Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys

Pradėkite nuo dydžio, atskaitos taško ir apibrėžimo srities

Funkcija kiekvienai leistinai argumento reikšmei priskiria vieną funkcijos reikšmę. Šioje pamokoje stebėkite vieną pasirinktą hipotetinio kūno tašką tiesioje koordinačių ašyje. Nustatykite koordinačių pradžią, o kryptį į dešinę laikykite teigiama. Tegul t yra nuo nurodytos pradžios praėjęs laikas, matuojamas sekundėmis, o x(t) – taško padėties koordinatė su ženklu, matuojama metrais.

Pateikite tikslią mokymui skirtą taisyklę x(t) = 1.00 m + (0.50 m/s)t + (0.20 m/s²)t², galiojančią tik tada, kai 0 ≤ t ≤ 4 s. Laiko kvadratas t² reiškia t, padaugintą iš savęs. Kiekvieno dėmens vienetas yra metras: (m/s)s = m ir (m/s²)s² = m. Skaičiai apibrėžia hipotetinį modelį; jų skaitmenys po kablelio nieko neteigia apie matavimo prietaiso preciziškumą.

Mūsų skleidimo taškas bus t₀ = 2 s, kuriame x(t₀) = 1.00 m + 1.00 m + 0.80 m = 2.80 m. Pokytis h = t − t₀ turi laiko vienetus. Teigiamas h atitinka vėlesnį laiką, o neigiamas – ankstesnį. Užtikrinkite, kad t₀ + h liktų nurodytoje apibrėžimo srityje.

Baigtinis intervalas duoda vidutinį kitimo greitį

Kai laiko pokytis h nelygus nuliui, skirtuminis santykis yra [x(t₀ + h) − x(t₀)]/h. Padėties pokytis su ženklu dalijamas iš laiko pokyčio su ženklu, todėl gaunami vienetai m/s. Šiame vienmačiame modelyje tai yra vidutinis greitis su ženklu tarp dviejų laiko momentų.

Jei h neigiamas, intervalą užrašykite chronologine tvarka: [t₀ + h, t₀]. Pakeitus abiejų skirtumų ženklus, santykis nepasikeičia. Taigi neigiamas h savaime nereiškia neigiamo greičio. Kai h = −0.50 s, taškas juda pirmyn nuo 2.20 m padėties laiko momentu 1.50 s iki 2.80 m padėties laiko momentu 2.00 s, todėl gaunamas +1.20 m/s greitis.

Išskleidus pateiktą kvadratinę išraišką, gaunama x(t₀ + h) = 2.80 m + (1.30 m/s)h + (0.20 m/s²)h². Kai h ≠ 0, atėmus ir padalijus gaunamas tikslus skirtuminis santykis 1.30 m/s + (0.20 m/s²)h. Lentelėje pateikti vidutiniai greičiai baigtiniuose intervaluose. Jos eilutės iliustruoja tendenciją, o ribą nustato formulė.

Momentinę išvestinę apibrėžia riba

Baigtinė riba L nusako reikšmes, kurios priartėja kiek norima arti L ir išlieka taip arti, kai nenulinis pokytis artėja prie nulio. Tam nebūtina, kad reiškinys būtų apibrėžtas ties nuliu. Vidiniame taške ribos, gaunamos artėjant su neigiamais ir teigiamais pokyčiais, turi sutapti.

Paprastoji išvestinė apibrėžiama kaip x′(t₀) = lim (h → 0) [x(t₀ + h) − x(t₀)]/h, kai ši dvipusė riba egzistuoja ir yra baigtinė. Brūkšnelis žymi diferencijavimą; dx/dt yra kitas žymėjimas. Čia papildomas narys (0.20 m/s²)h artėja prie nulio iš abiejų pusių, todėl x′(2 s) = +1.30 m/s.

Išvestinė yra padėties priklausomybės nuo laiko grafiko liestinės nuolydis pasirinktame taške. Šioje nurodytoje atskaitos sistemoje ji yra momentinis greitis su ženklu. Į pradinį santykį įrašę h = 0, gautume neapibrėžtą dalybą 0/0; išvestinė gaunama skaičiuojant ribą su nenulinėmis h reikšmėmis.

Visos šios kitimo spartos gaunamos iš pateiktos priklausomybės, apibrėžtos tolydžiajame laike. Vien baigtinė prietaiso rodmenų lentelė neleistų nustatyti šios priklausomybės ar jos išvestinės. Matematinis ribos skaičiavimas nėra teiginys, kad fizinis laikmatis gali skirti kiek norima mažus laiko intervalus.

Patikrinkite, ar išvestinė egzistuoja, ir išlaikykite jos vienetus

Apibrėžta funkcija nebūtinai turi išvestinę. Tolydumas taške reiškia, kad netoliese esančios funkcijos reikšmės artėja prie jos reikšmės tame taške; vien to nepakanka. Kaip originalų matematinį kontrpavyzdį pateikite q(t) = (1.00 m/s)|t − 2 s| intervale 0 ≤ t ≤ 4 s, kur | | žymi neneigiamą modulį. Ties 2 s jos skirtuminiai santykiai iš kairės yra −1.00 m/s, o iš dešinės – +1.00 m/s. Jie nesutampa, todėl q tame taške neturi paprastosios išvestinės, nors yra tolydi.

Vidiniais laiko momentais 0 < t < 4 s naudojame paprastąsias dvipuses išvestines. Ties 0 s pateiktos tik vėlesnės argumento reikšmės; ties 4 s – tik ankstesnės. Išvestinę, apskaičiuotą remiantis tik turima puse, būtina įvardyti kaip vienpusę. Nepridėkite modelyje nenumatytų laiko momentų, kad galėtumėte pateikti dvipusį fizikinį teiginį.

Bet kuriuo vidiniu laiko momentu išskleidę gauname [x(t + h) − x(t)]/h = 0.50 m/s + (0.40 m/s²)t + (0.20 m/s²)h. Šio santykio riba yra x′(t) = 0.50 m/s + (0.40 m/s²)t. Diferencijuodami šią kitimo spartą tuo pačiu skirtuminio santykio metodu, gauname x″(t) = 0.40 m/s²; du brūkšneliai žymi antrąją išvestinę.

Šiame padėties modelyje x″ yra momentinis pagreitis su ženklu, greičio išvestinė laiko atžvilgiu. Jo vienetai yra (m/s)/s = m/s². Pradinis t² koeficientas, 0.20 m/s², lygus pusei šio pagreičio. Padėtis, greitis ir pagreitis yra skirtingų rūšių dydžiai, net kai jie yra toje pačioje lygtyje.

Sudarykite aproksimaciją pasirinkto taško aplinkoje

Teiloro polinomas sudaromas naudojant išvestines nurodytame skleidimo taške ir yra baigtinis pokyčio polinomas. Pirmasis Teiloro polinomas yra P₁(t₀ + h) = x(t₀) + x′(t₀)h. Taške t₀ jo padėties vertė ir nuolydis sutampa su funkcijos x padėties verte ir nuolydžiu. Mūsų modeliui P₁ = 2.80 m + (1.30 m/s)h.

Antrasis Teiloro polinomas papildomas nariu x″(t₀)h²/2: P₂ = 2.80 m + (1.30 m/s)h + (0.20 m/s²)h². Čia daugiklis 1/2 suteikia koeficientą, dėl kurio antroji išvestinė sutampa. Kiekvienas pridėtas narys taip pat turi padėties matavimo vienetus.

Šios pateiktos kvadratinės funkcijos atveju P₂ tiksliai sutampa su x visoje nurodytoje apibrėžimo srityje. P₁ trūksta vieno nario: apibrėžkime liekaną su ženklu R₁ = x − P₁ = (0.20 m/s²)h². Absoliučioji paklaida yra |R₁|. Kai h = +0.50 s, P₁ vertė yra 3.45 m, o x vertė – 3.50 m, todėl R₁ = +0.05 m. Nuolydžio sutapimas viename taške nereiškia, kad P₁ yra visa kūno padėties priklausomybė.

Prieš nurodydami paklaidos rėžį, įvardykite sąlygas

Bendros padėties funkcijos atveju viena pakankama sąlyga yra tolydžios antrosios išvestinės egzistavimas atvirame intervale, apimančiame visą atkarpą tarp t₀ ir tikslinio taško. Jei neneigiamas rėžis M tenkina |x″(t)| ≤ M visoje šioje atkarpoje, pagal Teiloro liekanos teoremą |x(t₀ + h) − P₁(t₀ + h)| ≤ (M/2)|h|². Šis rėžis grindžiamas visa atkarpa, o ne vien išvestine skleidimo taške.

Mūsų tiksliame modelyje x″ = 0.40 m/s² visuose apibrėžimo srities vidiniuose taškuose, todėl M = 0.40 m/s² tinka visoms atkarpoms, esančioms intervale 1.50 ≤ t ≤ 2.50 s. Mokymo tikslais pasirinkime reikalavimą, kad absoliučioji padėties paklaida būtų ne didesnė kaip 0.05 m. Kai |h| ≤ 0.50 s, paklaidos rėžis yra ne didesnis kaip (0.40 m/s²)/2 × (0.50 s)² = 0.05 m. Lygybė abiejuose intervalo galuose leidžiama.

Šis laiko intervalas gaunamas iš šio modelio, skleidimo taško ir pasirinkto paklaidos reikalavimo. Kai t = 3 s, h = 1 s, P₁ vertė yra 4.10 m, o x vertė – 4.30 m: 0.20 m paklaida neatitinka šio reikalavimo, nors 3 s vis dar priklauso modelio apibrėžimo sričiai. Iš to nekyla nei vienintelė žodžio „mažas“ reikšmė, nei visuotinai priimtinas intervalas.

Liekana nusako nukirtimo paklaidą pateiktos matematinės priklausomybės atžvilgiu. Ji neapima nei matavimo prietaiso neapibrėžties, nei šios priklausomybės neatitikimo tikrojo kūno judėjimui. Šiems dalykams reikia atskirų įrodymų ir atskiro įvertinimo.

Teiloro eilutę reikia patikrinti papildomai

Baigtinis Teiloro polinomas baigiasi pasirinktu h laipsniu. Jei taške t₀ egzistuoja visų eilių išvestinės, atitinkamą Teiloro eilutę sudaro nariai x(t₀) + x′(t₀)h + x″(t₀)h²/2! + x‴(t₀)h³/3! + ⋯. Trys brūkšneliai žymi trečiąją išvestinę. Faktorialas yra teigiamų sveikųjų skaičių iki atitinkamos eilės numerio imtinai sandauga: 2! = 2 ir 3! = 6. Kiekvienas skleidinio narys dalijamas iš atitinkamo faktorialo.

Begalinė eilutė suprantama kaip jos baigtinių dalinių sumų riba. Pažymėjus šias sumas Pₙ, kur n yra didžiausias paliktas laipsnis, lygybei su x tiksliniame taške būtina, kad Rₙ = x − Pₙ tame taške artėtų prie nulio didėjant n. Vien visų eilių išvestinių egzistavimas šios lygybės negarantuoja. Šioje pamokoje neteigiama, kad egzistuoja visuotinis konvergavimo intervalas.

Mūsų kvadratinės funkcijos aukštesnių nei antrosios eilės išvestinės lygios nuliui, todėl jos Teiloro skleidinys baigiasi jau ties P₂ ir atkuria pateiktą priklausomybę. Vis dėlto apskaičiuojant šio polinomo vertę ties 5 s būtų peržengtos nurodyto 0–4 s modelio ribos. Tiksli algebra nenustato tikrosios padėties už šių ribų. ±0.50 s intervalas yra baigtinis laiko intervalas, kuriame tiesinio artinio paklaida atitinka reikalavimą, o ne teiginys apie begalinės eilutės konvergavimo spindulį.

Išvestine aprašykite vietinį kitimo greitį, tada pasirinkite aproksimacijos eilę ir patikrinkite jos paklaidą leistinajame intervale. Kitoje pamokoje pristatomi integralai, taip pat tai, kaip pateikta greičio funkcija gali aprašyti sukauptą poslinkį su ženklu.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagal pateiktą modelį apskaičiuokite vidutinį greitį su ženklu per 0–2 s intervalą ir palyginkite jį su x′(2 s).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinis greitis yra +0.90 m/s; momentinė vertė laiko momentu 2 s yra +1.30 m/s.

   x(0 s) = 1.00 m ir x(2 s) = 2.80 m. Baigtinių skirtumų santykis yra (2.80 m − 1.00 m)/(2 s) = 0.90 m/s. Išvestinė apskaičiuojama imant ribą ties 2 s, kur kintantis modelio kitimo greitis yra 1.30 m/s.

2. Išreikškite x′(2 s) ir x″(2 s) vienetais, pagrįstais milimetrais, o ne metrais. Ar dėl to pasikeičia fizikiniai dydžiai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x′(2 s) = +1300 mm/s ir x″(2 s) = +400 mm/s². Dydžiai nepasikeičia.

   1 m = 1000 mm. Padauginę metrais pagrįstų vienetų skaitines vertes 1.30 ir 0.40 iš 1000, gauname 1300 ir 400. Laikas ir toliau išreiškiamas sekundėmis. Pakeitus vienetus, pasikeičia skaitinė išraiška, tačiau greitis ir pagreitis išlieka skirtingų rūšių dydžiai.

3. Kodėl pradinis santykis gali būti neapibrėžtas, kai h = 0, nors x′(2 s) egzistuoja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išvestinė yra riba, kai nenuliniai prieaugiai artėja prie nulio, o ne santykio vertė, kai prieaugis lygus nuliui.

   Kai h = 0, ir skaitiklis, ir vardiklis lygūs nuliui, todėl dalyba neapibrėžta. Kai h nelygus nuliui, santykis lygus 1.30 m/s + (0.20 m/s²)h. Ši išraiška iš abiejų pusių artėja prie tos pačios baigtinės vertės 1.30 m/s. Suprastinti h buvo galima tik kai h ≠ 0.

4. Funkcijai q(t) = (1.00 m/s)|t − 2 s| intervale 0–4 s apskaičiuokite vienpusius skirtuminius santykius ties 2 s. Ar egzistuoja įprastinė išvestinė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Santykiai iš kairės lygūs −1.00 m/s, o iš dešinės — +1.00 m/s. Ties 2 s įprastinė išvestinė neegzistuoja.

   q(2 s) = 0 m ir q(2 s + h) = (1.00 m/s)|h|. Kai h < 0, |h|/h = −1; kai h > 0, santykis lygus +1. Abi baigtinės ribos nesutampa. Šios matematinės taisyklės tolydumas nepanaikina jos grafiko kampo.

5. Ar naudojant P₁ ties 2 s tikslinis laikas 2.25 s tenkina reikalavimą, kad absoliučioji nukirtimo paklaida neviršytų 0.01 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tiksli jo modelio paklaida yra 0.0125 m ir viršija 0.01 m.

   h = +0.25 s. Liekana yra (0.20 m/s²)(0.25 s)² = 0.0125 m. Tiesiogiai apskaičiavus, P₁ = 3.125 m, o x = 3.1375 m. Tikslinis taškas yra modelio apibrėžimo srityje, tačiau aproksimacija neatitinka šio griežtesnio reikalavimo.

6. Besimokantysis sako: „Kiekviena funkcija, turinti visų eilių išvestines, yra lygi savo Teiloro eilutei, todėl tikslusis P₂ taip pat numato šio kūno padėtį laiko momentu 5 s.“ Kuriuos teiginius reikia pataisyti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu teiginius. Norint nustatyti lygybę su eilute, reikia patikrinti, ar eilutė konverguoja į funkciją, o šis padėties modelis pateiktas tik 0–4 s intervale.

   Kad funkcija būtų lygi eilutei, didinant dalinių sumų narių skaičių, liekanos tiksliniame taške turi artėti prie nulio; vien turėti visas išvestines nepakanka. Mūsų kvadratinei funkcijai P₂ jau yra tikslus pateiktoje apibrėžimo srityje. Įstačius 5 s, algebriškai būtų gauta 8.50 m, tačiau užduotyje nepateikta fizinio padėties dėsnio tam laiko momentui.

Ką verta įsidėmėti

• Nenuliniame baigtiniame intervale nustatoma vidutinė kitimo sparta; baigtinė dvipusė skirtuminio santykio riba duoda įprastinę momentinę išvestinę vidiniame taške.
• Padėties išvestinės laiko atžvilgiu vienetai yra greičio vienetai; dar kartą diferencijuojant gaunami pagreičio vienetai. Atskaita, kryptis ir apibrėžimo sritis išlieka modelio dalimi.
• Tai, kad funkcija yra apibrėžta arba tolydi taške, negarantuoja, kad tame taške egzistuoja išvestinė.
• Teiloro polinomuose naudojami prieaugiai nuo nurodyto skleidimo taško; pirmojo laipsnio polinomas atitinka funkcijos vertę ir nuolydį, o praleisti nariai sudaro liekaną.
• Naudingas aproksimavimo intervalas nustatomas pagal aiškiai nurodytas išvestinių sąlygas, įvertį visoje atkarpoje ir pasirinktą paklaidos reikalavimą.
• Baigtinio Teiloro polinomo paklaida, begalinės eilutės konvergavimas, matavimo neapibrėžtis ir modelio fizinis galiojimas tikrinami atskirai.