Kompleksiniai skaičiai ir kompleksinės eksponentinės funkcijos

Menamojo vieneto įvedimas

Realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas, todėl joks realusis skaičius netenkina x² = −1. Kompleksiniai skaičiai išplečia realiųjų skaičių aritmetiką. Įveskime menamąjį vienetą i pagal i² = −1 ir užrašykime kompleksinį skaičių pavidalu z = a + ib, kur a ir b yra realieji skaičiai. Simbolis i žymi skaičių, o ne matavimo vienetą, pavyzdžiui, metrą.

Realioji dalis yra Re z = a, o menamoji dalis yra Im z = b. Abi dalys yra realieji koeficientai. Kai z = −4 + 7i, Re z = −4, o Im z = 7, ne 7i. Realusis skaičius a taip pat yra kompleksinis skaičius a + 0i. Terminas „menamasis“ nesuteikia jo koeficientui fizinės krypties.

Kvadratas reiškia skaičiaus daugybą iš savęs. Iš i² = −1 gauname i³ = i² i = −i ir i⁴ = i² i² = 1. Taip šiame etape gaunama taisyklė, kurios reikės vėliau dauginant. Mūsų nagrinėjami skaičiavimo vien skaičiais atvejai yra tikslūs matematiniai pasirinkimai, nesusieti su jokiu fizikiniu matavimo vienetu ar teiginiu apie matavimą.

Kompleksinių skaičių vaizdavimas, sudėtis ir atimtis

Kompleksinį skaičių z = a + ib vaizduokite kompleksinėje plokštumoje sutvarkytąja pora (a, b). Horizontaliojoje realiojoje ašyje atidedama a, o jai statmenoje menamojoje ašyje – b. Taigi −4 + 7i vaizduojamas pora (−4, 7). Interpretuodami atstumus ir kampus šioje skaičių plokštumoje, abiejose koordinačių ašyse naudokite vienodą mastelį.

Sudėkite arba atimkite atitinkamus koeficientus: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) ir (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d). Mūsų pasirinktų skaičių z1 = 2 + 3i ir z2 = 1 − 2i suma yra 3 + i, o skirtumas z1 − z2 yra 1 + 5i.

Lygių kompleksinių skaičių realiosios dalys ir menamųjų dalių koeficientai yra lygūs. Vaizdavimas koordinatėmis padeda susisteminti šiuos aritmetinius veiksmus. Vien tai, kad yra dvi ašys, nereiškia, jog jos atitinka dvi fizinės erdvės kryptis; tam reikėtų atskirai nurodyti fizinę interpretaciją.

Daugyba taikant i taisyklę

Taikykite skirstomąjį dėsnį: kiekvieną pirmojo dauginamojo narį padauginkite iš kiekvieno antrojo dauginamojo nario. Tada i² pakeiskite į −1 ir sutraukite koeficientus. Taip gaunama (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Narys −bd yra būtinas.

Tai pačiai pasirinktai skaičių porai gauname (2 + 3i)(1 − 2i) = 2 − 4i + 3i − 6i² = 8 − i. Laikant i² lygiu +1, būtų gauta neteisinga realioji dalis. Sandauga paprastai skiriasi nuo rezultato, gaunamo atskirai dauginant realiąsias ir menamąsias dalis.

Dauginant iš i, a + ib virsta −b + ia, todėl jo koordinatės kompleksinėje plokštumoje tampa (−b, a). Pavyzdžiui, i(2 + 3i) = −3 + 2i. Kompleksinės plokštumos brėžinyje, kurio abiejų ašių mastelis vienodas, tai yra ketvirčio apsisukimo posūkis prieš laikrodžio rodyklę apie koordinačių pradžią. Šis teiginys susijęs su skaičiaus vaizdavimu, o ne su tvirtinimu, kad pasisuko objektas.

Jungtinis skaičius, modulis ir dalyba

Skaičiaus z = a + ib jungtinis skaičius yra z* = a − ib; žvaigždutė čia žymi jungtinio skaičiaus sudarymą. Jo menamosios dalies koeficientas pakeičia ženklą, o vaizduojamas taškas atspindimas realiosios ašies atžvilgiu. Modulis yra |z| = √(a² + b²) – neneigiamas atstumas nuo koordinačių pradžios kompleksinėje plokštumoje, kurios abiejų ašių mastelis vienodas. Kvadratinės šaknies simbolis nurodo neneigiamą šaknį. Konkrečiai, |0| = 0.

Padauginę skaičių iš jo jungtinio skaičiaus, gauname z z* = (a + ib)(a − ib) = a² + b² = |z|². Mūsų sukurtame pavyzdyje pasirinktam skaičiui z = −8 + 15i gauname z* = −8 − 15i ir |z| = √(64 + 225) = 17. Modulis 17 yra dydžio matas, o Re z = −8 yra koeficientas su ženklu. Jie atsako į skirtingus klausimus.

Norėdami padalyti iš nenulinio kompleksinio skaičiaus, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš vardiklio jungtinio skaičiaus. Jei vardiklis yra c + id, po šio veiksmo vardiklis tampa c² + d² ir yra teigiamas, kai c ir d nėra abu lygūs nuliui. Šis būdas tinka ir nenuliniam grynai realiajam arba grynai menamajam vardikliui. Dalyba iš nulio lieka neapibrėžta.

Bendrieji vienetinio apskritimo kampai

Vien stačiojo trikampio kraštinių santykiai, taikomi smailiesiems kampams, neapibrėžia mums reikalingų pagrindinių fazių. Naudokite orientuotąjį kampą, matuojamą nuo teigiamos realiosios ašies krypties: prieš laikrodžio rodyklę – teigiamą, pagal laikrodžio rodyklę – neigiamą. Jei pateiktas kampas yra θ = φ rad, φ yra jo skaitinė vertė radianais. Radianas yra kampo vienetas; kampas tebėra kitos rūšies dydis nei įprastas ilgių santykis. Visas apsisukimas yra 2π rad, tai atitinka 360°.

Bedimensėje koordinačių plokštumoje vienetinio apskritimo centras yra (0, 0), o spindulys – 1. Bet kuriai realiajai skaitinei kampo vertei radianais φ orientuotuoju kampu nusakomo taško koordinatės yra (cos φ, sin φ). Taip kosinusas ir sinusas apibrėžiami neigiamiems kampams ir kampams, didesniems už stačiojo trikampio smailųjį kampą ar visą apsisukimą. Kiekviena koordinatė yra tarp −1 ir +1, o cos² φ + sin² φ = 1.

Čia cos φ reiškia kampo, kurio skaitinė vertė radianais yra φ, kosinusą; sin φ turi atitinkamą reikšmę. Šiose formulėse argumento vertė φ ir funkcijų vertės yra bedimensiai skaičiai. Todėl ketvirčio apsisukimo kampui (π/2) rad naudojama φ = π/2, o ne φ = 90. Pridėjus 2π prie φ, vienetinio apskritimo taškas nepasikeičia. Tai matematinis susitarimas dėl kampų, o ne nurodyta raida laike.

Taikykite Eulerio formulę paisydami jos taikymo ribų

Laipsnio žymenyje pagrindas yra skaičius, kuris keliamas laipsniu, o rodiklis rašomas viršutiniu indeksu. Kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, eⁿ yra n dauginamųjų e sandauga; e⁰ = 1. Realioji eksponentinė funkcija apibrėžiama ir realiesiems laipsnio rodikliams. Jos įprastas pagrindas e yra apytiksliai 2.718282. Kompleksiniam laipsnio rodikliui reikia matematinio išplėtimo, peržengiančio kartotinio dauginimo sampratą.

Kiekvienam realiajam φ galioja įrodytas Eulerio matematinis sąryšis e^(iφ) = cos φ + i sin φ, čia φ yra ką tik įvesta bedimensė kampo radianais skaitinė vertė. Šioje pamokoje kompleksinė eksponentinė funkcija naudojama su grynai menamaisiais laipsnio rodikliais iφ. Šis sąryšis dera su įprastu eksponentinės funkcijos išplėtimu; tai nėra spėjamas fizikinis dėsnis ar teiginys, įrodytas nubraižius kelis taškus. Jo matematinis įrodymas peržengia šiai pamokai reikalingų pradinių žinių ribas.

Lentelėje pateikta e^0 = 1, e^(iπ/2) = i, e^(iπ) = −1, e^(i3π/2) = −i ir e^(i2π) = 1. Įrašę φ = π, gauname Eulerio tapatybę e^(iπ) + 1 = 0. Modulis visada yra |e^(iφ)| = √(cos² φ + sin² φ) = 1. Tai tikslios tapatybės; apskritimas iliustruoja jų vaizdavimą, bet neįrodo eksponentinio sąryšio.

Atkurkite nurodytą fizikinį dydį

Elementariuose svyravimų modeliuose pasitaiko kosinuso funkcija aprašomas poslinkis ir teigiama amplitudė. Mūsų sukurtame hipotetiniame pavyzdyje pateiktas tik skaliarinis sąryšis q(φ) = A cos φ, čia A = 0.025 m, o φ – bet kuri pateikta realioji vertė. Poslinkis q matuojamas nuo fiksuotos atskaitos padėties išilgai vienos tiesės, teigiama kryptimi laikant kryptį į dešinę. Teigiama amplitudė A yra didžiausia |q| vertė. Šios sąlygoje nustatytos vertės nėra matavimo rezultatai.

Apibrėžkite pagalbinį kompleksinį vaizdavimą W(φ) = A e^(iφ) = A cos φ + i A sin φ. Atkurkite modelio fizikinį skaliarinį dydį naudodami q = Re W. Tiek Re W, tiek Im W vienetai yra metrai, o W/A = e^(iφ) yra bedimensis dydis, nes teigiamos atskaitos amplitudės ilgio vienetai sutampa. Čia Im W yra antrasis vaizdavimui naudojamas koeficientas; jis neaprašo antros fizinės poslinkio ašies.

Kai θ = (π/2) rad, φ = π/2, W = 0 + i(0.025 m) ir q = 0 m, nors |W| = A = 0.025 m. Kai θ = π rad, q = −0.025 m. Taigi pagalbinio apskritimo modulis yra pastovus, o skaliaro absoliučioji vertė gali kisti. Nenurodytas joks φ ryšys su laiku, dažniu ar jėga. Vien šis vaizdavimas negali apibrėžti objekto trajektorijos, greičio ar fizinės priežasties.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Duotas tikslus bematis skaičius z = 6 − 11i. Nurodykite Re z, Im z ir z*. Ar į Im z įeina i?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Re z = 6, Im z = −11 ir z* = 6 + 11i. Į Im z neįeina i.

   Išraiškoje a + ib koeficientai a ir b yra realieji. Čia b = −11; pereinant prie jungtinio skaičiaus, b pasikeičia į +11.

2. Duotos tikslios bematės vertės u = −3 + 2i ir v = 5 − 7i. Apskaičiuokite u + v ir u − v.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   u + v = 2 − 5i; u − v = −8 + 9i.

   Sudėję gauname (−3 + 5) + i(2 − 7). Atėmę gauname (−3 − 5) + i[2 − (−7)]. Atimant neigiamą koeficientą, menamosios dalies koeficientas padidėja.

3. Apskaičiuokite i(−2 + 7i). Nurodykite šio skaičiaus koordinates kompleksinėje plokštumoje prieš daugybą ir po jos, nepriskirdami jokio fizinio judėjimo.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   i(−2 + 7i) = −7 − 2i. Koordinatės pasikeičia iš (−2, 7) į (−7, −2).

   Išskleidus skliaustus gaunama −2i + 7i² = −7 − 2i. Koordinačių taisyklė (a, b) → (−b, a) aprašo matematinį posūkį ketvirčiu apsisukimo, kai abiejų ašių mastelis vienodas.

4. Taikydami tiksliąją aritmetiką bedimensiams skaičiams, apskaičiuokite 1/i naudodami jungtinį kompleksinį skaičių. Ar 1/0 yra apibrėžta ir kam lygus |0|?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1/i = −i; 1/0 yra neapibrėžta; |0| = 0.

   Nenulinio vardiklio i jungtinis kompleksinis skaičius yra −i. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš −i, gaunama (−i)/(−i²) = −i. Nenulinis grynai menamasis vardiklis yra leistinas, o nulinis – ne. Modulis yra neneigiamas ir nebūtinai griežtai teigiamas.

5. Duotas kampas θ = −90°. Naudodami 1° = (π/180) rad, raskite jo skaitinę vertę radianais φ, tada apskaičiuokite e^(iφ). Kas nutinka prie φ pridėjus 2π?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   θ = (−π/2) rad, φ = −π/2, o e^(iφ) = −i. Pridėjus 2π, gaunama φ = 3π/2 ir tas pats kompleksinis skaičius −i.

   Nuo teigiamosios realiosios ašies pasisukus ketvirčiu apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę, vienetiniame apskritime pasiekiamas taškas (0, −1). Taigi cos φ = 0, o sin φ = −1. Eksponente naudojama skaitinė kampo vertė radianais, o visas apsisukimas grąžina į tą patį tašką.

6. Duotame modelyje A = 0.025 m, W = A e^(iφ) ir q = Re W. Palyginkite φ = 0 ir φ = π/2. Abiem atvejais nurodykite q ir |W|. Ar šios dvi duotos fazės leidžia nustatyti, kokiu greičiu juda kūnas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai φ = 0, q = +0.025 m, o |W| = 0.025 m. Kai φ = π/2, q = 0 m, o |W| = 0.025 m. Šios fazės neleidžia nustatyti greičio.

   Realusis koeficientas pasikeičia iš A į nulį, o pagalbinio dydžio modulis lieka A. Duotame modelyje nėra nei laiko verčių, nei fazės priklausomybės nuo laiko taisyklės, todėl fazių palyginimas nėra greičio skaičiavimas ir nesuteikia duomenų, liudijančių kūno judėjimą apskritimu.

Ką verta įsidėmėti

• Kai z = a + ib, Re z = a ir Im z = b yra realieji koeficientai; i² = −1.
• Atliekant aritmetinius veiksmus su kompleksiniais skaičiais, sujungiami koeficientai ir naudojama lygybė i² = −1; dalijant vardiklis turi būti nelygus nuliui.
• Pereinant prie jungtinio kompleksinio skaičiaus, menamosios dalies koeficientas pakeičia ženklą, o modulis √(a² + b²) yra neneigiamas.
• Kai θ = φ rad, φ yra skaitinė įvesto kampo vertė radianais; vienetinio apskritimo koordinatės apibrėžia kosinusą ir sinusą bet kuriai realiajai φ vertei.
• Eulerio formulė e^(iφ) = cos φ + i sin φ yra nustatytas matematinis sąryšis; diagrama jį iliustruoja, bet neįrodo.
• Fizinė interpretacija turi būti aiškiai nurodyta: pasirinktame skaliariniame modelyje q = Re W menamosios dalies koeficientas ir pagalbinis apskritimas nesuteikia antros fizinės ašies ar kitimo laike.