atžvilgiu vyrauja rotoriaus sukimosi indėlis. Tuomet L ≈ L_spin = I_spin ω_spin yra nukreiptas išilgai sukimosi ašies. Nepaisomi skersinis ir orbitinis indėliai turi būti maži; vien mažas kampinių greičių santykis to neužtikrina, kai inercijos momentai skiriasi.

Kai sukimosi ašis horizontali, tarkime, kad vektorius nuo atramos taško iki centro nukreiptas teigiama x kryptimi. Žemyn nukreipta sunkio jėga sukuria momentą teigiama y kryptimi. Sukant L_spin aplink teigiama z kryptimi nukreiptą ašį, gaunamas toks pat pokytis teigiama y kryptimi: τ ≈ Ω × L_spin. Taigi apytikslė precesija vyksta prieš laikrodžio rodyklę, žiūrint iš teigiamos z ašies pusės. Atramos jėgos momentas atramos taško atžvilgiu lygus nuliui, tačiau pati jėga nebūtinai lygi nuliui; ji turi išlaikyti rotorių ir suteikti jo centro judėjimui reikalingą jėgą.

Įvertinkite giroskopo precesijos greitį pagal prielaidas

Naudokite mokomąsias vertes M = 1 kg, g = 8 m/s² ir atstumą nuo atramos taško iki centro d = 0.25 m. Horizontalų rotorių veikiančios sunkio jėgos modulis yra 8 N, o jos momento modulis M g d = 2 N m. Parinkite I_spin = 0.1 kg m² ir ω_spin = 40 rad/s, tuomet L_spin ≈ 4 kg m²/s.

Esant numatytai horizontalios nusistovėjusios precesijos būsenai Ω ≈ M g d / L_spin = (2 N m)/(4 kg m²/s) = 0.5 rad/s. Radianai paliekami kaip kampo vienetas; kampinio greičio dimensija yra 1/laikas. Jei kitais atžvilgiais tokios pačios nusistovėjusios precesijos šakos rotoriaus sukimosi greitis yra dvigubai didesnis, jos įvertintas precesijos greitis yra 0.25 rad/s.

Pirmuoju atveju santykis Ω/ω_spin yra 1/80. Tai suderinama su lėta precesija, tačiau nenustato skaitinės nepaisomo judesio kiekio momento ar aproksimacijos paklaidos ribos. Šis įvertis neprognozuoja, kaip pradeda judėti rotorius, paleistas esant bet kokioms pradinėms sąlygoms. Nutacijai, papildomam ašies svyravimui, ir kitiems pereinamiesiems procesams aprašyti reikia išsamesnio dinamikos nagrinėjimo.

Grįžkime prie paprasto skirtumo: jėgos momentas nusako judesio kiekio momento kitimo greitį pasirinkto koordinačių pradžios taško atžvilgiu. Jis pats nėra nei kampas, nei sukimosi greitis, nei garantija, kad giroskopas išliks vertikalus. Gravitacija, planetų judėjimas ir orbitos yra kita mokymosi plano tema; jos nereikia norint naudoti šias pateiktas jėgas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tame pačiame taške P = (3 m, 4 m) pakeiskite aukštyn nukreiptą jėgą jėga (0 N, −5 N). Raskite τ_z taško O atžvilgiu. Ar jo ženklas nusako dabartinį greitį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   τ_z = −15 N m. Jėgos momento ženklas nenusako dabartinio greičio.

   Skaičiuojant pagal komponentes gaunama 3×(−5) − 4×0 = −15 N m. Šioje koordinačių sistemoje jėgos momentas nukreiptas į lapo plokštumos gilumą. Jėgos momentas nusako judesio kiekio momento kitimo spartą, o greičiui nustatyti reikia žinoti dalelės būseną.

2. Į viršų nukreiptos jėgos atveju pradiniu laiko momentu pasirinkite koordinačių pradžią O′ = (1 m, 0 m) ir lygiagrečias nejudančias ašis. Raskite tos pačios 2 kg masės dalelės τ′_z ir L′_z.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   τ′_z = 10 N m, o L′_z = 44 kg m²/s.

   Padėtis naujosios koordinačių pradžios atžvilgiu yra (2, 4) m; jėga tebėra (0, 5) N, o judesio kiekis tebėra (−8, 6) kg m/s. Taigi τ′_z = 2×5, o L′_z = 2×6 − 4×(−8). Vien koordinačių pradžios pakeitimas dalelės neperkėlė.

3. Pastovios masės dalelės judesio kiekio momentas nejudančio inercinės atskaitos sistemos taško O atžvilgiu yra L_z = 50 kg m²/s. Vienu laiko momentu jos atstojamoji jėga nukreipta radialiai, o jos veikimo tiesė eina per O. Ką tuomet galima teigti? Ką galima teigti, jei atstojamasis jėgos momentas lygus nuliui per visą nuo to laiko momento prasidedantį intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tuo laiko momentu dL_z/dt = 0. Jei atstojamasis jėgos momentas išlieka lygus nuliui per visą intervalą, L_z per tą intervalą išlieka 50 kg m²/s.

   Kai jėgos veikimo tiesė eina per O, jėgos momentas lygus nuliui. Vienas laiko momentas nenusako, kaip jėgos momentas kis vėliau. Nuolat nulinis jėgos momentas išsaugo judesio kiekio momentą; jis nepaverčia šios nenulinės pradinės vertės nuliu ir nepriverčia dalelės sustoti.

4. Apibrėžtą sistemą veikia dvi išorinės jėgos: (+1 N, 0 N) taške (0 m, +1 m) ir (−1 N, 0 N) taške (0 m, −1 m). Raskite jų jėgų sumą ir jėgų momentų sumą taško O atžvilgiu. Ar vien šios dvi jėgos užtikrina pusiausvyrą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jėgų suma yra (0 N, 0 N), o τ_z,total = −2 N m. Jos neužtikrina pusiausvyros.

   Pagal x F_y − y F_x kiekvienos jėgos momentas yra −1 N m. Nulinė jėgų suma nereiškia, kad jėgų momentų suma taip pat lygi nuliui. Pagal nurodytą dalelių sistemos jėgų momentų balanso lygtį šis nenulinis išorinių jėgų momentas keičia bendrąjį judesio kiekio momentą.

5. Į viršų nukreiptos jėgos modelyje raskite τ_z laiko momentu 0.5 s ir jo vidurkį intervale nuo 0 iki 0.5 s. Kodėl nė viena iš šių verčių neprivalo būti lygi pradinei 15 N m vertei?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Galutinis jėgos momentas yra 5 N m, o jo vidurkis per intervalą yra 10 N m.

   Grafike jėgos momentas tiesiškai mažėja nuo 15 iki 5 N m; trapecijos plotą padaliję iš 0.5 s, gauname 10 N m. Horizontalusis jėgos petys trumpėja nuo 3 iki 1 m, o į viršų nukreipta jėga išlieka 5 N.

6. Sprendėjas pateiktam giroskopui gauna Ω ≈ 0.5 rad/s ir Ω/ω_spin = 1/80. Jis teigia, kad paleidus giroskopą bet kokiomis sąlygomis iškart turi prasidėti tolygi precesija tokiu greičiu ir kad atramos taške veikianti jėga turi būti lygi nuliui, nes jos momentas lygus nuliui. Kurie teiginiai pagrįsti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė vienas iš šių papildomų teiginių nėra pagrįstas. Greičio įvertis galioja tik esant pateiktai apytikrei tolygios precesijos būsenai, o nulinis jėgos momentas atramos taško atžvilgiu nereiškia, kad atramos jėga lygi nuliui.

   Pradinės sąlygos ir neįskaityti judesio kiekio momento indėliai yra svarbūs. Nutacija ar pradinis judėjimo etapas gali nepatekti į numatytą sprendinių šaką. Atramos taške veikiančios jėgos petys šio taško atžvilgiu lygus nuliui, tačiau ši jėga gali išlaikyti rotorių ir keisti jo centro judėjimą.

Ką verta įsidėmėti

• Jėgos momentas priklauso nuo jėgos krypties, jos veikimo tiesės ir pasirinktos atskaitos pradžios, o ne vien nuo jėgos didumo.
• Judesio kiekio momentas tos atskaitos pradžios atžvilgiu yra r × p; esant nurodytoms Niutono mechanikos sąlygoms, atstojamasis jėgų momentas nusako jo kitimo greitį.
• Plotas po jėgos momento priklausomybės nuo laiko kreive yra jėgos momento impulsas, kurio vienetai sutampa su judesio kiekio momento pokyčio vienetais.
• Vienodo didumo ir priešingų krypčių vidinių jėgų poros bendras momentas lygus nuliui, kai šios jėgos taip pat veikia išilgai jų veikimo taškus jungiančios tiesės.
• Lėta giroskopo precesija yra tam tikromis sąlygomis galiojantis krypties kitimo modelis, o ne universali elgsenos paleidus giroskopą ar jo stabilumo garantija.