Mažieji svyravimai ir normaliosios modos

Paleiskite du susietus kūnus

Du materialieji taškai, kurių kiekvieno masė 2 kg, yra fiksuotoje tiesėje; teigiama kryptis – į dešinę. Jų pusiausvyros padėtys yra X₁ = 1 m ir X₂ = 3 m. Kiekvienas kūnas standumo k = 8 N/m spyruokle sujungtas su artimiausia nejudančia siena, esančia ties 0 m arba 4 m. Trečia, standumo k_c = 12 N/m, spyruoklė jungia abu kūnus. Trijų nedeformuotų spyruoklių ilgiai yra 1 m, 2 m ir 1 m, todėl pusiausvyros padėtyje nė viena spyruoklė nėra deformuota.

Tegu q₁ = X₁ − 1 m ir q₂ = X₂ − 3 m yra poslinkiai su ženklu nuo šių fiksuotų pusiausvyros padėčių. Paleiskite kūnus, kai q₁ = +0.06 m, q₂ = +0.02 m, o abu greičiai lygūs nuliui laiko momentu t = 0. Jungiančioji spyruoklė suspausta 0.04 m. Jos stūmimo jėga, veikianti antrąjį kūną, gali būti didesnė už šio kūno sieninės spyruoklės jėgą; vien poslinkis nenulemia kiekvieno kūno pagreičio krypties.

Tai tiksliai nustatytos Niutono mechanikos modelio vertės, o ne matavimų rezultatai. Atskaitos sistema yra inercinė, masės nekinta, judėjimas vyksta tik nurodyta tiese, o visas išilgines jėgas sukuria idealios tiesinės spyruoklės. Slopinimo ir išorinio žadinimo neįtraukiame. Nagrinėjame intervalą 0 ≤ t ≤ π s; realių spyruoklių atitiktis modeliui už patikrinto intervalo ribų yra atskiras klausimas.

Prieš pasirinkdami modas, užrašykite jėgas

Tiesinė spyruoklė traukia arba stumia priešinga kryptimi, nei rodo jos pailgėjimo ženklas. Jungiančiosios spyruoklės pailgėjimas yra q₂ − q₁. Taigi išilginės jėgos yra F₁ = −k q₁ + k_c(q₂ − q₁) ir F₂ = −k q₂ − k_c(q₂ − q₁). Jungiančiosios spyruoklės jėgos, veikiančios abu kūnus, yra priešingos; jų sąveikos su prie sienų pritvirtintomis spyruoklėmis yra atskiros.

Greitis yra momentinė poslinkio kitimo sparta, v_i = dq_i/dt. Pagreitis yra greičio kitimo sparta, a_i = d²q_i/dt². Vienas taškas sutrumpintai žymi vieną išvestinę laiko atžvilgiu, o du taškai reiškia pagreitį. Niutono lygtis šioje atskaitos sistemoje yra m q̈_i = F_i. Jėgos vienetas yra N, o pagreičio – m/s².

Kai m = 2 kg, lygtys tampa q̈₁ = −(10 s⁻²)q₁ + (6 s⁻²)q₂ ir q̈₂ = (6 s⁻²)q₁ − (10 s⁻²)q₂. Jos yra susietos: kiekvieno kūno pagreitis priklauso nuo abiejų poslinkių. Dviejų kūnų judėjimui apibrėžti reikia dviejų pradinių poslinkių ir dviejų pradinių greičių.

Atskirkite vienakryptį ir priešpriešinį judėjimą

Apibrėžkime Q₊ = (q₁ + q₂)/2 ir Q₋ = (q₁ − q₂)/2. Sudėję abi jėgų lygtis ir padaliję iš dviejų, gauname Q̈₊ = −(4 s⁻²)Q₊. Atėmę gauname Q̈₋ = −(16 s⁻²)Q₋. Kiekviena normalioji koordinatė Q₊ ir Q₋ tenkina atskirą grąžinamosios jėgos lygtį; nė vienoje lygtyje nėra kitos koordinatės.

Fizinius poslinkius atkurkite pagal q₁ = Q₊ + Q₋ ir q₂ = Q₊ − Q₋. Kai judėjimą sudaro tik Q₊, galioja q₁ = q₂: kūnai juda kartu, o jungiančioji spyruoklė išlaiko savo nedeformuotą ilgį. Kai judėjimą sudaro tik Q₋, galioja q₁ = −q₂: kūnai juda priešingomis kryptimis, o prie jungiančiosios spyruoklės pailgėjimo prisideda abiejų jos galų judėjimas.

Normalioji moda čia yra vieno dažnio judėjimas su nekintama poslinkių forma, (1, 1) arba (1, −1). Ši forma yra bedimensė ir gali būti padauginta iš poslinkio amplitudės. Priešingi ženklai reiškia priešingų krypčių judėjimą, o ne skirtingus dažnius. Normaliųjų koordinačių vienetas tebėra m; jos yra tų pačių dviejų kūnų poslinkių deriniai, o ne dvi papildomos dalelės.

Nurodykite fazes ir pradinius duomenis

Kosinuso funkcija kartojasi, kai jos argumento, išreikšto radianais, skaitinė vertė padidėja 2π. Fazės kampus užrašykime θ₊ = φ₊ rad ir θ₋ = φ₋ rad, kur bedimensiai dydžiai yra φ₊ = (2 s⁻¹)t ir φ₋ = (4 s⁻¹)t. Fiziniai kampiniai dažniai yra 2 rad/s ir 4 rad/s. Jų periodai yra T₊ = π s ir T₋ = (π/2) s; periodas yra vieno pilno ciklo trukmė.

Iš mūsų pradinių duomenų gauname Q₊(0) = 0.04 m ir Q₋(0) = 0.02 m, o abiejų modų greičiai yra lygūs nuliui. Šiuos duomenis atitinkantys sprendiniai yra Q₊(t) = (0.04 m) cos φ₊ ir Q₋(t) = (0.02 m) cos φ₋. Kiekvienos koordinatės pradinė vertė lygi jos teigiamai amplitudei – didžiausiam tos normaliosios koordinatės moduliui.

Todėl q₁(t) = (0.04 m) cos φ₊ + (0.02 m) cos φ₋ ir q₂(t) = (0.04 m) cos φ₊ − (0.02 m) cos φ₋. Jų greičiai yra v₁ = −(0.08 m/s) sin φ₊ − (0.08 m/s) sin φ₋ ir v₂ = −(0.08 m/s) sin φ₊ + (0.08 m/s) sin φ₋. Diferencijuodami dar kartą patikriname, ar susietosios lygtys tenkinamos visame intervale, o ne tik lentelėje pateiktais laiko momentais.

Nagrinėkite judėjimą ir normaliąsias koordinates kartu

Viršutiniame grafike pavaizduoti q₁ ir q₂. Apatiniame grafike pavaizduotos jų sumos pusė Q₊ ir skirtumo pusė Q₋. Abiejuose grafikuose naudojami tie patys tikrojo laiko ir ilgio metrais masteliai. Viena apatinio grafiko kreivė atlieka vieną ciklą, o kita – du; jų sumos ir skirtumai sukuria sudėtingesnį viršutiniame grafike pavaizduotą judėjimą.

Simboliai žymi tikslius lentelėje pateiktus laiko momentus, o ne stebėjimus. Jungiančios spyruoklės ilgis yra X₂ − X₁ = 2 m − 2Q₋ ir kinta nuo 1.96 m iki 2.04 m. Be to, |q₁| ir |q₂| neviršija 0.06 m, kaip matyti iš modų amplitudžių sumos. Šios ribos užtikrina, kad duotieji materialieji taškai lieka atskirti.

Laiko momentais t = (π/4) s ir t = (3π/4) s poslinkiai yra vienodi, tačiau greičių ženklai priešingi. Pasikartojanti konfigūracija nebūtinai reiškia pasikartojančią būseną. Kai t = π s, abu poslinkiai ir abu greičiai grįžta į pradines vertes. Pasirinkto mišriojo judėjimo periodas yra π s.

Stebėkite energiją normaliosiose koordinatėse

Pasirinkto atskaitos lygio atžvilgiu V = k(q₁² + q₂²)/2 + k_c(q₁ − q₂)²/2 yra visose trijose spyruoklėse sukaupta energija. Kinetinė energija yra K = m(v₁² + v₂²)/2. Nesant slopinimo ar išorinio žadinimo ir esant pastoviems spyruoklių parametrams, šio judėjimo metu K + V nekinta.

Įstatykite q₁ = Q₊ + Q₋ ir q₂ = Q₊ − Q₋. Mišrieji nariai panaikinami: K = m(Q̇₊² + Q̇₋²) ir V = k Q₊² + (k + 2k_c)Q₋². Taigi šiame tiesiniame modelyje be slopinimo energijos E₊ = m Q̇₊² + k Q₊² ir E₋ = m Q̇₋² + (k + 2k_c)Q₋² kiekviena atskirai yra pastovios.

Kadangi mūsų normaliosios koordinatės apibrėžtos kaip pusė sumos ir pusė skirtumo, kiekvienas kinetinės energijos narys yra (4 kg)Q̇²/2. Laikant normaliąją koordinatę papildoma 2 kg fizine mase, šis koeficientas būtų praleistas. Iš pradžių E₊ = 0.0128 J ir E₋ = 0.0128 J, todėl bendra energija yra 0.0256 J. Šios energijos lygios dėl būtent tokių amplitudžių; apskritai normaliųjų modų energijos nebūtinai yra lygios.

Patikrinkite, ką reiškia „maži“

Mūsų pateikta kvadratinė spyruoklių potencinė energija lemia, kad tiesinės judėjimo lygtys yra tikslios. Bendresniu atveju mažų svyravimų modelyje paliekama pakankamai glodžios potencinės energijos kvadratinė dalis ties pusiausvyra ir žemiausios eilės kinetinės energijos nariai. Pusiausvyroje pirmosios eilės potencinės energijos pokytis lygus nuliui. Kai lokaliosios koordinatės yra reguliarios ir nepriklausomos, teigiama inercija ir griežtai teigiama kvadratinė grąžinamoji energija lemia čia aprašytą stabilių svyravimų atvejį. Šios sąlygos yra prielaidos, kurias reikia patikrinti, o ne pasekmės, išplaukiančios vien iš to, kad poslinkis pavadinamas mažu.

Atskiras vienos koordinatės pavyzdys leidžia tikslumo klausimą aptarti konkrečiai. Tarkime, V(q) = kq²/2 + λq⁴/4, kur k = 8 N/m ir λ = 800 N/m³. Tiksli jėga yra F = −kq − λq³. Kai q nelygus nuliui, atmesto kubinio jėgos nario modulio santykis su palikto tiesinio jėgos nario moduliu yra λq²/k. Kai q = 0.01 m, šis santykis yra 1%; kai q = 0.05 m, jis yra 25%. Vardiklyje yra palikto jėgos nario modulis.

Šis santykis palygina momentines jėgas esant nurodytam poslinkiui. Vien jis nenustato viršutinės pilnų trajektorijų skirtumo ribos per tam tikrą laiko intervalą. Šis ketvirtojo laipsnio potencinės energijos pavyzdys yra kitas modelis, o ne dar viena jėga, slapta pridėta prie mūsų dviejų masių sistemos. Slopinimą, išorinį žadinimą, kryptis, kuriomis grąžinamoji jėga lygi nuliui, ir netiesinį susiejimą reikia analizuoti atskirai; neslopinami svyravimai nenurimsta iki rimties.

Susiekite poslinkių derinį su tikrine verte

Matrica yra koeficientų lentelė. Kiekvieną eilutę padauginus iš poslinkių stulpelio, gaunama atitinkama S q komponentė; fizikinių jėgų stulpelis yra −S q. Čia standumo matricos S eilutės yra (20, −12) ir (−12, 20), jos elementų vienetai yra N/m, o m q̈ = −S q. Ji nenulinius poslinkių derinius (1, 1) ir (1, −1) atitinkamai paverčia 8(1, 1) N/m ir 32(1, −1) N/m. Derinys, kuris išlieka toks pats iki dauginamojo koeficiento, yra tikrinis vektorius; šis koeficientas yra jo tikrinė vertė.

Kai abiejų kūnų masė vienoda ir lygi m, poslinkių derinio, kurio standumo tikrinė vertė yra s, fazės kitimo spartos skaitinės vertės kvadratas yra ν² = s/m. Taigi (8 N/m)/(2 kg) = 4 s⁻² ir (32 N/m)/(2 kg) = 16 s⁻². Ištraukus teigiamas kvadratines šaknis, gaunama 2 s⁻¹ ir 4 s⁻¹. Standumo tikrinė vertė pati savaime nėra dažnis. Kai teigiamos masės skirtingos, reikia masių matricos ir atitinkamo apibendrinto tikrinių verčių uždavinio.

Pradėkite nuo paleidimo, jėgų lygčių, pusės sumos ir pusės skirtumo, tada peržiūrėkite tikslių reikšmių lentelę ir grafikus. Prie patikrų naudojant išvestines ir matricas galėsite grįžti po atitinkamų matematikos priemonių pamokų. Kitoje temoje – Hamiltono mechanikoje ir fazinėje erdvėje – būsena vėl bus nagrinėjama per koordinates ir judesio kiekius; šiam pateiktam modeliui nereikia nė vieno tos temos metodo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai t = (π/2) s, q₁ = −0.02 m, o q₂ = −0.06 m. Apskaičiuokite Q₊ ir Q₋ nesinaudodami apatiniu grafiku.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Q₊ = −0.04 m, o Q₋ = +0.02 m.

   Pusė sumos yra (−0.02 − 0.06)m/2 = −0.04 m. Pusė skirtumo yra (−0.02 + 0.06)m/2 = +0.02 m. Juos vėl sujungus gaunami abu fiziniai poslinkiai.

2. Dabar paleiskite abu kūnus iš padėties q₁ = q₂ = +0.04 m, kai abiejų greičiai lygūs nuliui. Kuri moda sužadinama ir kokie yra pradiniai pagreičiai bei periodas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sužadinama tik Q₊ moda. Abu pagreičiai lygūs −0.16 m/s², o periodas yra π s.

   Q₋ ir Q̇₋ lygūs nuliui, todėl pagal jų homogeninę lygtį Q₋ išlieka lygus nuliui. Jungiančios spyruoklės pailgėjimas lygus nuliui. Kiekviena prie sienos pritvirtinta spyruoklė veikia −0.32 N jėga, kuri 2 kg masės kūnui suteikia −0.16 m/s² pagreitį. Vienakryptės svyravimų modos fazės kitimo sparta yra 2 s⁻¹, todėl T = 2π/(2 s⁻¹).

3. Lentelėje pateiktos tos pačios q₁ ir q₂ vertės laiko momentais (π/4) s ir (3π/4) s. Ar visa būsena pasikartoja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Abu greičiai pasikeičia iš −0.08 m/s į +0.08 m/s.

   Poslinkiai nusako konfigūraciją; Niutono mechanikoje būsenai aprašyti dar reikia greičių. Abiem laiko momentais normaliųjų koordinačių vertės yra tos pačios, bet jų kitimo spartos skiriasi. Pasirinkta visa būsena pasikartoja po π s, o ne po π/2 s.

4. Priešingakrypčio judėjimo modos standumo tikrinė vertė yra 32 N/m. Skaitytojas ją įvardija kaip „32 rad/s“. Apskaičiuokite teisingą kampinį dažnį ir periodą, kai masė yra 2 kg.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kampinis dažnis yra 4 rad/s, o periodas – (π/2) s.

   Pirmiausia padalykite standumą iš masės: 32/2 = 16 s⁻². Teigiama šios vertės kvadratinė šaknis yra skaitinė fazės kitimo sparta 4 s⁻¹, atitinkanti 4 rad/s. Visam fazės skaitinės vertės pokyčiui 2π reikia 2π/(4 s⁻¹).

5. Laiko momentu t = (π/4) s naudokite q₁ = −0.02 m, q₂ = +0.02 m ir v₁ = v₂ = −0.08 m/s. Raskite K, V ir K + V pagal pradines dviejų kūnų formules.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   K = 0.0128 J, V = 0.0128 J ir K + V = 0.0256 J.

   K = (2 kg)[2(0.08 m/s)²]/2 = 0.0128 J. Dviejų su sienomis susijusių dėmenų suma yra 0.0032 J; jungties dėmuo yra (12 N/m)(0.04 m)²/2 = 0.0096 J. Jų suma yra V = 0.0128 J. Tai, kad šiuo laiko momentu K ir V yra lygūs, nereiškia, kad jie lygūs kiekvienu laiko momentu.

6. Atskirame ketvirtojo laipsnio modelyje, kai q = 0.05 m, kubinis jėgos dėmuo sudaro 25% tiesinio jėgos dėmens. Ar tai įrodo, kad trajektorijos padėties paklaida išlieka mažesnė nei 25% visame intervale 0 ≤ t ≤ π s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tai tik momentinis jėgų palyginimas su nurodytu vardikliu.

   Padėčių skirtumai priklauso nuo lygčių, pradinių duomenų ir praėjusio laiko. Vietinis santykis tokio trajektorijos paklaidos rėžio nenustato. Jis taip pat nekeičia tikslaus tiesinio modelio, naudojamo dviejų kūnų grafikams.

Ką verta įsidėmėti

• Normaliosios modos išskaido šį tiesinį susietąjį judėjimą į nekintamus vienakrypčio ir priešingakrypčio judėjimo pavidalus; fiziniai kūnai lieka susieti.
• Pradiniai poslinkiai ir greičiai lemia modų amplitudes ir fazes. Pasikartojanti konfigūracija nebūtinai reiškia pasikartojančią būseną.
• Standumo ir masės santykis duoda fazės kitimo greičio kvadratą; dažnio, poslinkio, pagreičio ir energijos matavimo vienetai išlieka skirtingi.
• Pasirinktos normaliosios koordinatės duoda dvi nekintamas modų energijas, kurių lygybė čia kyla iš pasirinktų paleidimo sąlygų.
• Kvadratinis idealusis modelis yra tikslus pagal apibrėžimą. Mažųjų svyravimų artiniui reikia sąlygų ir atmestų narių patikros; vietinis jėgų santykis nėra trajektorijos paklaidos rėžis.