Sinchronizacija ir susietosios sistemos

Pradėkime nuo vienodo greičio klausimo

Įsivaizduokite, kad pažymite, kurią vietą pasiekė kiekvienas iš dviejų pasikartojančių ciklų. Kiekvienam ciklui priskirkite fazės kampą: 0 rad žymi pasirinktą atskaitos tašką, o kampui padidėjus 2π rad, užbaigiamas vienas fazės ciklas. Dvi fazės gali didėti tuo pačiu greičiu, nors viena nuolat lenkia kitą. Vienodas greitis nereiškia vienodos fazės.

Pradėsime nuo fazių θ₁ = 0 rad ir θ₂ = (π/6) rad. Antrasis ciklas pirmąjį lenkia viena dvyliktąja viso ciklo. Kyla klausimas, ar jų sąveika gali išlaikyti šį poslinkį pastovų net tada, kai nesusietų osciliatorių greičiai skiriasi.

Radianų ir sinuso sąvokoms pasiruoškite nagrinėdami temą „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Tema „Išvestinės, Teiloro eilutės ir lokalusis artinys“ supažindina su vėliau naudojamomis momentinio greičio ir nuolydžio sąvokomis. Skaitant pirmą kartą, galima sekti reikšmių įstatymą ir greičių ženklus; prie nuolydžio kriterijaus galima pasirinktinai grįžti, kai šios sąvokos bus aiškios.

Užrašykime dvi fazių lygtis

Tegu t yra laikas sekundėmis. Fazės θ₁(t) ir θ₂(t) yra išvynioti kampiniai dydžiai: jos gali didėti virš 2π rad, užuot grįžusios į nulį. Jų skirtumą apibrėžkime kaip δ = θ₂ − θ₁. Fazių ratas šiuos kampus rodys moduliu 2π, tačiau lygtyse išlaikomos išvyniotos reikšmės.

Pateikite tikslų modelį dtheta_1/dt = omega_1 + K*sin(delta/(1 rad)) ir dtheta_2/dt = omega_2 - K*sin(delta/(1 rad)). Čia ω₁ = 1 rad/s ir ω₂ = 2 rad/s yra fazių kitimo greičiai, jei nebūtų sąveikos; K = 1 rad/s yra abiejose lygtyse vienodas sąveikos koeficientas. Sinuso argumentas δ/(1 rad) yra bedimensis.

Išvestinė dθⱼ/dt yra momentinis fazės kitimo greitis. Esant sąveikai, jis nebūtinai lygus savajam greičiui ωⱼ. Pagal šį apibrėžimą K yra kampinis greitis, o ne jėga ar energija; modelyje nėra nei amplitudės, nei erdvinio poslinkio.

Apskaičiuokite, kaip kinta fazių skirtumas

Iš antrosios lygties atimkite pirmąją. Savųjų greičių skirtumas yra Δω = ω₂ − ω₁, o abiejų sąveikos narių indėliai skirtume susideda: delta_dot = (omega_2 - omega_1) - 2*K*sin(delta/(1 rad)). Įrašius pateiktas vertes, gaunama delta_dot = (1 - 2*sin(delta/(1 rad))) rad/s.

Kai δ = 0 rad, fazių skirtumo kitimo greitis yra +1 rad/s, todėl vienodos fazės nelieka vienodos. Kai δ = (π/6) rad, sin(π/6) = 1/2: pirmosios fazės kitimo greitis tampa 1 + 1/2 = 3/2 rad/s, o antrosios – 2 − 1/2 = 3/2 rad/s. Tuomet jų skirtumo kitimo greitis lygus nuliui.

Sudėję lygtis, gauname kitą sąryšį. Šiame simetriniame modelyje vidutinės fazės Φ = (θ₁ + θ₂)/2 kitimo greitis visada yra (ω₁ + ω₂)/2 = 3/2 rad/s. Vien pastovus vidutinės fazės kitimo greitis nerodo fazių sinchronizacijos; sinchronizaciją nusako tai, ar δ išlieka pastovus.

Nagrinėkite skirtumo kitimo greitį ir dvi sinchronizuotas būsenas

Viršutiniame grafike horizontaliojoje ašyje vaizduojamas fazių skirtumas δ, o vertikaliojoje – jo momentinis kitimo greitis. Teigiamas greitis didina išvyniotą fazių skirtumą, neigiamas – mažina. Užpildytas apskritimas ir tuščiaviduris kvadratas žymi taškus, kuriuose fazių skirtumo kitimo greitis lygus nuliui. Šis grafikas rodo greičio priklausomybę nuo fazių skirtumo, o ne kitimą laike.

Apatiniuose fazių ratuose parodytos vienalaikės fazių poros, kai t = 0 s ir t = (π/3) s, esant nurodytoms pradinėms vertėms. Mėlyni apskritimai žymi fazę 1, o tuščiaviduriai oranžiniai rombai – fazę 2. Fazė didėja prieš laikrodžio rodyklę nuo dešinėje esančios atskaitos krypties. Tai scheminės fazių padėtys, o ne fizinių osciliatorių erdvinės trajektorijos ar amplitudės.

Pradinis skirtumas jau lygus (π/6) rad, todėl šiame pasirinktame sprendinyje fazės sinchronizuotos nuo pat pradžių. Tarp dviejų pavaizduotų akimirkų abi fazės padidėja (π/2) rad, išlaikydamos nenulinį skirtumą. Šie vaizdai iliustruoja jau sinchronizuotą sprendinį; jie nerodo pereinamojo proceso, kuriuo prie jo artėjama.

Lentelėje pateikti tikslūs kitimo greičiai ties visomis septyniomis pasirinktomis fazių skirtumo vertėmis. Nulinis fazių skirtumo kitimo greitis nurodo galimą pastovų skirtumą, tačiau jo reakcijai į mažą trikdį nustatyti dar reikia patikrinti stabilumą.

Sekite jau sinchronizuotą sprendinį

Kadangi esant pradiniam fazių skirtumui abiejų fazių kitimo greičiai yra tiksliai 3/2 rad/s, tikslus sprendinys yra theta_1(t) = (3/2 rad/s)*t ir theta_2(t) = (pi/6) rad + (3/2 rad/s)*t, kai t ≥ 0 s. Įstačius šį sprendinį, fazių skirtumas išlieka pastovus, todėl abi susietosios lygtys ir toliau tenkinamos.

Kai t = (π/3) s, pirmoji išvyniota fazė yra (π/2) rad, o antroji – (2π/3) rad. Jų vertės skiriasi, nors kitimo greičiai sutampa. Kiekvienai fazei padidėti 2π rad ir grįžti į savo pradinę padėtį fazių apskritime reikia (4π/3) s.

Prie abiejų fazių pridėjus tą patį pradinį kampą, gaunamas kitas sprendinys su tuo pačiu fazių skirtumu. Fazių skirtumo užsifiksavimas nenustato vienos bendros fazių atskaitos pradžios.

Patikrinkite santykinės fazės stabilumą

Netoli (π/6) rad šiek tiek mažesnio fazių skirtumo kitimo greitis yra teigiamas, o šiek tiek didesnio – neigiamas. Abiem atvejais fazių skirtumas grįžta prie šios vertės. Šis pastovus fazių poslinkis yra lokaliai pritraukiantis santykinės fazės atžvilgiu.

Kitas nulinis taškas yra ties (5π/6) rad. Šiek tiek mažesnis fazių skirtumas mažėja, o šiek tiek didesnis didėja: maži trikdžiai tolina nuo šio fazių poslinkio. Pradėjus tiksliai šiame taške, vis tiek gaunamas sprendinys su pastoviu fazių skirtumu, tačiau šis sprendinys yra nestabilus santykinės fazės atžvilgiu.

Norėdami formaliai patikrinti nuolydį, fazių skirtumo kitimo greičio funkciją pažymėkite f(δ). Jos išvestinė yra df/ddelta = -(2*K/(1 rad))*cos(delta/(1 rad)). Kai K = 1 rad/s, nuolydžiai yra −√3 s⁻¹ ties (π/6) rad ir +√3 s⁻¹ ties (5π/6) rad. Ženklų patikros rezultatai sutampa su kitimo kryptimis.

Pastovūs fazių poslinkiai kartojasi pridėjus 2π rad. Stabilumas čia susijęs su mažais santykinės fazės pokyčiais netoli pasirinktos pasikartojančios vertės, o ne su kiekvieno pradinio išvynioto fazių skirtumo artėjimu prie to paties konkretaus kampo. Šios lygtys negrąžina abiejų fazių atgal, kai jos vienodai paslenkamos.

Palyginkite ryšio stiprumą su savųjų kampinių greičių skirtumu

Išlaikykite tą pačią lygčių formą, bet leiskite K > 0. Kad fazių skirtumas būtų pastovus, būtina sin(delta/(1 rad)) = (omega_2 - omega_1)/(2*K). Šiai sinusoidiniu ryšiu susietai porai griežta sąlyga |ω₂ − ω₁| < 2K duoda vieną pritraukiantį ir vieną atstumiantį fazių poslinkį per fazės ciklą. Daugiklis 2 atsiranda dėl vienodo kiekvienos jungties ryšio stiprumo šiose dviejose lygtyse; tai nėra universalus slenkstis visoms susietosioms sistemoms.

Kai savųjų kampinių greičių skirtumas yra 1 rad/s, vietoj ankstesnės vertės pasirinkite K = 1/4 rad/s. Fazių skirtumo kitimo greitis yra tarp 1/2 ir 3/2 rad/s ir visada teigiamas. Šiuo atveju fazių skirtumas nėra pastovus esant jokiai pradinei fazei: išvyniotas fazių skirtumas toliau didėja, nors ratų kampai lieka aprėžti dėl periodinio perskaičiavimo.

Ties ribine verte K = 1/2 rad/s fazių skirtumo kitimo greitis yra (1 − sin(δ/(1 rad))) rad/s. Jis lygus nuliui ties (π/2) rad, tačiau nuolydis ten taip pat lygus nuliui. Artimi mažesni fazių skirtumai didėja ir artėja prie šios vertės; artimi didesni fazių skirtumai dar labiau didėja ir nuo jos tolsta. Tiksliai pastovaus fazių skirtumo būsena ir šis artėjimas iš vienos pusės nepatvirtina lokalaus stabilumo iš abiejų pusių.

Atskirkite modelį nuo fizinės sinchronizacijos

Pateiktos lygtys yra tikslus šios pamokos matematinis modelis. Iš realaus ribinio ciklo osciliatoriaus išvestai aproksimacijai, kurioje atsižvelgiama tik į fazę, paprastai reikia pagrįstų prielaidų apie silpnus trikdžius, dažnių skirtumus ir išlaikomą fazinį aprašymą. Vien pasirinkti skaičiai nepatvirtina, kad šios prielaidos galioja konkrečiam įrenginiui.

Pastovus fazių skirtumas yra čia taikomas fazių sinchronizacijos kriterijus. Jis nereiškia, kad amplitudės, visos fizinės būsenos ar energijos perdavimas tampa vienodi. Jis taip pat nepateikia teoremos apie didelį tinklą, triukšmo veikiamą sistemą ar kitokią ryšio funkciją.

Klausimą apie pagrindžiančius duomenis atskirkite nuo lygties patikros. Mūsų du pasirinkti momentiniai vaizdai gauti iš tiksliojo sprendinio, kuriame fazių skirtumas jau yra nusistovėjęs. Norint teigti, kad fizinių sistemų pora sinchronizuojasi, reikėtų tinkamo fizikinio modelio, stebėjimų ir aiškiai nurodytos numanomo sinchronizacijos elgesio patikros.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniame modelyje vienu laiko momentu nustatykite δ = 0 rad. Raskite abiejų fazių kitimo greičius ir nuspręskite, ar šis fazių skirtumas gali išlikti lygus nuliui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kampiniai greičiai yra 1 ir 2 rad/s, todėl fazių skirtumo kitimo greitis yra +1 rad/s; vienodos fazės nelieka vienodos.

   Kai argumentas lygus nuliui, sinusinis narys išnyksta. Iš antrojo momentinio kampinio greičio atimkite pirmąjį, užuot darę prielaidą, kad vienodos fazių vertės reiškia sinchronizaciją.

2. Kokios yra θ₁, θ₂ ir jų skirtumo vertės pasirinktame sinchronizuotame sprendinyje, kai t = (π/3) s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   θ₁ = (π/2) rad, θ₂ = (2π/3) rad ir δ = (π/6) rad.

   Padauginkite 3/2 rad/s iš (π/3) s, kad gautumėte kiekvienos fazės prieaugį (π/2) rad, tada atskirai pridėkite kiekvienos fazės pradinę vertę.

3. Ar pagrindiniame modelyje nulinis fazių skirtumo kitimo greitis, kai δ = (5π/6) rad, apibūdina pritraukiančią santykinę būseną?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jei pradinė būsena nustatoma tiksliai, tai yra sprendinys su pastoviu fazių skirtumu, tačiau jo santykinė būsena yra nestabili.

   Fazių skirtumo kitimo greičio priklausomybės nuolydis yra +√3 s⁻¹. Šiek tiek sumažinus fazių skirtumą, jis toliau mažėja, o šiek tiek padidinus – toliau didėja.

4. Kai savieji kampiniai dažniai yra 1 ir 2 rad/s, o K = 1/4 rad/s, koks yra mažiausias galimas fazių skirtumo kitimo greitis? Ar fazių skirtumas gali būti pastovus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Mažiausias fazių skirtumo kitimo greitis yra 1/2 rad/s, todėl fazių skirtumas negali būti pastovus.

   Išraiška yra 1 − (1/2)sin(δ/(1 rad)), išreikšta rad/s; ji pasiekia minimumą, kai sinusas lygus 1.

5. Kai savieji kampiniai dažniai yra 1 ir 2 rad/s, o K = 1/2 rad/s, fazių skirtumo kitimo greitis lygus nuliui ties δ = (π/2) rad, o jo priklausomybės nuolydis taip pat lygus nuliui. Ar tai įrodo pritraukimą iš abiejų pusių?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Šis konkretus fazių skirtumas gali išlikti pastovus, tačiau artimi mažesni skirtumai prie jo artėja, o artimi didesni skirtumai nuo jo tolsta.

   Fazių skirtumo kitimo greitis abiejose pusėse yra neneigiamas. Vien nulinė išvestinė negali pakeisti ženklo patikros abiejose pusėse.

6. Nustatykite K = 0, palikdami savuosius fazių kitimo greičius 1 ir 2 rad/s, o pradines fazes – 0 rad ir (π/6) rad. Koks bus išvyniotas fazių skirtumas po 1 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Fazių skirtumas yra (π/6 + 1) rad.

   Nesant sąveikos, fazių skirtumas didėja 1 rad/s greičiu. Prie pradinio (π/6) rad skirtumo pridėkite jo 1 rad prieaugį; nėra sąveikos, kuri išlaikytų šį skirtumą pastovų.

Ką verta įsidėmėti

• Užsifiksavęs fazių skirtumas gali išlikti pastovus ir nelygus nuliui; vienodi fazių kitimo greičiai nereiškia, kad fazės turi būti vienodos.
• Atimkite susietų fazių lygtis vieną iš kitos, kad nustatytumėte santykinę dinamiką; vidutinė fazė apibūdina kitą dydį.
• Kai fazių skirtumo kitimo greitis lygus nuliui, reikia patikrinti stabilumą, o sąveikos slenkstis priklauso nuo pasirinktos lygties užrašymo konvencijos.
• Tikslus fazių modelis ir du būsenų vaizdai su užsifiksavusiu fazių skirtumu savaime nepatvirtina fizikinės sistemos sinchronizacijos.