Sukimosi kinematika ir inercijos momentas

Pažymėtas taškas sustoja ir ima suktis atgal

Įsivaizduokite pažymėtą tašką ant idealaus standžiojo kūno, besisukančio apie nejudamą ašį. Iš pradžių jis sukasi prieš laikrodžio rodyklę, lėtėja, akimirkai sustoja ir tada ima suktis pagal laikrodžio rodyklę. Ar tą akimirką, kai taškas nejuda, jo pagreitis lygus nuliui? Norėdami atsakyti į šį klausimą, nagrinėsime vieną pateiktą matematiškai aprašytą judėjimą.

Standusis kūnas – tai kūnas, kurio taškus skiriantys atstumai nekinta. Pasirinkite fiksuotą inercinę atskaitos sistemą ir joje nejudamą ašį. Stebėkite sukimąsi žvelgdami nuo teigiamojo ašies galo į koordinačių pradžią ir teigiama laikykite kryptį prieš laikrodžio rodyklę. Kampo kitimas laikui bėgant apibūdina visą standųjį kūną, tačiau skirtingais atstumais nuo ašies esantys taškai gali turėti skirtingus linijinius greičius.

Tema „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ parengia suprasti vienetų žymėjimą; tema „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia įstatyti reikšmes ir interpretuoti grafikus. Temos „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ bei „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ padeda suprasti spindulį ir statmenąsias dedamąsias. Vietinio kitimo greičio sąvokos paaiškinamos čia; tema „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ suteikia papildomą pasirengimą suprasti jų apibrėžimą naudojant ribą.

Sekite kampo kitimą

Tegu θ yra pažymėto spindulio kampas fiksuoto atskaitos spindulio atžvilgiu, kurio vertė neapribota vieno apsisukimo intervalu. Tai reiškia, kad išsaugomi sukaupti apsisukimai: kampo padidėjimas nuo 0 rad iki 2π rad yra vienas pilnas apsisukimas teigiama kryptimi, nors galutinė orientacija sutampa su pradine. Vienas orientacijos matavimas neleidžia nustatyti, kiek apsisukimų įvyko.

Radianas yra plokščiojo kampo matavimo vienetas. Vieno radiano kampas atitinka lanką, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Visas apsisukimas yra 2π rad. SI sistemoje rad yra specialus vieneto „vienetas“ pavadinimas; jį išlaikant nurodoma, kad tai kampas, užuot visus dydžius, kurių vienetas yra „vienetas“, laikius tos pačios fizikinės rūšies dydžiais. Jei Δθ yra kampo pokytis su ženklu, tai atitinkamas apskritimo lanko ilgio pokytis su ženklu, kai spindulys r nekinta, yra rΔθ/(1 rad). Šis lanko ilgio pokytis skiriasi nuo poslinkio vektoriaus, jungiančio pradinę ir galinę taško padėtis.

Mūsų sukurtame pavyzdyje laikas t apribotas intervalu 0–3 s. Apibrėžkime bedimensį laiką τ = t/(1 s) ir pateikime kampo priklausomybę nuo laiko θ = (1 + 2τ − τ²/2) rad. Pradinis kampas yra 1 rad. Ši glodi funkcija apibrėžia judėjimą visame nurodytame intervale; lentelėje pateiktos pasirinktos vertės nėra matavimų duomenys ar keturiems stebėjimams pritaikytos funkcijos rezultatas.

Kampą ir kitimo spartą nagrinėkite kartu

Pirmiausia palyginkite nedidelius kampo pokyčius su laiku, per kurį jie įvyksta. Vidutinis kampinis greitis per intervalą yra Δθ/Δt, atsižvelgiant į jo ženklą. Momentinis kampinis greitis ω yra šio santykio ribinė vertė ties konkrečiu laiko momentu: tai kampo priklausomybės nuo laiko kreivės nuolydis. Kampinis pagreitis α yra vietinė ω kitimo sparta, o ne pats kampinis greitis. Užrašant išvestinėmis, ω = dθ/dt; α = dω/dt.

Pateiktam polinomui ω = (2 − τ) rad/s; α = −1 rad/s². Lentelėje matyti, kad ω tolygiai mažėja. Laiko momentu 2 s jo vertė lygi nuliui, o kampo kreivė lokaliai horizontali, tačiau α išlieka neigiamas. Vietines kitimo spartas abiejuose intervalo galuose galima laikyti atitinkamomis vienpusėmis ribomis mūsų apibrėžimo srityje.

Apatiniame grafike plotas su ženklu sumuoja kampo pokyčius: teigiamas plotas iki 2 s suteikia +2 rad pokytį, o neigiamas plotas nuo 2 iki 3 s suteikia −0.5 rad pokytį. Taigi kampo grafiko ordinatė, jo nuolydis ir plotas po kampinio greičio grafiku pateikia tris tarpusavyje suderintus to paties apibrėžto judėjimo vaizdus. Abu grafikai turi bendrą laiko ašį, tačiau jų vertikaliosiose ašyse vaizduojami skirtingi dydžiai su skirtingais vienetais.

Įskaičiuokite judėjimą prieš ir po krypties pasikeitimo

Išsprendę lygtį ω = 0, gauname τ = 2, taigi t = 2 s. Iki šio momento kampinis greitis yra teigiamas, o po jo – neigiamas. Tuo momentu kampas pasiekia didžiausią vertę – 3 rad. Nuo judėjimo pradžios iki krypties pasikeitimo θ padidėja 2 rad, o nuo krypties pasikeitimo iki judėjimo pabaigos sumažėja 0.5 rad.

Bendras kampo pokytis yra 2 rad − 0.5 rad = +1.5 rad. Visas nueitas kampinis kelias gaunamas sudėjus abiejų dalių modulius ir yra lygus 2.5 rad. Per 3 s vidutinis kampinis greitis yra +0.5 rad/s, o kampinio greičio modulio vidurkis – (5/6) rad/s. Kampinio greičio modulis yra |ω| ir negali būti neigiamas.

Neigiamas α ne visada reiškia lėtėjimą. Prieš krypties pasikeitimą teigiamas ω mažėja artėdamas prie nulio, todėl kampinio greičio modulis mažėja. Po krypties pasikeitimo ω tampa vis labiau neigiamas, todėl kampinio greičio modulis didėja. Šio judėjimo apie nejudamą ašį kampinio greičio vektorių galima užrašyti ωe_z, kur e_z yra pasirinktas nekintamas teigiamos ašies krypties vienetinis vektorius. Kampinio greičio vektoriaus kryptis pasikeičia, kai pasikeičia ω ženklas; pati ašis lieka nejudama. Kai ω = 0, nulinis vektorius neturi krypties. Bendruoju atveju baigtiniams posūkiams trimatėje erdvėje aprašyti nepakanka sudėti kampus su ženklais apie nesusijusias ašis.

Atskirkite tangentinį ir į centrą nukreiptą pagreitį

Imkime tašką, kurio statmenas atstumas nuo mūsų nejudamos ašies yra r = 0.5 m. Dabartinėje jo padėtyje pasirinkime vienetinį liestinės vektorių, nukreiptą teigiama kryptimi prieš laikrodžio rodyklę, ir vienetinį radialinį vektorių, nukreiptą į išorę. Šios dvi statmenos kryptys sukasi kartu su tašku; jos nėra nekintamos Dekarto koordinačių x ir y kryptys. Taško tangentinio greičio projekcija yra vθ = rω/(1 rad), o greičio modulis – r|ω|/(1 rad). Visų taškų ω yra vienodas, tačiau padvigubinus r greičio modulis tuo pačiu momentu padvigubėja.

Pagreitis turi dvi dedamąsias: aθ = rα/(1 rad); ar = −r[ω/(1 rad)]². Tangentinis pagreitis keičia judėjimo apskritimu greičio projekciją. Radialinė dedamoji atspindi liestinės krypties kitimą ir yra nukreipta į centrą, kai ω nėra lygus nuliui. Dalyba iš 1 rad aiškiai parodo, kad šiose tiesinio greičio ir pagreičio formulėse naudojama kampo kitimo greičio skaitinė vertė radianais; jų matavimo vienetai yra m/s ir m/s².

Laiko momentu 2 s šio taško greitis ir radialinis pagreitis yra lygūs nuliui, tačiau jo tangentinis pagreitis yra −0.5 m/s². Laiko momentu 3 s jo tangentinio greičio projekcija yra −0.5 m/s, tangentinis pagreitis – −0.5 m/s², o radialinis pagreitis – −0.5 m/s². Iš pastarųjų dviejų statmenų dedamųjų gaunamas bendras pagreičio modulis √(0.5² + 0.5²) m/s² = (√2/2) m/s². Taško, esančio tiksliai ant nejudamos ašies, r = 0, ir šiame modelyje jis lieka rimties būsenoje.

Kai spindulys yra 0.5 m, bendras lanko ilgio pokytis su ženklu yra 0.75 m, o visas apskritimu nueitas kelias – 1.25 m. Nė vienas iš šių dydžių nėra poslinkio iš pradinio į galinį tašką vektorius Dekarto koordinatėmis. Čia judėjimas yra duotas; nustatyti, kokios jėgos sukelia jo pagreitį, yra atskiras dinamikos klausimas.

Įvertinkite masės pasiskirstymą ašies atžvilgiu

Inercijos momentas I nusako masės pasiskirstymą pagal statmenąjį atstumą nuo pasirinktos ašies. Taškinėms masėms I = Σ mᵢr⊥,ᵢ²; r⊥,ᵢ yra masės mᵢ statmenasis atstumas nuo tos ašies. Tą pačią masę perkėlus toliau nuo ašies, jos indėlis didėja proporcingai atstumo kvadratui. I nėra nei jėga, nei kitas bendrosios masės pavadinimas; jo matavimo vienetas yra kg m².

Tolydžiajam kūnui atitinkama suma virsta integralu I = ∫r⊥² dm. Tam reikia apibrėžto neneigiamo masės pasiskirstymo, kurio atstumo kvadrato momentas yra baigtinis. I yra neneigiamas, o jei nenulinis masės kiekis yra ne ant ašies, jis yra teigiamas. Kai standaus kūno masės pasiskirstymas ir pasirinkta ašis nekinta, vien kampinio greičio pokytis I nekeičia.

Palyginkite pagal sąlygą duotą ploną žiedą ir ploną vienalytį diską, kurių kiekvieno masė M = 4 kg, o spindulys R = 0.5 m, jų per centrą einančių statmenųjų ašių atžvilgiu. Kiekvienas žiedo masės elementas yra atstumu R, todėl Iring = MR² = 1 kg m². Disko masė pasiskirsčiusi atstumais nuo 0 iki R, todėl Idisk = MR²/2 = 0.5 kg m². Šios formulės priklauso nuo nurodyto masės pasiskirstymo ir ašies, o ne vien nuo išorinio kontūro spindulio.

Išvedant disko formulę, siauro žiedinio sluoksnio, kurio spindulys r, masė yra dm = (2M/R²)r dr, nes masė ploto vienetui yra vienoda. Padauginę iš r² ir susumavę nuo 0 iki R, gauname I = (2M/R²)∫₀ᴿr³ dr = MR²/2, kai M > 0 ir R > 0. Tai paaiškina mažesnį disko inercijos momentą: dalis jo masės yra arčiau ašies nei žiedo masė.

Palyginkite sukimosi kinetinę energiją

Klasikiniu atveju, kai kūnas tik sukasi apie mūsų nejudamą ašį, kiekvieno masės elemento greitis yra r⊥|ω|/(1 rad). Susumavę kiekvieno elemento neneigiamą kinetinę energiją (1/2)mv², gauname K = (1/2)I[ω/(1 rad)]². Formulėje daroma prielaida, kad visi elementai turi tą patį kampinį greitį, o pasirinkta ašis yra fiksuota toje pačioje inercinėje atskaitos sistemoje. Ji aprašo šio sukimosi kinetinę energiją; slenkamąjį judėjimą, deformaciją ir kitus vidinius judesius reikėtų įvertinti atskirai.

Atskirame palyginime suteikite 4 kg masės žiedui ir diskui vienodą kampinį greitį +3 rad/s apie jų per centrą einančias statmenąsias ašis. Žiedo K = 4.5 J, o disko K = 2.25 J. Vienoda masė, išorinis spindulys ir kampinis greitis nereiškia vienodos sukimosi kinetinės energijos. Pakeitus ω ženklą, bet ne jo modulį ir I, K nekinta: kinetinė energija nenusako sukimosi krypties.

Pasirinkite ašį prieš skaičiuodami

Norėdami sudaryti kitą tiksliai apibrėžtą kūną, standžia bemase jungtimi sujunkite dvi materialiąsias daleles, kurių kiekvienos masė yra 1 kg ir kurios yra ties x = −0.5 m ir x = +0.5 m. Statmenos z ašies, einančios per x = 0, atžvilgiu abu atstumai yra 0.5 m, o I = 0.5 kg m². Lygiagrečios nejudančios ašies, einančios per x = 0.25 m, atžvilgiu atstumai yra 0.75 m ir 0.25 m, todėl I = 0.625 kg m². Tai du alternatyvūs ašies pasirinkimai tam pačiam masės išsidėstymui, o ne vienalaikis judėjimas apie abi ašis.

Fiksuotos ašies modelis leidžia naudoti vieną kampinę koordinatę su ženklu ir vieną nuo ašies priklausantį skaliarinį dydį I. Slenkamąjį judėjimą atliekanti ašis, kryptį keičianti ašis, tamprioji deformacija ar reliatyvistinis judėjimas gali reikalauti kitokio aprašymo. Kinematika nusako judėjimą; inercija ir kinetinė energija apibūdina pasirinktą kūną ir jo judėjimą esant šioms prielaidoms. Sukimo momentas, judesio kiekio momentas ir giroskopai atveria tolesnius klausimus apie sukamąsias sąveikas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar pagrindiniame modelyje laiko momentu 3 s objektas lėtėja, ar greitėja? Nurodykite ω, α ir sukimosi kryptį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ω = −1 rad/s, α = −1 rad/s²; objektas sukasi pagal laikrodžio rodyklę ir greitėja.

   Laiko momentu 2 s perėjęs per nulį, ω tampa vis labiau neigiamas. Jo modulis didėja, nors α yra neigiamas. Reikia atsižvelgti ir į sukimosi kryptį, ir į greičio kitimą.

2. Taškas, esantis 0.5 m atstumu nuo sukimosi ašies, apsisuka lygiai vieną kartą teigiama kryptimi, nekeisdamas sukimosi krypties. Palyginkite jo kampo pokytį, apskritimu nueitą kelią ir poslinkio vektorių Dekarto koordinačių sistemoje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kampo pokytis yra +2π rad, nueitas kelias yra π m, o poslinkis Dekarto koordinačių sistemoje yra nulinis vektorius.

   Po pilno apsisukimo taškas grįžta į tą pačią erdvės vietą. Vis dėlto nueito kelio ilgis yra (0.5 m)(2π rad)/(1 rad), o išvyniotas kampas išsaugo visą apsisukimą.

3. Antrasis taškas yra 0.25 m atstumu nuo pagrindinio modelio sukimosi ašies. Laiko momentu 1 s raskite jo liestinio greičio komponentę, dvi pagreičio komponentes ir viso pagreičio modulį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   vθ = +0.25 m/s, aθ = −0.25 m/s², ar = −0.25 m/s² ir |a| = (√2/4) m/s².

   Laiko momentu 1 s, ω = +1 rad/s ir α = −1 rad/s². Taikykite pastovaus spindulio judėjimo formules, tada sudėkite statmenų pagreičio komponenčių kvadratus. Liestinė komponentė su ženklu ir į vidų nukreipta radialinė komponentė yra skirtingi dydžiai.

4. Perskaičiuokite dviejų materialiųjų taškų, kurių kiekvieno masė yra 1 kg ir kurių padėtys yra x = ±0.5 m, inercijos momentą I z ašies, einančios per x = 0, ir lygiagrečios ašies, einančios per x = 0.25 m, atžvilgiu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmosios ašies atžvilgiu I = 0.5 kg m², o antrosios – 5/8 kg m².

   Abu atstumai iki pirmosios ašies yra po 0.5 m. Atstumai iki antrosios ašies yra 0.75 m ir 0.25 m, todėl I = (1 kg)[(0.75 m)² + (0.25 m)²] = 0.625 kg m². Pasirinkus kitą ašį, pasikeičia atstumai, bet masės lieka nepakitusios.

5. Atskiro plono vienalyčio disko masė yra 4 kg, o spindulys – 1 m. Diskas sukasi +3 rad/s kampiniu greičiu apie nejudančią, per jo centrą einančią ir jo plokštumai statmeną ašį. Apskaičiuokite I ir K. Palyginkite su 0.5 m spindulio disku.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   I = 2 kg m², o K = 9 J; kiekvienas dydis yra keturis kartus didesnis už atitinkamą 0.5 m spindulio disko dydį.

   Kai masė nekinta ir išlieka toks pat idealus vienalyčio disko masės pasiskirstymas, I = MR²/2 yra proporcingas spindulio kvadratui. Kai kampinio greičio modulis nekinta, K yra proporcinga I.

6. Anksčiau nagrinėtas plonas žiedas viename bandyme sukasi +3 rad/s, o kitame – −3 rad/s kampiniu greičiu apie tą pačią nejudančią ašį. Ar kinetinės energijos skiriasi ir ar vien kurio nors iš šių kampinių greičių pakanka α nustatyti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiem atvejais kinetinė energija yra 4.5 J. Sukimosi kryptys yra priešingos; vien momentinis kampinis greitis nė vienu atveju nenusako kampinio pagreičio.

   K išraiškoje pakėlus kampinį greitį kvadratu, jo ženklas nebeturi įtakos. Norint nustatyti α, reikia žinoti vietinį ω kitimą laikui bėgant. Teigiamas arba neigiamas momentinis kampinis greitis galimas tiek greitėjant, tiek lėtėjant, tiek sukantis pastoviu kampiniu greičiu.

Ką verta įsidėmėti

• Išskleistas sukimosi kampas išsaugo informaciją apie apsisukimus ir krypties pasikeitimus; kampinio greičio ženklas nurodo kryptį, o kampinio greičio modulis – sukimosi spartą.
• Sukimosi krypties pasikeitimo momentu kampinis greitis gali būti lygus nuliui, nors kampinis ir tangentinis pagreičiai nėra lygūs nuliui.
• Kai spindulys nekinta, tangentinis pagreitis yra proporcingas α, o į centrą nukreiptas pagreitis – ω kvadratui; jų kryptys yra statmenos viena kitai.
• Inercijos momentui nustatyti reikia žinoti ir masės pasiskirstymą, ir pasirinktą ašį. Jo matavimo vienetas yra kg m².
• Klasikinėje mechanikoje, kai kūnas tik sukasi apie nejudančią ašį, sukimosi kinetinė energija lygi (1/2)I, padaugintam iš kampinio greičio, išreikšto radianais per sekundę, kvadrato.