Hamiltono mechanika ir fazinė erdvė

Tas pats vežimėlis gali dukart pasiekti tą pačią vietą

Pateikite tikslų klasikinį taškinio vežimėlio modelį: vežimėlis juda fiksuota tiese inercinėje atskaitos sistemoje, o teigiama kryptis yra į dešinę. Jo pastovi masė yra m = 4 kg, o jį veikianti atstojamoji jėga yra pastovi: F = +8 N. Padėtis q matuojama nuo fiksuoto koordinačių pradžios taško. Greitis v = dq/dt turi ženklą: neigiama vertė reiškia judėjimą q mažėjimo kryptimi. Iš lygties m dv/dt = F gaunamas pagreitis +2 m/s².

Pasirinkite q(0) = 2 m ir v(0) = −1 m/s ir nagrinėkite tik intervalą 0 ≤ t ≤ 2 s. Tuomet v(t) = −1 m/s + (2 m/s²)t ir q(t) = 2 m − (1 m/s)t + (1 m/s²)t². Laiko momentu 0.5 s vežimėlis akimirkai sustoja ties 1.75 m, tada pakeičia judėjimo kryptį. Laiko momentu 1 s jis vėl yra ties 2 m ir dabar juda +1 m/s greičiu. Tai pateiktos matematinės vertės, o ne matavimų rezultatai.

Vien padėtis 2 m neleidžia atskirti šių dviejų laiko momentų. Šiame modelyje, kuriame naudojamos Dekarto koordinatės, o masė yra teigiama, impulsas yra p = mv, todėl šiais momentais jis yra p = −4 kg m/s ir p = +4 kg m/s. Užrašant ir q, ir p, išsaugomas skirtumas, kurio vien padėtis neatskleidžia.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ yra paskelbta pasirengimo medžiaga apie matavimo vienetus, reikšmių įstatymą ir grafikus su žymėjimais. Pirmiausia susipažinkite su vežimėliu ir lentele. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ yra naudinga pasirengimo medžiaga prieš toliau pateikiamus samprotavimus apie dalines išvestines; reikiamą dalinės išvestinės prasmę pristatome čia. Norint atpažinti šias dvi būsenas, nereikia būti išklausius ankstesnės analizinės mechanikos pamokos.

Konfigūracija ir fazinė būsena atsako į skirtingus klausimus

Konfigūracija nusako, kur yra vežimėlis: čia ją apibūdina viena ilgio koordinatė q. Fazinė būsena apima šią koordinatę ir jos kanoninį impulsą p. Šiame modelyje p = mv, todėl pora (q, p) taip pat nustato greitį. Fazinės plokštumos taškas vaizduoja visą momentinę būseną, o ne dar vieną padėtį erdvėje.

Taigi šiam vienmačiam fiziniam judėjimui fazinė plokštuma turi dvi matematines koordinates. Jos horizontaliosios koordinatės vienetai yra m, o vertikaliosios – kg m/s. Tai nėra statmenos erdvinės kryptys, matuojamos tuo pačiu vienetu. Brėžinio nuolydis ar atstumas pikseliais nėra fizinis greitis ar atstumas.

Reguliariam klasikiniam modeliui su n nepriklausomų konfigūracijos koordinačių vietiniame kanoniniame apraše naudojama n koordinatės ir impulso porų, taigi 2n fazinių koordinačių. Taip skaičiuojami nepriklausomi būsenos kintamieji, o ne erdvinės kryptys ar SI sistemoje vartojamos fizikinių dydžių dimensijos. Perteklinės koordinatės ir degeneruoti impulso bei greičio sąryšiai reikalauja papildomo nagrinėjimo; netaikykite šio skaičiavimo, jei netenkinamos jo sąlygos.

Greitį pakeiskite kanoniniu impulsu

Duotajai jėgai parinkite potencinę energiją V(q) = −Fq, kurios nulinė vertė yra ties q = 0. Jos išvestinė padėties atžvilgiu su minuso ženklu yra +F. Kinetinė energija yra K = mv²/2. Apibrėžkite lagranžianą L(q, v) = K − V = mv²/2 + Fq. Čia L, K ir V vienetai yra J; q ir v yra atskiri L argumentai.

Kanoninis impulsas apibrėžiamas kaip p = ∂L/∂v: dalinė išvestinė greičio atžvilgiu skaičiuojama fiksavus q ir išreikštinį laiko argumentą, jei jis yra. Imant dalinę išvestinę, keičiamas vienas argumentas, o kiti laikomi pastoviais. Šiame modelyje p = mv. Kadangi m = 4 kg yra teigiama, kiekvieną baigtinį p atitinka tik vienas greitis v = p/m.

Dabar apibrėžkite hamiltonianą formule H(q, p) = pv − L(q, v), visur pakeisdami v į p/m. Sandaugos pv vienetai yra J. Įstatę gauname H = p²/m − [p²/(2m) + Fq], taigi H(q, p) = p²/(2m) − Fq. Tai padėties ir impulso funkcija; greitis pašalintas.

Šis pakeitimas yra Ležandro transformacija greičio argumento atžvilgiu. Esminė jos sąlyga čia – aiškiai išreikštas vienareikšmis atvirkštinis ryšys v = p/m. Bendresniu atveju pakankamai glotnus L, kurio Hesės matrica greičio atžvilgiu yra neišsigimusi, turi vietinį atvirkštinį ryšį nagrinėjamo taško aplinkoje. Hesės matrica yra antrųjų dalinių išvestinių greičio atžvilgiu matrica; mūsų vienos koordinatės atveju tai tiesiog ∂²L/∂v² = m. Vietinis atvirkštinis ryšys negarantuoja vieno visuotinio atvirkštinio ryšio kiekvienai galimai impulso vertei.

Dvi kitimo spartos lemia visos būsenos raidą

Hamiltono lygtys yra dq/dt = ∂H/∂p; dp/dt = −∂H/∂q. Imdami dalinę išvestinę impulso atžvilgiu, fiksuokite q ir išreikštinį laiko argumentą, jei jis yra; imdami dalinę išvestinę padėties atžvilgiu, fiksuokite p ir išreikštinį laiko argumentą, jei jis yra. Minuso ženklas priklauso impulso kitimo spartos lygčiai. Mūsų H atveju šios dvi kitimo spartos yra dq/dt = p/m ir dp/dt = +F.

Vienetai paaiškina skirtingus jų vaidmenis. ∂H/∂p vienetai yra J/(kg m/s) = m/s – tai padėties kitimo sparta. ∂H/∂q vienetai yra J/m = N, o ši išvestinė su minuso ženklu yra impulso kitimo sparta. Taigi p yra impulso vertė, o dp/dt – jėgos matmenis turinti kitimo sparta; jų negalima pakeisti vieno kitu.

Reguliariajam Lagranžo modeliui lokalioji judėjimo lygtis yra dp/dt = ∂L/∂q. Esant fiksuotam laikui, diferencijuokime H = pv − L: narys p dv panaikina narį (∂L/∂v)dv, nes p = ∂L/∂v. Lieka dH = v dp − (∂L/∂q)dq. Palyginę abu koeficientus, gauname Hamiltono lygtis. Šis samprotavimas remiasi galiojančia lokaliąja Lagranžo lygtimi ir atvirkštine greičio priklausomybe; tai nėra taisyklė savavališkai pasirinktai funkcijai L.

Naudojant duotą pradinį impulsą, integruojant gaunama p(t) = −4 kg m/s + (8 N)t. Padalijus iš 4 kg, gaunamas nurodytas greitis, o integruojant šį greitį nuo q(0) = 2 m, gaunama nurodyta padėtis. Dviem pirmosios eilės lygtims reikia ir pradinės q, ir pradinio p; vien H šių duomenų nesuteikia.

Skaitykite fazinę kreivę ir padėties kitimo grafiką

Viršutiniame grafike p žymimas vertikaliojoje, o q – horizontaliojoje ašyje. Ištisinė kreivė vaizduoja pasirinktą būsenų seką (q(t), p(t)); dvi jos rodyklės nurodo tik laiko didėjimo kryptį. Apatinė brūkšninė kreivė vaizduoja q priklausomybę nuo tikrojo laiko t. Vienodos formos žymekliai abiejuose grafikuose žymi tuos pačius penkis laiko momentus. Fazinė kreivė nėra vežimėlio trajektorija erdvėje, o jos rodyklės nėra jėgos ar impulso vektoriai.

Laiko momentais 0 ir 1 s viršutiniame grafike ties q = 2 m yra du skirtingi taškai: p = −4 ir +4 kg m/s. Rombu pažymėtame taške t = 0.5 s, p = 0 ir dq/dt = 0, tačiau dp/dt = +8 N. Čia vežimėlis pakeičia judėjimo kryptį; jo fazinė būsena toliau kinta. Faziniame nejudamajame taške abu kitimo greičiai turėtų būti lygūs nuliui.

Lentelėje pateikta kinetinė energija K, potencinė energija V ir jų suma H kiekvienu pasirinktu laiko momentu. Visos sumos lygios −14 J. Eliminavus laiką, gaunama q/(1 m) = [p/(1 kg m/s)]²/64 + 7/4 pavaizduotame impulso intervale −4 ≤ p/(1 kg m/s) ≤ 12. Dėl vardiklių ši lygtis sieja bedimensius skaičius.

Grafikuose naudojamos tikslios šio pateikto modelio kvadratinės kreivės ir atskiri nurodyti masteliai. Jų braižymo valdymo taškai nėra stebėtos būsenos ar vidurio taškų imtys. Parodytas tik pasirinktas kitimas nuo 0 iki 2 s. Lentelė yra pažymėtų būsenų skaitinis atitikmuo.

Energijos lygis nenustato pradinės būsenos

Kai fiksuotoje inercinėje atskaitos sistemoje naudojamos Dekarto koordinatės ir lagranžianas yra L = mv²/2 − V(q), Hamiltono funkcija lygi K + V. Mūsų H neturi išreikštinio laiko argumento: ji autonominė. Išilgai Hamiltono lygčių sprendinio dH/dt = (∂H/∂q)(dq/dt) + (∂H/∂p)(dp/dt) = 0, nes abu dėmenys vienas kitą panaikina. Vežimėlio kinetinė ir potencinė energijos kinta, o jų suma išlieka −14 J.

Panagrinėkime kitą laisvosios dalelės modelį, kuriame m = 4 kg yra tokia pati, bet V = 0. Jo H = p²/(2m). Energijos lygį H = 2 J atitinka p = −4 kg m/s ir p = +4 kg m/s. Kai q = 2 m, tai yra dvi skirtingos galimos pradinės būsenos, kurių greičiai yra −1 ir +1 m/s. Po 1 s jų padėtys yra atitinkamai 1 ir 3 m. Vien energijos vertė nenustato nei krypties, nei pradinės padėties.

Kai H(q, p, t) yra pakankamai glodi ir išreikštinai priklauso nuo laiko, grandinės taisyklė ir Hamiltono lygtys išilgai sprendinio duoda dH/dt = ∂H/∂t. Dalinė išvestinė skaičiuojama laikant q ir p pastoviais. Čia išreikštinės priklausomybės nuo laiko nebuvimas yra pakankama tvermės sąlyga; esant išreikštinei priklausomybei nuo laiko, tokia išvada automatiškai nebegalioja. Ar H kinta, vis tiek lemia dalinės išvestinės vertė išilgai tikrojo sprendinio.

Kanoninis impulsas priklauso nuo pasirinkto lagranžiano

Palikime laisvą 4 kg dalelę fiksuotoje tiesėje, bet nustatykime Lᵦ = mv²/2 + bv, kur b = 3 kg m/s yra konstanta. Pridėto nario matavimo vienetas yra J. Kanoninis impulsas yra p = mv + b, todėl v = (p − b)/m. Įprastinis kinetinis impulsas tebėra mv. Tas pats simbolis p neturėtų be paaiškinimo žymėti abiejų dydžių.

Įstatę šią atvirkštinę išraišką į p v − Lᵦ, gauname Hᵦ = (p − b)²/(2m). Kai v = 2 m/s, kinetinis impulsas yra 8 kg m/s, kanoninis impulsas yra 11 kg m/s, Lᵦ yra 14 J, o Hᵦ yra 8 J. Konstanta b paslenka kanoninio impulso koordinatę; ji nesukuria papildomos jėgos.

Iš tiesų, kai b yra konstanta, bv = d(bq)/dt. Pridėjus šio nario integralą laiko atžvilgiu, veikimas pakinta tik dydžiu, lygiu bq galiniame taške minus bq pradiniame taške; bq matavimo vienetas yra J s. Kai pradžios ir pabaigos padėtys bei laikai fiksuoti, šis priedas nekeičia stacionaraus veikimo lygties. Tiesiogiai dp/dt = m dv/dt ir ∂Lᵦ/∂q = 0 vis tiek duoda laisvosios dalelės lygtį. Šis konkretus kraštinio nario pavyzdys nieko neteigia apie elektromagnetizmą.

Palyginimui nustatykime tik Lₛ = bv kaip išsigimusį matematinį pavyzdį. Tuomet p = b esant bet kokiam greičiui, o ∂²Lₛ/∂v² = 0. Kai p = b, išraiška pv − Lₛ lygi nuliui, tačiau ji nesuteikia įprastos atvirkštinės greičio išraiškos ar hamiltoniano atviroje nepriklausomų (q, p) būsenų aibėje. Tai paprastos pakeitimo procedūros nesėkmė, o ne fizinis nulinės masės vežimėlio modelis.

Aiškiai nurodykite modelio ir koordinačių sąlygas

Vežimėlio impulso matavimo vienetą kg m/s lemia jo ilgio koordinatė ir nurodytas lagranžianas. Naudojant kitas apibendrintąsias koordinates, su koordinate susieto kanoninio impulso matavimo vienetas nustatomas pagal p = ∂L/∂q̇. Pavyzdžiui, su kampo koordinate susieto kanoninio impulso matavimo vienetas nebūtinai turi būti toks pat kaip ilgio koordinatės. Vien žymuo p nenurodo nei erdvinės krypties, nei įprastinio kinetinio impulso.

Taip pat H sudaromas pakeičiant greitį, o ne automatiškai sudedant visus energija vadinamus narius. Lygybė H = K + V buvo pagrįsta mūsų nurodytai formai inercinėse Dekarto koordinatėse, kai kinetinis narys yra kvadratinis, o potencialas priklauso tik nuo koordinačių. Kitiems lagranžianams, koordinačių pasirinkimams ar priklausomybei nuo laiko reikia atskiros energijos interpretacijos ir apibrėžimo srities patikros.

Laikykitės šios sekos: nurodykite modelį ir nepriklausomas koordinates, apibrėžkite kanoninius impulsus, patikrinkite, ar galima gauti tinkamą atvirkštinę greičio išraišką, sudarykite H, taikykite kitimo greičio lygtis su atitinkamais ženklais ir nurodykite pradinę būseną. Kiekviename žingsnyje tikrinkite matavimo vienetus ir apibrėžimo sritis. Puasono skliaustai yra kita mokymosi plano tema; nei šio žymėjimo, nei bendrosios koordinačių transformacijų teorijos šios pamokos vežimėliui nereikia.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniame vežimėlio modelyje raskite q, p ir H, kai t = 1.5 s. Nurodykite jų matavimo vienetus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   q = 2.75 m; p = 8 kg m/s; H = −14 J.

   Padėtis yra 2 − 1.5 + 2.25 = 2.75 m, o impulsas yra −4 + 12 = 8 kg m/s. K = 8 J ir V = −22 J, todėl jų suma yra −14 J.

2. Skaitytojas pagrindinio modelio vežimėlio būseną judėjimo krypties pasikeitimo momentu, kai p = 0, vadina nejudamuoju tašku fazinėje erdvėje. Kuriuos du kitimo greičius reikia patikrinti ir kokios jų vertės?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   dq/dt = 0, bet dp/dt = +8 N. Tai nėra nejudamasis taškas fazinėje erdvėje.

   Kad būsena fazinėje erdvėje būtų stacionari, abu kitimo greičiai turi būti lygūs nuliui. Čia tik padėties kitimo greitis akimirkai tampa lygus nuliui; nenulinis impulso kitimo greitis lemia tolesnį būsenos kitimą.

3. Apskaičiuokite ∂H/∂p ir ∂H/∂q pagrindinio modelio vežimėlio pradinėje būsenoje, tada nurodykite dq/dt ir dp/dt.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∂H/∂p = −1 m/s; ∂H/∂q = −8 N; dq/dt = −1 m/s; dp/dt = +8 N.

   p/m = (−4 kg m/s)/(4 kg) = −1 m/s, o −Fq dalinė išvestinė pagal padėtį yra −F. Hamiltono impulso lygtyje ši dalinė išvestinė imama su priešingu ženklu.

4. Laisvosios 4 kg masės dalelės V = 0, o H = 8 J. Raskite galimas impulso ir greičio reikšmes su ženklais. Ar energija lemia vieną iš ženklų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   p = −8 arba +8 kg m/s; v = −2 arba +2 m/s. Energija ženklo nelemia.

   p² = 2mH = 64 (kg m/s)². Abi kvadratinės šaknys duoda tą pačią teigiamą energiją; kiekvieną padalykite iš 4 kg, kad gautumėte atitinkamą greičio reikšmę su ženklu.

5. Prie pagrindinio modelio potencinės energijos pridėkite konstantą 5 J, pakeisdami V į V + 5 J. Kokia bus Hamiltono funkcijos reikšmė toje pačioje trajektorijoje ir ar pasikeis kanoninių kintamųjų kitimo spartos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Toje trajektorijoje H tampa −9 J. Abi kanoninių kintamųjų kitimo spartos lieka nepakitusios.

   Esant šiai standartinei kinetinės energijos formai, H pasikeičia į H + 5 J. Konstantos dalinės išvestinės padėties ir impulso atžvilgiu yra nulinės, todėl ji nekeičia nei jėgos, nei greičio. Pasikeitė energijos atskaitos taškas, o ne judėjimo dėsnis.

6. Matematiniame modelyje Lₛ = bv, kur b = 3 kg m/s, ar p = 3 kg m/s gali vienareikšmiškai nustatyti greitį? Patikrinkite v = −2 ir +5 m/s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Abu greičiai ir bet kuris kitas baigtinis greitis duoda tą patį p = b.

   ∂Lₛ/∂v = b nepriklauso nuo v. Nulinė Hesės matrica greičio atžvilgiu čia neleidžia įprastu būdu lokaliai išreikšti greičio per impulsą. Užrašius pv − Lₛ = 0, kai p = b, ši problema neišsprendžiama ir nepagrindžiamas fizinis nulinės masės modelis.

Ką verta įsidėmėti

• Fazinę būseną sudaro koordinatės ir kanoniniai impulsai; tą pačią padėtį arba tą pačią energijos reikšmę gali atitikti skirtingos būsenos.
• Sudarykite H = pv − L tik įsitikinę, kad greičio pakeitimas nurodytoje srityje yra leistinas.
• Hamiltono lygčių matavimo vienetai skiriasi, o impulso kitimo spartos lygtyje yra minuso ženklas.
• Nulinis greitis judėjimo krypties pasikeitimo taške nereiškia, kad tai yra nejudamasis taškas fazinėje erdvėje, jei impulsas vis dar kinta.
• Kanoninį impulsą ir fizikinę hamiltoniano interpretaciją lemia pasirinktas lagranžianas ir koordinačių sąlygos.