Puasono skliaustai

Pradėkite nuo vienos spyruoklės būsenos

Pateikime klasikinį taškinės dalelės modelį vienoje fiksuotoje tiesėje inercinėje atskaitos sistemoje, teigiamą kryptį pasirinkę į dešinę. Jos pastovi masė yra m = 2 kg. Padėties koordinatė q matuojama nuo pusiausvyros padėties metrais; impulsas p = mv matuojamas kg m/s, kur v yra greitis su ženklu. Grąžinamoji jėga yra −kq, o k = 8 N/m. Tai tikslios mokomosios prielaidos, o ne išmatuoti spyruoklės duomenys.

Vienu laiko momentu pasirinkite q = 0.5 m ir p = 2 kg m/s. Dalelė juda į dešinę greičiu p/m = 1 m/s, o jos impulsas kinta sparta −kq = −4 N. Ženklai atsako į skirtingus klausimus: kuria kryptimi ji juda ir kaip kinta jos impulsas. Jos padėties koordinatės kvadratas q² didėja sparta 2qv = 1 m²/s.

Puasono skliaustai sujungs šiuos kitimo spartų skaičiavimus į vieną taisyklę. Pirmiausia išnagrinėkite šią paprastą būseną; tuomet, jei išvestinės jums naujos, pasinaudokite palyginimo lentele ir tik tada grįžkite prie formalios kitimo laike taisyklės. Dalinės išvestinės, kitą kintamąjį laikant pastoviu, paaiškintos toliau, ten, kur jų prireikia.

Nurodykite būsenos kintamuosius ir Hamiltonianą

Šiame modelyje q ir p sudaro kanoninę porą: Hamiltono apraše jie naudojami kaip nepriklausomi būsenos kintamieji, kuriems galioja lygtys dq/dt = ∂H/∂p ir dp/dt = −∂H/∂q. Du dydžius vadinant kanoniniais, numanomas ir šis struktūros pasirinkimas; vien pavadinimų tam nepakanka. Taškas virš simbolio, kaip q̇, taip pat žymi išvestinę laiko atžvilgiu.

Pasirinkime Hamiltono funkciją H(q, p) = p²/(2m) + kq²/2. Čia ji lygi kinetinės ir potencinės energijų sumai, o potencinė energija lygi nuliui, kai q = 0. Kiekvieno dėmens matavimo vienetas yra J. Pasirinktoje būsenoje kiekvienas dėmuo lygus 1 J, taigi H = 2 J. Ši energinė interpretacija taikoma nurodytam klasikiniam modeliui.

Šiame glodžiame modelyje koordinatė ir impulsas gali įgyti bet kokias realiąsias vertes. Skaičiuojant dalinę išvestinę, keičiamas vienas argumentas, o kitas argumentas ir bet koks išreikštinis laiko argumentas laikomi pastoviais. Todėl H_p = ∂H/∂p = p/m ir H_q = ∂H/∂q = kq. Apatiniai indeksai nurodo argumentą, kurio atžvilgiu diferencijuojama; H_p nėra impulso vertė. Įstatę šias išvestines į pateiktas Hamiltono lygtis, gauname q̇ = p/m ir ṗ = −kq.

Apibrėžkite skliaustus ir išlaikykite argumentų tvarką

Glodžioms skaliarinėms funkcijoms A(q, p, t) ir B(q, p, t) taikykime susitarimą {A, B} = A_q B_p − A_p B_q. Riestiniai skliaustai žymi Puasono skliaustus. Visos keturios dalinės išvestinės apskaičiuojamos esant toms pačioms q, p ir t vertėms, išreikštinį laiko argumentą laikant pastoviu. Argumentų tvarka svarbi: sukeitus A ir B, ženklas pasikeičia į priešingą.

Pačiai koordinatei q turime q_q = 1 ir q_p = 0. Impulsui p turime p_p = 1 ir p_q = 0. Todėl {q, H} = H_p = p/m ir {p, H} = −H_q = −kq. Būtent todėl skliaustų argumentų tvarka {observable, H}, kur observable reiškia stebimąjį dydį, atitinka mūsų nurodytą kitimo spartos susitarimą. Šaltinyje, kuriame Puasono skliaustams taikomas priešingo ženklo susitarimas, reikėtų atitinkamai pakeisti ir kitimo taisyklę.

Išbandykime stebimąjį dydį A = q², kurio matavimo vienetas yra m². Jo dalinės išvestinės yra A_q = 2q ir A_p = 0. Taigi {q², H} = (2q)(p/m) − 0(kq) = 2qp/m. Kai q = 0.5 m ir p = 2 kg m/s, gauname +1 m²/s — pradiniame pavyzdyje nustatytą kitimo spartą. Nuliui lygi sandauga yra skaičiavimo dalis; ji nereikalauja, kad judant q ar p išliktų pastovūs.

Sekite stebimojo dydžio kitimą laike

Stebimasis dydis čia yra glodus skaliarinis dydis, apskaičiuojamas pagal būseną ir galintis turėti išreikštinį laiko argumentą. Išilgai sprendinio q(t), p(t) įprasta sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklė duoda dA/dt = A_q q̇ + A_p ṗ + A_t. Skaičiuodami A_t, laikykite q ir p pastoviais. Pilnoji išvestinė apima būsenos kitimą ir bet kokią išreikštinę priklausomybę nuo laiko.

Įstatykite pateiktas Hamiltono lygčių nusakomas kitimo spartas: dA/dt = A_q H_p − A_p H_q + A_t = {A, H} + A_t. Ši taisyklė galioja su sąlyga, kad nurodytiems kanoniniams kintamiesiems taikomos tos Hamiltono lygtys. Tai nėra papildomas jėgos dėsnis, išvestas iš Puasono skliaustų apibrėžimo.

Kai A = q², išreikštinio laiko argumento nėra, todėl A_t = 0 ir dA/dt = {q², H}. Jei stebimasis dydis turi išreikštinį laiko argumentą, palikite papildomą dėmenį A_t. Paskutiniame skyriuje pateikiamas konkretus atvejis, kai šis dėmuo vienu laiko momentu kompensuoja nuliui nelygią Puasono skliaustų vertę.

Palyginkite keturias atskiras būsenas

Lentelėje pateiktos keturios alternatyvios momentinės būsenos. S1 ir S2 padėtis yra ta pati ir teigiama, bet jų impulsai priešingi; S3 ir S4 padėtis yra ta pati ir neigiama, o jų impulsai priešingi. Kiekvienos būsenos kinetinė energija yra 1 J, o potencinė energija – 1 J, tačiau jų kitimo spartų vertės su ženklais skiriasi. Šie žymenys nenurodo įvykių sekos laike.

Pirmoje diagramos eilutėje pakeitus impulso ženklą pasikeičia q̇. Antroje pakeitus padėties ženklą pasikeičia ṗ: grąžinamoji kitimo sparta nukreipta link q = 0. Trečioje d(q²)/dt ženklas priklauso nuo sandaugos qp. Dalelės, judančios link q = 0, q² gali mažėti net tada, kai koordinatės q kitimo greitis yra teigiamas.

Kiekvienas stulpelis tęsiasi nuo savo eilutės nulinės linijos iki vietinės kitimo spartos vertės su ženklu. Eilučių matavimo vienetai ir masteliai skiriasi; vienodi pavaizduoti aukščiai nereiškia vienodų fizikinių dydžių verčių. Ištisiniai kontūrai ir apskritimai, brūkšniniai kontūrai ir rombai bei taškiniai kontūrai ir trikampiai žymi tris dydžius. Būsenas jungiančių trajektorijų ar baigtinių laiko žingsnių nėra.

Patikrinkite vienetus ir paprastas tapatybes

Skliaustai nebūtinai yra bedimensiai. Jei dydžių A ir B vienetai yra [A] ir [B], abiejų narių vienetai yra [A][B]/([q][p]); laužtiniai skliaustai čia žymi vienetus, o ne Puasono skliaustus. Šiame modelyje qp vienetai yra kg m²/s = J s. Taigi {A, H} vienetai yra A vienetai per sekundę, kaip ir turi būti kitimo laiko atžvilgiu greičiui.

Pagrindiniai skliaustai {q, p} = 1 yra bedimensiai, nes jų vienetai susiprastina. Dydžių su savimi skliaustų {q, q} ir {p, p} skaitinės vertės yra lygios nuliui, tačiau jų vienetai yra atitinkamai s/kg ir kg/s. Nulinė vertė nereiškia, kad bet kurios rūšies dydis yra bedimensis.

Iš apibrėžimo tiesiogiai gauname antisimetriškumą, {B, A} = −{A, B}, ir {A, A} = 0 su atitinkamais vienetais. Skliaustai yra tiesiniai kiekvieno argumento atžvilgiu ir tenkina sandaugos taisyklę {AB, C} = A{B, C} + B{A, C}. Sudėkite tik suderinamus dydžius. Pavyzdžiui, {q², p} = 2q, o vienetai yra m; sukeitus argumentus vietomis, gauname {p, q²} = −2q.

Atskirkite tapatybę nuo nulio vienoje būsenoje

Pačiam hamiltonianui {H, H} = H_q H_p − H_p H_q = 0 yra tapatybė visoje šio modelio būsenų srityje. Kadangi šis H neturi išreikštinės priklausomybės nuo laiko, išilgai sprendinio dH/dt = 0. Todėl jo energija yra pastovi vientisame laiko intervale, kuriame tas sprendinys apibrėžtas.

Nulis vienoje būsenoje yra silpnesnė sąlyga. Kai q = 0 ir p = 2 kg m/s, stebimojo dydžio A = q² kitimo greitis yra dA/dt = 0, nors q̇ = 1 m/s. Dar kartą diferencijuodami jo kitimo greitį, toje būsenoje gauname d²A/dt² = 2q̇² + 2q q̈ = 2 m²/s². Padėties koordinatės kvadratas tuo momentu yra stacionarus, bet nėra pastovus aplinkiniame laiko intervale.

Bendresniu atveju, jei stebimasis dydis neturi išreikštinės priklausomybės nuo laiko, nuliniai skliaustai visose būsenose, per kurias eina sprendinys, reiškia pastovią vertę tame intervale. Skliaustų tapatybė visoje srityje yra viena pakankama sąlyga tai nustatyti sprendiniams, liekantiems toje srityje. Patikrinus vieną būseną ar tik kelias pasirinktas būsenas, ši sąlyga nenustatoma.

Palikite išreikštinės priklausomybės nuo laiko narį

Naudokime C(q, p, t) = q − u t, kur u = 1 m/s yra duota konstanta. Tai stebimasis dydis, sudarytas iš mūsų pradinės būsenos kintamųjų, o ne nauja kanoninė atskaitos sistema. Abiejų dėmenų matavimo vienetai yra m. Laikant q ir p pastoviais, gaunama C_t = −u, o C_q = 1 ir C_p = 0.

Būsenoje S1, kai t = 0, C = 0.5 m ir {C, H} = p/m = 1 m/s. Bendrasis šio dydžio kitimo greitis yra dC/dt = {C, H} + C_t = 1 m/s − 1 m/s = 0. Praleidus narį, nusakantį išreikštinę priklausomybę nuo laiko, būtų gautas klaidingas rezultatas. Šie nariai panaikina vienas kitą tik lokaliai: antroji C išvestinė laiko atžvilgiu tuo momentu yra q̈ = −kq/m = −2 m/s², todėl C nėra pastovus to momento aplinkoje.

Naudojome glodžias klasikines funkcijas, vieną nurodytą kanoninių kintamųjų porą ir atitinkamas Hamiltono lygtis. Kai kanoninių porų daugiau, sumuojama pagal atitinkamas poras; savavališkoms koordinatėms ar sistemoms su ryšiais reikia tinkamos formuluotės. Šis skaičiavimas neapima kvantinių operatorių. Kitoje mokymosi plano temoje „Kanoninės transformacijos“ nagrinėjama, kurie kintamųjų pakeitimai išlaiko kanoninę struktūrą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kam lygūs {q, p} ir {p, q} pagal nurodytą susitarimą? Kokie jų matavimo vienetai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   {q, p} = +1 ir {p, q} = −1; abu dydžiai bedimensiai.

   Pirmuoju atveju q_q p_p = 1, o atimama sandauga lygi nuliui. Sukeitus argumentus vietomis, ženklas pasikeičia. Būtent šių argumentų atveju, taikant skliaustų matavimo vienetų taisyklę, [q][p] susiprastina.

2. Būsenoje S3 raskite q̇, ṗ ir d(q²)/dt. Ar tuo momentu dalelė juda link q = 0, ar tolsta nuo šios padėties?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   q̇ = +1 m/s, ṗ = +4 N ir d(q²)/dt = −1 m²/s. Dalelė juda link q = 0.

   Naudokite p/m, −kq ir 2qp/m, kai q = −0.5 m, p = 2 kg m/s. Kai q neigiama, teigiamas koordinatės kitimo greitis reiškia judėjimą link pusiausvyros, todėl koordinatės kvadratas mažėja.

3. Kai q = 0 ir p = 2 kg m/s, ar q² tveria vien todėl, kad jo pirmoji išvestinė laiko atžvilgiu lygi nuliui? Ar dalelė yra rimties būsenoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nei viena, nei kita iš to neišplaukia. Tuo momentu dalelės q̇ = 1 m/s, o q² antroji išvestinė laiko atžvilgiu lygi 2 m²/s².

   Pirmoji išvestinė 2q p/m lygi nuliui, nes q = 0. Diferencijuojant gaunama 2q̇² + 2q q̈; lieka tik pirmasis dėmuo. Nenulinė antroji išvestinė reiškia, kad dydis nėra pastovus net vietiniame laiko intervale, o nenulinė q̇ reiškia, kad dalelė nėra rimties būsenoje.

4. Jei C = q − u t, kur u = 1 m/s, kam lygi dC/dt būsenoje S2, kai t = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   dC/dt = −2 m/s.

   Būsenoje S2 {C, H} = p/m = −1 m/s ir C_t = −1 m/s. Jų suma lygi −2 m/s. Dėmuo, nusakantis išreikštinę priklausomybę nuo laiko, pridedamas su savo ženklu.

5. Tarkime, D = qp. Jo Puasono skliaustas yra {D, H} = p²/m − kq². Visose keturiose lentelėje pateiktose būsenose jis lygus nuliui. Ar ši lygybė yra tapatybė? Patikrinkite, kai q = 1 m, p = 0.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tikrinamoje būsenoje {D, H} = −8 J, todėl D tvermė nėra tapatybė, galiojanti visoje modelio būsenų srityje.

   Iš D_q = p ir D_p = q gaunamas nurodytas Puasono skliaustas. Tikrinamoje būsenoje gaunama 0 − (8 N/m)(1 m)² = −8 J. Šios būsenos energija yra 4 J, o ne keturių pasirinktų būsenų 2 J; tikrinama visoje srityje galiojanti tapatybė, o ne teiginys apie vieną konkrečią 2 J energijos trajektoriją.

6. Tiek {q, q}, tiek {p, p} skaitinė vertė lygi nuliui. Ar abu turi būti bedimensiai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jų vienetai yra atitinkamai s/kg ir kg/s.

   Taikant vienetų taisyklę {q, q}, gaunama m²/(kg m²/s) = s/kg. Taikant ją {p, p}, gaunama (kg m/s)²/(kg m²/s) = kg/s. Abiem atvejais sandaugos skaitine prasme viena kitą panaikina, tačiau dydžių rūšys ir vienetai dėl to netampa vienodi.

Ką verta įsidėmėti

• Puasono skliaustai apskaičiuojami naudojant nurodytą kanoninę porą, dalines išvestines esant fiksuotam laikui ir aiškiai apibrėžtą argumentų tvarkos susitarimą.
• Pagal atitinkamas Hamiltono lygtis dA/dt = {A, H} + A_t; išlaikykite išreikštinę priklausomybę nuo laiko.
• Vienoda energija nebūtinai apibrėžia koordinatės, impulso ar stebimojo dydžio kitimo spartas su jų ženklais.
• Puasono skliaustų tapatybė, kai tenkinamos jos sąlygos, gali nustatyti tvermę intervale; nulinė vertė pasirinktoje būsenoje to negali.
• Puasono skliaustų vienetai nustatomi pagal abiejų funkcijų ir kanoninės poros vienetus, net kai skaitinė vertė lygi nuliui.