Superpozicija, interferencija ir mušimai

Pradėkime nuo vieno fiksuoto taško

Viename idealios stygos taške dvi siūlomos poslinkio dedamosios laiko momentu t = 0 s yra po +2 mm. Jų suma yra +4 mm. Laiko momentu t = 1/2 s viena dedamoji yra −2 mm, o kita — +2 mm, todėl jų suma lygi nuliui. Sudėjus vertes su ženklais paaiškinami abu rezultatai; sudėjus jų modulius nebūtų atsižvelgta į tarpusavio panaikinimą.

Pasirinkite x ašį išilgai stygos, teigiamą kryptį nukreipdami į dešinę, o y laikykite skersiniu poslinkiu, teigiamu aukštyn nuo pusiausvyros padėties. Stebėkite fiksuotą vietą x = 0 m, slenkant tikrajam laikui t. Toliau pateikti grafikai rodo kitimą laike toje vietoje, o ne stygos formą vienu laiko momentu.

„Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia reikšmių įstatymui ir grafikų skaitymui. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ parengia kosinuso ir radianais išreikštos fazės nagrinėjimui. Reikiama sudėtis ir trigonometrinė tapatybė pristatomos čia. Pirmiausia galite sekti ženklus ir lentelę su tiksliomis reikšmėmis, o tada grįžti prie formulių.

„Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ yra paskelbtas kelias, kuriuo galima grįžti prie dydžių žymėjimo. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ yra neprivalomas grįžimo kelias bangos lygčiai ir baigiamajam greičių palyginimui patikrinti. Pirmą kartą skaitant nereikia jokios vėlesnės pamokos apie bangos lygtį.

Pateikime vieną tiesinį stygos modelį

Tarkime, turime vienalytę, į abi puses be galo besitęsiančią stygą, kurios įtempimo jėga T = 0.4 N, o ilginis masės tankis μ = 0.1 kg/m. Šiame modelyje nėra atspindinčio galo, slopinimo ar dispersijos. Stygos lygtis yra y_tt = (T/μ)y_xx: apatiniai indeksai žymi antrąsias išvestines laiko arba padėties koordinatės atžvilgiu. Koeficientas T/μ = 4 m²/s² duoda teigiamą bangos greitį c = 2 m/s.

Ši lygtis tiesinė: pritaikę ją y₁ + y₂, gauname dviejų atskirų lygčių sumą. Jei abu laukai tenkina šią lygtį, ją tenkina ir jų suma. Taip pat reikia sudėti jų pradinius poslinkius ir pradinius skersinius greičius. Superpozicija reiškia tokį suderinamų laukų sudėjimą, kai galioja tiesinė lygtis; ji neleidžia sudėti savavališkų skirtingų ar netiesinių modelių sprendinių.

Tegu A = 0.002 m = 2 mm. Duotos bangos y₁(x,t) = A cos(k₁x−ω₁t) ir y₂(x,t) = A cos(k₂x−ω₂t), kur k₁ = 5π rad/m, k₂ = 6π rad/m, ω₁ = 10π rad/s ir ω₂ = 12π rad/s. Bangos skaičius k nusako fazės pokytį ilgio vienetui, o kampinis dažnis ω – fazės pokytį laiko vienetui. Abiejų bangų pradinės fazės lygios nuliui.

Trigonometrinės funkcijos argumentas yra bedimensė fazė, išreikšta radianais. Abi dedamosios tenkina ω² = c²k², o jų ω/k = 2 m/s. Todėl taškas, kuriame kx−ωt vertė išlieka pastovi, juda į dešinę. Dažnis f = ω/(2π) yra 5 Hz arba 6 Hz; bangos ilgis λ = 2π/k yra 0.4 m arba 1/3 m. Tai tiksliai apibrėžtos duotos bangos, o ne konkrečios stygos matavimo rezultatai.

Sudėkite vertes ir palyginkite fazes

Apibrėžkime τ = t/(1 s) – bedimensę skaitinę laiko vertę. Kai x = 0 m, dėl kosinuso funkcijos lyginumo minusų ženklai abiejose fazėse išnyksta: y₁ = (2 mm) cos(10πτ) ir y₂ = (2 mm) cos(12πτ). Atstojamasis poslinkis yra y = y₁ + y₂.

Interferencija apibūdina, kaip susideda dedamosios. To paties ženklo vertės sustiprina poslinkį, o priešingų ženklų vertės iš dalies arba visiškai viena kitą panaikina. Sąvokos „konstruktyvioji“ ir „destruktyvioji“ nusako šį palyginimą. Nulinė suma viename taške ir vienu laiko momentu nereiškia, kad abu dedamieji laukai visur lygūs nuliui.

Kai t = 1/4 s, pirmasis kosinusas yra cos(5π/2) = 0, o antrasis – cos(3π) = −1. Taigi y = −2 mm. Neigiamas rezultatas reiškia, kad šioje vietoje styga yra žemiau pusiausvyros padėties; jis nereiškia, kad sklindanti banga juda į kairę.

Kai dažniai ir bangos skaičiai vienodi, pastovus fazių skirtumas lemia pastovią atstojamąją amplitudę. Dviejų 2 mm amplitudės dedamųjų vienodos fazės duoda 4 mm amplitudę; priešingos fazės, besiskiriančios π, lemia visišką abiejų duotų laukų panaikinimą visur. Kai dažniai skirtingi, fazių skirtumas kinta laikui bėgant, net jei iš pradžių abi bangos buvo vienodos fazės.

Atskirkite daugiklį nuo jo modulio

Tapatybė cos a + cos b = 2 cos((a−b)/2) cos((a+b)/2) gaunama sudėjus kampų sumos ir skirtumo kosinuso formules. Pritaikę ją nejudančio stebėtojo vietoje, gauname y(t) = (4 mm)*cos(pi*tau)*cos(11*pi*tau). Šių daugiklių sandauga atkuria pradines 5 Hz ir 6 Hz dedamąsias.

B(t) = (4 mm) cos(πτ) vadinkime ženklą turinčiu moduliavimo daugikliu, o C(t) = cos(11πτ) – bedimensiu nešlio daugikliu. Tuomet y = BC. B gali būti neigiamas; jo ženklo pasikeitimas pakeičia nešlio indėlio ženklą į priešingą. Užrašius sumą kaip sandaugą, ji netampa viena grynojo 5.5 Hz dažnio banga.

Apibrėžkime M(t) = |B(t)| = (4 mm)|cos(πτ)|. Šis neneigiamas moduliacijos didumas apriboja momentinį poslinkį: −M ≤ y ≤ M. Tai gaubtinės riba, o ne pats poslinkis. Lygybė nelygybėje |y| ≤ M galima tik tada, kai M = 0 arba |C| = 1.

Pavyzdžiui, kai t = 1 s, B = −4 mm ir C = −1, todėl y = +4 mm ir M = 4 mm. Neigiamas daugiklis neprieštarauja teigiamam poslinkiui. M kvadrato matavimo vienetai būtų mm²; čia jam nepriskiriama jokia fizikinio intensyvumo, suvokiamo garsumo ar stygos energijos formulė.

Skaitykite tris sugretintus palyginimus

Pirmajame grafike parodytos dvi dedamosios su jų ženklais. Antrajame parodyta jų suma tarp plonomis linijomis pažymėtų viršutinės ir apatinės ribų +M ir −M. Trečiajame ženklą turintis daugiklis B lyginamas su jo moduliu M. Visuose grafikuose naudojami tie patys laiko ir poslinkio masteliai, todėl jų ženklus ir aukščius galima tiesiogiai palyginti.

Apskritimo, kvadrato ir rombo kontūrai žymi pasirinktas tikslias būsenas, kai t = 0, 1/2, 1, 3/2 ir 2 s. Kai dedamųjų vertės sutampa, mažesnis kvadratas uždengia dalį apskritimo kontūro; išorinis apskritimo kraštas ir kvadratas lieka atskiriami. Kreivės sudarytos iš trumpų tiesės atkarpų, kuriomis aproksimuojamos analizinės funkcijos. Tai pateiktos modelio vertės, o ne matavimų imtys.

Lentelėje pateiktos būsenos kas ketvirtį sekundės ir penkiais pažymėtais laiko momentais. Kai t = 1/4 s, |y| = 2 mm, o M = 2√2 mm. Taigi momentinis poslinkis nebūtinai pasiekia gaubtinę. Kai t = 1/2 s, B = M = y = 0, nors abi dedamosios yra nenulinės ir priešingos.

Mušimų skaičiavimas pagal nurodytą susitarimą

Vienu mušimų intervalu laikykite laiką tarp gretimų M maksimumų. Čia maksimumai pasiekiami sveikaisiais sekundžių momentais, o gretimus maksimumus skiria 1 s. Pagal šį susitarimą mušimų dažnis yra |f₂−f₁| = 1 Hz. Ženklą turintis daugiklis B pasikartoja po 2 s; jo modulis pasikartoja po 1 s, nes imant absoliučiąją vertę ženklo pasikeitimas išnyksta.

Uždarajame vaizduojamame intervale 0 ≤ t ≤ 2 s yra trys maksimumai, įskaitant abu intervalo galus, bet tik du pilni intervalai tarp jų. Pusiau atvirame intervale 0 ≤ t < 2 s yra du maksimumai. Skaičiuojant viršūnes ir skaičiuojant pilnus intervalus tarp gretimų viršūnių atsakoma į skirtingus klausimus.

Ši konkreti visa bangos forma taip pat pasikartoja po 1 s: jos dedamųjų fazės padidėja 10π ir 12π, o abi šios vertės yra sveikieji 2π kartotiniai. Viena sekundė yra mažiausias teigiamas jos periodas. Tikslus pasikartojimas išplaukia iš pateiktos 5 Hz ir 6 Hz dažnių poros; jis nėra bendroji pasikartojančio moduliacijos modulio pasekmė.

Esant kitai dažnių porai, sparčioji fazė gali keistis pereinant iš vieno mušimų intervalo į kitą. Jei dviejų nenulinių dedamųjų dažnių santykis yra iracionalusis skaičius, jų baigtinė dviejų kosinusų suma neturi bendro teigiamo periodo. Todėl pasikartojanti gaubtinė apskritai nereiškia, kad visa bangos forma tiksliai pasikartoja.

Pakeiskite fazę arba amplitudę

Atskirai lygindami vienodo dažnio bangas, palikite abi amplitudes lygias 2 mm ir abu dažnius lygius 5 Hz, bet antrajai sklindančiajai dedamajai suteikite pradinę fazę +π/2. Ties x = 0 m jos indėlis yra +2 sin(10πτ) mm. Suma yra 2[cos(10πτ)+sin(10πτ)] mm = (2√2 mm) cos(10πτ−π/4). Jos amplitudė pastovi, o fazių skirtumas nekinta: dėl dažnių skirtumo atsirandančių mušimų nėra.

Atskirai lygindami nevienodų amplitudžių bangas, palikite pradinius 5 Hz ir 6 Hz dažnius bei nulines fazes, bet naudokite 3 mm ir 1 mm amplitudes. Tegul z = 10πτ ir δ = 2πτ. Pagal kosinuso sudėties formulę suma užrašoma taip: [3+cos δ] cos z mm − sin δ sin z mm. Šių dviejų koeficientų bendras neneigiamas modulis R tenkina lygybę R² = [(3+cos δ)²+sin²δ] mm² = (10+6 cos(2πτ)) mm². Taigi 2 mm ≤ R ≤ 4 mm: amplitudžių skirtumas yra apatinė riba, o amplitudžių suma – viršutinė riba.

Teigiama apatinė R riba neleidžia gaubtinei visiškai išnykti, tačiau nereiškia, kad poslinkis su ženklu niekada nebus lygus nuliui. Šiuo nevienodų amplitudžių atveju y(0) = 4 mm, o y(1/8 s) = −3√2/2 mm. Iš tolydumo išplaukia, kad tarp šių laiko momentų yra bent vienas momentas, kai poslinkis lygus nuliui, nors R išlieka ne mažesnis kaip 2 mm. Moduliacijos modulį atskirkite nuo svyruojančio realiojo poslinkio.

Išlaikykite fizikinę prasmę ir modelio ribas

Sklidimo greitis c = 2 m/s nusako, kaip į dešinę sklindantis erdvinis vaizdas pasislenka išilgai x ašies. Skersinis greitis y_t nusako judėjimą aukštyn ir žemyn fiksuotame x taške. Tai skirtingos kryptys ir skirtingi dydžiai. Ties x = 0 m ir t = 1/4 s, diferencijuodami abi dedamąsias, gauname y_t = −20π mm/s, o ne 2 m/s.

Remiamasi idealiu tiesiniu mažo nuolydžio stygos dėsniu. Didžiausia galima nuolydžių modulių suma yra A(k₁+k₂) = 11π/500, apytiksliai 0.0691. Šis skaičiavimas nesuteikia eksperimentinės paklaidos ribos, susijusios su realios stygos netiesiškumu, slopinimu, atramomis ar įtempimo pokyčiais.

Pateiktos bangos apibrėžtos visoms realiosioms x reikšmėms ir visiems t ≥ 0 s; paveiksle parodyta tik x = 0 m ir 0 ≤ t ≤ 2 s. Visoje tiesėje apibrėžti sinusoidiniai laukai neduoda baigtinės visos stygos energijos. Iš šių poslinkio grafikų nedaroma jokių išvadų apie energijos perdavimą, garsumą ar intensyvumą.

Naudinga tokia veiksmų seka: apibrėžti bendrą tiesinį modelį, sudėti suderinamus laukus atsižvelgiant į jų ženklus ir tada pasirinkti lyginamą dydį. Momentinis poslinkis, daugiklis su ženklu, neneigiamas moduliacijos modulis ir suskaičiuotas mušimų dažnis atsako į skirtingus klausimus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Naudokite pagrindinio modelio antrąjį komponentą: ω₂ = 12π rad/s ir k₂ = 6π rad/m. Raskite jo įprastąjį dažnį, bangos ilgį ir sklidimo greitį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f₂ = 6 Hz, λ₂ = 1/3 m ir c = 2 m/s į dešinę.

   Padalykite kampinį dažnį iš 2π ir naudokite λ = 2π/k. Santykis ω₂/k₂ = 2 m/s yra teigiamas pagal pateiktą fazės kx−ωt užrašymo susitarimą.

2. Pagrindiniame modelyje, kai t = 1 s, raskite B, nešlio daugiklį C, y ir M. Paaiškinkite, kodėl y yra teigiamas, nors B yra neigiamas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   B = −4 mm, C = −1, y = +4 mm ir M = 4 mm.

   cos π = −1 ir cos 11π = −1. Dviejų neigiamų daugiklių sandauga yra teigiama; absoliutusis dydis M pašalina tik B ženklą.

3. Suskaičiuokite M maksimumus uždarajame intervale 0 ≤ t ≤ 2 s, tada suskaičiuokite jame esančius pilnus mušimų intervalus nuo vieno maksimumo iki kito. Nurodykite B periodą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trys maksimumai, du pilni mušimų intervalai ir 2 s B periodas.

   Maksimumai pasiekiami ties 0, 1 ir 2 s. Gretimų maksimumų poros apibrėžia du intervalus. B pakeičia ženklą po 1 s ir pasikartoja tik po 2 s.

4. Pagrindinę porą pakeiskite pora, kurios amplitudės vienodos ir lygios 2 mm, bangos skaičiai vienodi ir lygūs 5π rad/m, o kampiniai dažniai vienodi ir lygūs 10π rad/s. Antrojo lauko pradinė fazė tegul būna π. Ar bangos viena kitą panaikina tik stebėtojo vietoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nurodytas atstojamasis laukas lygus nuliui esant bet kokiam realiajam x ir visais laiko momentais t ≥ 0 s.

   Pažymėjus z = kx−ωt, gaunama A cos z + A cos(z+π) = A cos z−A cos z = 0. Būtini vienodi bangos skaičiai ir dažniai, vienodos amplitudės ir pastovus π fazių skirtumas.

5. Lygindami nevienodų 3 mm ir 1 mm amplitudžių atvejį, apskaičiuokite R, kai t = 1/2 s, ir nustatykite, ar nenulinis R reiškia, kad poslinkis su ženklu kiekvienu laiko momentu yra nenulinis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   R(1/2 s) = 2 mm; nenulinis R neatmeta galimybės, kad poslinkis su ženklu bus lygus nuliui.

   Iš cos(2π·1/2) = −1 gaunama R² = 4 mm². Išnagrinėtame ženklo pasikeitimo pavyzdyje poslinkis tam tikru laiko momentu lygus nuliui, nors R ≥ 2 mm.

6. Kai x = 0 m ir t = 1/4 s, apskaičiuokite pagrindinės poros y_t ir palyginkite jį su sklidimo į dešinę greičiu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y_t = −20π mm/s, apytiksliai −62.83 mm/s, o c = +2 m/s išilgai stygos.

   Nejudančio stebėtojo vietoje y_t = −(20π mm/s) sin(10πτ)−(24π mm/s) sin(12πτ). Kai τ = 1/4, sinusų reikšmės yra 1 ir 0. Šis skersinio judėjimo žemyn greitis skiriasi nuo fazinio vaizdo judėjimo išilgai x ašies greičio.

Ką verta įsidėmėti

• Superpozicija pagal nurodytą tiesinį modelį sudeda suderinamus laukus, atsižvelgdama į jų ženklus.
• Vienodų amplitudžių poros atveju ženklą turintis daugiklis B, jo neneigiamas modulis M ir momentinis poslinkis y yra skirtingi dydžiai.
• Mušimams skaičiuoti reikia susitartos taisyklės; pasikartojantys stiprumo maksimumai nebūtinai reiškia, kad tiksliai pasikartoja visa bangos forma.
• Fazė ir amplitudė lemia bangų gesinimą, o sklidimo greitis ir skersinis greitis turi skirtingas fizikines reikšmes.