Noether teorema ir tvarieji dydžiai

Pradėkite nuo vienos laisvosios dalelės

Pasirinkite klasikinę taškinę dalelę, kurios masė pastovi, m = 3 kg, ir kurios neveikia jokia jėga. Naudokite fiksuotą inercinę Dekarto koordinačių sistemą plokštumoje: x didėja į dešinę, y didėja į viršų, o koordinačių pradžia lieka fiksuota. Laiko intervale 0 ≤ t ≤ 2 s pasirinkite x(t) = −1 m + (2 m/s)t ir y(t) = 3 m − (1 m/s)t. Dalelės greitis pastovus: (vₓ, vᵧ) = (2, −1) m/s. Abi pagreičio komponentės lygios nuliui, kaip ir turi būti šiame modelyje, kuriame dalelės neveikia jokia jėga.

Čia impulsas yra masės ir greičio sandauga: pₓ = 6 kg m/s ir pᵧ = −3 kg m/s. „Tvarus“ reiškia, kad dydis laikui bėgant išlieka pastovus sprendinį atitinkančio judėjimo metu. Padėtis kinta, bet kiekviena impulso komponentė išlaiko savo vertę. Kyla klausimas, kaip modelio savybė leidžia mums nustatyti tokius dydžius dar neišsprendus visų galimų judėjimo atvejų.

Naudokite kinetinę energiją K = m(vₓ² + vᵧ²)/2 ir potencialiąją energiją V = 0. Šiame modelyje mechaninė energija yra E = K + V = 7.5 J. Lagranžo funkcija yra energijos dimensiją turinti funkcija L = K − V = m(vₓ² + vᵧ²)/2; veikimas yra jos integralas laiko atžvilgiu, matuojamas J s. Pirmiausia galima peržiūrėti trajektoriją, transformacijas ir lentelę. Vėliau pateikiamame trumpame bendrajame įrodyme naudojamos dalinės išvestinės ir sandaugos diferencijavimo taisyklė.

Patikrinkite tolydžiąją modelio simetriją

Pastumkime visą judėjimo eigą pastoviu atstumu a x kryptimi: X(t) = x(t) + a ir Y(t) = y(t). Visais laiko momentais naudojamas tas pats a. Greičiai nepakinta, o mūsų L nepriklauso nuo padėties, todėl jos vertė nepakinta atliekant bet kurį tokį poslinkį. Tai yra šio modelio simetrija, o ne savavališkas, nuo laiko priklausantis poslinkis.

Tolydžioji simetrija priklauso diferencijuojamai transformacijų šeimai, apimančiai tapatybės transformaciją. Baigtiniam poslinkiui galima pasirinkti a = 2 m. Jo infinitezimalioji versija aprašo pirmosios eilės pokytį, kai a kinta arti nulio. Šeima turi išlaikyti L vertę visoms artimoms padėties ir greičio argumentų vertėms; nepakanka patikrinti tik vieną trajektoriją ar vieną baigtinę parametro vertę.

Čia tai yra aktyviosios transformacijos: lyginame skirtingas judėjimo eigas tų pačių fiksuotų ašių atžvilgiu. Pastumta judėjimo eiga gali prasidėti kitoje vietoje; pasukta judėjimo eiga gali būti nukreipta kita kryptimi. Mes nejudiname ašių ir nepridedame jėgos. Lyginant pagal simetriją, transformuojamos ir galinių taškų padėtys; tai skiriasi nuo mažos variacijos, kuri tikrinant stacionarumą turi išnykti fiksuotuose galiniuose taškuose.

Susieti poslinkį su impulsu

Dalinė išvestinė aprašo pokytį keičiant vieną Lagranžo funkcijos argumentą, o kitus laikant pastoviais. Apibrėžkime pᵢ = ∂L/∂vᵢ. Šiame Dekarto koordinačių kinetiniame modelyje šie dydžiai yra įprastos impulso komponentės. Lokali Oilerio–Lagranžo lygtis yra dpᵢ/dt = ∂L/∂qᵢ, kur qᵢ žymi koordinatę, pavyzdžiui, x arba y. Mūsų laisvosios pastovios masės dalelės modeliui ji duoda m aᵢ = 0.

Kadangi L nepriklauso nuo x, ∂L/∂x = 0. Taigi sprendinyje dpₓ/dt = 0. Koordinatė, nuo kurios funkcija šitaip nepriklauso, vadinama cikline; ją atitinkantis greitis vis tiek gali būti funkcijos argumentas. Laisvajai dalelei tas pats samprotavimas taikomas ir y. Abi impulso komponentės išlieka pastovios.

Atlikus baigtinį poslinkį a = 2 m, X(t) = 1 m + (2 m/s)t ir Y(t) = 3 m − (1 m/s)t. Impulsas tebėra (6, −3) kg m/s. Tvermė reiškia pastovumą kiekviename sprendinyje; ji nereikalauja, kad kiekvienas tvarusis dydis turėtų tą pačią vertę visuose simetrija susietuose sprendiniuose.

Susieti sukimą su impulso momentu

Sukimas prieš laikrodžio rodyklę apie fiksuotą koordinačių pradžią padėtis atvaizduoja į X = x cos φ − y sin φ ir Y = x sin φ + y cos φ, o greičius pasuka pagal tą pačią formulę. Fizikinis kampas yra θ = φ rad: φ yra jo bedimensė skaitinė vertė radianais. Kiekvienam φ tapatybė cos²φ + sin²φ = 1 lemia Vₓ² + Vᵧ² = vₓ² + vᵧ². Taigi laisvosios dalelės L yra invariantinė visos sukimo transformacijų šeimos atžvilgiu.

Pirmosios eilės padėties pokytis vienetiniam φ pokyčiui ties nuliu yra (−y, x). Pagal Noether teoremą šį generatorių atitinkanti tvermės dydžio išraiška yra pₓ(−y) + pᵧx = x pᵧ − y pₓ. Pažymėkime ją J_z — tai impulso momento komponentė nurodytos koordinačių pradžios atžvilgiu, kurios ženklas teigiamas sukantis prieš laikrodžio rodyklę, o vienetai yra kg m²/s. Simbolis J_z leidžia ją atskirti nuo Lagranžo funkcijos L.

Mūsų pradinei judėjimo eigai J_z = (−1 m + (2 m/s)t)(−3 kg m/s) − (3 m − (1 m/s)t)(6 kg m/s) = −15 kg m²/s. Baigtinis posūkis 90° kampu duoda (X, Y) = (−y, x) ir impulsą (3, 6) kg m/s, o J_z lieka −15 kg m²/s. Pastumtos judėjimo eigos atveju tos pačios koordinačių pradžios atžvilgiu J_z = −21 kg m²/s; šioje judėjimo eigoje jis taip pat išlieka pastovus.

Palyginti transformuotas trajektorijas ir tvermę

Viršutinėje diagramoje pavaizduotos pradinė, pastumta ir 90° kampu pasukta judėjimo trajektorijos, kiekviena nuo 0 iki 2 s. Abiejose erdvinėse ašyse naudojamas tas pats metrais išreikštas mastelis ir parodyta tikroji nulio padėtis. Trajektorijas skiria apskritimai su ištisine linija, kvadratai su brūkšnine linija ir trikampiai su taškine linija. Vienas bendras rombas žymi pradinės trajektorijos pradžią ir pasuktos trajektorijos pabaigą taške (−1, 3) m. Čia lyginami sprendiniai, o ne vaizduojamos trys sąveikaujančios dalelės.

Apatinėje diagramoje parodyta tik pradinio judėjimo eiga laike. Jos vertikalioji ašis rodo impulsą, matuojamą kg m/s: pₓ = 6 ir pᵧ = −3 grafikai išlieka horizontalūs, nors viršuje pavaizduota padėtis keičiasi. Energijos ir impulso momento vienetai skiriasi, todėl šie dydžiai pateikiami toliau esančioje lentelėje, o ne impulso ašyje.

Linijos yra tikslios afininės judėjimo trajektorijos pateiktame intervale. Žymekliai žymi laiko momentus t = 0, 1 ir 2 s; tai nėra matavimų duomenys. Vien 90° kampu pasuktas vaizdas neįrodytų tolydžiosios simetrijos; ją patikrina aukščiau pateiktas normos skaičiavimas visiems kampams.

Kodėl Noether dydis yra pastovus

Štai pakankama formuluotė, kai laikas nekeičiamas. Tarkime, kad L turi tolydžias dalines išvestines iki antrosios eilės imtinai nagrinėjamų būsenų aplinkoje. Tarkime, kad nepriklausomųjų koordinačių kitimą aprašo du kartus tolydžiai diferencijuojamas Oilerio–Lagranžo lygčių sprendinys. Naudokime glodžią vieno parametro šeimą Qᵢ(s, q), kuriai Qᵢ(0, q) = qᵢ; s yra pastovus per visą kiekvieną judėjimo eigą, o transformuoti greičiai yra Qᵢ išvestinės laiko atžvilgiu. Reikalaukime tikslaus L invariantiškumo kiekvienai artimai būsenai ir parametro vertei.

Apibrėžkime generatorių ξᵢ = ∂Qᵢ/∂s, kai s = 0. Diferencijuodami invariantiškumo sąlygą gauname 0 = Σᵢ[(∂L/∂qᵢ)ξᵢ + pᵢ dξᵢ/dt]. Sprendiniui taikome lygybę ∂L/∂qᵢ = dpᵢ/dt. Pagal sandaugos diferencijavimo taisyklę gauname d/dt(Σᵢ pᵢξᵢ) = 0. Taigi šiomis sąlygomis C = Σᵢ pᵢξᵢ yra tvarus dydis.

Parametro matavimo vienetas yra svarbus. Kai poslinkio x kryptimi parametras a matuojamas m, ξ = (1, 0) yra bedimensis, o C = pₓ turi impulso matavimo vienetus. Kai φ yra skaitinė fazės vertė radianais, ξ = (−y, x) turi ilgio matavimo vienetus, o C = J_z – impulso momento matavimo vienetus. Tvariojo dydžio išraiška dažnai vadinamas Noether krūviu; šis pavadinimas nereiškia, kad kiekvienas toks dydis yra elektrinis krūvis.

Sąlyga, kad judėjimas būtų sprendinys, yra esminė. Į tą patį laisvosios dalelės L įstatykite bandomąsias funkcijas x_trial(t) = −1 m + (2 m/s)t + (0.5 m/s²)t² ir y_trial(t) = 3 m − (1 m/s)t. Tuomet dpₓ/dt = 3 N, nors ∂L/∂x = 0. Šis savavališkai pasirinktas judėjimas nėra sprendinys, todėl modelio poslinkio simetrija neužtikrina jo pₓ tvermės. Aukščiau pateikti simetrijos generatoriai taip pat neprivalo išnykti intervalo galuose; jais lyginami transformuoti judėjimai, o ne bandomosios variacijos su fiksuotais galiniais taškais.

Susiekite nepriklausomybę nuo laiko su energija

Apibrėžkime H = Σᵢ vᵢpᵢ − L. Pritaikę L sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę, vᵢpᵢ sandaugos išvestinės taisyklę ir Oilerio–Lagranžo lygtis, išilgai sprendinio gauname dH/dt = −∂L/∂t. Jei L nėra išreikštinės priklausomybės nuo laiko, H išlieka pastovus. Šis autonominis atvejis atskleidžia laiko poslinkio ir tvermės ryšį; jis nereikalauja, kad padėtis nekistų.

Mūsų atveju, kai kinetinė energija išreikšta fiksuotos inercinės sistemos Dekarto koordinatėmis, o potencialas nepriklauso nuo greičio, Σᵢ vᵢpᵢ = 2K, todėl H = 2K − (K − V) = K + V = E. Taigi laisvojo judėjimo energija yra E = (3 kg)[(2 m/s)² + (−1 m/s)²]/2 = 7.5 J. Kitus lagranžianus ar nuo laiko priklausantį koordinačių pasirinkimą reikia interpretuoti atskirai; H nereikėtų automatiškai tapatinti su spėjama energijos formule.

Tvermės teiginys galioja modeliuojamame intervale. Baigtinis užregistruoto judėjimo laiko intervalas ar nurodyti galinių taškų duomenys savaime nereiškia, kad paslinkus įrašą gaunamas tas pats kraštinių sąlygų uždavinys. Modelio išreikštinę priklausomybę nuo laiko ir numatytus duomenis tikrinkite atskirai.

Pakeiskite modelį ir vėl patikrinkite simetriją

Kitam pavyzdžiui pasirinkime L = m(vₓ² + vᵧ²)/2 − ky²/2, kur m = 3 kg ir k = 12 N/m. Potencialas išskiria y kryptį. Poslinkis x kryptimi vis dar palieka L nepakitusį, o dpₓ/dt = 0. Tačiau dpᵧ/dt = −ky: kai y = 0.5 m, ši išvestinė lygi −6 N. Impulsas y kryptimi bendruoju atveju neišlieka pastovus.

Kai momentinė būsena yra (x, y) = (1, 0.5) m ir (vₓ, vᵧ) = (2, 0) m/s, K = 6 J ir V = 1.5 J, todėl L = 4.5 J. Pasukite šią būseną 90° kampu: greičio modulis nepakinta, bet Y = 1 m, todėl V = 6 J ir L = 0. Tai paneigia šio L invariantiškumą posūkiams bet kokiu kampu. Jis tebėra nepriklausomas nuo laiko, todėl išilgai jo sprendinių įprastinė mechaninė energija išlieka pastovi. Šie momentiniai patikrinimai neapibrėžia visos spyruoklės judėjimo trajektorijos.

Naudojome glodaus baigtinio matmens L tikslų invariantiškumą nekeisdami laiko. Bendresnės Noether teoremos formuluotės gali leisti pokyčius, lygius pilnajai išvestinei laiko atžvilgiu, atitinkamai pakeitus tvariojo dydžio išraišką. Mūsų tikslaus invariantiškumo kriterijaus neatitikimas neleidžia klasifikuoti visų apibendrintų simetrijų. Vien diskrečiosioms simetrijoms, savavališkiems ryšiams, disipacinėms taisyklėms ir laukų ar kalibracinėms teorijoms reikia atskiros analizės. Kitoje pamokoje „Judėjimas veikiant centrinei jėgai ir Keplerio uždavinys“ tvermė taikoma konkrečiame jėgos modelyje.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradinės laisvojo judėjimo eigos atveju raskite pₓ, pᵧ ir E laiko momentu t = 2 s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   pₓ = 6 kg m/s; pᵧ = −3 kg m/s; E = 7.5 J.

   Greitis išlieka (2, −1) m/s. Impulsą apskaičiuokite padauginę iš 3 kg, o energiją – pagal formulę m(vₓ² + vᵧ²)/2; vėlesnė padėtis nekeičia šių laisvojo judėjimo modelio verčių.

2. Vietoj to paslinkite pradinę judėjimo eigą x kryptimi per a = −1 m, nekeisdami koordinačių pradžios. Kokia yra J_z vertė šioje judėjimo eigoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   J_z = −12 kg m²/s; ši vertė išlieka pastovi paslinktoje judėjimo eigoje.

   Dėl poslinkio x pᵧ − y pₓ pakinta dydžiu a pᵧ = (−1 m)(−3 kg m/s) = +3 kg m²/s. Pridėkite jį prie pradinės vertės −15 kg m²/s. Tai aktyvusis judėjimo eigos poslinkis, o ne koordinačių pradžios pakeitimas.

3. Kokios yra pₓ, pᵧ, E ir J_z vertės po 90° posūkio?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   pₓ = 3 kg m/s; pᵧ = 6 kg m/s; E = 7.5 J; J_z = −15 kg m²/s.

   Posūkis transformuoja greitį į (1, 2) m/s. Impulso komponentės pasikeičia, tačiau šis orientaciją išlaikantis plokštumos posūkis nekeičia greičio modulio kvadrato ir impulso momento komponentės nekintančios koordinačių pradžios atžvilgiu.

4. Kokios yra įrodymo skyriuje pateiktos savavališkos bandomosios trajektorijos x_trial impulso pₓ vertė laiko momentu 1 s ir dpₓ/dt vertė? Ar laisvosios sistemos modelio poslinkių simetrija reikalauja, kad šios trajektorijos pₓ išliktų pastovus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   pₓ = 9 kg m/s, o dpₓ/dt = 3 N. Ne: ši bandomoji trajektorija netenkina judėjimo lygčių.

   Jos greitis x kryptimi yra 2 m/s + (1 m/s²)t, o pagreitis x kryptimi yra 1 m/s². Padauginkite iš 3 kg. Netenkinama teoremos sąlyga, kad trajektorija būtų judėjimo lygčių sprendinys, nors laisvosios sistemos Lagranžo funkcija vis dar pasižymi poslinkių simetrija.

5. Ar tik y kryptimi veikiančios spyruoklės modelyje pastovus poslinkis x kryptimi palieka L nepakitusį? Kurios impulso komponentės kitimo greitis lygus nuliui, kai y = 0.5 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip. dpₓ/dt = 0, o dpᵧ/dt = −6 N.

   Potencialas priklauso nuo y, o ne nuo x. Koordinatė x yra ciklinė, o y – ne. Tolydžioji poslinkių x kryptimi simetrija nereikalauja, kad impulso y komponentė išliktų pastovi.

6. Spyruoklės būseną (1, 0.5) m pasukus 180° kampu, ky²/2 = 1.5 J lieka nepakitusi. Ar vien to pakanka tolydžiajai sukimosi simetrijai ir J_z tvermei nustatyti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Lygybės vienam diskrečiam kampui nepakanka; 90° kampu pasuktos būsenos potencinė energija yra 6 J.

   Tikslaus invariantiškumo formuluotei reikia tolydžiosios transformacijų šeimos tapatybės aplinkoje ir invariantiškumo atitinkamiems argumentams. 90° kampo kontrpavyzdys paneigia invariantiškumą visiems kampams. Iš tiesų pradinėje būsenoje dJ_z/dt = x(−ky) = −6 N m, todėl šiame spyruoklės modelyje J_z apskritai nėra tvarus.

Ką verta įsidėmėti

• Tolydžioji modelio simetrija yra visos transformacijų šeimos ir atitinkamų argumentų savybė, o ne vienos stebimos trajektorijos savybė.
• Tvermė pagal Noether teoremą galioja tik esant pakankamam glodumui ir tenkinant judėjimo lygtis.
• Pasirinktame Dekarto koordinačių modelyje poslinkiai ir sukimai atitinkamai duoda impulsą ir impulso momentą fiksuotos koordinačių pradžios atžvilgiu; jų matavimo vienetai skiriasi.
• Dydis gali būti pastovus kiekviename sprendinyje, tačiau turėti skirtingas vertes simetrija susietuose sprendiniuose.
• Nepriklausomybė nuo laiko lemia H = Σvᵢpᵢ − L tvermę; tapatinkite šį dydį su K + V tik tada, kai tai pagrindžia kinetinės bei potencinės energijos ir koordinačių sąlygos.