Masės centras ir daugelio dalelių sistemos

Pradėkime nuo dviejų nevienodų masių

Padėkite 1 kg masės taškinę dalelę A ties x_A = −4 m, o 3 kg masės taškinę dalelę B – ties x_B = +4 m. Nejudančioje tiesioje ašyje teigiama kryptis yra į dešinę. Jų padėčių aritmetinis vidurkis yra 0 m. Tačiau B masė yra tris kartus didesnė: ar sistemą apibūdinančiai padėčiai abi dalelės turėtų turėti vienodą svorį?

Kiekvienos dalelės padėtį padauginkite iš jos masės, sandaugas sudėkite ir padalykite iš bendrosios masės: R_x = [(1 kg)(−4 m) + (3 kg)(4 m)]/(4 kg) = 2 m. Šis masės centras yra arčiau B. Jis yra 6 m atstumu nuo A ir 2 m atstumu nuo B, o masės ir atstumo sandaugos yra lygios: (1 kg)(6 m) = (3 kg)(2 m). Paveiksle esanti pradinė liniuotė parodo šį nevienodą svorį.

Mūsų sistemą sudaro tik A ir B; kiekviena dalelė vaizduojama tašku ir turi nekintamą teigiamą masę. Tarkime, kad atskaitos sistema yra inercinė: joje galioja dalelėms taikomas antrasis Niutono dėsnis. Pateiksime tikslų judėjimo modelį nurodytame intervale. Šie skaičiai yra mokymui skirtos vertės, o ne matavimo prietaisų rodmenys ar patikrintas sąveikos dėsnis.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia veiksmams su dydžiais; „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ – padėties grafikui; „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ – komponentėms su ženklais. Reikalingos sąvokos taip pat pristatomos toliau.

Skaičiavimą išreikškite svertine padėtimi

Dviem dalelėms užrašykite M = m_A + m_B ir R_x = (m_A x_A + m_B x_B)/M. M yra bendra sistemos masė, o R_x – jos masės centro padėties komponentė. Skaitiklio matavimo vienetas yra kg m; padalijus iš kg, lieka m. Abi padėtys turi būti nurodytos tos pačios koordinačių pradžios ir krypties atžvilgiu, naudojant tą patį matavimo vienetą.

Lygiavertė išraiška yra R_x = (m_A/M)x_A + (m_B/M)x_B. Čia bedimensiai svoriai yra 1/4 ir 3/4, o jų suma lygi 1. Kiekvienos padėties indėlis proporcingas atitinkamai masei. Kai masės vienodos, gaunamas įprastas vidurkis; kai masės skirtingos, paprastai reikia skirtingų svorių.

Kai masės teigiamos, svertinė padėtis yra tarp mažiausios ir didžiausios padėties komponenčių. Tai nereiškia, kad apskaičiuotame taške turi būti medžiagos. Mūsų taškinių dalelių modelyje nei A, nei B iš pradžių nėra ties x = 2 m. R_x apskaičiuojama pagal jų padėtis; tai nėra trečia dalelė.

Jei koordinačių pradžią perkeliame 3 m į dešinę, kiekviena padėties komponentė sumažėja 3 m. Dabar A yra ties −7 m, B – ties +1 m, o masės centras – ties −1 m. Fizinis išsidėstymas ir atstumai tarp šių taškų nepasikeitė.

Pridėkite daugiau dalelių ir komponenčių

Kai dalelių yra kelios, Σ reiškia, kad reikia sudėti po vieną kiekvienos dalelės indėlį. Apibrėžkite M = Σ m_i ir R_x = (Σ m_i x_i)/M, kur i žymi daleles. Tą patį atlikite y ir z komponentėms. Vektorius R = (R_x, R_y, R_z) sujungia šias tarpusavyje statmenų koordinačių krypčių komponentes.

Pateikime originalų dvimatį pavyzdį: 2 kg masės dalelę padėkite taške (0 m, 0 m), 1 kg masės dalelę – taške (6 m, 0 m), o 1 kg masės dalelę – taške (0 m, 4 m). Bendra masė yra 4 kg. x komponentės skaitiklis yra 6 kg m, o y komponentės skaitiklis – 4 kg m, todėl R = (1.5 m, 1 m). Šis taškas nesutampa su nė vienos iš trijų dalelių padėtimi.

Taip pat galite sujungti nesikertančias grupes. Dviejų 1 kg masės dalelių bendra masė yra 2 kg, o jų masės centras yra taške (3 m, 2 m). Šios grupės centro padėtį padauginkite iš jos 2 kg masės ir sujunkite gautą indėlį su 2 kg dalelės koordinačių pradžioje indėliu: gaunama ta pati R = (1.5 m, 1 m). Kiekviena dalelė priklauso tik vienai grupei. Įskaičiavus grupę ir tada dar kartą pridėjus jos daleles, jų masė būtų įskaičiuota du kartus.

Šiems padėties skaičiavimams nereikia nekintamo dalelių išsidėstymo. Jie taikomi konkrečiu laiko momentu nurodytoms masėms ir padėtims, net jei vėliau atstumai tarp sistemos dalelių pasikeičia.

Susiekite masės centrą su bendruoju judesio kiekiu

Greitis nusako, kaip sparčiai padėtis keičiasi laikui bėgant; jo komponentė v_x gali būti teigiama, lygi nuliui arba neigiama. Pastovios masės dalelės judesio kiekio komponentė yra p_x = m v_x, o jos matavimo vienetas – kg m/s. Sistemai P_x = Σ m_i v_i,x: sudėkite dalelių judesio kiekio komponentes, atsižvelgdami į jų ženklus ir naudodami tą pačią atskaitos sistemą.

Jei atskirų dalelių masės nekinta, o jų padėtys turi išvestines laiko atžvilgiu, pagal mases svertinės padėties kitimo greitis yra pagal mases svertinis greitis. Taigi V_CM,x = (Σ m_i v_i,x)/M ir P_x = M V_CM,x. Atitinkama vektorinė tapatybė yra P = M V_CM. Svarbu, kad masės būtų pastovios: kintant masei, atsiranda papildomų kitimo spartos narių.

Kai A juda +3 m/s greičiu, o B – −1 m/s greičiu, P_x = (1 kg)(3 m/s) + (3 kg)(−1 m/s) = 0 kg m/s. Todėl tuo momentu V_CM,x = 0 m/s, nors abi dalelės juda. Nulinis masės centro greitis apibūdina svertinį bendrą rezultatą, o ne kiekvienos dalelės greitį.

Atskirkite vidines jėgas nuo išorinių

Jėga yra vidinė, kai ir ją sukeliantis kūnas, ir kūnas, kurį ji veikia, priklauso pasirinktai sistemai. Jėga, kurią sukelia sistemai nepriklausantis kūnas, yra išorinė. Kiekvienai pastovios masės dalelei taikykite F_net,i = m_i a_i, kur pagreitis a_i yra jos greičio kitimo sparta. Tarkime, kad padėtys turi dvi išvestines laiko atžvilgiu, reikalingas šiems greičiams ir pagreičiams apibrėžti.

Sudėkite šias dalelių lygtis vienoje inercinėje atskaitos sistemoje. Kai kiekviena įtraukta vidinė tarpusavio sąveikos jėga tuo pačiu momentu turi jai lygią priešingos krypties porinę jėgą, vidinių jėgų nariai šioje sumoje panaikina vienas kitą. Šios jėgos veikia skirtingus kūnus ir nepanaikina viena kitos nė vieno iš jų atskiroje lygtyje. Gauname F_ext = M A_CM, kur A_CM yra masės centro pagreitis, o F_ext – išorinių jėgų vektorinė suma.

Jei F_ext = 0 per visą laiko intervalą, V_CM yra pastovus per visą tą intervalą. Jis nebūtinai lygus nuliui. Masės centro trajektorijai nustatyti reikia pradinės jo padėties ir greičio. Vien jėgų pusiausvyra vienu momentu neleidžia nustatyti, kad greitis yra pastovus per visą intervalą.

Tai Niutono mechanikos balanso lygtis sistemai, kurios dalelių sudėtis ir masės nekinta. Medžiagai kertant sistemos ribą, laukams pernešant judesio kiekį ir taikant reliatyvistinius aprašymus, reikia atsižvelgti į papildomus veiksnius; pirmiau pateikta paprasta dalelių suma šiems atvejams netaikoma.

Stebėkite dalelių judėjimą aplink nejudantį masės centrą

Palikite pradines daleles: 1 kg masės A ir 3 kg masės B. Kai 0 ≤ t ≤ 1 s, nustatykite x_A(t) = −4 m + (3 m/s²)t² ir x_B(t) = 4 m − (1 m/s²)t². Iš pradžių abi dalelės nejuda. Atitinkami greičiai yra v_A(t) = (6 m/s²)t ir v_B(t) = −(2 m/s²)t; jų pastovūs pagreičiai yra +6 m/s² ir −2 m/s².

Nustatykite vidines horizontalias tarpusavio sąveikos jėgas: A veikia +6 N, o B – −6 N jėga; išorinių horizontalių jėgų suma per visą šį intervalą lygi nuliui. Kitų krypčių dedamosios atsveria viena kitą. Kiekviena atskira jėga lygi dalelės masės ir nurodyto pagreičio sandaugai. Spyruoklės, sąlyčio ar susidūrimo mechanizmas neteigiamas: per šį intervalą atstumas tarp dalelių išlieka ne mažesnis kaip 4 m.

Įstatę į svertinės padėties išraišką, gauname R_x(t) = 2 m: A dalelės įnašas +3 kg m/s², padaugintas iš t², panaikina B dalelės įnašą −3 kg m/s², padaugintą iš t². Taip pat P_x(t) = 0 kg m/s. Tuo tarpu po t = 0 A juda į dešinę, o B – į kairę. Kai t = 1 s, jų padėtys yra −1 m ir 3 m; paprastasis padėčių vidurkis yra 1 m, o masės centro padėtis išlieka 2 m.

Apatiniame grafike horizontalioje ašyje pavaizduotas laikas, o vertikalioje – padėtis. A žymima apskritimais ir ištisine linija; B – kvadratais ir taškine linija; apskaičiuotas masės centras – rombais ir brūkšnine linija. Visų trijų padėčių kitimas pavaizduotas tose pačiose ašyse. Viršuje esanti liniuotė atskirai rodo pradines padėtis. Tikslias vertes skaitykite lentelėje: nubrėžtos kreivės vaizduoja nurodytą modelį, o ne matavimų glaudumą ar judėjimą po 1 s.

Pakeiskite išorinę jėgą nespėliodami atskirų dalelių trajektorijų

Nagrinėkime atskirą modelį, kurio bendra masė yra tokia pati – 4 kg, pradinė masės centro padėtis – 2 m, o pradinis masės centro greitis – 0 m/s. Dabar nustatykime pastovią +4 N išorinių horizontaliųjų jėgų atstojamąją, veikiančią laiko intervale 0 ≤ t ≤ 0.5 s. Masės centro pagreitis yra (+4 N)/(4 kg) = +1 m/s².

Po 0.5 s masės centro greitis yra (1 m/s²)(0.5 s) = 0.5 m/s. Judant iš rimties su pastoviu pagreičiu, jo greitis tiesiškai didėja nuo 0 iki 0.5 m/s, todėl vidutinis greitis per šį intervalą yra 0.25 m/s. Padauginę iš 0.5 s, gauname 0.125 m poslinkį ir galutinę masės centro padėtį 2.125 m. Bendras judesio kiekis yra (4 kg)(0.5 m/s) = 2 kg m/s.

Šie masės centro rezultatai nenusako atskirų dalelių trajektorijų. Išorinių jėgų atstojamoji neparodo, kaip išorinės jėgos pasiskirsto tarp A ir B ar kaip pasikeitė jų vidinė sąveika. Ankstesnis grafikas, kuriame išorinių jėgų atstojamoji lygi nuliui, priklauso ankstesniam modeliui; jis nėra šio varianto grafikas.

Nustatykite masės centrą, nebūtinai esantį medžiagoje

Masės centras gali būti tuščioje erdvėje. Imkime vienalytį ploną žiedą, kurio spindulys yra 2 m, centras yra jo plokštumos koordinačių pradžioje, o bendra masė – baigtinė ir teigiama. Vienodo ilgio lankai priešingose pusėse turi vienodą masę ir priešingus padėties vektorius. Jų masėmis pasverti indėliai panaikina vienas kitą, todėl R = (0 m, 0 m). Visa žiedo medžiaga yra 2 m atstumu nuo šio tuščio centro.

Vienalytiškumas yra prielaida apie masės pasiskirstymą. Tokios pačios apskritimo formos kūno, kurio masė pasiskirsčiusi netolygiai, masės centras nebūtinai sutampa su geometriniu centru. Apibrėžime atsižvelgiama į masę, o ne vien į matomą kontūrą.

Tolydžiam masės pasiskirstymui dalelių sumą pakeičia integralas: M = ∫ dm ir R = (1/M)∫ r dm. Čia dm yra mažas masės elementas, o r – jo padėties vektorius. Šiam neprivalomam glaustam žymėjimui reikia neneigiamų masės elementų, baigtinės teigiamos bendrosios masės ir baigtinio pirmojo padėties momento. Argumentą apie žiedą galima suprasti nagrinėjant priešingose pusėse esančių elementų poras, neskaičiuojant integralo.

Masės centrą naudokite, kai reikia sistemos masėmis svertinės padėties arba slenkamojo judėjimo balanso. Jis nenusako formos, sukimosi, deformacijos ar atskirų dalelių trajektorijų. Sukamojo judėjimo kinematika ir inercijos momentas – kita mokymosi plano tema – suteikia papildomos informacijos, reikalingos sukamajam judėjimui nagrinėti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradines mases pakeiskite dviem vienodomis 2 kg masėmis, išlaikydami padėtis −4 m ir +4 m. Raskite jų masės centrą ir palyginkite jį su pradiniu 1 kg ir 3 kg masių atveju.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienodų masių sistemos masės centras yra ties 0 m, o pradinės nevienodų masių sistemos masės centras – ties 2 m.

   Kai masės vienodos, [ (2 kg)(−4 m) + (2 kg)(4 m) ]/(4 kg) = 0 m. Pradiniai svoriniai koeficientai yra 1/4 ir 3/4, todėl masės centras pasislenka B link. Skaičiuojant koordinačių vidurkį be jų masių svorinių koeficientų, šis skirtumas būtų prarastas.

2. Pagrindiniame modelyje laiko momentu t = 0.5 s koordinatės ir greičiai yra x_A = −3.25 m, x_B = 3.75 m, v_A,x = 3 m/s ir v_B,x = −1 m/s. Apskaičiuokite R_x ir P_x. Ar dalelės yra rimties būsenos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   R_x = 2 m ir P_x = 0 kg m/s. Abi dalelės juda.

   Masės centro koordinatės skaitiklis yra −3.25 kg m + 11.25 kg m = 8 kg m; padalykite iš 4 kg. Judesio kiekiai yra +3 kg m/s ir −3 kg m/s. Jų suma lygi nuliui, todėl nejuda masės centras, o ne atskiros dalelės.

3. Dalelėms, kurių pastovios masės yra 1 kg ir 3 kg, pradiniu laiko momentu suteikite +4 m/s ir −1 m/s greičius. Esant nurodytoms Niutono mechanikos vidinių jėgų sąlygoms, atstojamoji išorinė jėga visą tolesnį laiko intervalą išlieka lygi nuliui. Raskite masės centro greitį ir nurodykite, ar jo padėtis išlieka pastovi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visą šį laiko intervalą V_CM,x = 0.25 m/s. Masės centro padėtis neišlieka pastovi.

   Pradinis P_x = 4 kg m/s − 3 kg m/s = 1 kg m/s. Padalykite iš 4 kg. Kai atstojamoji išorinė jėga lygi nuliui, šis jau nenulinis masės centro greitis išlieka pastovus. Norint nusakyti, kaip kinta masės centro padėtis, reikia žinoti pradinę jo padėtį.

4. Pagrindiniame modelyje sistema pasirinkite tik A. B veikia A +6 N jėga; A masė yra 1 kg, o kitos jėgų dedamosios atsisveria. Ar ši sąveika dabar yra vidinė, ar išorinė, ir koks yra pasirinktos sistemos masės centro pagreitis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   B jėga yra išorinė sistemai, kurią sudaro tik A, o šios sistemos masės centro pagreitis yra +6 m/s².

   B yra už šios sistemos ribų. A yra vienintelė dalelė, todėl jos masės centro padėtis sutampa su pačios dalelės padėtimi, o jos pagreitis yra (+6 N)/(1 kg). B veikianti tokio pat dydžio priešingos krypties jėga neveikia A ir neįtraukiama į A jėgų balansą.

5. Laiko momentu t = 1 s grafike A yra ties −1 m, B – ties 3 m, o masės centrą žymintis rombas – ties 2 m. Besimokantysis rombą laiko dar viena 4 kg masės dalele. Kokia tai klaida ir kur yra tikrosios dalelių sistemos masės centras?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Rombas žymi apskaičiuotą padėtį, o ne papildomą masę. Tikrosios 4 kg dalelių sistemos R_x = 2 m.

   Šiam modeliui priklauso tik 1 kg masės A ir 3 kg masės B. Jų pirmasis masės momentas yra (1 kg)(−1 m) + (3 kg)(3 m) = 8 kg m. Pridėjus masę rombo vietoje, būtų sukurta kita sistema, o vaizduojama bendra masė būtų įskaičiuota du kartus.

6. Vienalyčio plono žiedo, kurio spindulys 2 m, bendra masė yra baigtinė ir teigiama, o jo centras yra koordinačių pradžioje. Kur yra jo masės centras? Ar tame taške būtinai turi būti medžiagos ir ar vien tokio paties kontūro pakaktų masės centrui nustatyti, jei masė būtų pasiskirsčiusi netolygiai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jo masės centras yra koordinačių pradžioje, tuščioje erdvėje. Vien kontūras nenusako netolygiai pasiskirsčiusios masės centro.

   Vienodų masių diametraliai priešingų lankų padėčių, pasvertų pagal masę, indėliai yra priešingi, todėl abiejų komponenčių sumos lygios nuliui. Žiedo medžiaga yra 2 m atstumu nuo koordinačių pradžios. Jei priešingose pusėse esančių masių indėliai nėra vienodi, jų panaikinimas dėl simetrijos nėra garantuotas.

Ką verta įsidėmėti

• Masės centras yra pagal masę pasverta padėtis nurodytoje koordinačių sistemoje.
• Kai atskirų dalelių masės nekinta, bendrasis judesio kiekis lygus bendros masės ir masės centro greičio sandaugai.
• Porinės vidinės jėgos dalelių sistemos balanse viena kitą panaikina, nors keičia atskirų dalelių judėjimą.
• Nurodytomis Niutono mechanikos sąlygomis atstojamoji išorinė jėga lemia masės centro pagreitį, o pradinės sąlygos – jo trajektoriją.
• Masės centras gali būti tuščioje erdvėje ir nenusako dalelių sistemos vidinio judėjimo.