Fizika · Straipsnis

Iteruojamieji atvaizdžiai ir fraktalinės struktūros

Taikykite dvi paprastas taisykles įdėtinėms intervalų aibėms sudaryti, atskirkite jas nuo taškų sekos ir interpretuokite fraktalinį mastelio rodiklį, atsižvelgdami į jo taikymo sąlygas.

Ankstesnis straipsnis: Ljapunovo rodikliai ir prognozuojamumas

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Taikyti afininį atvaizdį taškui ir visam uždarajam intervalui.
Atskirti iteracijų skaičių, baigtinį konstravimo etapą ir begalinio proceso ribą.
Apskaičiuoti skirtingų intervalų skaičių, atskirų intervalų ilgius ir bendrą išlikusių intervalų ilgį.
Interpretuoti bedimensį panašumo rodiklį, tikrinant atskirtumo sąlygą ir fizikines mastelio ribas.

Pradėkite nuo dviejų padėties taisyklių

Imkime padėties koordinatę q tiesėje: teigiamos vertės yra į dešinę, o matavimo vienetas – metras. Pradėkite nuo viso uždarojo intervalo −1 m ≤ q ≤ 2 m. Pateikiame dvi taisykles: L(q) = q/3 - (2/3) m ir R(q) = q/3 + (4/3) m. Pavyzdžiui, taškas, kurio koordinatė q = 2 m, taikant L atvaizduojamas į 0 m, o taikant R – į 2 m.

Abi taisyklės koordinačių skirtumą dalija iš 3. Jos taip pat paslenka rezultatą, todėl neigiama koordinatė gali likti neigiama. Tai tikslūs matematiniai atvaizdžiai, pateikti šiai pamokai. Taisyklės taikymas yra iteracija, o ne kelionė, trunkanti nurodytą sekundžių skaičių.

Pasiruoškite skaitydami „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“, kur aptariamos trupmenos, reikšmių įstatymas į funkcijas ir natūralieji logaritmai, bei „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“, kur aptariamos fizikiniais dydžiais išreikštos koordinatės. Skaitant pirmą kartą galima sekti intervalus ir lenteles. Toliau mastelio skyriuje vietoje pristatomas jam reikalingas rodiklis; išvestinių ir chaoso teoremos nereikia.

Atvaizduokite visą uždarąjį intervalą

Uždarasis intervalas apima abu savo galinius taškus ir kiekvieną tašką tarp jų. Kadangi kiekvieno pateikto atvaizdžio nuolydis 1/3 yra teigiamas, galinių taškų tvarka išlieka. Todėl taikant L visam pradiniam intervalui gaunamas [−1 m, 0 m], o taikant R – [1 m, 2 m]. Kiekvieno gauto intervalo ilgis yra 1 m.

Palikite abu vaizdus. Jų sąjungą sudaro du uždarieji intervalai, iš kurių pašalintas atvirasis tarpas 0 m < q < 1 m. Taškai ties 0 m ir 1 m lieka. Kartojant tas pačias dvi taisykles kiekvienam paliktam intervalui, susidaro mažesnės dalys ir daugiau tarpų.

Pradinį intervalą pažymėkime C₀, o kitą paliktą aibę – C₁. Sveikasis skaičius n nurodo atliktų iteracijų skaičių, pradedant nuo nulio. Glaustai užrašoma taip: C_(n+1) = L(C_n) union R(C_n): visai dabartinei aibei pritaikykite abu atvaizdžius, tada įtraukite kiekvieną tašką, priklausantį bent vienam iš gautų vaizdų.

Palyginkite baigtinius aibės etapus ir taško būsenas

Viršutinėje schemoje C₀, C₁, C₂ ir C₃ parodytos vienoje padėties skalėje. Mėlynos juostos vaizduoja visus paliktus intervalus; šviesūs apskritimai išryškina jiems priklausančius galinius taškus. Vertikalūs tarpai tarp eilučių tik atskiria iteracijų žymas. Jie nėra nei kita erdvinė koordinatė, nei praėjęs laikas.

Kai n = 2, yra keturi intervalai, kurių kiekvieno ilgis 1/3 m. Kai n = 3, jų yra aštuoni, o kiekvieno ilgis 1/9 m. Tarpai tebėra ties pradinėmis koordinatėmis; paveiksle kiekviena eilutė neištempiama taip, kad paliktų intervalų bendras ilgis užpildytų visą ašį.

Palyginimui, apatinėje schemoje pradedama tik nuo q₀ = 2 m ir kiekvieną kartą taikomas tik L. Keturios nesujungtos figūros žymi 2 m, 0 m, −2/3 m ir −8/9 m. Intervalų rinkiniui ir vienai taškų sekai taikomos skirtingos atnaujinimo taisyklės, nors abiem atvejais naudojamas tas pats atvaizdis L.

Nė vienoje schemoje nerodomas judėjimas tarp iteracijų. Toliau pateiktoje tikslių intervalų lentelėje nurodytos baigtinių etapų aibių reikšmės; kitame skyriuje pateikiama taško būsenų lentelė. Nė viena parodyta eilutė nėra begalinė fraktalinė riba.

Mėlynos juostos: pilnos baigtinės aibės C₀, C₁, C₂ ir C₃, gautos abiem atvaizdžiais.

Šviesūs apskritimai: įtraukti uždarųjų intervalų galiniai taškai; žymeklio dydis intervalo nepaplatina.

Oranžinis apskritimas, tuščiaviduris rombas, tuščiaviduris kvadratas ir užpildytas trikampis: q₀, q₁, q₂ ir q₃, gauti taikant tik L.

L(q) = q/3 − (2/3) m; R(q) = q/3 + (4/3) m. Pradinis intervalas: [−1 m, 2 m]; pradinis taškas: q₀ = 2 m.

Abiejų padėties ašių mastelis yra 240 px vienam metrui; vertikalūs tarpai tarp eilučių ir žymeklių dydžiai neturi fizinio mastelio.

Pavaizduoti etapai ir taško indeksai: n = 0, 1, 2, 3. Koordinatėms naudojama uždaroji sritis −1 m ≤ q ≤ 2 m; n yra iteracijų skaičius.

Tiksli pateikta matematinė konstrukcija su nesujungtomis taško būsenomis. Ji nepristatoma kaip interpoliuotas judėjimas, išmatuota medžiaga ar baigtinės skiriamosios gebos visų ribinės aibės tarpų vaizdas.

Keturiuose baigtiniuose aibės konstravimo etapuose išlaikomi abu suspausti intervalo vaizdai. Apatinėje palyginimo dalyje vienam taškui kartotinai taikomas tik L. Visose eilutėse naudojama ta pati padėties skalė; iteracijų žymos nereiškia praėjusio laiko, o nė viena baigtinė eilutė nėra begalinė riba C.

Keturi tikslūs baigtiniai etapai; intervalų galinių taškų koordinatės ir ilgiai nurodyti metrais
Iteracija n	Atskiri intervalai	Kiekvieno intervalo ilgis (m)	Bendras paliktų intervalų ilgis (m)	Uždarojo intervalo galai (m)
0	1	3	3	[−1, 2]
1	2	1	2	[−1, 0]; [1, 2]
2	4	1/3	4/3	[−1, −2/3]; [−1/3, 0]; [1, 4/3]; [5/3, 2]
3	8	1/9	8/9	[−1, −8/9]; [−7/9, −2/3]; [−1/3, −2/9]; [−1/9, 0]; [1, 10/9]; [11/9, 4/3]; [5/3, 16/9]; [17/9, 2]

Sekite vieno atvaizdžio iteracijas

Apatiniame palyginime taikoma taisyklė q_(n+1) = L(q_n), q_0 = 2 m. Kiekviename žingsnyje ji sukuria vieną naują koordinatę. Ji netaiko R ir nepakeičia taško visu intervalu.

Nuokrypį nuo kairiojo nejudamojo taško matuokite išraiška qₙ + 1 m. Kiekviename kairiojo atvaizdžio taikymo žingsnyje šis nuokrypis dalijamas iš 3. Pradėjus nuo 3 m nuokrypio, gaunama q_n = -1 m + 3^(1-n) m, todėl seka artėja prie −1 m. Iš šios formulės greitis neišplaukia, nes n yra žingsnių skaičius, o ne laikas.

Iteruotųjų funkcijų sistema naudoja kelis atvaizdžius kartu aibei konstruoti. Taškų sekai vietoj to kiekviename žingsnyje galima nurodyti vieną atvaizdį. Jo pasirinkimo taisyklė turi būti nurodyta; kartotinio vien tik L taikymo negalima vadinti aibės konstravimu naudojant du atvaizdžius.

Žemiau pateiktame palyginime vienam taškui taikomas tik L
Iteracija n	Taško koordinatė qₙ (m)	Nuokrypis nuo −1 m (m)
0	2	3
1	0	1
2	−2/3	1/3
3	−8/9	1/9

Apibrėžkite begalinio proceso ribą

Paliekamos aibės yra įdėtos viena į kitą: kiekvieno kito etapo aibė yra ankstesnio etapo aibėje. Apibrėžkite ribinę aibę C kaip taškus, kurie išlieka kiekviename etape: C = intersection_(n>=0) C_n. Šis reikalavimas taikomas be galo daugeliui etapų, o ne paveiksle pateiktų baigtinių eilučių sąjungai.

n-ajame etape yra N_n = 2^n atskirų intervalų. Kiekvieno jų ilgis yra ell_n = (3/3^n) m, todėl jų bendras ilgis yra 3*(2/3)^n m. Didėjant n, šis bendras ilgis artėja prie nulio. Tai nereiškia, kad C yra tuščia: −1 m ir 2 m išlieka kiekviename etape, kaip ir daugelis kitų taškų.

Tiksliau, pasirinkę bet kokią teigiamą leistinąją ilgio paklaidą, galime parinkti etapą, kurio intervalai padengia C ir kurio bendras intervalų ilgis yra mažesnis už šią paklaidą. Tai idealiosios Kantoro aibės nulinio ilgio savybė. Baigtiniame etape vis dar yra ištisų intervalų, o jų bendras ilgis yra teigiamas; baigtinis brėžinys negali parodyti visų be galo mažų C tarpų.

Išnagrinėkite panašumo mastelio keitimą

Normuokite intervalo ilgį pagal pradinį 3 m ilgį. Bedimensis santykis ellₙ/(3 m) yra 3⁻ⁿ, o atskirų dalių skaičius yra 2ⁿ. Ieškokite laipsnio rodiklio d, kuris subalansuotų šiuos du pokyčius: N_n*(ell_n/(3 m))^d = 1.

Įstatę dalių skaičių ir ilgių santykį, gauname supaprastintą pusiausvyros lygtį 2*(1/3)^d = 1. Pritaikę natūralųjį logaritmą, gauname d = ln(2)/ln(3), apytiksliai 0.631. Tai šių dviejų atvaizdžių, turinčių vienodą panašumo koeficientą, panašumo dimensija. Logaritmų argumentai ir d yra bedimensiai; metras lieka q ir intervalo ilgio vienetu.

Šios Kantoro aibės konstrukcijos, kurios dalys atskirtos, Hausdorfo dimensija yra ta pati vertė. Ji formaliai apibūdina, kaip dydis kinta mažais ilgio masteliais. Ši lygybė grindžiama teorema apie panašumo transformacijomis gaunamas kopijas, tenkinančias tinkamą atskyrimo sąlygą. Pirmą kartą skaitant galima remtis skaičiaus ir ilgio balansu; prie išsamios bendrosios dimensijos teoremos galima pasirinktinai grįžti vėliau, gilinantis į matematiką. Čia ji neįrodoma.

Patikrinkite atskyrimą ir galinius taškus

Atskyrimo sąlyga čia konkreti. Atvirasis intervalas −1 m < q < 2 m atvaizduojamas į nesikertančius atviruosius intervalus (−1 m, 0 m) ir (1 m, 2 m), kurie abu yra pradinio atvirojo intervalo viduje. Taigi abi šakos sukuria iš tiesų atskiras dalis, o ne du to paties atvaizdo pavadinimus.

Jei vietoj to du kartus nurodytume L, būtų 2ⁿ galimų šakų žodžių, bet kiekviename etape – tik vienas atskiras intervalas. Pasikartojantys atvaizdai sutampa, o ribinę aibę sudaro vienintelis nejudamasis taškas −1 m. Skaičiuodami pasikartojančius žodžius toje pačioje mastelio lygtyje, tos aibės dimensijos nenustatytume.

Taip pat patikrinkite, kurie taškai išlieka. Taškas ties 1/2 m pašalinamas pirmajame etape. Taškas ties −1/2 m išlieka po pirmojo etapo, bet patenka į antrojo etapo atvirąjį tarpą (−2/3 m, −1/3 m). O 0 m ir 1 m yra galiniai taškai, išsaugomi kiekviename etape. Vien priklausymas vieno baigtinio etapo aibei neįrodo priklausymo C.

Atsižvelkite į modelio ir mastelio ribas

Tiksli aibė C yra klasikinės Kantoro aibės versija, gauta ją pastūmus ir pakeitus jos mastelį. Kai x = (q+1 m)/(3 m), jos normalizuotos koordinatės yra tarp 0 ir 1. Tai būtent tie skaičiai, kuriuos galima užrašyti trejetaine skaičiavimo sistema naudojant tik skaitmenis 0 ir 2. Galinis taškas gali turėti daugiau nei vieną užrašą: 1/3 = 0.1000… trejetaine skaičiavimo sistema taip pat lygu 0.0222…, todėl pirmasis užrašas nereiškia, kad šis taškas nepriklauso aibei.

Tikslus savipanašumas reiškia, kad C yra L(C) ir R(C) sąjunga, o tas pats raštas kartojasi mažesniais masteliais. Šis teiginys taikomas begalinei matematinei aibei. Natūralų ar dirbtinį raštą galima tikrinti tik nurodytame matuojamų mastelių diapazone; panašumas baigtiniame vaizde neįrodo, kad tai tikslus fraktalas visais masteliais.

Aiškiai įvardykite, ką nagrinėjate modeliu: ar sekate tašką pagal pasirinktą taisyklę, konstruojate atvaizdų sąjungą, ar tikrinate mastelio sąryšį? Iteracijų skaičius savaime nėra laikas, šakų žodis savaime nėra atskira dalis, o tikslus matematinis mastelio dėsnis nėra empirinis matavimas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Sukonstruokite antrąjį etapą

Taikykite abu atvaizdžius aibei C₁ = [−1 m, 0 m] ∪ [1 m, 2 m]. Kokie uždarieji intervalai sudaro C₂ ir koks jų bendras ilgis?

Kairieji atvaizdai yra L([−1 m, 0 m]) = [−1 m, −2/3 m] ir L([1 m, 2 m]) = [−1/3 m, 0 m].
Taikant dešinįjį atvaizdį gaunama R([−1 m, 0 m]) = [1 m, 4/3 m] ir R([1 m, 2 m]) = [5/3 m, 2 m].
Šie keturi intervalai yra skirtingi ir atskirti vienas nuo kito. Kiekvieno ilgis yra 1/3 m, todėl bendras išlikęs ilgis yra 4/3 m.
Atėmus iš pradinio 3 m ilgio, gaunamas iki šio etapo pašalintas ilgis: 5/3 m. Visi aštuoni išvardyti intervalų galai lieka įtraukti.

C₂ sudaro [−1 m, −2/3 m], [−1/3 m, 0 m], [1 m, 4/3 m] ir [5/3 m, 2 m], kurių bendras ilgis yra 4/3 m.

Raskite kaitaliojantį dviejų žingsnių ciklą

Pagal atskirą taško iteravimo taisyklę pakartotinai taikomas L, o paskui R. Raskite tašką, kuris po šių dviejų žingsnių grįžta į save, ir jo tarpinę koordinatę.

Kairiojo atvaizdžio rezultatą įstatykite į dešinįjį atvaizdį: R(L(q)) = q/9 + (10/9) m.
Į save grįžtantis taškas tenkina lygtį q = q/9 + (10/9) m, todėl (8/9)q = (10/9) m ir q = 5/4 m.
Tarpinio taško koordinatė yra L(5/4 m) = 5/12 m − 2/3 m = −1/4 m. Pritaikius R koordinatei −1/4 m, vėl gaunama 5/4 m.
Po kiekvieno žingsnio koordinatė pakaitomis įgyja vieną iš dviejų verčių. Dviejų žingsnių nejudamasis taškas nėra vien L nejudamasis taškas, o iteravimo taisyklė nenustato fizinio svyravimo periodo.

Pradėkite nuo 5/4 m; tarpinė koordinatė yra −1/4 m, o kita koordinatė yra 5/4 m.

Palyginkite skirtingų dalių skaičių su pasikartojančiais šakų žodžiais

Etape 3 palyginkite pradinę dviejų atvaizdžių konstrukciją su kontrmodeliu, kuriame L nurodytas du kartus. Kiek gaunama skirtingų intervalų ir kokie yra jų bendri ilgiai?

Pradinėje konstrukcijoje su atskirtomis dalimis yra 2³ = 8 intervalų, kurių kiekvieno ilgis yra 1/9 m, o bendras ilgis – 8/9 m.
Kontrmodelyje kiekvienas trijų raidžių šakos žodis reiškia tą pačią kompoziciją, kurioje L taikomas tris kartus. Vienintelis pradinio intervalo atvaizdas yra [−1 m, −8/9 m], kurio ilgis – 1/9 m.
Taigi aštuoni užrašyti žodžiai kontrmodelyje nesudaro aštuonių skirtingų dalių. Mastelio skaičiavimas turi remtis geometrija ir jos atskyrimo sąlygomis, o ne vien žymenų sąrašu.

Pradinė konstrukcija: 8 skirtingų intervalų, kurių bendras ilgis – 8/9 m. Kontrmodelis su pakartotu kairiuoju atvaizdžiu: 1 atskiras intervalas, kurio bendras ilgis – 1/9 m.

Pabandykite patys

Pradinei konstrukcijai su atskirtomis dalimis raskite intervalų skaičių, kiekvieno intervalo ilgį ir bendrą likusį ilgį, kai n = 4.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
16 intervalų; kiekvieno ilgis – 1/27 m; bendras likęs ilgis – 16/27 m.
Naudokite 2⁴ = 16 ir 3/3⁴ m = 1/27 m. Padauginus intervalų skaičių iš vieno intervalo ilgio, gaunamas bendras ilgis.
Kuriame etape pirmą kartą pašalinami taškai 1/2 m ir −1/2 m? Ar taškai 0 m ir 1 m pašalinami?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Taškas 1/2 m pašalinamas etape 1; taškas −1/2 m – etape 2. Galiniai taškai 0 m ir 1 m išlieka kiekviename etape.
Pirmasis atviras tarpas yra (0 m, 1 m). Taškas −1/2 m yra vėliau atsirandančiame atvirame tarpe (−2/3 m, −1/3 m). Uždarų intervalų galiniai taškai lieka įtraukti.
Vieno atvaizdžio sekoje q₂ = −2/3 m. Dar kartą pritaikykite tik L; nurodykite q₃ ir jo poslinkį nuo −1 m.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
q₃ = −8/9 m; jo nuokrypis nuo −1 m yra 1/9 m.
L(−2/3 m) = −2/9 m − 2/3 m = −8/9 m. Norėdami gauti nuokrypį, pridėkite 1 m. Tai vieno taško koordinatės keitimas, o ne dviejų atvaizdų sąjunga.
Apverskite kaitaliojimo tvarką: taikykite R, tada L. Raskite dviejų žingsnių atvaizdžio nejudamąjį tašką ir jo tarpinę koordinatę.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Dviejų žingsnių atvaizdžio nejudamasis taškas yra −1/4 m; tarpinė koordinatė pritaikius R yra 5/4 m.
L(R(q)) = q/9 − (2/9) m. Išsprendę lygtį q = q/9 − (2/9) m, gauname q = −1/4 m, o R(−1/4 m) = 5/4 m.
Iš lygties 2(1/3)ᵈ = 1 raskite d. Ar d matavimo vienetas yra m, nes koordinatė išreikšta metrais?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
d = ln(2)/ln(3), apytiksliai 0.631; tai bedimensis dydis.
Logaritmuodami gauname ln 2 − d ln 3 = 0. Koordinatė turi ilgio matavimo vienetą, tačiau mastelio keitimo lygtyje yra tik kiekis ir ilgių santykis.
Kai n = 4, nurodyta atvaizdžių pora yra L ir L. Užrašyta 16 šakų žodžių. Kiek skirtingų intervalų iš tikrųjų paliekama ir koks jų bendras ilgis?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Paliekamas vienas intervalas, kurio bendras ilgis yra 1/27 m.
Kiekvienas žodis nusako tą pačią keturgubą kairiojo atvaizdžio kompoziciją. Jos atvaizdo intervalo ilgis yra 3/3⁴ m = 1/27 m; skaičiuojant jį pakartotinai, būtų skaičiuojamas persidengimas, o ne atskiros dalys.

Ką verta įsidėmėti

Atvaizdis gali keisti vieno taško koordinatę arba veikti kiekvieną aibės tašką; keitimo taisyklėje turi būti nurodyta, kuris atvejis taikomas.
Baigtiniuose Kantoro aibės konstravimo etapuose yra 2ⁿ uždarųjų intervalų, kurių bendras ilgis yra 3(2/3)ⁿ m; jų begalinė sankirta lieka netuščia.
Panašumo rodiklis yra bedimensis, o aibės dimensijai nustatyti būtinos atitinkamos atskyrimo sąlygos.
Baigtinis brėžinys ir fizikinis mastelių diapazonas nepatvirtina, kad fraktalas yra tikslus visais masteliais.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

Fractals and Self SimilarityJohn E. Hutchinson — Australian National University; Indiana University Mathematics Journal 30 (1981), 713–747; author-corrected retypeMokslinis straipsnis · PDFFractals and Self Similarity 3.3(1) Cantor set 5.1–5.3 Similarity dimension and separationmaths-people.anu.edu.au
Cantor Sets, Dynamics and ArithmeticCarlos Gustavo Moreira — IMPA, Brazil; Publicações Matemáticas, 2010Vadovėlio skyrius · PDFCantor Sets, Dynamics and Arithmetic 1.1 Cantor setsw3.impa.br
Fractals: A Mathematical FrameworkJohn E. Hutchinson — Australian National University; Complex. Int. 2 (1995)Mokslinis straipsnis · PDFmaths-people.anu.edu.auSkaityti šaltinį