Susietieji osciliatoriai ir normaliosios modos

Paleiskite tris sujungtus kūnus

Trys kūnai, pažymėti A, B ir C, kurių kiekvieno masė yra 2 kg, juda viena nejudančia tiese inercinėje atskaitos sistemoje. Teigiama padėties koordinatės X kryptis yra į dešinę. Jų atskaitos padėtys, kai spyruoklės nedeformuotos, yra −2 m, 0 m ir 2 m. Dvi idealios bemasės spyruoklės jungia A su B ir B su C; kiekvienos natūralusis ilgis yra 2 m, o standumo koeficientas k = 2 N/m. Nė vienas galinis kūnas nėra pritvirtintas prie sienos.

Tegu q_A, q_B ir q_C žymi kiekvieno kūno poslinkį su ženklu nuo jo atskaitos padėties. Kai t = 0 s, nustatykite q = (0.1, −0.2, 0.1) m ir greičius v = (0.05, 0.05, 0.05) m/s. Pavyzdžiui, tikrosios pradinės padėtys yra (−1.9, −0.2, 2.1) m. Vienodi A ir C poslinkiai nereiškia, kad šie kūnai yra toje pačioje padėtyje.

Kreipiančioji nesukelia išilginės jėgos. Šiame pateiktame modelyje nėra slopinimo, trinties, išorinio žadinimo ar susidūrimų. Tiesinė spyruoklės jėga priklauso nuo pailgėjimo, skaičiuojamo natūraliojo ilgio atžvilgiu, įskaitant suspaudimą su atitinkamu ženklu. Šios tikslios lygtys padeda mokytis tam tikromis sąlygomis galiojančio modelio; realios spyruoklės tinkamas pailgėjimo intervalas nepateiktas.

Paskelbti tekstai „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ ir „Trintis, įtempimo jėga, pasipriešinimas, spyruoklės ir kontaktinės jėgos“ skirti pasirengti nustatyti jėgų ženklus. Apibrėžimai ir jėgų skaičiavimas čia pakartojami. Skaitydami pirmą kartą, sekite paleidimą, dvi judėjimo eigas ir pasirinktų poslinkių pasiskirstymo formų pavyzdžius. Paskelbti tekstai „Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai“ ir „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ yra neprivalomi grįžimo keliai, skirti glaustiems patikrinimams matricomis ir išvestinėmis. Tekste „Mažieji svyravimai ir normaliosios modos“ pateikiamas atskiras palyginimas su prie sienų pritvirtinta sistema; jo nereikia šiam paleidimo uždaviniui išspręsti.

Naudokite santykinius spyruoklių pailgėjimus

A–B spyruoklės ilgis yra 2 m+q_B−q_A, todėl jos pailgėjimas su ženklu yra q_B−q_A. Jos jėga, veikianti A, yra k(q_B−q_A), o jėga, veikianti B, yra priešingo ženklo. B–C spyruoklės pailgėjimas yra q_C−q_B. Taigi F_A = k(q_B−q_A), F_B = −k(q_B−q_A)+k(q_C−q_B) ir F_C = −k(q_C−q_B). Kiekviena jėga išreiškiama niutonais.

Paleidimo momentu pailgėjimai yra −0.3 m ir +0.3 m. Pirmoji spyruoklė stumia savo galus vieną nuo kito, o antroji traukia savo galus vieną prie kito. Trijų jėgų vertės yra (−0.6, +1.2, −0.6) N. Padaliję iš 2 kg, gauname pradinius pagreičius (−0.3, +0.6, −0.3) m/s². Vienodas pradinis greitis šių idealių spyruoklių jėgų nekeičia.

Taškas žymi išvestinę tikrojo laiko atžvilgiu: q̇ yra greitis, o q̈ – pagreitis. Pagal Niutono dėsnį q̈_A = (1 s⁻²)(−q_A+q_B), q̈_B = (1 s⁻²)(q_A−2q_B+q_C) ir q̈_C = (1 s⁻²)(q_B−q_C). Padauginus metrais išreikštą poslinkį iš s⁻², gaunama m/s².

Pagal šias lygtis trijų jėgų suma bet kuriuo laiko momentu lygi nuliui. Kai masės nekinta, bendras judesio kiekis P = 2 kg(v_A+v_B+v_C) todėl išlieka lygus pradinei vertei 0.3 kg m/s. Vidinės spyruoklės gali suteikti pagreitį atskiriems kūnams, o masės centras ir toliau juda pastoviu greičiu.

Nekintamų poslinkių formų patikra

Išbandykime kolektyvinį judėjimą q = a(t)e, kur e = (e_A,e_B,e_C) yra nenulinė, bedimensė, nekintama forma, o bendroji koordinatė a matuojama metrais. Teigiamo dažnio normaliosios modos a(t) yra sinusinė funkcija; jos nenulinių komponenčių amplitudžių santykiai su ženklais yra pastovūs. Nulinę komponentę atitinkantis kūnas šioje modoje lieka savo atskaitos padėtyje.

Forma (1, 0, −1) duoda pagreičius, proporcingus (−1, 0, +1). Taigi ä = −(1 s⁻²)a. Forma (1, −2, 1) duoda pagreičius, proporcingus (−3, +6, −3), todėl ä = −(3 s⁻²)a. Jų kampiniai dažniai yra 1 rad/s ir √3 rad/s. Antrojoje formoje vidurinio kūno amplitudė yra dvigubai didesnė už kraštinių kūnų amplitudę, o poslinkio ženklas – priešingas.

Forma (1, 1, 1) nekeičia nė vienos spyruoklės pailgėjimo ir duoda ä = 0 m/s². Jos koordinatė yra a(t) = a(0)+ȧ(0)t. Tai šios laisvosios grandinės nulinio dažnio moda, apimanti tolygų slenkamąjį judėjimą arba pastovų poslinkį. Tai nėra teigiamo dažnio periodinis svyravimas.

Grįždami prie glausto užrašo, apibrėžkime D = (1 s⁻²)[[1, −1, 0], [−1, 2, −1], [0, −1, 1]], taigi q̈ = −Dq. Tikrinama forma tenkina De = λe, kur λ yra tikrinė vertė, kurios vienetai yra s⁻²; kai λ teigiama, gauname ω = √λ, išreiškiamą atvirkštinio laiko vienetais. Čia trys formos sudaro bazę: toliau pateiktos atkūrimo formulės leidžia atkurti bet kokius tris poslinkius. Ši baigtinė patikra leidžia nedaryti prielaidos, kad kiekviena savavališka matrica turi pilną svyravimo modų rinkinį.

Judėjimo parinkimas pagal šešias pradines reikšmes

Užrašykite q = a₀(1,1,1)+a₁(1,0,−1)+a₂(1,−2,1). Tai reiškia, kad q_A = a₀+a₁+a₂, q_B = a₀−2a₂ ir q_C = a₀−a₁+a₂. Sudėję arba atėmę šias lygtis, gauname a₀ = (q_A+q_B+q_C)/3, a₁ = (q_A−q_C)/2 ir a₂ = (q_A−2q_B+q_C)/6. Diferencijavus šios formulės taip pat taikomos greičiams.

Iš pateiktų padėčių gauname pradines vertes (a₀,a₁,a₂) = (0,0,0.1) m. Iš greičių gauname (ȧ₀,ȧ₁,ȧ₂) = (0.05,0,0) m/s. Taigi antisimetrinė koordinatė a₁ išlieka lygi nuliui, slenkamąjį judėjimą nusako a₀ = (0.05 m/s)t, o a₂ = (0.1 m)cos(√3τ), kur τ = t/(1 s) yra bedimensis dydis.

Gautą judėjimą nusako q_A = q_C = [τ/20+cos(√3τ)/10] m ir q_B = [τ/20−cos(√3τ)/5] m. Kosinuso argumentas yra fazės skaitinė vertė radianais. Įstačius į jėgų lygtis, patikrinami pagreičiai, o įstačius t = 0, patikrinamos visos šešios pradinės vertės.

Modelio svyravimo formos ir dažniai priklauso nuo masių, spyruoklių ir kraštinių sąlygų. Pradiniai duomenys nustato šių formų koordinates ir fazes. Esant superpozicijai, atskiras kūnas nebūtinai svyruoja sinusoidiškai apie savo fiksuotą atskaitos padėtį; čia kiekvieno kūno poslinkis dėl slenkamojo judėjimo taip pat tolygiai didėja.

Palyginkite poslinkius prieš ir po masės centro poslinkio atėmimo

Kai masės vienodos, masės centro poslinkis yra Q = (q_A+q_B+q_C)/3 = a₀. Masės centro atskaitos padėtis, kai spyruoklės nedeformuotos, yra X = 0 m, todėl šiame pavyzdyje Q taip pat lygus tikrajai masės centro padėčiai. Apibrėžkime vidinius poslinkius r_i = q_i−Q. Čia r_A = r_C = (0.1 m)cos(√3τ), o r_B = −(0.2 m)cos(√3τ). Apatiniame grafike matyti pastovus jų santykis, atėmus slenkamojo judėjimo poslinkį.

Viršutiniame kitimo grafike mėlyni apskritimai žymi bendrą A/C poslinkio vertę, violetiniai kvadratai – B, o žali trikampiai – Q. Vienas A/C žymeklis atitinka du kūnus; vis tiek yra trys atskiri kūnai. Schemoje parodytas tik jų atskaitos išsidėstymas, kai spyruoklės nedeformuotos. Tai nėra nei pradinė būsena, nei pasirinkto laiko momento vaizdas.

Abiejuose kitimo grafikuose naudojama ta pati laiko ašis ir 300 pikselių vienam metrui mastelis. Jų horizontalios nulinio poslinkio linijos žymi fizinį nulį grafikų viduje; apačioje esančios laiko skalės yra atskiros. Atskaitos schemoje naudojamas kitoks mastelis – 145 pikselių vienam tikrosios padėties metrui. Šiuose skirtingo mastelio vaizduose lyginkite koordinačių skaitines vertes ir vienetus, o ne atkarpų ilgius.

Matematinis sprendinys apibrėžtas, kai t ≥ 0 s; brėžinyje parodytas intervalas 0 ≤ t ≤ 4 s. Jo glodžios kreivės apytiksliai pavaizduotos trumpomis atkarpomis. Pasirinkti tuščiaviduriai žymekliai žymi tikslias modelio būsenas, o ne matavimus. Ties kai kuriais atrinktais laiko momentais jų kontūrai persidengia, nes poslinkiai yra artimi; žymeklių formų legenda ir tikslių verčių lentelė išlaiko kiekvieno dydžio reikšmę.

Lentelėje c_n reiškia cos(√3n), kur n = t/(1 s) nurodytais sveikaisiais laiko momentais. Kiekviena vertė yra tiksli; iš brėžinio nesprendžiama apie skaitmenų po kablelio tikslumą.

Centro judėjimo atskyrimas nuo virpesių

Centro greitis yra Q̇ = P/(6 kg) = 0.05 m/s, o jo pagreitis lygus nuliui. O vidinių poslinkių, padaugintų iš atitinkamų masių, suma lygi nuliui. Centro judėjimas nereiškia, kad spyruoklių ilgis nekinta: jų pailgėjimai yra −(0.3 m)cos(√3τ) ir +(0.3 m)cos(√3τ).

Taigi tikrieji spyruoklių ilgiai yra 2 m−(0.3 m)cos(√3τ) ir 2 m+(0.3 m)cos(√3τ). Abu ilgiai visais laiko momentais t ≥ 0 s išlieka tarp 1.7 m ir 2.3 m, todėl A, B ir C išsidėstymo tvarka nesikeičia. Be to, visą laiką X_C−X_A = 4 m. Šios patikros pagrindžia šio sprendinio geometriją; jos nepatvirtina, kad tikros spyruoklės medžiagos dėsnis galioja šiame intervale.

Jei vienintelis pradinis poslinkis būtų (0.1,0.1,0.1) m, o bendras greitis liktų toks pat, 0.05 m/s, kiekviena q_i būtų lygi 0.1 m+(0.05 m/s)t. Nė vienos spyruoklės ilgis nesikeistų. Šis grynai slenkamasis judėjimas skiriasi nuo pagrindinio paleidimo, kuris sužadina slenkamąjį judėjimą ir vieną svyravimo formą.

Priešingai, paleidimas iš padėties q = (0.1,0,−0.1) m, kai visi greičiai lygūs nuliui, sužadina tik formą (1,0,−1). Vidurinis kūnas lieka savo atskaitos padėtyje, o kiti du juda kampiniu dažniu 1 rad/s. Grandinė nepasikeitė; jos pradiniai duomenys parinko kitokį judėjimą.

Energijos ir formų normavimo patikra

Šio neslopinamo modelio kinetinė energija yra K = Σ(2 kg/2)v_i². Spyruoklių energija yra U = (k/2)(q_B−q_A)²+(k/2)(q_C−q_B)²; ji lygi nuliui, kai spyruoklės nedeformuotos. Padauginę kiekvieną judėjimo lygtį iš atitinkamo kūno greičio ir jas sudėję, gauname d(K+U)/dt = 0: kiekvienos spyruoklės darbo sparta ir joje sukauptos energijos išvestinė viena kitą panaikina.

Pažymėjus s = sin(√3τ) ir c = cos(√3τ), pagrindiniam sprendiniui gauname K = 3/400 J+(9/50 J)s² ir U = (9/50 J)c². Pastovusis dėmuo 3/400 J yra masės centro kinetinė energija. Vidinio judėjimo kinetinė energija virsta spyruoklių energija ir atvirkščiai, o jų suma išlieka 9/50 J; visa energija yra 3/16 J. Atskirų kūnų kinetinės energijos nebūtinai yra pastovios.

Formos normavimas yra susitarimo dalykas. Jei e₂ = (1,−2,1) pakeičiama į e₂/√6, jos koordinatę padauginkite iš √6, kad q liktų tokia pati. Jos pradinė koordinatė tampa √6/10 m, o dažnis nesikeičia. Vien forma negali nustatyti fizinės amplitudės.

Pasirinktinai grįžtant prie matricų, dviejų formų skaliarinė sandauga su masių svoriais yra Σm_i e_i f_i. Trijų išvardytų formų porinės sandaugos lygios nuliui. Jų efektyviosios masės Σm_i e_i² yra atitinkamai 6 kg, 4 kg ir 12 kg. Kai q = a_j e_j ir kitų formų nėra, kinetinė energija yra (M_j/2)ȧ_j², o teigiamo dažnio modos spyruoklių energija yra (M_jω_j²/2)a_j². Šios formulės ir ortogonalumas patikrinti šiai simetrinei konservatyviajai grandinei su nekintamomis teigiamomis masėmis; neteigiama, kad jie galioja bet kokioms slopinamoms ar nesimetrinėms lygtims.

Nepamirškite sistemos ir kraštinių sąlygų

Pakeitus masę, pasikeičia ir formos patikra. Jei tik B masė tampa 4 kg, senoji forma (1,−2,1) duoda pagreičius, lygius koeficientams (−3,+3,−3) s⁻², padaugintiems iš jos koordinatės, išreikštos metrais. Kraštinių kūnų lygtys reikalauja, kad dažnio kvadratas būtų 3 s⁻², o vidurinio kūno lygtis – 3/2 s⁻². Vienas bendras dažnis negali tenkinti abiejų reikalavimų. Tačiau naujosios formos (1,−1,1) dažnio kvadratas yra 2 s⁻².

Pakeitus kraštines sąlygas, pasikeičia ir uždavinys. Prie kiekvieno kraštinio kūno pridėkite su siena sujungtą 1 N/m standumo spyruoklę, kuri kūno atskaitos padėtyje yra nedeformuota. Tuomet bendras poslinkis Q sukelia kraštinių kūnų jėgas −(1 N/m)Q, o vidurinį kūną veikianti jėga lygi nuliui. Senoji vienodo poslinkio forma neišlieka, o bendra išorinė jėga yra −(2 N/m)Q. Sistemos masės centro pagreitis tokioje bendro poslinkio būsenoje yra −(1/3 s⁻²)Q; pastovus masės centro greitis nebėra bendra išvada.

Pradinėje laisvojoje grandinėje tiesinis spyruoklės dėsnis buvo pateiktas kaip tikslus, todėl modalinis sprendinys šiame modelyje yra tikslus. Netiesiniame įrenginyje, norint pakeisti jėgas jų vietiniais tiesiniais nariais, reikėtų nurodyti pusiausvyros būseną, tinkamą mažų poslinkių intervalą ir įvertinti paklaidą. Slopinimas, išorinis žadinimas, kitokie ryšiai ar susidūrimai taip pat reikalauja naujos lygties ir modų analizės.

Naudingą patikrą galima atlikti trumpa veiksmų seka: apibrėžti sistemą ir atskaitos padėtis, išvesti santykinių jėgų išraiškas su ženklais, patikrinti kolektyvinio judėjimo pobūdį, tada panaudoti ir pradines padėtis, ir pradinius greičius. Masės centro judėjimas, dažnis, amplitudė ir sukaupta energija yra atskiri klausimai. Dvi judėjimo eigos leidžia pamatyti, į kurį iš jų atsako grafike pavaizduota koordinatė.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniu paleidimo atveju q_A = q_C bet kuriuo laiko momentu. Ar tai reiškia, kad A ir C padėtys sutampa? Raskite tikrąjį atstumą tarp jų ir kiekvienos spyruoklės ilgio kitimo intervalą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jų padėtys nesutampa. X_C−X_A = 4 m, o kiekvienos spyruoklės ilgis išlieka intervale nuo 1.7 m iki 2.3 m.

   Kūnų atskaitos padėtys skiriasi. Vienodos jų q vertės skirtume X_C−X_A susiprastina, todėl lieka 2−(−2) = 4 m. Kiekvienos spyruoklės ilgis yra 2 m plius arba minus (0.3 m)cos(√3τ), o kosinuso vertė yra tarp −1 ir 1.

2. Pradinei laisvajai grandinei nustatykite q(0) = (0.1,0.1,0.1) m ir v(0) = (0.05,0.05,0.05) m/s. Kas vyksta su spyruoklėmis ir kokie yra bendras judesio kiekis bei energija?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visiems trims kūnams q_i = 0.1 m+(0.05 m/s)t. Spyruoklės lieka nedeformuotos, P = 0.3 kg m/s, o E = 3/400 J.

   Visi pailgėjimai lygūs nuliui, todėl visi pagreičiai lygūs nuliui. Trijų kūnų kinetinių energijų suma yra 3×(2 kg/2)×(0.05 m/s)². Tai tolygus slenkamasis judėjimas, o ne teigiamo dažnio svyravimas.

3. Pagrindiniu paleidimo atveju pakeiskite e₂ = (1,−2,1) į e₂/√6. Iš kokios pradinės koordinatės vertės jį reikia padauginti, kokia yra jo efektinė masė ir ar keičiasi jo dažnis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pradinė koordinatės vertė yra √6/10 m, efektinė masė yra 2 kg, o kampinis dažnis lieka √3 rad/s.

   Koordinatės padauginimas iš √6 kompensuoja modos formos padalijimą iš √6. Jos efektinė masė yra (12 kg)/6. Todėl (2 kg/2)(3 s⁻²)(√6/10 m)² = 9/50 J, taigi išlieka ir pradinė vidinė energija, ir poslinkis.

4. Pakeiskite tik B masę į 4 kg. Ar (1,−2,1) vis dar gali būti viena nekintama normaliosios modos forma? Patikrinkite alternatyvą (1,−1,1).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ankstesnė modos forma neatitinka bendro dažnio sąlygos. Alternatyva (1,−1,1) tenkina ω² = 2 s⁻², todėl ω = √2 rad/s.

   Ankstesnės modos formos jėgų koeficientai yra (−6,+12,−6) N/m. Padalijus iš masių (2,4,2) kg, gaunama (−3,+3,−3) s⁻²; šis vektorius nėra proporcingas (1,−2,1). Alternatyvios modos formos jėgos vienam metrui yra (−4,+8,−4) N/m, o pagreičiai (−2,+2,−2) s⁻² yra lygūs jos formos vektoriui, padaugintam iš −2.

5. Pridėkite dvi pirmiau aprašytas 1 N/m standumo spyruokles, jungiančias grandinės galus su sienomis. Būsenai, kurioje kiekvienas q_i = Q, raskite bendrą išilginę jėgą ir masės centro pagreitį. Ar tolygus slenkamasis judėjimas vis dar yra nulinio dažnio modos forma?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   F_total = −(2 N/m)Q, o Q̈ = −(1/3 s⁻²)Q. Tolygus slenkamasis judėjimas nebėra šios pakeistos sistemos nulinio dažnio modos forma.

   Šioje būsenoje vidinių spyruoklių pailgėjimai lygūs nuliui, tačiau dvi prie sienų pritvirtintos spyruoklės veikia kraštinius kūnus išorinėmis jėgomis. Norėdami rasti masės centro pagreitį, padalykite šių jėgų sumą iš 6 kg. Vidurinio kūno pagreitis lygus nuliui, o kraštinių kūnų pagreičiai lygūs −(1/2 s⁻²)Q, todėl vienodas nenulinis poslinkis neužtikrina vienodo pagreičio.

6. Pagrindiniu sistemos paleidimo atveju, kai cos(√3τ) = 0, ar visa kinetinė energija tenka vidiniams svyravimams? Nurodykite masės centro judėjimo, vidinių svyravimų ir bendrąją kinetinę energiją tokiu momentu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Masės centro judėjimo kinetinė energija yra 3/400 J, vidinių svyravimų kinetinė energija yra 9/50 J, o bendroji kinetinė energija yra 3/16 J. Ne visa ji tenka vidiniams svyravimams.

   Spyruoklių pailgėjimai lygūs nuliui, todėl U = 0 J. Vidinių svyravimų sinuso kvadrato daugiklis lygus 1, tačiau pastoviu greičiu judantis masės centras išlaiko savo kinetinę energiją. Sudėjus šiuos nepersidengiančius indėlius, bendroji energija išlieka.

Ką verta įsidėmėti

• Normaliosios modos forma nusako kolektyvinio judėjimo poslinkių santykius, atsižvelgiant į jų ženklus; pradinės padėtys ir greičiai lemia jos koordinatę ir amplitudę.
• Laisvos grandinės nulinio dažnio koordinatė gali atitikti tolygų slenkamąjį judėjimą. Atėmus masės centro judėjimą, išryškėja vidiniai svyravimai.
• Pakeitus mases, atramas ar jėgų dėsnius, keičiasi modos formos tikrinimo sąlygos; išvadas apie dažnį ir energiją pateikite kartu su šiomis sąlygomis.