Klasikinė bangos lygtis

Sekite impulsą ir vieną stygos tašką

Idealia įtempta styga į dešinę sklinda nedidelis į viršų nukreiptas impulsas. Jo viršūnė pradeda judėti ties x = 0 m ir pasiekia x = 2 m laiko momentu t = 1 s. Stygos taškas, pažymėtas x = 1 m, pakyla ir nusileidžia, kai pro jį praeina impulsas. Ar šis taškas juda į dešinę kartu su viršūne?

Koordinatę x pasirinkite išilgai nesutrikdytos stygos, teigiamą kryptį nukreipdami į dešinę, o skersinį poslinkį y laikykite teigiamu į viršų. Taikant pasirinktą artinį, kiekvienas stygos medžiagos taškas išlaiko savo pusiausvyros išilginę koordinatę x ir juda tik skersine kryptimi. Judanti viršūnė žymi profilio ypatybę, o ne vieną judantį stygos medžiagos tašką.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ pateikia paskelbtą parengiamąją medžiagą apie vienetus, funkcijas ir lenteles. Pradėkite nuo toliau pateiktos impulso formulės, vaizdų atskirais laiko momentais ir lentelės. Reikiami lauko ir kitimo spartos žymėjimai įvedami čia.

„Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“ yra neprivalomi grįžimo keliai tiesioginiam lygties patikrinimui. Pirmiausia galite palyginti grafikus ir pradinių duomenų atvejus, o tada grįžti prie šio patikrinimo. Stygos dydžių vertės pateiktos kaip tikslios idealaus modelio vertės, o ne išmatuotos laboratorijoje.

Aprašykite lauką erdvėje ir laike

Funkcija y(x,t) kiekvienam stygos taškui, pažymėtam x, ir laiko momentui t priskiria poslinkį. Kai t fiksuotas, gauname momentinį erdvinį vaizdą. Kai x fiksuotas, gauname to taško skersinio poslinkio kitimą laike. Tai du skirtingi to paties lauko pjūviai.

Žymėkime y_t = ∂y/∂t momentinį skersinį greitį esant fiksuotam x, matuojamą m/s, o y_tt = ∂²y/∂t² – skersinį pagreitį, matuojamą m/s². Dalinės išvestinės ženklas ∂ primena, kad kitą kintamąjį reikia laikyti fiksuotą. Šie dydžiai skiriasi nuo impulso viršūnės judėjimo greičio.

Esant fiksuotam t, y_x = ∂y/∂x yra bedimensis stygos nuolydis. Antroji erdvinė išvestinė y_xx nusako, kaip šis nuolydis kinta išilgai x, ir matuojama m⁻¹. Vien teigiamas poslinkis nenulemia nei nuolydžio, nei greičio ženklo.

Išveskite stygos lygtį ir bangos greitį

Nustatykime pastovią įtempimo jėgą T = 0.4 N ir vienodą ilginį masės tankį μ = 0.1 kg/m, apibrėžtą pagal pusiausvyros padėties koordinates. Styga yra idealiai lanksti ištisinė terpė, paklūstanti Niutono dėsniams: lenkiamojo standumo, sunkio, paskirstyto išorinio poveikio, slopinimo ir dispersijos nepaisoma. Mažus nuolydžius ir skersinį judėjimą nagrinėkime tiesiniu artiniu.

Trumpos stygos atkarpos, kurios ilgis pusiausvyros padėtyje yra Δx, masė lygi μΔx. Šiame artinyje skersinių įtempimo jėgos dedamųjų skirtumas lygus T, padaugintai iš nuolydžių abiejuose atkarpos galuose skirtumo. Padaliję šią jėgų balanso lygtį iš Δx ir perėję prie ribos, kai atkarpos ilgis artėja prie nulio, gauname μy_tt = Ty_xx.

Taigi pasirinkta klasikinė bangos lygtis yra y_tt = c²y_xx, kur c = √(T/μ) yra teigiamas greičio parametras. Čia T/μ = 4 m²/s², todėl c = 2 m/s. Matavimo vienetai dera: c² ir y_xx sandauga matuojama m/s², kaip ir y_tt.

Esant nurodytoms prielaidoms, ši lygtis sieja vietinį pagreitį su vietiniu erdviniu kreivumu. Ji neteigia, kad kiekviena reali banga sklinda šiuo greičiu arba kad konkreti pradinė forma be papildomų duomenų lemia savo judėjimą.

Apibrėžkite kompaktišką sklindantį impulsą

Tegu A = 0.02 m ir ℓ = 1 m. Apibrėžkime bedimensį profilį F(z) = (1 − z²)³, kai |z| ≤ 1, ir F(z) = 0, kai |z| > 1. Žymėjimas |z| reiškia neneigiamą z modulį. Šis profilis didžiausią reikšmę įgyja ties z = 0 ir susijungia su nuline šaka ties z = ±1.

Apibrėžkime y(x,t) = A F((x − ct)/ℓ) visiems realiesiems x ir 0 ≤ t ≤ 1 s. Argumentas (x − ct)/ℓ yra bedimensis. Kad laikui didėjant šis argumentas nekistų, x turi padidėti dydžiu, lygiu c ir laiko pokyčio sandaugai: forma slenka į dešinę 2 m/s greičiu.

Viršūnė yra ties x = ct, o jos poslinkis y = A. Poslinkis gali būti nenulinis tik tarp x = ct − ℓ ir x = ct + ℓ; abiejuose šio intervalo galuose ir už jo ribų jis tiksliai lygus nuliui. Tai kompaktiškas impulsas, kuriam nenurodytas nei periodas, nei bangos ilgis.

Palyginkite momentinius vaizdus ir vieną fiksuotą žymą

Viršutiniame grafike lyginamas laukas laiko momentais t = 0 s, 0.5 s ir 1 s. Jo horizontalioji ašis rodo stygos taško žymą metrais. Trys pažymėtos keteros yra ties x = 0 m, 1 m ir 2 m; visų jų y = 0.02 m.

Apatiniame grafike x = 1 m išlieka pastovus, o laikas kinta. Jo horizontalioji ašis rodo laiką sekundėmis. Iš pradžių taško y = 0 m, laiko momentu t = 0.5 s jis pasiekia y = 0.02 m, o laiko momentu t = 1 s grįžta į y = 0 m. Jo išilginė žyma visą laiką išlieka 1 m.

Laiko momentais t = 0.25 s ir 0.75 s šio taško poslinkis yra vienodas, 0.0084375 m, tačiau jo skersiniai greičiai yra priešingų krypčių. Laiko momentu t = 0.5 s jo skersinis greitis lygus nuliui, nors ketera toliau juda į dešinę 2 m/s greičiu. Nulinis greitis vienu laiko momentu nereiškia, kad taškas nejudėjo visą laiko intervalą.

Erdviniame grafike skersinis poslinkis sąmoningai padidintas išilginio atstumo atžvilgiu. Vadovaukitės ašių žymomis, o ne laikykite nubrėžtą kampą tikruoju stygos kampu. Abiejuose grafikuose naudojamas tas pats vertikalaus poslinkio mastelis; jų horizontaliosios ašys rodo skirtingus dydžius.

Pradinė forma nenulemia pradinio greičio

Kai t = 0, pateikto į dešinę sklindančio lauko forma yra A F(x/ℓ), o greitis – y_t(x,0) = −(Ac/ℓ)F′(x/ℓ). Čia F′ yra išvestinė bedimensio argumento atžvilgiu. Pradinis greitis yra funkcija visoje stygoje, o ne vien vertė keteroje.

Kito sprendinio, y_left(x,t) = A F((x + ct)/ℓ), pradinė forma tokia pati, tačiau pradinis greitis priešingas. Jo ketera juda į kairę. Dar vienas sprendinys yra y_rest(x,t) = (A/2)[F((x − ct)/ℓ) + F((x + ct)/ℓ)]. Jo pradinė forma taip pat yra A F(x/ℓ), tačiau pradinis greitis visur lygus nuliui: abu greičio dėmenys panaikina vienas kitą.

Taip paleidus stygą iš rimties būsenos, kai t = 0.5 s, dviejų mažesnių impulsų keteros yra ties x = −1 m ir +1 m, o kiekvienos jų aukštis yra y = 0.01 m. Tuo tarpu pradinio į dešinę sklindančio sprendinio vertė ties x = 1 m yra y = 0.02 m. Taigi ta pati pradinė nuotrauka neleidžia nustatyti, kuri iš šių trijų kitimo eigų buvo pateikta.

Patikrinkite lygtį ir sandūrose

Norėdami tiesiogiai patikrinti diferencijuodami, pažymėkime z = (x − ct)/ℓ. Profilio viduje F′(z) = −6z(1 − z²)² ir F″(z) = −6 + 36z² − 30z⁴. Brūkšnelis žymi išvestinę z atžvilgiu; F″ yra antroji tokia išvestinė.

Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname y_t = −(Ac/ℓ)F′(z), y_tt = (Ac²/ℓ²)F″(z) ir y_xx = (A/ℓ²)F″(z). Kadangi c² = T/μ, įstatę gauname y_tt = c²y_xx. Už impulso ribų visi trys reiškiniai lygūs nuliui.

Ties z = ±1 funkcijos F, F′ ir F″ iš vidaus artėja prie nulio ir sutampa su nuline išorine šaka. Taigi profilis turi tolydžias pirmąją ir antrąją išvestines ir yra C² klasės, o klasikinė lygtis su antrosiomis išvestinėmis galioja ir judančiose sandūrose. Trečioji išvestinė ten turi šuolį: šiame pavyzdyje profilis nėra C³ ir nėra diferencijuojamas bet kurios eilės.

Keteroje F″(0) = −6. Kai x = 1 m ir t = 0.5 s, y_tt = −0.48 m/s², o y_t = 0 m/s. Tą akimirką taškas yra viršutiniame kraštiniame taške, o jo pagreitis nukreiptas žemyn. Pateikto sprendinio ir jo pradinių duomenų patikra nustato matematinį suderinamumą šiame modelyje; tai nėra tikros stygos matavimas.

Atsižvelkite į lygties ir vaizdavimo srities ribas

Visos tiesės modelyje nėra galo ties grafiko kraštais x = −2 m ar x = 4 m. Per visą vaizduojamą laiko intervalą visas impulso nešiklis lieka tarp −1 m ir 3 m. Baigtinei stygai reikėtų tikrųjų kraštinių sąlygų jos galuose; šiame brėžinyje jos nepateiktos.

Mažo nuolydžio sąlyga yra bedimensė. Pateikto impulso didžiausias nuolydžio modulis yra 48/(625√5), apytiksliai 0.03435. Tai suderinama su pasirinkta mažo nuolydžio aproksimacija, tačiau nepatvirtina paklaidos ribos tikrajai stygai, jos medžiagos savybėms ar eksperimentiniam matavimui.

Brėžinyje baigtinės kreivės atkarpos apytiksliai vaizduoja pateiktą tikslų lauką. Pažymėtos būsenos ir lentelė gaunamos iš tikslių formulių. Kitokia įtempimo jėga, tankis, išorinis poveikis, slopinimas, lenkiamasis standumas ar netinkamas ištisinės terpės artinys pareikalautų patikrinti arba pakeisti modelį; klasikinė bangų lygtis yra ribotos taikymo srities fizikinis modelis, o ne visoms bangoms galiojanti taisyklė.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kur yra į dešinę sklindanti ketera, kai t = 0.75 s, ir kokia yra skersinio greičio vertė su ženklu taške, kurio nekintama koordinatė x = 1 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ketera yra ties x = 1.5 m; taško su nekintama koordinate skersinis greitis yra −0.0675 m/s.

   Naudokite x_crest = ct = (2 m/s)(0.75 s). Taške su nekintama koordinate z = −1/2, todėl −(Ac/ℓ)F′(z) = −27/400 m/s. Abu atsakymai nusako skirtingus dydžius.

2. Koks yra duotasis poslinkis, kai x = 3.5 m ir t = 1 s? Ar jo nulinė vertė reiškia, kad ties x = 3.5 m yra įtvirtintas stygos galas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y = 0 m. Stygos galas ten nenurodytas.

   Argumentas yra (3.5 m − 2 m)/(1 m) = 1.5 ir nepatenka į sritį |z| ≤ 1. Profilis ten lygus nuliui, tačiau visos tiesės modelyje x tebėra taško koordinatė. Nulinis poslinkis viename taške nėra sąlyga stygos gale.

3. Pateiktoje nuotraukoje laiko momentu t = 0 s matyti, kad ties x = 0.5 m poslinkis y = 0.0084375 m. Ar ši vertė leidžia atskirti į dešinę sklindančios bangos, į kairę sklindančios bangos ir paleidimo iš rimties atvejus? Palyginkite jų pradinius greičius šiame taške.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Jų pradiniai greičiai šiame taške yra atitinkamai +0.0675 m/s, −0.0675 m/s ir 0 m/s.

   Visais trimis atvejais pradinis poslinkis yra A F(x/ℓ). Kai z = 1/2, F′ = −27/16. Į dešinę ir į kairę sklindančių bangų išvestinių ženklai priešingi, o pusė jų sumos lygi nuliui. Nuotrauka suteikia poslinkio informaciją, bet ne trūkstamą greičio lauką.

4. Impulso argumente pakeiskite x − ct į x + ct. Kur yra jo viršūnė laiko momentu t = 0.5 s ir ar tai reiškia išilginį medžiagos judėjimą į kairę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jo viršūnė yra ties x = −1 m. Tai nereiškia išilginio medžiagos judėjimo.

   Maksimumui būtina sąlyga x + ct = 0, taigi x = −ct. Taikant tą patį skersinio judėjimo artinį, stygos taškų išilginės koordinatės tebėra tokios kaip pusiausvyros padėtyje. Ženklo pakeitimas nustato sklindančio profilio elemento kryptį.

5. Kai x = 1 m ir t = 0.5 s, naudodamiesi F″(0) = −6 raskite y_xx ir y_tt. Ar nulinis skersinis greitis šiame taške prieštarauja lygčiai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y_xx = −0.12 m⁻¹ ir y_tt = −0.48 m/s². Nulinis greitis neprieštarauja nenuliniam pagreičiui.

   Apskaičiuokite (A/ℓ²)(−6) = −0.12 m⁻¹. Padauginę iš c² = 4 m²/s², gauname −0.48 m/s². Lygtis sieja pagreitį ir erdvinį kreivumą; judėjimo krypties pasikeitimo momentu momentinis greitis gali būti nulinis.

6. Profilio trečioji išvestinė turi šuolį ties z = ±1. Ar dėl to šis tiesioginis klasikinės bangų lygties patikrinimas, naudojant antrąsias išvestines, tampa netinkamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. F, F′ ir F″ tolydžiai pereina į nulį, todėl reikalingos antrosios išvestinės ten egzistuoja ir sutampa.

   Sandūrose tiek y_tt, tiek c²y_xx yra lygūs nuliui. Tai C² klasės sprendinio patikra, o ne teiginys, kad sprendinys yra C³ klasės ar diferencijuojamas bet kiek kartų. Aukštesnės eilės išvestinės trūkio negalima painioti su būtinos išvestinės neegzistavimu.

Ką verta įsidėmėti

• Judanti bangos ketera ir fiksuota medžiagos taško žyma atsako į skirtingus klausimus; taško skersinio judėjimo greitis nėra bangos sklidimo greitis.
• Klasikinė stygos lygtis y_tt = (T/μ)y_xx remiasi aiškiai įvardytomis prielaidomis apie ištisinę terpę, įtempimą, tankį ir mažą nuolydį.
• Pateiktas į dešinę sklindantis impulsas tenkina lygtį ir abi pradines sąlygas, taip pat ir savo C² klasės sandūrose.
• Ta pati pradinė forma gali būti susijusi su skirtingais pradiniais greičio laukais ir skirtingu vėlesniu judėjimu.
• Atkreipkite dėmesį į vienetus ir mastelius, atskirkite grafike rodomą sritį nuo fizinių ribų ir matematinę patikrą nuo atitikties realiai sistemai patikrinimo.