Plokštės, membranos ir kevalai

Sijos modelio idėją pritaikykite dviem paviršiaus kryptims

Sijos modelyje nagrinėjama viena išilginė koordinatė. Plonas paviršius turi dvi ilgas kryptis ir mažą storį. Jo vidurinis paviršius nusako medžiagos padėtį, o storio koordinatė – sluoksnius abipus jo. Plokštės pradinis vidurinis paviršius yra plokščias, o kevalo – kreivas. Membranos modelyje atsižvelgiama į paviršiaus plokštumoje veikiančias jėgas ir nepaisoma lenkimo momentų. Šie aprašymai nusako geometriją ir į modelį įtraukiamus mechaninius reiškinius, o ne tris nesusijusias medžiagų rūšis.

Pradėkite nuo dviejų atskirų plokščių apskritų paviršių, kurių spindulys a = 0.10 m ir kurie laikomi išilgai kraštų. Abu apkraukite ta pačia statine tolygiai paskirstyta normaline apkrova q = 10 Pa = 10 N/m². Kiekvienam paviršiui w žymi poslinkį apkrovos normalės kryptimi; brėžinyje teigiama kryptis yra žemyn. Plokščią atskaitos paviršių nusako w = 0, o r yra atstumas nuo jo centro. Skritulio plotas yra πa², todėl kiekvieną paviršių veikianti bendroji normalinė jėga yra qπa² = 0.1π N ≈ 0.314159 N.

Pirmasis paviršius yra vienalytė izotropinė tampri plokštė, kurios storis h = 0.50 mm, Jungo modulis E = 70 GPa, o Puasono koeficientas ν = 0.30. Šią apkrovą ji atlaiko daugiausia dėl lenkimo. Antrasis paviršius yra ideali membrana su iš anksto sudaryta tolygia izotropine tempimo jėga, tenkančia ilgio vienetui, T = 100 N/m ir nykstamai mažu lenkiamuoju standumu. Ji jau įtempta prieš pradedant veikti q, o T pokyčių nepaisoma. Nei membranos modulis, nei storis nėra duoti; tempimo jėgos iš jos įlinkio nenustatinėsime.

Pasiruošimui naudokitės straipsniu „Lenkimas, sukimas ir sijų mechanika“, kuriame aptariamas lenkimas ir atpjautos kūno dalies pusiausvyra, o E sampratai – straipsniu „Įtempis, deformacija ir Huko dėsnis“. Jėgos, tenkančios ilgio vienetui, skirtumas nuo įtempio ir reikalingos formulės pristatomi čia. Jei norite pasikartoti komponenčių žymėjimą, galite grįžti prie straipsnio „Įtempių ir deformacijų tenzoriai“; straipsnis „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ padės tikrinti išvestines. Skaitydami pirmą kartą, prieš tikrindami ketvirtąsias išvestines, sekite profilius, kraštines sąlygas ir sferos pjūvį.

Atskirkite jėgą, įtempį ir momentų atstojamąsias

Iškirpkite nedidelę plono paviršiaus juostelę. Įtempis ir toliau reiškia jėgą ploto vienetui, o jo vienetas yra Pa. Integruojant paviršiaus plokštumoje veikiantį įtempį per storį, gaunama jėga pjūvio ilgio vienetui. Kai ζ matuojamas storio kryptimi, N_xx = ∫[-h/2,h/2] σ_xx dζ. Šio dydžio vienetas yra Pa m = N/m. Kai tempimo įtempis vienodas, N_xx = σ_xx h. Per tiesų ℓ ilgio pjūvį, kuriame N_xx yra pastovus, perduodama jėga N_xxℓ.

Įtempis taip pat gali turėti pirmąjį momentą storio atžvilgiu: M_xx = ∫[-h/2,h/2] ζσ_xx dζ. Šiuo apibrėžimu nustatome jo ženklą. Tai lenkimo momentų atstojamoji, kurios vienetas yra Pa m² = N, arba, lygiaverčiai, N m vienam pjūvio ilgio metrui. Tai nėra visos sijos sukimo momentas, matuojamas N m. Pastovų M_xx padauginus iš pjūvio ilgio ℓ, gaunamas |M_xx|ℓ didumo lenkimo momentas.

Per visą storį pastovus tempimo įtempis duoda nenulinį N_xx, bet nulinį M_xx, nes skaičiuojant pirmąjį momentą teigiamos ir neigiamos ζ reikšmės viena kitą kompensuoja. Antisimetriškai tiesiškai kintantis įtempis, vienoje pusėje tempiantis, o kitoje gniuždantis, gali duoti nulinį N_xx, bet nenulinį M_xx. Bendruoju atveju plonoje konstrukcijoje abu dydžiai gali būti nenuliniai. Tie patys integralai taikomi ir kita paviršiaus kryptimi bei paviršiaus plokštumos šlyties komponentėms.

Integruojant skersinės šlyties įtempius taip pat gaunama jėga pjūvio ilgio vienetui, paprastai žymima Q. Ji gali perduoti normalinę apkrovą lenkiamoje plokštėje. Nepaisant jos indėlio į pagrindinės eilės įlinkių lauką, pusiausvyrą užtikrinanti šlyties jėga netampa lygi nuliui, kaip ir sijos modelyje.

Plokščiosios plokštelės lenkimas dviem kryptimis

Plokštelei taikykite Kirchhoffo–Love’o mažų įlinkių artinį: medžiagos linijos, statmenos viduriniam paviršiui, išlieka tiesios ir statmenos, o jų ilgio pokytis storio kryptimi ir skersinės šlyties indėlis į įlinkį nevertinami. Šiame lenkimo skaičiavime taip pat nevertinamas vidurinio paviršiaus tempimas. Plokštelės storis mažas, palyginti su a, nuolydžiai maži, o gautasis w mažas, palyginti su h. Tai supaprastintas tamprumo modelis, o ne pilnas trimatis poslinkių sprendinys.

Tegu x ir y yra plokščiame atskaitos paviršiuje, o ζ nukreipta išilgai tos pačios normalės kaip teigiamas w. Su pasisukimu suderinti pagrindinės eilės poslinkiai yra u_x = −ζw_x ir u_y = −ζw_y, kur indeksas x arba y reiškia dalinę išvestinę. Taigi ε_xx = −ζw_xx ir ε_yy = −ζw_yy. Kreivumas lemia deformacijos kitimą tolstant nuo vidurinio paviršiaus kiekviena kryptimi. Nuolydžio kitimas tarp šių dviejų krypčių taip pat gali sukelti sukamąjį atsaką.

Puasono koeficientas ν apibrėžiamas vienašio bandymo su laisvais šoniniais paviršiais metu: ν = −ε_transverse/ε_axial. Jis apibūdina skirtingų krypčių normalinių deformacijų sąsają. Pagal pagrindinės eilės izotropinio plokščiojo įtempių būvio sąryšį σ_xx = E(ε_xx + νε_yy)/(1−ν²). Įstatę išraiškas ir integravę per storį, gauname M_xx = −D(w_xx + νw_yy), kur D = Eh³/[12(1−ν²)]. Analogiškai M_yy = −D(w_yy + νw_xx). Sąsaja per ν svarbi: lenkimo atsakas viena paviršiaus kryptimi priklauso nuo kreivumo kita kryptimi. Šiuos ženklus lemia mūsų įtempių pirmojo momento apibrėžtis.

D yra plokštelės lenkiamasis standis. Jo vienetas yra Pa m³ = N m, o visos sijos EI vienetas yra N m². Kai duota h = 0.00050 m, E = 70 × 10⁹ Pa ir ν = 0.30, gauname D = 125/156 N m ≈ 0.801282 N m. Kai E ir ν nekinta, padvigubinus h, D padidėja aštuonis kartus; tai geometrinis pokytis, o ne E pokytis.

Patikrinkite vieną įtvirtintos apskritos plokštelės profilį

Idealus standus plokštelės įtvirtinimas fiksuoja ir normalinį poslinkį, ir krašto nuolydį: w(a) = 0 ir w_r(a) = 0. Glotnaus ašiai simetriško profilio centre w_r(0) = 0. Kai D pastovus ir vertinamas tik lenkimas, normalinės apkrovos lygtis yra DΔ²w = q. Čia Δw = w_xx + w_yy, o pritaikę Δ du kartus gauname Δ²w = w_xxxx + 2w_xxyy + w_yyyy. Šis ketvirtosios eilės operatorius išreiškia lenkimo pusiausvyrą dviem paviršiaus kryptimis.

Pasirinkite galimą sprendinį w_P(r) = C(a²−r²)², kur r² = x²+y². Kai r = a, jo poslinkis ir nuolydis jau yra lygūs nuliui. Išskleidus daugianarį matyti, kad Δ²w_P = 64C: trys ketvirtųjų išvestinių nariai duoda 24C, 16C ir 24C. Todėl C = q/(64D), o w_P(r) = q(a²−r²)²/(64D). Šis patikrinimas nustato koeficientą ir ženklą nesprendžiant bendrojo plokštelės kraštinių sąlygų uždavinio.

Vertė centre yra w_P(0) = qa⁴/(64D) = 0.0000195 m = 0.0195 mm. Ten ji didžiausia ir mažėja iki nulio ties kraštu. Prognozuojamo įlinkio centre ir storio santykis yra 0.039, o h/a = 0.005. Didžiausias nuolydžio modulis yra apie 0.0003002. Šios vertės leidžia patikrinti pasirinkto mažų įlinkių modelio prielaidų suderinamumą, tačiau nėra universalios tikslumo ribos.

Centre w_xx = w_yy = −4Ca² = −0.0078 m⁻¹. Todėl M_xx = M_yy = 0.008125 N. Atitinkamas σ_xx pusėje, kur ζ = +h/2, yra +6M_xx/h² = +0.195 MPa, priešingoje pusėje jis yra −0.195 MPa, o viduriniame paviršiuje lygus nuliui. Tai lenkimo įtempių pasiskirstymas: per storį integruota įrąža N_xx lygi nuliui, o pirmasis įtempių momentas nėra lygus nuliui.

Membranos apkrovą perduokite duotajai tempimo įrąžai

Membranai laikykite T = 100 N/m teigiamą ir pastovią, o lenkimo momentų nepaisykite. Dvi beveik priešingų krypčių tempimo jėgos, veikiančios mažą paviršiaus plotelį, turi normalinę atstojamąją, kai jų kryptys skiriasi. Kai nuolydžiai maži, x krypties indėlis ploto vienetui yra T w_xx, o y krypties indėlis – T w_yy. Pusiausvyra normalės kryptimi išreiškiama TΔw + q = 0, arba −TΔw = q. Ten, kur poslinkis žemyn didžiausias, kreivumų suma yra neigiama, todėl tempimas sukuria aukštyn nukreiptą grąžinamąją jėgą.

Glotniam ašiai simetriškam profiliui Δw = w_rr + w_r/r, kai r ≠ 0, o centre naudojama reguliarioji riba. Lygtis tampa (r w_r)_r = −qr/T. Vieną kartą integravę ir atmetę centre singuliarų narį, gauname w_r = −qr/(2T). Integravę dar kartą ir pritaikę fiksuoto krašto sąlygą w(a) = 0, gauname w_M(r) = q(a²−r²)/(4T).

Jos centro poslinkis yra w_M(0) = qa²/(4T) = 0.00025 m = 0.250 mm. Jos krašto nuolydis yra w_r(a) = −qa/(2T) = −0.005. Membranai, kurios lenkimo momentas nevertinamas, netaikoma plokštelės standaus įtvirtinimo sąlyga, reikalaujanti nulinio nuolydžio. Čia „įtvirtintas kraštas“ reiškia, kad normalinis poslinkis lygus nuliui; antrosios eilės lygčiai taikoma ši kraštinė sąlyga ir reguliarumo centre sąlyga.

Mažas nuolydis pagrindžia normalinės jėgos aproksimaciją, tačiau savaime nepatvirtina, kad T pokytis yra nereikšmingas. Pastovus nustatytas pradinis įtempimas yra atskira šio pavyzdžio prielaida. Iš pradžių neįtemptam lakštui arba lakštui, kurio tempimas reikšmingai sukuria ar keičia įtempimą, reikia susieto deformacijos ir paviršiaus plokštumos konstitucinio skaičiavimo. Į šią tiesinę formulę įstačius nežinomą dėl deformacijos atsiradusį įtempimą, uždavinys liktų neišspręstas.

Formos, poslinkio ir krašto pusiausvyros palyginimas

Esant toms pačioms a ir q vertėms, tikrieji poslinkiai skiriasi, nes skiriasi modeliuose palikti atstatomieji mechanizmai ir kraštinės sąlygos. Mūsų membranos su nustatytais parametrais centro poslinkis yra 500/39 ≈ 12.8205 karto didesnis už plokštelės centro poslinkį. Šis santykis apibūdina šiuos du modelių parametrų rinkinius; tai nėra universalus teiginys, kad kiekviena membrana yra paslankesnė už kiekvieną plokštelę.

Atskirai lyginant formas, kiekvienas profilis dalijamas iš jo paties vertės centre. Kai s = r/a, plokštelės w_P/w_P(0) = (1−s²)², o membranos w_M/w_M(0) = 1−s². Abu profiliai prasideda ties 1 ir baigiasi ties 0, tačiau plokštelės profilis kraštą pasiekia horizontaliai, o membranos nuolydis yra baigtinis. Normalizavimas pašalina poslinkio dydį; vien bematis formos grafikas negali parodyti centro poslinkių santykio 12.8205.

Abiejų kraštų reakcijos vis tiek atsveria tą pačią bendrą veikiančią normalinę jėgą. Membranai, esant mažam nuolydžiui, normalinė jėga krašto ilgio vienetui yra T w_r(a) = −qa/2 = −0.5 N/m. Padauginus iš 2πa, gaunama −qπa² = −0.1π N – priešingos krypties nei veikianti apkrova. Membranos įtempimas jos plokštumoje išlieka T = 100 N/m; −0.5 N/m yra tik jo maža normalinė dedamoji ties kraštu.

Lenkiamos plokštelės atkurta radialioji skersinės jėgos atstojamoji yra Q_r = −D d(Δw_P)/dr = −qr/2. Ties kraštu ji taip pat pasiekia −0.5 N/m. Standžiai įtvirtintas jos kraštas papildomai perduoda lenkimo momentus, kad išlaikytų nuolydį. Vienoda bendra reakcijos jėga neapibrėžia profilio ir neparodo, kad abiejų paviršių vietiniai įtempių laukai yra vienodi.

Pakeiskite vieną parametrą ir vėl patikrinkite modelį

Plokštės spindulį, normalinę apkrovą, E ir ν palikite nepakeistus, bet padvigubinkite h nuo 0.50 iki 1.00 mm. D padidėja nuo 125/156 iki 250/39 N m, o prognozuojamas centro įlinkis sumažėja nuo 0.0195 iki 0.0024375 mm. Membranos modelyje, palikus a ir q nepakeistus, bet padvigubinus duotąją T vertę iki 200 N/m, centro poslinkis sumažėja perpus, iki 0.125 mm. Lenkiamasis standis ir ilgio vienetui tenkanti tempimo jėga įeina į skirtingas lygtis ir turi skirtingus matavimo vienetus.

Kai kiti parametrai nekinta, formulėse taip pat skiriasi priklausomybė nuo spindulio: plokštės centro įlinkis yra proporcingas a⁴, o membranos centro poslinkis – a². Šis palyginimas galioja taikant nurodytus kraštinių sąlygų ir apkrovimo modelius. Pakeitus tarpatramį, gali pasikeisti ir režimas, kuriame prielaidos galioja.

Pavyzdžiui, formaliai padvigubinus pradinį plokštės spindulį, centro poslinkis padidėja šešiolika kartų, iki 0.312 mm. Kai h = 0.50 mm lieka nepakeistas, w_P(0)/h taptų 0.624. Skaičiavimas, kuriame atsižvelgiama tik į lenkimą, nebeatitinka pradinės prielaidos, kad poslinkis yra mažas, palyginti su storiu. Algebrinė mastelio priklausomybė yra teisinga, tačiau ji nepatvirtina, kad taip pakeistos plokštės prognozė yra tiksli; vidurinio paviršiaus tempimas gali būti reikšmingas.

Pasinaudokite pradiniu kreivumu sferinio kevalo pusiausvyrai nustatyti

Dabar nagrinėkite atskirą uždarą sferinį kevalą, kurio viduriniojo paviršiaus spindulys R = 0.20 m, o storis h_s = 0.001 m. Apkraukite jį tolygiu vidinio ir išorinio slėgio skirtumu p = 1000 Pa. Taikydami pagrindinę plonasienę aproksimaciją, tiek viduriniojo paviršiaus, tiek slėgio veikiamo paviršiaus spinduliui naudokite R; šiame modelyje neatsižvelgiama į nedidelį jų skirtumą dėl sienelės storio. Kevalas yra plonas: h_s/R = 0.005. Taikykite pagrindinę plonasienę membraninę aproksimaciją, vienalytės izotropinės medžiagos tiesinio tamprumo modelį ir mažų deformacijų prielaidą. Šiame idealiame simetriniame uždavinyje nėra angų, sutelktųjų atramų ar kitų apkrovų.

Perpjaukite sferą į du pusrutulius. Kiekviename lenkto paviršiaus taške slėgis veikia išorėn, statmenai paviršiui. Pagal pagrindinę aproksimaciją vieną pusrutulį veikiančios slėgio jėgos atstojamoji išilgai pjūvio ašies lygi p ir projekcijos apskritimo ploto sandaugai, naudojant modelio spindulį R: F_p = pπR². Ji nėra lygi p ir lenkto pusrutulio paviršiaus ploto 2πR² sandaugai, nes skirtingomis kryptimis veikiančias slėgio jėgas prieš sudedant reikia projektuoti.

Dėl sferinės simetrijos paviršiuje veikiančios tempimo jėgos atstojamoji ilgio vienetui yra vienoda dviem statmenomis liestinės kryptimis; pažymėkime ją N_s. Išilgai didžiojo apskritimo pjūvio jos ašinių komponenčių suma lygi 2πR N_s ir veikia priešinga kryptimi nei slėgio jėgos atstojamoji. Iš pusiausvyros gauname 2πR N_s = pπR², taigi N_s = pR/2. Skaitinė vertė N_s = 100 N/m; abiejų priešingomis kryptimis pusrutulį veikiančių atstojamųjų moduliai yra 40π N ≈ 125.664 N.

Dėl lenktos geometrijos liestinės kryptimis veikiančios jėgos gali turėti nenulinę bendrą normalinę komponentę, prieš tai lenkimu nesuteikus formos iš pradžių plokščiam paviršiui. Šios sferos membraninė pusiausvyra normalės kryptimi išreiškiama taip: p = N_s(1/R + 1/R) = 2N_s/R. Abu nariai atitinka du vienodus jos paviršiaus kreivumus. Šis vietinis sąryšis ir pusrutulio pusiausvyros lygtis sutampa, tačiau tai nereiškia, kad kiekviena lenkta konstrukcija, veikiama bet kokios apkrovos, elgiasi kaip grynoji membrana.

Nustatykite sferos tempimo įtempį ir mažą plėtimąsi

Padalykite tempimo jėgą ilgio vienetui iš storio: σ_s = N_s/h_s = pR/(2h_s) = 100 000 Pa = 0.100 MPa. Pagal pagrindinę plonasienę aproksimaciją abu normaliniai įtempiai liestinės kryptimis yra vienodi ir tempiamieji per visą sienelės storį, o lenkimo momentų nepaisoma. Tikroje sienelėje slėgis sukelia normalinį įtempį sienelės storio kryptimi; taikant plonasienę plokščiojo įtempių būvio aproksimaciją, jo nepaisoma, palyginti su didesniais įtempiais liestinės kryptimis.

Šiam atskiram kevalo modeliui parinkite E_s = 70 GPa ir ν_s = 0.30. Esant vienodiems dviašiams įtempiams liestinės kryptimis, kiekvienos liestinės krypties santykinė deformacija yra ε_s = (σ_s − ν_sσ_s)/E_s = (1−ν_s)σ_s/E_s = 10⁻⁶. Naudojant vien σ_s/E_s, būtų taikoma vienaašio įtempių būvio formulė, nors yra ir kitos liestinės krypties įtempis.

Sferai tolygiai plečiantis, kiekvieno mažo lanko ilgis kinta proporcingai spinduliui. Taigi pirmąja eile ε_s = δR/R, o δR = Rε_s = 2 × 10⁻⁷ m = 0.0002 mm = 0.2 μm. Šis apskaičiuotas plėtimasis per mažas, kad pradiniu brėžinio masteliu būtų galima pavaizduoti akivaizdžiai išsiplėtusią sferą; užrašyta vertė arba atskiras grafikas leidžia išlaikyti jo dydį.

Slėgio apkrova, kevalo matmenys ir tamprumo moduliai yra nustatyti modelio pradiniai duomenys. Skaičiavimu nustatomas pagrindinis simetrinis membraninis atsakas. Juo nenustatoma sienelės būsena prie angos, jungties, atramos, vietinės slėgio apkrovos srities ar kitokio kreivumo vietoje, kur įtempių kitimas ir lenkimas gali būti svarbūs.

Prieš formulę pasirinkite, į kokius mechaninius reiškinius atsižvelgsite

Plonas tamprus kevalas gali perduoti ir paviršiuje veikiančią jėgą, ir lenkimo momentą. „Membraninis atsakas“ reiškia tą atsako dalį, kurioje vyrauja paviršiuje veikianti jėga; tai nereiškia, kad lenktas kevalas neturi lenkiamojo standumo. Pradinis kreivumas susieja normalinį poslinkį su deformacija paviršiuje, o dėl kraštinių sąlygų ar netolygių apkrovų gali prireikti momentų ir kreivumo pokyčių. Mūsų uždaros, tolygiu slėgiu apkrautos sferos modelyje tokių trikdžių nėra pagal prielaidą.

Panašiai plokščioje plokštelėje gali atsirasti membraninių įtempių, kai ji išsitempia dėl didesnio skersinio įlinkio, arba ji gali būti iš anksto įtempta savo plokštumoje dar prieš apkraunant. Modelio, kuriame įtraukiamas ir pastovus pradinis įtempimas, ir lenkimas, lygtis, taikant atitinkamas tiesines prielaidas, yra DΔ²w − TΔw = q. Ji virsta mūsų atskiromis lygtimis, kai nepaisoma vieno iš atkuriančiųjų poveikių. Kai tempimas priklauso nuo geometrijos arba deformacija yra didesnė, šios lygties su pastoviais koeficientais taip pat nepakanka.

Prieš taikydami plonosios konstrukcijos rezultatą, nustatykite pradinę paviršiaus geometriją, storį, medžiagos mechaninės elgsenos dėsnį, jėgų būseną paviršiuje, normalinę apkrovą, kraštines sąlygas ir deformacijos režimą. Mūsų plokštelės modelyje įtraukiamas lenkimas ir atkurta skersinė šlytis; mūsų plokščiosios membranos modelyje įtraukiamas duotas tempimas, bet ne momentai; mūsų sferos modelyje taikoma simetrinė kreivosios membranos pusiausvyra. Nei pateiktos tamprumo konstantos, nei pusiausvyros skaičiavimai nenustato suirimo apkrovos ar leistino darbinio slėgio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tiesiame 30 mm ilgio pjūvyje veikia tolygiai pasiskirsčiusi tempimo įrąža N_xx = 100 N/m. Kokią tempimo jėgą jis perduoda? Ar matavimo vienetas N/m reiškia, kad N_xx yra įtempis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3 N; N_xx yra jėga, tenkanti pjūvio ilgio vienetui, o ne įtempis, matuojamas Pa.

   Naudokite ℓ = 0.030 m: N_xxℓ = 100(0.030) N. Norint apskaičiuoti per visą storį vienodą įtempį, papildomai reikėtų žinoti storį: σ_xx = N_xx/h.

2. Abiem apskritiems įlinkio profiliams galioja w(a) = 0. Kuriame modelyje taip pat galioja w_r(a) = 0, ir koks iš tikrųjų yra membranos su duota T verte krašto nuolydis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Standžiai įtvirtintos lenkiamos plokštės krašto nuolydis lygus nuliui; membranos atveju w_r(a) = −0.005.

   Plokštės sprendinyje yra (a²−r²)², kurio pirmoji išvestinė krašte lygi nuliui. Membranos sprendinyje yra a²−r²; jos krašte nustatytas tik normalinis poslinkis, o centre taikoma reguliarumo sąlyga. Kai momentų nepaisoma, nulinis krašto posūkis neužtikrinamas.

3. Palikite pradinę apkrovą ir spindulius. Padvigubinkite plokštės storį, nekeisdami E ir ν, ir atskirai padvigubinkite duotą membranos T vertę. Kokie bus nauji poslinkiai centre?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plokštė: 0.0024375 mm. Membrana: 0.125 mm.

   D yra proporcingas h³, todėl padvigubinus h, D padidėja aštuonis kartus, o w_P sumažėja aštuonis kartus. w_M yra atvirkščiai proporcingas T, todėl padvigubinus T, membranos poslinkis centre sumažėja perpus. Šie du pakeitimai keičia skirtingus modelių parametrus.

4. Duotosios sferos pjūvio pusiausvyrai aprašyti siūloma naudoti slėgio jėgą p(2πR²), laikant išgaubto pusrutulio paviršiaus plotą taip, tarsi visos slėgio rodyklės būtų nukreiptos išilgai pjūvio ašies. Kokia yra teisinga ašinė slėgio jėgų atstojamoji ir kokia iš jos gaunama N_s vertė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ašinė slėgio jėgų atstojamoji yra pπR² = 40π N, o N_s = pR/2 = 100 N/m.

   Slėgis veikia statmenai išgaubtam paviršiui; jo jėgų ašinės dedamosios integruojamos per projekcijos disko plotą πR². Priešingos krypties krašto jėga yra 2πR N_s. Naudojant išgaubto paviršiaus plotą be projekcijos, būtų gautas klaidingai dvigubas rezultatas.

5. Pagal formaliąją formulę, kurioje atsižvelgiama tik į lenkimą, padvigubinus plokštelės spindulį ir nekeičiant q, h, E ir ν, centro poslinkis padidėja šešiolika kartų. Apskaičiuokite šią vertę ir w_P(0)/h. Ar vien mastelio priklausomybė pagrindžia tikslią pakeistos plokštelės poslinkio prognozę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Formalioji vertė yra 0.312 mm, o w_P(0)/h = 0.624; vien mastelio priklausomybė jos tikslumo nepagrindžia.

   Priklausomybė nuo a⁴ duoda daugiklį 16, tačiau naujasis poslinkis nebėra mažas, palyginti su 0.50 mm storiu, kaip numatyta pradiniame modelyje, kuriame atsižvelgiama tik į lenkimą. Reikia iš naujo įvertinti vidurinio paviršiaus tempimą ir taikomą modelį; teisingas algebrinis santykis nepatvirtina modelio tinkamumo pasikeitus deformavimo režimui.

Ką verta įsidėmėti

• Plokštelė iš pradžių yra plokščia, kevalas – išlenktas, o membraninėje aproksimacijoje atsižvelgiama į paviršiaus plokštumoje veikiančias jėgas, bet nepaisoma lenkimo momentų.
• Integruojant įtempį, matuojamą Pa, per storį, gaunama įrąža, matuojama N/m; pirmasis šio įtempio momentas duoda lenkimo momentą pjūvio ilgio vienetui, matuojamą N m/m. Įrąžos nėra viso pjūvio jėgos ar jėgų momentai.
• Lenkiamos plokštelės modelyje naudojamas D = Eh³/[12(1−ν²)] ir ketvirtosios eilės apkrovos lygtis. Membranos su nustatyta įtempimo jėga modelyje naudojamas T, matuojamas N/m, ir antrosios eilės lygtis; šių modelių krašto posvyrio sąlygos skiriasi.
• Mūsų plokštelė ir membrana atsveria tą pačią bendrą normalinę apkrovą, tačiau jų tikrieji poslinkiai, normuotos formos ir vietiniai įtempių susidarymo mechanizmai skiriasi.
• Viso plono sferinio kevalo, kurį veikia tolygus slėgis, N_s = pR/2 ir σ_s = pR/(2h_s); simetrija leidžia taikyti membraninę pusiausvyrą, o esant kitoms apkrovoms ir kraštinėms sąlygoms gali tekti atsižvelgti į lenkimą.
• Prieš taikydami plonos konstrukcijos formulę ar jos mastelio priklausomybę, nustatykite geometriją, įtempimo jėgą, lenkiamąjį standumą, kraštines sąlygas ir deformavimo režimą.