Judėjimas veikiant centrinei jėgai ir Keplerio uždavinys

Pradėkite nuo jėgos, padėties ir greičio

Padėkite 2 kg masės taškinę dalelę taške (1, 0) m, suteikdami jai greitį (0, 3) m/s. Traukos centras lieka nejudantis inercinės Dekarto atskaitos sistemos koordinačių pradžioje: į dešinę nukreipta teigiama x ašies kryptis, o į viršų – teigiama y ašies kryptis. Tegu veikia tik viena jėga, nukreipta į šį centrą, kurios modulis yra κ/r², kur r yra atstumas nuo koordinačių pradžios, o κ = 12 N m². Šiame pradiniame taške jėga yra (−12, 0) N, o pagreitis – (−6, 0) m/s². Tai tiksliai užduotos modelio reikšmės.

Centrinė jėga nukreipta išilgai tiesės, jungiančios dalelę ir pasirinktą centrą. Čia F = −(κ/r²)e_r, kur e_r yra į išorę nukreiptas radialinis vienetinis vektorius. Minuso ženklas reiškia, kad jėga yra traukos jėga. Jėgos modulis kinta priklausomai nuo r; tai nėra pastovaus pagreičio modelis. Taikome Niutono mechaniką ir laikome, kad masė pastovi, centras nejuda, kitų jėgų nėra, o r > 0.

Tai Keplerio uždavinys su nejudančiu centru ir traukos jėga, atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui. Gausime elipsę, kurios artimiausias centrui taškas yra pradinė padėtis. Tai matematinis mokomasis modelis, o ne išmatuota planetos orbita. Centras nejuda pagal prielaidą; izoliuotai dviejų kūnų sistemai reikia atskirai nagrinėti santykinį judėjimą.

Atskirkite energiją nuo impulso momento

Judesio kiekis yra p = m v. Judesio kiekio momentas nejudančios koordinačių pradžios atžvilgiu yra r × p. Centrinės jėgos momentas šios koordinačių pradžios atžvilgiu lygus nuliui, nes r ir F yra vienoje tiesėje. Todėl pagal Niutono lygtį šis judesio kiekio momento vektorius išlieka pastovus. Pradinis judesio kiekio momentas yra ℓ = +6 kg m²/s ir nukreiptas teigiama z kryptimi, statmenai brėžiniui. Teigiamas ženklas reiškia judėjimą prieš laikrodžio rodyklę. Nenulinis judesio kiekio momentas užtikrina, kad šis judėjimas veikiant centrinei jėgai vyktų vienoje plokštumoje.

Duotai nuo laiko nepriklausančiai jėgai parinkime potencinę energiją V = −κ/r, kurios nulinė vertė atitinka begalinį atstumą. Kinetinė energija yra K = m|v|²/2, o E = K + V išlieka pastovi judant pagal šio konservatyviojo modelio sprendinį. Iš pradžių K = 9 J ir V = −12 J, todėl E = −3 J. Neigiama potencinė energija atspindi pasirinktą atskaitą, o ne neigiamą greitį ar kinetinę energiją.

Šių dviejų tvermės teiginių sąlygos skiriasi. Jėgos, kuri visada išlieka radialioji, momentas nejudančios koordinačių pradžios atžvilgiu lygus nuliui, tačiau nuo laiko priklausantis jėgos dydis nebūtinai užtikrina šios E tvermę. Mūsų jėga ir potencialas aiškiai nepriklauso nuo laiko. Visur naudojame tą pačią koordinačių pradžią, jėgos dėsnį ir potencialo atskaitą.

Atskirti judėjimą nuo centro ir aplink centrą

Tarkime, kampas nuo teigiamos x ašies krypties yra θ = φ rad. Čia φ yra bedimensė skaitinė kampo vertė radianais; kryptis prieš laikrodžio rodyklę laikoma teigiama. Į išorę nukreipta radialioji greičio dedamoji yra v_r = dr/dt, o skersinė dedamoji yra v_φ = r dφ/dt. Šios dvi vietinės kryptys yra statmenos, todėl |v|² = v_r² + v_φ². Teigiama v_r vertė reiškia tolstantį nuo centro judėjimą, net ir kairėje grafiko pusėje.

Judesio kiekio momentas yra ℓ = m r v_φ = m r² dφ/dt. Taigi šiame modelyje v_φ = ℓ/(m r) = (3 m²/s)/r. Esant mažiausiam spinduliui 1 m, ši dedamoji lygi 3 m/s; esant didžiausiam spinduliui 3 m, ji lygi 1 m/s. Judesio kiekio momentas išlieka pastovus, o skersinis ir kampinis greičiai kinta.

Radialiojo judėjimo krypties pasikeitimo taške v_r lygi nuliui: atstumas nuo centro akimirkai nustoja didėti arba mažėti. Kai ℓ nenulinis, dalelė vis dar juda skersine kryptimi. Todėl spindulys, ties kuriuo pasikeičia radialiojo judėjimo kryptis, neatitinka rimties taško. Be to, dalelei judant vietinė radialioji kryptis sukasi; radialioji pagreičio dedamoji nėra vien v_r išvestinė.

Rasti galimus spindulius pagal efektinį potencialą

Į energijos išraišką įstatykime v_φ = ℓ/(m r). Gauname E = m v_r²/2 + U_eff(r), kur U_eff = ℓ²/(2 m r²) − κ/r. Kai ℓ = 6 kg m²/s yra fiksuotas, U_eff = (9 J m²)/r² − (12 J m)/r. Pirmasis narys nusako skersinio judėjimo kinetinę energiją. Tai nėra dar viena dalelę veikianti į išorę nukreipta jėga.

Radialiojo judėjimo kinetinė energija negali būti neigiama, todėl galimas spindulys turi tenkinti E ≥ U_eff. Lygybė atitinka radialiojo judėjimo krypties pasikeitimo tašką. Kai E = −3 J, ši sąlyga apriboja spindulį intervalu 1 m ≤ r ≤ 3 m. Už šio intervalo esančios vertės neatitinka duotų energijos ir judesio kiekio momento verčių, nors potencialo grafiką galima braižyti ir ten.

Kitokia energija esant tam pačiam judesio kiekio momentui leidžia atlikti naudingą palyginimą. U_eff minimumas yra −4 J ties r = 1.5 m. Pasirinkę E = −4 J ir v_r = 0, gauname apskritiminį sprendinį, kurio skersinis greitis yra 2 m/s. Į centrą nukreipta tikroji jėga suteikia reikiamą judėjimo apskritimu pagreitį. Šiam palyginimui naudojama kita orbita; elipsinėje orbitoje, kurios E = −3 J, dalelė kerta r = 1.5 m esant nenulinei v_r.

Nagrinėti orbitą ir energijos grafiką kartu

Viršutinėje diagramos dalyje vaizduojama padėtis fiksuotoje x–y plokštumoje; abiejų ašių mastelis metrais yra vienodas. Traukos centras taške (0, 0) m yra vienas iš elipsės židinių, o ne jos geometrinis centras taške (−1, 0) m. Apatinėje diagramos dalyje vaizduojama energijos priklausomybė nuo atstumo iki to židinio. Jos vertikalioji ašis žymi energiją džauliais, o ne fizinį aukštį.

Keturi apskriti žymekliai žymi kampus 0°, 90°, 180° ir 270°. Jie neatitinka vienodais laiko intervalais parinktų būsenų. Lentelėje pateiktos vietinės greičio komponentės su ženklais ties šiais kampais. Ties 90° spindulys didėja, o ties 270° – mažėja. Abiejų būsenų K, V ir E yra vienodi.

Horizontali brūkšninė energijos linija kerta U_eff ties dviem kvadratiniais radialiojo judėjimo krypties pasikeitimo taškų žymekliais. Trikampis žymi atskirą apskritiminę orbitą atitinkantį minimumą. Nubraižyta U_eff kreivė jungia taškus, atitinkančius 131 pateiktą spindulio vertę intervale 0.75 m ≤ r ≤ 4 m; jos interpoliavimo paklaida neviršija 2/225 J ir yra mažesnė nei 0.009 J. Tai braižymo aproksimacijos paklaidos riba, o ne matavimo neapibrėžtis. Viršutinė elipsė yra geometrinė orbita, o ne padėties priklausomybės nuo laiko grafikas.

Užrašykite elipsę ir patikrinkite taikymo ribas

Esant šiai duotajai būsenai, orbita yra r(φ) = (1.5 m)/(1 + 0.5 cos φ), kai 0 ≤ φ ≤ 2π. Jos ekscentricitetas yra e = 0.5, didysis pusašis a = 2 m, o mažasis pusašis b = √3 m. Lygiavertė jos lygtis Dekarto koordinatėmis yra (x + 1 m)²/(4 m²) + y²/(3 m²) = 1. Pusašis yra pusė viso elipsės pločio arba aukščio. Mažiausias ir didžiausias atstumai iki jėgos centro yra 1 m ir 3 m.

Šiai kūgio pjūvio formai būtina jėga, atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui. Kai judesio kiekio momentas nelygus nuliui, tokios jėgos sprendiniai apima elipses, kai E neigiama, parabolinį atvejį, kai E = 0, ir hiperbolinius atvejus, kai E teigiama. Čia naudojame tik aprėžtą elipsinę orbitą. Bendroji centrinė jėga nebūtinai sukuria elipsę ar uždarą aprėžtą orbitą.

Neprivaloma patikra išvestinėmis: užrašykite u = 1/r = (2 + cos φ)/(3 m). Jėgos, atvirkščiai proporcingos atstumo kvadratui, orbitos lygtis yra d²u/dφ² + u = mκ/ℓ² = 2/(3 m). Du kartus diferencijavus šį u, kosinuso nariai panaikina vienas kitą. Kartu su dφ/dt = ℓ/(m r²) tai leidžia patikrinti visą modelio orbitą, o ne tik keturias pažymėtas jos būsenas. Vien formos lygtis nenusakytų judėjimo laiko eigos; ją nusako kampinis greitis.

Susiekite formą ir laiką per nušluotą plotą

Spindulys, jungiantis traukos židinį su dalele, jai judant nušluoja plotą. Jo plotinis greitis yra dA/dt = r²(dφ/dt)/2 = ℓ/(2m) = 1.5 m²/s. Todėl šiame modelyje per vienodus laiko intervalus nušluojami vienodi plotai. Tai nereiškia vienodų kampo pokyčių, vienodų nueito kelio ilgių ar pastovaus greičio.

Visos elipsės ribojamas plotas yra πab = 2π√3 m². Padaliję jį iš 1.5 m²/s, gauname modeliuojamą periodą T = 4π/√3 s. Laikome, kad pradiniame artimiausiame taške t = 0, o vienas visas apsisukimas vyksta intervale 0 ≤ t ≤ T. Diagramoje pažymėti kampai, o ne jiems priskirti vienodais intervalais išdėstyti laiko momentai.

Elipsinėms orbitoms apie nejudantį centrą, kai jėga atvirkščiai proporcinga atstumo kvadratui ir μ = κ/m yra tas pats, galioja bendrasis ryšys T² = 4π²a³/μ. Mūsų μ yra 6 m³/s², o T²/a³ = 2π²/3 s²/m³. Lyginant būtina, kad jėgos parametras būtų bendras. Tai nėra periodo taisyklė, galiojanti bet kokioms centrinėms jėgoms.

Aiškiai nurodykite modelio ribas

Modelis turi singuliarumą ties r = 0, ir nė viena čia pateikta formulė tame taške netaikoma. Nenulinis ℓ ir duota neigiama energija užtikrina, kad šios orbitos spindulys lieka tarp 1 m ir 3 m. Radialinį judėjimą, kai judesio kiekio momentas lygus nuliui, judančius traukiančius kūnus, papildomas jėgas ir reliatyvistines pataisas reikia nagrinėti atskirai.

Tikslūs skaičiai leidžia patikrinti apibrėžto modelio vidinį suderinamumą; jie neparodo, kaip tiksliai jis aprašo kokią nors tikrą astronominę sistemą. Pakeitus jėgos dėsnį, pasikeičia orbitos lygtis ir efektinis potencialas. Pakeitus potencialo atskaitos lygį, E ir U_eff pasislenka kartu, tačiau jėga ir sąlyga E − U_eff ≥ 0 nepasikeičia.

Palyginimas su apskritimine orbita ties efektinio potencialo minimumu yra vienas iš būdų nagrinėti lokalų klausimą. „Mažieji svyravimai ir normaliosios modos“ toliau plėtoja judėjimo šalia šios orbitos nagrinėjimą. Skaitant pirmą kartą, jėgos, dedamųjų lentelės, radialinių ribų ir spindulio vektoriaus apibrėžto ploto skaičiavimo jau pakanka išsamiam pavyzdžiui; prie patikros naudojant išvestinę galima grįžti pasirinktinai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai m = 2 kg, r = 1.5 m, o skersinė greičio dedamoji v_φ = 2 m/s, apskaičiuokite ℓ su ženklu ir dφ/dt. Teigiamą skersinę kryptį pasirinkite tokią pačią kaip pamokoje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ℓ = +6 kg m²/s, o dφ/dt = 4/3 s⁻¹.

   ℓ = m r v_φ = 2 × 1.5 × 2 = 6 kg m²/s. Radianais išreikšto kampo kitimo spartos skaitinė vertė yra v_φ/r = 2/1.5 s⁻¹; fizikinis kampinis greitis yra (4/3) rad/s. Ženklas teigiamas, nes skersinė kryptis yra teigiama.

2. Pateiktoje elipsėje didžiausiu atstumu 3 m nuo centro v_r = 0. Ar dalelė nejuda? Raskite jos greičio modulį ir kinetinę energiją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dalelė juda. Jos greičio modulis yra 1 m/s, o K = 1 J.

   v_φ = ℓ/(m r) = 6/(2 × 3) m/s = 1 m/s. Kai v_r = 0, greičio modulis yra |v_φ|. K = m v_φ²/2 = 1 J; tik radialinis atstumas pasiekia posūkio tašką.

3. Ar esant toms pačioms E = −3 J ir ℓ = 6 kg m²/s vertėms dalelė galėtų pasiekti r = 4 m? Apskaičiuokite E − U_eff, o ne vien remkitės grafiku.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. E − U_eff = −9/16 J yra neigiamas.

   U_eff(4 m) = 9/16 J − 3 J = −39/16 J. Taigi E − U_eff = −48/16 J + 39/16 J = −9/16 J, o tokia vertė negali būti radialinio judėjimo kinetinė energija. Ši išvada apie neįmanomumą taikoma pateiktoms E ir ℓ vertėms, o ne visoms galimoms būsenoms 4 m atstumu.

4. Kai ℓ = 6 kg m²/s yra fiksuotas, efektinio potencialo minimumas yra ties r = 1.5 m. Raskite judėjimo apskritimu būsenos skersinę greičio dedamąją, K, V ir E. Ar tai elipsės būsena ties 90°?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   v_φ = 2 m/s, K = 4 J, V = −8 J, o E = −4 J. Tai kita būsena nei elipsės būsena ties 90°.

   Judėjimo apskritimu būsenoje v_r = 0, o K = (2 kg)(2 m/s)²/2 = 4 J. Elipsėje ties 90° v_r = +1 m/s, todėl K yra 5 J, o E yra −3 J. Vienodas atstumas nuo centro ir vienoda skersinė greičio dedamoji nereiškia vienodo viso greičio vektoriaus ar vienodos energijos.

5. Skaitytojas keturias kampo žymas vadina „keturiais vienodais laiko tarpais užfiksuotais momentiniais vaizdais“ ir teigia, kad dėl judesio kiekio momento tvermės greičio modulis yra pastovus. Ar bent vienas iš šių teiginių pagrįstas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė vienas teiginys nėra pagrįstas.

   Žymos nurodo kampus, o ne laiko momentus. Kadangi dφ/dt = ℓ/(m r²), arčiau centro kampinis greitis yra didesnis. Skersinio greičio modulis yra ℓ/(m r), o bendras greičio modulis priklauso ir nuo v_r. Vienodi per laiko vienetą nušluojami plotai nereiškia, kad greičio modulis yra pastovus.

6. Raskite bendro greičio modulio artimiausiame taške ir bendro greičio modulio tolimiausiame taške santykį. Paaiškinkite, kodėl šiuose dviejuose taškuose pakanka paprastos skersinio greičio formulės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Santykis yra 3.

   Abu taškai yra radialinio judėjimo krypties pasikeitimo taškai, todėl v_r = 0. Greičio moduliai juose yra |v_φ| = 3 m/s ir 1 m/s. Kai ℓ ir masė tie patys, v_φ yra atvirkščiai proporcingas r; mažesnį spindulį atitinka didesnis greičio modulis.

Ką verta įsidėmėti

• Centrinės jėgos momentas jos nejudančio centro atžvilgiu lygus nuliui; pateiktos atvirkštinio kvadrato dėsnio jėgos nuo laiko nepriklausantis potencialas taip pat užtikrina energijos tvermę.
• Esant pastoviam judesio kiekio momentui, skersinis ir kampinis greičiai gali kisti; radialinio judėjimo krypties pasikeitimas nebūtinai reiškia rimtį.
• Esant fiksuotam judesio kiekio momentui, efektinis potencialas sujungia potencinę energiją su skersinės kinetinės energijos indėliu ir nustato galimas spindulio vertes.
• Ši geometrinė elipsė yra atvirkštinio kvadrato dėsnio sprendinys, kurio traukos židinys yra koordinačių pradžioje; jos kampo žymos nėra laiko momentų žymos.
• Vienodi nušluoti plotai susieja orbitos formą su laiku pagal nurodytą modelį; bendrąsias centrines jėgas ir tikrosios orbitos tikslumą reikia tikrinti atskirai.