Neinercinės atskaitos sistemos, inercijos jėgos, potvyniai ir ryšiai

Vežimėlis gali judėti atgal greitėjančio traukinio atžvilgiu

Įsivaizduokite 2 kg masės vežimėlį ant idealaus horizontalaus bėgių kelio traukinio viduje. Sistema pasirinkite vežimėlį. Įtaisas jį veikia pastovia horizontalia +4 N jėga; kryptis į dešinę yra teigiama. Trinties nepaisykite, o vertikali atramos reakcijos jėga ir sunkio jėga tegu atsveria viena kitą. Tai tiksliai pateiktos modelio vertės, o ne matavimo rezultatai.

Tarkime, laboratorijos atskaitos sistema yra inercinė: šiame Niutono mechanikos modelyje kūnas, kurio neveikia realiųjų jėgų atstojamoji, joje juda pastoviu greičiu. Greitis nusako padėties kitimo spartą ir kryptį, o pagreitis – greičio kitimo spartą. Kai pastovi masė m yra teigiama, realiųjų jėgų atstojamoji tenkina lygtį F = ma. Taigi vežimėlio pagreitis laboratorijos atskaitos sistemoje yra (+4 N)/(2 kg) = +2 m/s². Vienas niutonas yra vienas kg m/s².

Dabar tegu traukinio koordinačių pradžia tos laboratorijos atžvilgiu juda su pagreičiu A₀ = +3 m/s². Traukinio ašys išlieka lygiagrečios laboratorijos ašims. Ši greitėjančio traukinio atskaitos sistema yra neinercinė; besisukančios ašys taip pat lemia neinercinį aprašymą. Vežimėlio santykinis pagreitis yra a′ = a − A₀ = −1 m/s². Traukinio greitis į dešinę didėja sparčiau nei vežimėlio. Neigiamas santykinis pagreitis nereiškia, kad veikiančios jėgos kryptis pasikeitė į priešingą.

Prieš keisdami jėgos lygtį, atimkite judančios koordinačių pradžios koordinatę

Tegu x yra vežimėlio koordinatė laboratorijos atskaitos sistemoje, s – traukinio koordinačių pradžios koordinatė laboratorijos atskaitos sistemoje, o x′ – vežimėlio koordinatė traukinio atskaitos sistemoje. Abiejuose aprašymuose naudokite tą patį laiką t: x′ = x − s. Kai 0 ≤ t ≤ 2 s, duota x(t) = 1 m + (1 m/s²)t² ir s(t) = (1.5 m/s²)t². Atėmę gauname x′(t) = 1 m − (0.5 m/s²)t².

Atitinkami greičiai yra v = (2 m/s²)t, v₀ = (3 m/s²)t ir v′ = −(1 m/s²)t. Jų pastovios kitimo spartos yra +2, +3 ir −1 m/s². Kai t = 0, visi trys greičiai lygūs nuliui; vėliau vežimėlis laboratorijos atskaitos sistemoje juda į dešinę, o traukinio atžvilgiu – į kairę. Padėties lentelėje pateiktos koordinatės, o ne nueiti keliai.

Padauginę a′ = a − A₀ iš m, gauname ma′ = F − mA₀. Papildomas narys F_frame = −mA₀ vadinamas fiktyviąja, inercijos arba pseudojėga. Čia jis lygus −6 N, todėl efektyvioji jėgų suma yra +4 N − 6 N = −2 N. Šis narys įvertina koordinačių sistemos pagreitį; tai nėra dar viena vežimėlį veikianti fizinė sąveika. Kai ašys lygiagrečios ir A₀ = 0, net ir tolygiai judanti koordinačių pradžia tokio nario neprideda.

Rimčiai besisukančiose koordinatėse gali reikėti į centrą nukreiptos fizinės jėgos

Nagrinėkime atskirą 2 kg masės dalelę, tolygiai judančią horizontalioje plokštumoje aplink nejudantį inercinės atskaitos sistemos pradžios tašką spinduliu r = 2 m. Idealus įtemptas, bemasis siūlas jungia ją su pradžios tašku; vertikalios jėgos kompensuoja viena kitą, o kitų fizinių jėgų plokštumoje nėra. Nurodykime kampinį greitį ω = +1 rad/s prieš laikrodžio rodyklę, kai 0 ≤ t ≤ 2 s, žiūrint iš teigiamos plokštumai statmenos ašies pusės. Pasirinkime koordinačių ašis, besisukančias tokiu pačiu kampiniu greičiu, kad dalelės koordinatės besisukančioje sistemoje nekistų.

Radianas yra kampo matavimo vienetas. Kad toliau pateiktose formulėse galėtume naudoti kampinio greičio skaitinę vertę radianais per sekundę, apibrėžkime κ = ω/(1 rad), taigi čia κ = +1 s⁻¹. Tangentinio greičio modulis inercinėje atskaitos sistemoje yra κr = 2 m/s. Judant apskritimu ir keičiantis judėjimo krypčiai, reikia į centrą nukreipto pagreičio, kurio modulis κ²r = 2 m/s², nors greičio modulis nekinta. Laikant kryptį į išorę teigiama, dalelės pagreičio komponentė yra −2 m/s², o siūlo jėgos komponentė yra −mκ²r = −4 N.

Šioje pastoviu kampiniu greičiu besisukančioje atskaitos sistemoje išcentrinės jėgos nario komponentė į išorę yra +mκ²r = +4 N. Santykinio judėjimo lygtyje ji atsveria į centrą nukreiptą siūlo jėgą: −4 N + 4 N = 0. Santykinis greitis lygus nuliui, todėl Koriolio jėgos narys taip pat lygus nuliui. Inercinėje atskaitos sistemoje fizinė jėga vis tiek nukreipta į centrą. „Įcentrinė“ apibūdina šią į centrą nukreiptą atstojamąją; tai nėra papildoma jėga, kurią reikėtų pridėti prie siūlo jėgos.

Koriolio jėga priklauso nuo greičio besisukančių ašių atžvilgiu

Dabar nagrinėkime kitą momentinę būseną be siūlo ryšio, išlaikančio pastovų spindulį. Palikime tą patį nejudantį pradžios tašką, teigiamą κ = 1 s⁻¹, 2 kg masę ir momentinį 2 m spindulį. Tegul dalelės santykinis greitis yra 0.5 m/s ir nukreiptas tiesiai į išorę, o tikroji jėga plokštumoje lygi nuliui. Šiuo momentu besisukančios Dekarto koordinačių sistemos x′ ašis tebūnie nukreipta į išorę, o y′ ašis – išilgai liestinės prieš laikrodžio rodyklę. Tai dvi kryptys, kuriomis pateikiame santykinio pagreičio komponentes.

Esant šiam pasirinktam radialiajam santykiniam greičiui, išcentrinės jėgos x′ komponentė yra +mκ²r = +4 N. Koriolio jėgos y′ komponentė yra −2mκv′_x = −2 × 2 kg × 1 s⁻¹ × 0.5 m/s = −2 N. Ji nukreipta priešinga teigiamai liestinės krypčiai kryptimi. Padaliję efektyviąsias komponentes iš m, gauname (a′_x, a′_y) = (+2, −1) m/s². Tai momentinės komponentės, o ne pateikta būsimo judėjimo trajektorija ar siūlu laikomos dalelės pagreičiai.

Pakeitus santykinio radialiojo greičio kryptį į priešingą, Koriolio jėgos komponentė taip pat pakeičia kryptį; išcentrinės jėgos komponentė, esant tam pačiam spinduliui ir sukimosi greičiui, nepasikeičia. Kai santykinis greitis lygus nuliui, Koriolio jėga lygi nuliui, tačiau išcentrinė jėga bendruoju atveju nėra lygi nuliui. Šios formulės taikomos esant nejudančiai atskaitos pradžiai ir pastoviam kampiniam greičiui. Kai atskaitos pradžia juda su pagreičiu, prisideda slenkamojo judėjimo narys, o kintant kampinio greičio vektoriui reikia Oilerio nario; pasirinktuose atvejuose šių pokyčių nėra.

Potvyniniai pagreičiai išlieka atėmus bendrą pagreitį

Nagrinėkime atskirą tiksliai apibrėžto, duoto Niutono centrinio lauko momentinę būseną. Radialiojoje tiesėje, kurios teigiama kryptis nukreipta į išorę, tebūnie g(r) = −μ/r², kur μ = 36 m³/s² ir r > 0. Palyginkime bandomąsias daleles, esančias 2, 3 ir 6 m atstumu nuo nejudančio išorinio šaltinio. Jų poveikio šiam šaltiniui nepaisoma. Neigiamas ženklas reiškia, kad visų trijų dalelių gravitaciniai pagreičiai nukreipti šaltinio link.

Pasirinkime nesisukančios, laisvai krintančios atskaitos sistemos pradžią, šiuo momentu esančią 3 m atstumu. Jos pagreitis yra A₀ = g(3 m) = −4 m/s². Santykinis pagreitis kitoje vietoje yra g(r) − A₀. Lentelėje pateiktos vertės −5, 0 ir +3 m/s². Teigiamas liekamasis pagreitis tolimesnėje vietoje reiškia, kad ten esančios dalelės į vidų nukreipto pagreičio modulis yra mažesnis nei atskaitos pradžios; gravitacija ten netapo stumiančiąja.

Tolimesnės ir artimesnės dalelių pagreičių skirtumas inercinėje atskaitos sistemoje yra (−1) − (−9) = 8 m/s², o krintančioje atskaitos sistemoje – (+3) − (−5) = 8 m/s². Atėmus tą patį A₀, šis skirtumas negali pasikeisti. Tokie erdviniai skirtumai yra potvyniniai pagreičiai. Šios vertės apibūdina vieną momentą: spinduliai nėra fiksuotos būsimos padėtys, o dalelėms judant pagreičiai nebūtinai išlieka pastovūs. Šis modelis neprognozuoja vandenyno lygio aukščio ir nepakeičia reliatyvistinio gravitacijos aprašymo.

Palyginkite jėgų dedamąsias ir potvyninius pagreičius atskirais masteliais

Diagramoje palyginami pirmiau aptarti vežimėlis traukinyje ir siūlu laikoma besisukanti dalelė, o po jų pateikiamas momentinis potvyninių pagreičių vaizdas. Ištisinės rodyklės su užpildytais trikampiais antgaliais žymi fizines jėgas; brūkšninės rodyklės su tuščiaviduriais trikampiais antgaliais žymi atskaitos sistemos narius. Abiejose jėgų diagramos dalyse naudojamas tas pats mastelis niutonais. Jų sumos yra skaičiavimų rezultatai, o ne papildomos kurį nors kūną veikiančios jėgos, pavaizduotos diagramoje.

Apatinėje diagramos dalyje taškinėmis linijomis su rombo formos antgaliais rodomas ne jėgų, o santykinis pagreitis, išreikštas m/s². Kvadratas žymi nulinį likutinį pagreitį ties 3 m. Kiekviena eilutė prasideda ties tuo pačiu dedamosios nuliu; vertikalūs tarpai tarp eilučių nerodo kūnų padėčių. Dedamųjų vertes su ženklais nuskaitykite pagal kiekvieną įvardytą ašį, o ne lygindami jėgų ir pagreičių rodyklių ilgius.

Ryšys riboja judėjimą ir gali sukelti fizinę jėgą

Ryšys – tai nurodytas leistino judėjimo apribojimas, pavyzdžiui, įtempto siūlo nustatytas pastovus spindulys. Vien ryšys nenusako visų judėjimo aspektų: fiksuotas spindulys nenustato dalelės kampo ar kampinio greičio. Mūsų sukimosi pavyzdyje taip pat buvo nurodytas tolygus sukamasis judėjimas. Tuomet Niutono lygtis leidžia nustatyti šiam judėjimui palaikyti reikalingą įtempimo jėgą: 4 N, nukreiptą į centrą.

Įtempimo jėga yra fizinė traukos jėga, veikianti išilgai įtempto lankstaus siūlo, o ne fiktyvusis narys. Siūlas negali stumti gniuždymo jėga. Siūlomas sprendinys, kuriam reikėtų tokios jėgos, prieštarautų įtempto siūlo modeliui ir reikalautų kitokio ryšio arba neįtempto siūlo nagrinėjimo. Kreipiamosios normalinė atramos reakcija taip pat yra fizinė kontaktinė jėga; jos vertė turi derėti su leistinu judėjimu ir kitomis jėgomis.

Jei pateiktame judėjimo apskritimu atvejyje siūlas kuriuo nors momentu pašalinamas ir vėliau neveikia jokia kita reali jėga judėjimo plokštumoje, pagreitis inercinėje atskaitos sistemoje tampa lygus nuliui. Tuomet, kol šios sąlygos galioja, dalelė juda toliau paleidimo momento liestinės kryptimi pastoviu 2 m/s greičiu. Besisukančioje atskaitos sistemoje jos trajektorija nebūtinai yra tiesė. Ankstesniame Koriolio jėgos pavyzdyje, kuriame dalelės santykinis greitis tuo momentu buvo radialus, siūlo jau nebuvo; jame negalima taikyti laikomą dalelę veikusios įtempimo jėgos.

Kartu nurodykite atskaitos sistemą, sąveikas ir ryšius

Spręsdami naują uždavinį, pasirinkite kūną arba sistemą, įvardykite atskaitos sistemą, kurią laikote inercine, ir nurodykite judančios sistemos koordinačių pradžią bei ašis. Išvardykite fizines sąveikas ir jų šaltinius. Pridėkite tik tuos atskaitos sistemos narius, kurie atitinka pasirinktą slenkamąjį judėjimą ir sukimąsi, ir aiškiai nurodykite ryšių bei pradinės būsenos prielaidas. Efektyvusis jėgų balansas neinercinėse koordinatėse nebūtinai reiškia, kad fizinių jėgų atstojamoji inercinėje atskaitos sistemoje lygi nuliui.

Čia masė yra teigiama ir pastovi, pateikti judėjimai yra nereliatyvistiniai, o geometrija ir laukai aprašomi idealizuotais Niutono mechanikos modeliais. Tikriems guoliams, siūlams, gravitacijos laukams ir kreipiamosioms gali prireikti papildomų sąveikų arba išsamesnių modelių. Koordinačių skaičiavimai nepatvirtina šių idealizacijų kaip matavimais nustatytų faktų.

Kitoje temoje „Ryšiai ir apibendrintosios koordinatės“ plėtojami būdai aprašyti judėjimą mažesniu koordinačių skaičiumi, kai apribojimai yra žinomi. Šis skirtumas svarbus jau čia: koordinačių keitimas, atskaitos sistemos nario pridėjimas ir fizinio ryšio nustatymas yra skirtingi veiksmai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Palikite tą patį 2 kg masės vežimėlį ir +4 N fizinę jėgą, bet pasirinkite traukinio atskaitos sistemą su lygiagrečiomis ašimis, kurios A₀ = +2 m/s². Raskite a′ ir efektinę jėgų sumą. Ar fizinė jėga lygi nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a′ = 0 m/s², o efektinė jėgų suma yra 0 N. Fizinė jėga išlieka +4 N.

   Pagreitis inercinėje atskaitos sistemoje yra 4/2 = 2 m/s². Atimkite A₀ = 2 m/s²; atskaitos sistemos narys yra −4 N ir santykinio judėjimo lygtyje kompensuoja +4 N. Pagreitis inercinėje atskaitos sistemoje vis tiek nelygus nuliui.

2. Kitame sąlygoje apibrėžtame traukinio modelyje imkite m = 4 kg, F = +4 N ir A₀ = +3 m/s², kai ašys lygiagrečios. Raskite pagreitį inercinėje atskaitos sistemoje, santykinį pagreitį, atskaitos sistemos narį ir efektinę jėgų sumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a = +1 m/s², a′ = −2 m/s², F_frame = −12 N, o efektinė jėgų suma yra −8 N.

   Pirmiausia fizinę jėgą padalykite iš masės: 4/4 = 1. Tada atimkite 3 ir gausite −2 m/s². Atskaitos sistemos inercijos jėga yra −4 × 3 = −12 N, todėl 4 − 12 = −8 N = (4 kg)(−2 m/s²).

3. Tomis pačiomis horizontalaus judėjimo su idealiu siūlu sąlygomis nagrinėkite atskirą tolygaus judėjimo apskritimu atvejį, kai m = 1 kg, r = 3 m ir ω = +2 rad/s. Suderintoje kartu besisukančioje koordinačių sistemoje raskite reikiamos įtempimo jėgos modulį, išcentrinės jėgos modulį, į centrą nukreipto pagreičio inercinėje atskaitos sistemoje modulį ir tangentinį greitį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Įtempimo ir išcentrinės jėgų moduliai yra po 12 N; į centrą nukreipto pagreičio inercinėje atskaitos sistemoje modulis yra 12 m/s², o tangentinis greitis – 6 m/s.

   κ = ω/(1 rad) = 2 s⁻¹. Taigi κ²r = 4 × 3 = 12 m/s², mκ²r = 12 N, o κr = 6 m/s. Tikroji įtempimo jėga nukreipta į centrą, o išcentrinis narys – nuo centro; santykinis greitis ir Koriolio jėga lygūs nuliui.

4. Atskiroje momentinėje būsenoje besisukančioje atskaitos sistemoje pakeiskite v′_x iš +0.5 į −0.5 m/s, nekeisdami m = 2 kg, r = 2 m ir κ = +1 s⁻¹. Kokios yra Koriolio jėgos y′ dedamoji ir išcentrinės jėgos x′ dedamoji?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Koriolio jėga yra +2 N teigiama liestinės kryptimi; išcentrinė jėga tebėra +4 N ir nukreipta nuo centro.

   Pasirinktos būsenos Koriolio jėgos dedamoji yra −2mκv′_x = −2 × 2 × 1 × (−0.5) = +2 N. Išcentrinės jėgos dedamoji priklauso nuo m, κ ir r, kurie nepakito. Siūlo nustatomas ryšys netaikomas.

5. Nagrinėdami tą patį momentinį potvyninį lauką, naudokite kitą nesisukančios atskaitos sistemos koordinačių pradžią, kurios duotas pagreitis yra A₀ = +1 m/s². Raskite santykinius pagreičius ties 2 ir 6 m bei jų skirtumą, iš tolimesnio taško pagreičio atimdami artimesnio taško pagreitį. Ar ši koordinačių pradžia laisvai krinta ties 3 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Likutiniai pagreičiai yra −10 ir −2 m/s²; jų skirtumas yra 8 m/s². Duotame lauke ši koordinačių pradžia ties 3 m nekrinta laisvai.

   Iš −9 ir −1 atimkite +1. Skaičiuojant skirtumą, vienodas atimamas dydis panaikinamas: −2 − (−10) = 8 m/s². Ties 3 m lauko pagreitis yra −4 m/s² ir skiriasi nuo duoto koordinačių pradžios pagreičio +1 m/s².

6. Duotame 2 kg masės kūno judėjimo apskritimu, kurio r = 2 m, pavyzdyje tam tikru momentu pašalinkite siūlą ir tarkite, kad po to kūną veikianti tikroji jėga judėjimo plokštumoje lygi nuliui. Nurodykite trajektoriją, greitį ir pagreitį inercinėje atskaitos sistemoje, kol galioja šios sąlygos. Ar trajektorija besisukančioje koordinačių sistemoje būtinai turi būti tiesi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Inercinėje atskaitos sistemoje trajektorija yra tiesė, sutampanti su liestine paleidimo taške, greitis yra 2 m/s, o pagreitis lygus nuliui. Trajektorija besisukančioje koordinačių sistemoje nebūtinai yra tiesi.

   Pašalinus fizinį ryšį, išnyksta jo į centrą nukreipta įtempimo jėga. Kai tikrųjų jėgų atstojamoji judėjimo plokštumoje lygi nuliui, išlieka momentinis greitis inercinėje atskaitos sistemoje. Ankstesnis liestinis greitis yra κr = 2 m/s. Besisukančių ašių padėčiai kintant, tos inercinėje sistemoje tiesios trajektorijos koordinatės besisukančioje sistemoje vis tiek gali kisti.

Ką verta įsidėmėti

• Kai ašys slenka išlikdamos lygiagrečios, a′ = a − A₀ ir ma′ = F − mA₀.
• Su atskaitos sistema susijęs narys įvertina pasirinktų koordinačių poveikį; įtempimo ir kontaktinės jėgos aprašo fizines sąveikas.
• Išcentrinis ir Koriolio nariai priklauso nuo skirtingų dydžių; rimtis besisukančioje koordinačių sistemoje nebūtinai reiškia rimtį inercinėje atskaitos sistemoje.
• Atėmus bendrą pagreitį, negalima panaikinti pagreičių skirtumų skirtinguose erdvės taškuose.
• Prieš interpretuodami balansą, nurodykite fizikinį ryšį, judėjimo sąlygas, dydžių rūšis ir modelio taikymo sritį.