Lenkimas, sukimas ir sijų mechanika

Pradėkite nuo įtvirtintos sijos

Įsivaizduokite tiesią siją, standžiai įtvirtintą kairiajame gale, kurios laisvąjį dešinįjį galą veikia žemyn nukreipta jėga. Įtvirtinimas neleidžia įtvirtintajam galui judėti ar suktis. Sija gali būti ramybės būsenos, nors jos skaidulos ilgėja, trumpėja ir jose veikia įtempiai. Pirmiausia apskaičiuosime pusiausvyrai reikalingą vidinį momentą, o tada – vieno paprasto tamprumo modelio numatomą deformaciją.

Naudokite ilgį L = 1.5 m, stačiakampio skerspjūvio plotį b = 0.04 m, aukštį h = 0.03 m, Jungo modulį E = 100 GPa ir žemyn nukreiptos jėgos sijos gale didumą P = 24 N. Aukštis matuojamas vertikaliai, o plotis – statmenai lenkimo plokštumai. Tai mokymo tikslais nustatytos vertės. Tarkite, kad sija yra tiesi, prizminė ir vienalytė, įlinkis ir nuolydis maži, medžiagos atsakas tiesiškai tamprus, o savasis svoris ir paskirstytoji apkrova nereikšmingi.

Pasirengimui naudokitės temomis „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Temos „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ bei „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ padės nagrinėti jėgas su ženklais ir pasirinktą kūną. Reikalinga momentų pusiausvyra ir medžiagos dėsniai pristatomi čia pat. Skaitydami pirmą kartą, sekite apkrovą, įtempių ženklus, grafiką ir palyginimus. Temos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinimas“ bei „Integralai ir daugelio kintamųjų analizė“ yra neprivalomi grįžimo keliai, skirti trumpiems kreivio ir integravimo išvedimams.

Atpjautos dalies pusiausvyra

Atskaitos koordinatę x matuokite nuo įtvirtinimo link laisvojo galo, kai 0 ≤ x ≤ L. Skersinę koordinatę y ir poslinkį w laikykite teigiamais aukštyn. Todėl pridėtos galinės jėgos komponentė aukštyn yra −P. Jėgų pora sukelia sukimą, tačiau jos atstojamoji jėga lygi nuliui; išorinių jėgų porų momentus apie iš lapo plokštumos nukreiptą ašį laikykite teigiamais, kai jie veikia prieš laikrodžio rodyklę. Visos sijos pusiausvyrai būtina aukštyn nukreipta įtvirtinimo reakcijos jėga P ir prieš laikrodžio rodyklę veikiantis įtvirtinimo reakcijos momentas PL.

Perpjaukite siją ties x ir nagrinėjamu kūnu pasirinkite dešiniąją jos dalį. Vidinį skaliarinį momentą M apibrėžkite taip, kad teigiamas M šią dalį veiktų pagal laikrodžio rodyklę. Jo momentas pjūvio atžvilgiu, įvertinus ženklą, yra −M. Žemyn nukreipta galinė jėga veikia atstumu L−x nuo pjūvio ir sukuria momentą −P(L−x). Momentų pusiausvyros lygtis yra −M−P(L−x) = 0, todėl M(x) = −P(L−x). Čia M(0) = −36 N m ir M(L) = 0.

Išorinis įtvirtinimo reakcijos momentas yra +36 N m, o pagal mūsų pasirinktą pjūvio ženklų susitarimą vidinis skaliarinis momentas ties x = 0 yra −36 N m. Kiekvieną ženklą siekite su pasirinktu kūnu ir jį veikiančia jėga ar momentu. Gale jėgų pora nepridėta, todėl laisvojo galo momentas lygus nuliui; tačiau galinė jėga vis tiek lemia nenulinę skersinę jėgą. Išorinių jėgų pusiausvyra nereiškia, kad vidiniai įtempiai lygūs nuliui.

Susiekite kreivumą su pluošto įtempiu

Išilginė santykinė deformacija ε_x yra mažas santykinis pluošto ilgio pokytis išilgai sijos. Tempimo deformacija ir tempimo normalinis įtempis σ_x yra teigiami. Šiame modelyje σ_x = Eε_x. E yra medžiagos tamprumo modulis, kurio vienetas yra Pa = N/m²; jis apibūdina pateiktą tiesinį įtempio ir deformacijos ryšį.

Eulerio–Bernulio sijos kinematikoje daroma prielaida, kad skerspjūviai išlieka plokšti ir statmeni išlinkusiai neutraliajai ašiai. Kai ši ašis išilgai nepailgėja, išilginis poslinkis yra u_x = −y w′(x), todėl ε_x = −y w″(x). Brūkšnelis žymi išvestinę atskaitos koordinatės x atžvilgiu: w′ yra nuolydis, o w″ – kreivumas mažų nuolydžių artinyje. Jų vienetai yra 1 ir m⁻¹. Tai statinės sijos erdvinis aprašymas.

Simetriškame skerspjūvyje, kurio centras yra neutraliojoje ašyje, išilginių normalinių jėgų atstojamoji lygi nuliui. Apibrėžkite I = ∫_A y² dA – skerspjūvio ploto inercijos momentą lenkimo ašies atžvilgiu. Momentas su ženklu yra M = −∫_A yσ_x dA = EIw″. Todėl σ_x(x,y) = −M(x)y/I. Ten, kur M yra neigiamas, viršutinis pluoštas y > 0 yra tempiamas, o apatinis – gniuždomas. Neutraliojo pluošto y = 0 lenkimo normalinis įtempis lygus nuliui.

Šis ryšys apibūdina lenkimo normalinį įtempį. Neatsižvelgiant į šlyties deformacijos indėlį į įlinkį, skersinė jėga ir šlyties įtempis netampa lygūs nuliui. Vietiniai trimačiai įtempiai šalia idealaus įtvirtinimo ar taškinės apkrovos nepatenka į šio supaprastinto lauko aprašymo ribas.

Atskirkite medžiagą ir skerspjūvio geometriją

Mūsų stačiakampio horizontalaus ruoželio plotas yra b dy, todėl I = b∫_(−h/2)^(h/2) y² dy = bh³/12 = 9 × 10⁻⁸ m⁴. Toliau nuo neutraliosios ašies esantis plotas prisideda daugiau, nes jo indėlis dauginamas iš y². Vien skerspjūvio plotas bh neapibrėžia sijos elgsenos lenkiant; svarbi ir stačiakampio orientacija.

Lenkiamasis standumas yra EI = 9000 N m². E apibūdina medžiagos dėsnį, I – skerspjūvio geometriją, o EI juos sujungia. Nė vienas iš šių dydžių nėra sijos standumas galinės jėgos atžvilgiu: šiai gembinei sijai jis yra P/|w(L)| = 3EI/L³, o jo vienetas – N/m. I yra ploto inercijos momentas, o ne masės inercijos momentas, kurio vienetas būtų kg m².

Raskite gembinės sijos įlinkį

Naudokite EIw″ = −P(L−x). Įtvirtinimas nustato sąlygas w(0) = 0 ir w′(0) = 0: nėra nei skersinio poslinkio, nei posūkio. Integravus du kartus gaunama w′(x) = −P(Lx−x²/2)/(EI) ir w(x) = −Px²(3L−x)/(6EI). Dėl šių dviejų įtvirtinimo sąlygų integravimo konstantos lygios nuliui.

Laisvajame gale w(L) = −PL³/(3EI) = −0.003 m = −3 mm. Neigiamas ženklas reiškia kryptį žemyn. Galo nuolydis yra −PL²/(2EI) = −0.003. Įlinkio modulis didėja artėjant prie laisvojo galo, o |M| ir paviršiuje veikiančių lenkimo įtempių modulis yra didžiausi ties supaprastinto modelio įtvirtinimo riba. Viršutinio pluošto įtempis ten yra +6 MPa, o apatinio pluošto – −6 MPa.

Čia |w(L)|/L = 0.002, didžiausias nuolydžio modulis yra 0.003, o didžiausias lenkimo santykinės deformacijos modulis yra 0.00006. Šios reikšmės leidžia patikrinti, ar tenkinamos numatytos mažumo prielaidos. Jos nenustato realios medžiagos tamprumo ribos ar leistinos apkrovos. Polinomas yra tikslus pagal pateiktą statinį tiesinį sijos modelį, tačiau ir toliau galioja šio modelio apribojimai, susiję su galų konstrukcinėmis detalėmis ir medžiagos parametrų kalibravimu.

Atskiro apskrito veleno sukimas

Dabar pasirinkite atskirą pilnavidurį apskrito skerspjūvio veleną, kurio ilgis 1 m, spindulys R = 0.01 m, o šlyties modulis G = 40 GPa. Įtvirtinkite jo galą ties atskaitos koordinate z = 0 ir ties z = 1 m pridėkite sukimo momentą T = 4π N m teigiama sukimosi apie veleno ašį kryptimi. Atrama veikia priešingu sukimo momentu. Tegul φ(z) yra susisukimo kampas, teigiamas pagal dešinės rankos taisyklę didėjančio z kryptimi. Darome prielaidą, kad velenas yra vienalytis ir tiesiškai tamprus, deformacijos ir susisukimas maži, perduodamas sukimo momentas vienodas, o apskritas skerspjūvis, toliau nuo galų konstrukcinių detalių, išlieka plokščias ir nesideplanuoja.

Gretimiems skerspjūviams pasisukant vienas kito atžvilgiu, radialinės linijos taškas, esantis atstumu r nuo ašies, juda liestinės kryptimi. Inžinerinė šlyties deformacija yra γ(r,z) = rφ′(z), o medžiagos dėsnis – τ = Gγ. Čia φ′ reiškia susisukimo kampo kitimo erdvėje spartą dφ/dz, o ne kampinį greitį. Inžinerinė šlyties deformacija yra dvigubai didesnė už deformacijų tenzoriaus šlyties komponentę; naudodami G laikykitės šio susitarimo.

Atstojamasis sukimo momentas yra T = ∫_A rτ dA = Gφ′J, kur J = ∫_A r² dA yra skerspjūvio polinis inercijos momentas. Pilnaviduriam apskritam skerspjūviui J = ∫_0^(2π)∫_0^R r³ dr dθ = πR⁴/2. Taigi φ′ = T/(GJ), τ(r) = Tr/J, o vienodam velenui įtvirtinto galo sąlyga duoda φ(z) = Tz/(GJ).

Čia J = (π/2) × 10⁻⁸ m⁴ ir GJ = 200π N m². Laisvojo galo susisukimo kampas yra 0.020 rad. Paviršiaus šlyties įtempis yra 8 MPa, o paviršiaus inžinerinė šlyties deformacija – 0.0002. Ties ašimi šlyties įtempis lygus nuliui ir tiesiškai didėja iki paviršiaus. Ties puse spindulio jis yra 4 MPa. Šiame vienodame veleno vidinės dalies lauke paviršiaus įtempis nekinta išilgai z, nors φ didėja didėjant z.

G yra medžiagos modulis, o GJ – sukamasis standis. Viso veleno standumas, siejantis sukimo momentą su susisukimo kampu, yra GJ/L; jo vienetas yra N m/rad, kai kampas išlaikomas kaip atskira dydžio rūšis. Šie atskiri sijos ir veleno pavyzdžiai nepateikia universalaus ryšio E = G. Apskritam velenui skirta formulė nėra taisyklė, taikoma bet kokiems neapskritiems skerspjūviams.

Lenkimo ir sukimo palyginimas

Mėlyni apskritimai ir kreivė vaizduoja sijos poslinkį w(x), violetiniai rombai ir linija – lenkimo momentą M(x), o oranžiniai kvadratai ir linija – veleno susisukimo kampą φ(z). Žymekliai nurodo tas pačias penkias pasirinktas kiekvieno kūno atskaitos ilgio dalis, kurios naudojamos šalia esančiose lentelėse. Kreivės vaizduoja analitinius statinius laukus tarp šių lentelių eilučių; žymekliai nėra nei matavimai, nei judančios dalelės.

Vertikaliosiose ašyse pateikti dydžiai ir masteliai skiriasi. Viršutiniame grafike naudojami milimetrai, viduriniame – N m, o apatiniame – radianai. Pagal ekrane matomus jų nuolydžius negalima palyginti poslinkio su momentu ar susisukimo kampu. Pirmųjų dviejų grafikų apatinės horizontalios linijos žymi apatines ribas −3.5 mm ir −40 N m; brūkšninės pagalbinės linijos žymi jų fizikines nulines reikšmes. Veleno grafiko ašys susikerta ties nuliu. Siauruose ekranuose slinkite pačią grafiko sritį, o paaiškinimas ir lentelės prisitaikys prie ekrano pločio.

Lentelėse rodomos poslinkio, įtempio ir susisukimo kampo vertės apvalinamos iki trijų skaitmenų po kablelio. Skaičiavimuose ir grafike išlaikomos tikslios nurodyto modelio vertės; rodomi skaitmenys nereiškia tokio matavimo tikslumo.

Numatykite pokytį prieš skaičiuodami

Kai geometrija ir medžiagos mechaninės elgsenos dėsnis nekinta, padvigubinus P, padvigubėja M, w ir lenkimo įtempis. Keičiant skerspjūvį yra kitaip: kai plotis nekinta, I yra proporcingas h³, todėl galo poslinkis yra proporcingas h⁻³, o paviršiaus įtempis – h⁻², nes atstumas iki paviršiaus h/2 taip pat kinta. Padvigubinus aukštį, įlinkio modulis sumažėja aštuonis kartus, o paviršiaus įtempio modulis – keturis kartus.

Pasukus tą patį stačiakampį, b ir h susikeičia vietomis. Plotas išlieka 0.0012 m², tačiau I tampa 1.6 × 10⁻⁷ m⁴, o EI – 16000 N m². Įlinkio modulis sudaro 9/16 pradinės vertės, o lenkimo įtempio paviršiuje modulis – 3/4 pradinės vertės. Skerspjūvio orientacija keičia mechaninį atsaką net tada, kai medžiaga ir plotas lieka tie patys.

Apskritojo skerspjūvio velenui, kai T, G ir ilgis nekinta, J yra proporcingas R⁴, galo susisukimo kampas – R⁻⁴, o šlyties įtempis paviršiuje – R⁻³. Padvigubinus spindulį, susisukimo kampas sumažėja šešiolika kartų, o paviršiaus įtempis – aštuonis kartus. Šios prognozės remiasi tais pačiais nurodytais tiesiniais modeliais; nė viena nenustato saugios apkrovos ir neišplečia formulių taikymo kitai skerspjūvių grupei.

Aiškiai išlaikykite modelio taikymo ribas

Sijos koordinatės x ir y bei veleno koordinatė z nusako jų nedeformuotą atskaitos geometriją. Šie statiniai, nuo padėties priklausantys laukai nėra kitimo laike kreivės. Radianai išlaiko kampo prasmę, nors SI algebroje radianais išreikštas kampas yra bedimensis; deformacijos yra santykiniai pokyčiai, o įtempių matavimo vienetas yra Pa.

Pavyzdžiuose neatsižvelgiama į vietines įtvirtinimo ir galo apkrovos ypatybes, didelius įlinkius, plastinį tekėjimą, klupimą, suirimą, nuovargį, valkšnumą, viskoelastingumą ir dinamiką. Realių sąlygų prognozei taip pat reikia duomenų apie medžiagą, atramas, geometriją ir svarbius suirimo mechanizmus. Čia pusiausvyra, tamprusis atsakas ir skerspjūvio geometrija paaiškina pateiktus lenkimo ir sukimo laukus nurodytose jų taikymo ribose.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Duotajai sijai apskaičiuokite M ir lenkimo sukeltą normalinį įtempį ties y = −h/2, 0 ir +h/2, kai x = 0 ir x = L. Nurodykite poslinkio ir nuolydžio sąlygas įtvirtinimo vietoje ir atskirkite išorinį įtvirtinimo reakcijos jėgų dvejetą nuo M(0).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai x = 0, M = −36 N m, o įtempiai apatiniame paviršiuje, neutraliojoje ašyje ir viršutiniame paviršiuje yra atitinkamai −6, 0 ir +6 MPa. Kai x = L, M = 0, o visi trys lenkimo sukelti normaliniai įtempiai lygūs nuliui. Įtvirtinimo vietoje w(0) = w′(0) = 0; išorinio įtvirtinimo reakcijos jėgų dvejeto, veikiančio prieš laikrodžio rodyklę, momentas yra +36 N m.

   Įstatykite M = −P(L−x) į σ_x = −My/I, tempimo įtempį laikydami teigiamu. Teigiamas vidinis skaliarinis momentas M pasirinktą dešiniąją sijos dalį ties pjūviu veikia pagal laikrodžio rodyklę, o išorinis atramos jėgų dvejetas veikia visą siją. Laisvajame gale veikianti jėga vis tiek reikalauja šlyties; nulinis lenkimo sukeltas normalinis įtempis nereiškia, kad visos įtempių komponentės lygios nuliui.

2. Palikite pradinę sijos geometriją ir E, bet pakeiskite P į 48 N. Palyginkite laisvojo galo poslinkį ir didžiausią absoliučiąją lenkimo sukelto įtempio paviršiuje vertę, taikydami tas pačias nustatytas tiesines prielaidas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laisvojo galo poslinkis yra −6 mm, o didžiausia absoliučioji lenkimo sukelto įtempio paviršiuje vertė yra 12 MPa. Abiejų dydžių absoliučiosios vertės yra dvigubai didesnės už pradines.

   M, w ir σ_x yra proporcingi P, kai L, E ir skerspjūvis nekinta. Viršutinis paviršius išlieka tempiamas, o apatinis – gniuždomas. Šis santykis yra modelio prognozė, o ne įrodymas, kad dviguba apkrova yra saugi ar kad tikroji medžiaga išlieka tampri.

3. Palikite b = 0.04 m ir pradines P, L bei E vertes, bet padidinkite h nuo 0.03 m iki 0.06 m. Raskite santykius, naują laisvojo galo poslinkį ir didžiausią absoliučiąją lenkimo sukelto įtempio paviršiuje vertę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   I padidėja 8 kartus. Laisvojo galo poslinkio absoliučioji vertė tampa 1/8 pradinės vertės, todėl poslinkis yra −0.375 mm. Įtempio paviršiuje absoliučioji vertė tampa 1/4 pradinės vertės, todėl įtempis yra 1.5 MPa.

   I = bh³/12 lemia koeficientą 2³ = 8. Įlinkis proporcingas 1/I. Paviršiuje |σ_x| = |M|h/(2I), todėl, atstumui iki paviršiaus padvigubėjus, bendras koeficientas yra 2/8 = 1/4. E nekinta.

4. Pasukite pradinį stačiakampį skerspjūvį taip, kad b = 0.03 m ir h = 0.04 m, išlaikydami tas pačias P, L ir E vertes. Palyginkite I, EI, laisvojo galo poslinkį ir lenkimo sukeltą įtempį paviršiuje. Kodėl vien ploto nepakanka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   I = 1.6 × 10⁻⁷ m⁴, o EI = 16000 N m². Laisvojo galo poslinkis yra −1.6875 mm, o jo modulis sudaro 9/16 pradinio poslinkio modulio. Didžiausias paviršiaus įtempio modulis yra 4.5 MPa, arba 3/4 pradinės vertės.

   Plotas išlieka 0.0012 m², tačiau pasikeičia ploto svoris pagal y². I_new/I_old = (0.04/0.03)² = 16/9. Naujoji pusė aukščio yra 0.020 m, todėl paviršiaus įtempis turi papildomą atstumo daugiklį, o jo santykis yra (4/3)/(16/9) = 3/4.

5. Duotajam apskritojo skerspjūvio velenui raskite φ ties z = 1 m ir inžinerinę šlyties deformaciją bei šlyties įtempį ties r = R/2. Atskirkite jų vienetus ir reikšmes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laisvajame gale φ = 0.020 rad. Ties puse spindulio γ = 0.0001, o τ = 4 MPa. Deformacijų tenzoriaus šlyties komponentė yra 0.00005.

   φ′ = T/(GJ) = 0.020 rad/m. Padauginus iš ilgio gaunamas kampas, o padauginus iš spindulio – bedimensė inžinerinė šlyties deformacija. Gγ duoda įtempį, išreikštą Pa. Ties puse spindulio deformacija ir įtempis yra perpus mažesni už jų vertes paviršiuje. Kampinis greitis nenurodytas.

6. Padvigubinkite duotojo apskritojo skerspjūvio veleno spindulį iki 0.02 m, nekeisdami T, G ir ilgio. Raskite naują laisvojo galo susisukimo kampą ir paviršiaus šlyties įtempį bei jų santykius su pradinėmis vertėmis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   J padidėja 16 kartų. Laisvojo galo susisukimo kampas yra 0.00125 rad, arba 1/16 pradinės vertės. Paviršiaus šlyties įtempis yra 1 MPa, arba 1/8 pradinės vertės.

   Iš J = πR⁴/2 gauname 2⁴ = 16. Susisukimo kampas proporcingas 1/J. Paviršiaus įtempio išraiškoje T R/J yra vienas papildomas R daugiklis, todėl lieka 2/16 = 1/8. Šios priklausomybės nuo spindulio laipsnių galioja taikant tą patį apskritojo skerspjūvio veleno modelį.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš skaičiuodami vidinį momentą ar įtempį, pasirinkite pjūviu atskirtą kūno dalį ir ženklų susitarimą.
• E ir G yra medžiagos moduliai; EI ir GJ taip pat apima skerspjūvio geometriją.
• Duotoji gembė įlinksta žemyn, o jos viršutinis pluoštas yra tempiamas ten, kur momentas pagal pasirinktą ženklų susitarimą yra neigiamas.
• Apskritojo skerspjūvio velene šlyties deformacija didėja didėjant spinduliui, o susisukimo kampas kaupiasi išilgai strypo.
• Aukščio, orientacijos ir spindulio palyginimai priklauso nuo apibrėžtos skerspjūvių šeimos ir tiesinio modelio.