Įtempių ir deformacijų tenzoriai

Pradėkite nuo jėgos pjūvyje

Įsivaizduokite pasvirusį pjūvį ištisinėje medžiagoje. Nedidelis šio pjūvio plotelis turi dabartinį plotą ir orientuotą vienetinę normalę n. Jo įtempių vektorius t yra jėga dabartinio ploto vienetui, todėl jo matavimo vienetai yra Pa = N/m². Įtempių vektorius gali būti nukreiptas iš dalies statmenai pjūviui, iš dalies išilgai jo; vienas skaliarinis slėgis negali aprašyti abiejų dedamųjų.

Naudokite dešininę Dekarto koordinačių sistemą, kurios x ašis nukreipta į dešinę, o y ašis – aukštyn. Šiame pateiktame pavyzdyje plokštuminis Koši įtempių tenzorius yra σ = [[6, 2], [2, 3]] MPa. Pjūvio normalė yra n = (4/5, 3/5). Tai užduotos skaitinės vertės, o ne medžiagos matavimų rezultatai.

Čia σ_ij reiškia jėgos dedamąją i paviršiuje, kurio normalė nukreipta koordinačių kryptimi j. Pagal šį susitarimą, kai pirmasis indeksas nurodo jėgą, t = σn: kiekvieną matricos eilutę padauginkite iš normalės stulpelio. Taigi t_x = 6(4/5) + 2(3/5) = 6 MPa, o t_y = 2(4/5) + 3(3/5) = 17/5 MPa.

Jei įtempių vektorius yra vienodas visame plotelyje, kurio dabartinis plotas A = 10⁻⁴ m², atstojamoji jėga yra At = (600, 340) N, nes 1 MPa = 10⁶ N/m². Jei įtempių vektorius plotelyje kinta, jėga apskaičiuojama integruojant įtempių vektorių pagal plotą; vieną vietinę vertę padauginus iš viso ploto, nebūtinai gaunamas teisingas rezultatas.

Atskirkite normalinę ir tangentinę dedamąsias

Normalinis įtempis šiame pjūvyje yra skaliaras σ_nn = n·t, kur skaliarinė sandauga apskaičiuojama sudauginant atitinkamas komponentes ir sudedant gautas sandaugas. Pagal mūsų pasirinktą ženklų susitarimą teigiamas σ_nn reiškia tempimą. Normalinių įtempių vektorius yra t_n = σ_nn n.

Pasirinkime teigiamos krypties vienetinį liestinės vektorių m = (−3/5, 4/5), statmeną n. Šlyties koeficientas su ženklu yra τ = m·t. Jo ženklas nurodo tangentinio įtempių vektoriaus kryptį pasirinkto m atžvilgiu. Šlyties įtempių vektorius yra t_s = τm, o t = t_n + t_s.

Čia σ_nn = 171/25 = 6.84 MPa, o τ = −22/25 = −0.88 MPa. Esant neigiamam šlyties koeficientui, gauname t_s = (66/125, −88/125) MPa; šis vektorius nukreiptas priešingai nei pasirinktas teigiamos krypties liestinės vektorius. Jo modulis yra 0.88 MPa; modulis neturi neigiamo ženklo.

Abu dedamieji vektoriai yra statmeni vienas kitam. Jų suma atkuria pradinį įtempių vektorių, nors nė vienas dedamasis vektorius nebūtinai nukreiptas išilgai koordinačių ašies.

Keiskite bazę, o ne medžiagą

Įtempių tenzorius yra tiesinis atvaizdis, kuris pjūvio normalei priskiria įtempių vektorių tame taške. Jo matrica yra komponenčių pasirinktoje bazėje rinkinys. Pakeitus bazę, matricos elementai pasikeičia, tačiau fizikinis atvaizdis išlieka tas pats.

Tegu Q stulpeliai yra naujosios bazės vienetiniai vektoriai n ir m: Q = [[4/5, −3/5], [3/5, 4/5]]. Tie patys įtempiai šioje bazėje išreiškiami taip: σ′ = QᵀσQ = [[171/25, −22/25], [−22/25, 54/25]] MPa. Pirmajame stulpelyje yra normalinė ir tangentinė komponentės pjūvyje, kurio normalė yra n; tangentinė komponentė pateikta su ženklu. Tai pasyvus koordinačių pakeitimas; medžiaga nebuvo nei pasukta, nei deformuota.

Pagrindines kryptis nusako vienetiniai vektoriai e, kuriems σe = λe, todėl įtempių vektorius pjūvyje su tokia normale yra lygiagretus normalei ir neturi šlyties komponentės. Šiame pavyzdyje pagrindiniai įtempiai plokštumoje yra 7 MPa ir 2 MPa, atitinkamai kryptimis (2, 1)/√5 ir (−1, 2)/√5. Pėdsakas 9 MPa ir determinantas 14 MPa² nesikeičia pasyviai pakeitus bazę.

Atskirai nustatome plokščiojo įtempių būvio sąlygą: σ_xz = σ_yz = σ_zz = 0. Taigi trečiasis pagrindinis įtempis pilname trimačiame įtempių būvyje yra 0, o jo kryptis – z. Tai įtempiams taikoma sąlyga, o ne teiginys, kad deformacija statmenai plokštumai lygi nuliui.

Simetrinis Koši įtempių tenzorius taikomas čia nagrinėjamoje klasikinės ištisinės terpės teorijoje: judesio kiekio momento balansas sudaromas be nepriklausomų tūrinių jėgų porų momentų ar momentinių įtempių. Ištisinės terpės modeliui su tokiais papildomais sukimosi efektais reikia atskirų balanso dėsnių; simetrijos prielaidos negalima perkelti į kiekvieną modelį.

Aprašykite atskirą poslinkį

Dabar apibrėžkime kitą pavyzdį: pradinės konfigūracijos kvadrato koordinatės X = (X, Y) išreikštos metrais, o jo viršūnės yra (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) m. Jo poslinkis yra u(X) = HX, kur H = [[0.002, 0.004], [−0.001, −0.001]] yra bedimensė matrica. Joks medžiagos elgsenos dėsnis nesieja šio poslinkio su ankstesniu įtempiu.

Pavyzdžiui, taške (1, 1) m poslinkis yra (0.006, −0.002) m. Faktinė padėtis yra X + u = (1.006, 0.998) m. H nusako, kaip poslinkis kinta priklausomai nuo pradinės padėties: jos elementas H_ij yra ∂u_i/∂X_j.

Deformacijos gradientas yra F = I + H = [[1.002, 0.004], [−0.001, 0.999]], kur I yra vienetinė matrica [[1, 0], [0, 1]]. F pradinės konfigūracijos linijų vektorius atvaizduoja į atitinkamus faktinės deformuotos konfigūracijos linijų vektorius. Šiame afininiame pavyzdyje H yra vienoda visuose kvadrato taškuose.

Visus taškus pastūmus tuo pačiu vektoriumi, pasikeistų jų padėtis ir poslinkis, bet ne H, F ar deformacija. Vien poslinkio vertė nenusako vietinio formos pokyčio.

Nepamirškite daugiklio ½

Kai poslinkio gradientai maži, nykstamai maža deformacija yra ε = (H + Hᵀ)/2. Likusi antisimetrinė dalis Ω = (H − Hᵀ)/2 aprašo nykstamai mažą posūkį. Jų suma yra H. Jos yra bedimensės, nors pats poslinkis matuojamas metrais.

Duotajai H matricai ε = [[0.002, 0.0015], [0.0015, −0.001]] ir Ω = [[0, 0.0025], [−0.0025, 0]]. Pirmosios eilės artinyje kūnas x kryptimi ilgėja, o y kryptimi trumpėja; antisimetrinė dalis atitinka mažą posūkį pagal laikrodžio rodyklę. Ω nėra tiksli baigtinio posūkio matrica.

Inžinerinė šlyties deformacija yra γ_xy = H_xy + H_yx = 2ε_xy = 0.003. Iš pradžių statmeniems koordinačių linijų elementams teigiama γ_xy reiškia jų stataus kampo sumažėjimą pirmosios eilės artinyje, išreikštą radianais. Tenzorinė šlyties deformacija ε_xy = 0.0015 yra pusė šios inžinerinės vertės.

Bet kuriam pradinės konfigūracijos vienetiniam krypties vektoriui a dydis aᵀεa nusako santykinį ilgio pokytį pirmosios eilės artinyje. Kryptimi n = (4/5, 3/5) jis yra 59/25000 = 0.00236. Neigiama vertė reikštų trumpėjimą pirmosios eilės artinyje.

Interpretuokite pjūvį ir padidintą kvadratą

Viršutinėje dalyje pavaizduotas įtempio vektoriaus išskaidymas pradinėje bazėje, kurioje x kryptis nukreipta į dešinę, o y – aukštyn. Trumpa linija žymi pjūvį. Violetinę normalinio įtempio rodyklę ir oranžinę šlyties įtempio rodyklę sudėjus taip, kad vienos pabaiga sutaptų su kitos pradžia, gaunama mėlyna įtempio vektoriaus rodyklė. Visoms trims taikomas tas pats mastelis – 36 pikselių vienam MPa, todėl trumpesnė šlyties įtempio rodyklė atspindi mažesnį jo didumą.

Apatinėje dalyje naudojamos pradinės konfigūracijos koordinatės, kurių mastelis yra 360 pikselių vienam metrui. Brūkšninis kvadratas žymi pradinę formą; ištisinis kontūras ir kvadratiniai žymekliai rodo X + 20u(X). Tik poslinkis padaugintas iš 20, kad mažas pokytis būtų matomas. Brėžinyje pavaizduotas ne tikrasis deformuotas kvadratas, o jo ploto negalima interpretuoti kaip tikrojo ploto pokyčio.

Lentelėje tikrasis poslinkis ir tikroji padėtis atskiriami nuo padidinto brėžinio. Abiejose paveikslo dalyse naudojami pateikti pavyzdžiai; jėgų rodyklės neprognozuoja apatinio kvadrato judėjimo.

Patikrinkite baigtinę metriką

Mažų deformacijų aproksimacijoje atmetami kvadratiniai H nariai. Tikrinant baigtinę metriką jie išlaikomi: Gryno–Lagranžo deformacijos tenzorius yra E_G = (FᵀF − I)/2 = ε + HᵀH/2. Jis nusako pradinės konfigūracijos linijinių elementų ilgių kvadratų pokytį; pats jis nėra jų inžinerinis santykinis ilgio pokytis.

Čia E_G = [[0.0020025, 0.0015045], [0.0015045, −0.0009915]]. Pataisa HᵀH/2 yra teigiamai pusiau apibrėžta. Jos pėdsakas yra 11/10⁶, todėl šiame pavyzdyje 0 ≤ aᵀ(E_G − ε)a ≤ 11/10⁶ kiekvienam vienetiniam krypties vektoriui a. Tai absoliučioji riba, o ne mažos santykinės paklaidos garantija, kai tiesinės aproksimacijos rezultatas artimas nuliui.

Antras tikslus patikrinimas – kvadrato tikrojo ploto santykis: det F = 1.001002, taigi ploto pokytis lygus 0.001002 pradinio ploto. Tiesinė ploto pokyčio prognozė yra pėdsakas ε = 0.001. Šie teiginiai nusako dvimatį plotą; jie nenustato trimačio tūrio pokyčio.

Standžiojo kūno posūkis 90° kampu išsaugo visus ilgius, todėl FᵀF = I ir E_G = 0. Tačiau į mažųjų deformacijų formulę įstačius didelį H = F − I, gaunama ε = −I. Tiesinė aproksimacija čia taikoma už mažųjų gradientų srities ribų, nors tikroji deformacija lygi nuliui. Vien mažas ilgio pokytis nereiškia, kad dideliam posūkiui tinka tiesinė deformacijos aproksimacija.

Ką nusako abu tenzoriai

Įtempis apibūdina vietinę jėgą, tenkančią esamo ploto vienetui įvairiai orientuotuose pjūviuose. Deformacija apibūdina vietinį formos ar ilgio pokytį pasirinktos konfigūracijos atžvilgiu. Norint iš įtempių nustatyti deformaciją, reikia medžiagos modelio, suvaržymų ir tinkamos informacijos apie kraštines sąlygas. Vien iš dviejų pateiktų matricų negalima nustatyti tamprumo modulio, suirimo ribos ar saugios apkrovos.

Pasyviai keičiant bazę, abu tenzoriai transformuojami pagal tą pačią antrojo rango tenzorių transformavimo taisyklę: QᵀTQ, kai bazės vektoriai, kaip čia, užrašomi stulpeliais. Aktyvi deformacija keičia F ir medžiagos geometriją. Tenzoriaus perrašymas naujomis koordinatėmis šios deformacijos neatlieka.

Šioje pamokoje matricų daugyba ir projekcijos pristatomos tiek, kiek čia reikia. Norint grįžti prie šių temų, paskelbtose pamokose „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ bei „Tiesinės sistemos ir skaitiniai tikrinių verčių uždaviniai“ galima daugiau pasipraktikuoti atliekant šias operacijas ir nagrinėjant pagrindines kryptis. Norint suprasti skaidymą pjūvyje, nebūtina spręsti viso ištisinės terpės kraštinių sąlygų uždavinio.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tame pačiame taške pakeiskite pjūvio normalės kryptį iš n į −n, nekeisdami σ. Raskite priešingai orientuotą paviršių veikiantį įtempių vektorių ir normalinį įtempį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Įtempių vektorius yra (−6, −17/5) MPa. Normalinis įtempis išlieka 171/25 MPa.

   Iš tiesiškumo gauname t(−n) = −t(n). Projektuojant į priešingos krypties normalę gaunama (−n)·(−t) = n·t, todėl normalinio tempimo įtempio ženklas išlieka toks pat, nors jėgos kryptis pasikeičia į priešingą.

2. Jei tas pats įtempių vektorius yra vienodas visame dabartiniame 2 × 10⁻⁴ m² plote, kokia yra atstojamoji jėga? Ar padvigubinus plotą pasikeičia duotasis įtempių tenzorius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (1200, 680) N. Įtempių tenzorius išlieka toks, koks duotas.

   Dabartinis plotas padvigubėja, o jėga ploto vienetui išlieka pastovi, todėl At padvigubėja. Tai palyginimas, kuriame nustatyta vienodo įtempių vektoriaus sąlyga; iš jo negalima spręsti, kaip tikro bandinio įtempiai reaguotų į geometrijos pokytį.

3. Pagal duotąjį H apskaičiuokite ε_xy, inžinerinę šlyties deformaciją γ_xy ir Ω_xy. Ar tai tas pats dydis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ε_xy = 0.0015, γ_xy = 0.003 ir Ω_xy = 0.0025; tai skirtingi bedimensiai dydžiai.

   Simetrinė pussumė yra (0.004 − 0.001)/2. Inžinerinė šlyties deformacija yra visa suma, o antisimetrinis pusskirtumis yra (0.004 + 0.001)/2. Pirmieji du dydžiai apibūdina šlyties deformaciją pagal skirtingas konvencijas; trečiasis apibūdina be galo mažą posūkį.

4. Įtempių komponentės n, m bazėje tampa [[171/25, −22/25], [−22/25, 54/25]] MPa. Ar medžiaga patyrė apatinėje paveikslo dalyje padidintu masteliu pavaizduotą deformaciją?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tai pasyvus įtempių komponenčių pakeitimas; jis nenusako deformacijos.

   QᵀσQ išreiškia tą patį įtempių atvaizdį kitoje bazėje. Atskirame poslinkių pavyzdyje reikia H ir F. Jame pavaizduotos formos negalima nustatyti iš šio koordinačių pakeitimo ar vien iš įtempių matricos.

5. Imkite baigtinį posūkį F = [[0, −1], [1, 0]]. Apskaičiuokite E_G ir be galo mažų deformacijų tenzorių ε, sudarytą iš H = F − I. Kuris iš jų parodo, kad ilgiai nepakito?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   E_G = 0, o ε = −I. Baigtinių deformacijų metrika teisingai parodo, kad ilgiai nepakito.

   Iš FᵀF = I gaunama nulinė Gryno–Lagranžo deformacija. Simetrinė H dalis yra −I, nes šis H yra didelis. Taikant tiesinę formulę už jos galiojimo srities, kurioje gradientai turi būti maži, dideliam standžiojo kūno posūkiui gaunama tariama deformacija.

6. Koks yra trečiasis pagrindinis įtempis pateiktame plokščiojo įtempių būvio pavyzdyje? Ar taip pat galite daryti išvadą, kad ε_zz = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trečiasis pagrindinis įtempis yra 0. Deformacija statmenai plokštumai nėra nustatyta.

   Pilnojo įtempių tenzoriaus z eilutė ir stulpelis yra nuliniai, todėl z yra pagrindinė kryptis, kurios įtempis yra 0. Plokščiasis deformacijų būvis yra kita sąlyga. Norint nustatyti ryšį tarp įtempių ir deformacijų, reikėtų papildomos informacijos apie medžiagą ir suvaržymus.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš naudodami matricą, nurodykite, kuris įtempių indeksas žymi jėgą, o kuris – paviršiaus normalę.
• Normalinis įtempis ir šlyties koeficientas fiksuotos liestinės kryptimi yra projekcijos su ženklu; jų vektorių suma yra įtempių vektorius.
• Pasyvusis bazės keitimas išsaugo fizikinį tenzorių, o aktyvioji deformacija keičia geometriją.
• Infinitesimalioji deformacija yra pusė poslinkio gradiento ir jo transponuotojo sumos; inžinerinė šlyties deformacija yra dvigubai didesnė už deformacijų tenzoriaus šlyties dedamąją.
• Baigtinių deformacijų metrikos patikros ir aiškiai nurodytas atvaizdavimo padidinimas užtikrina, kad mažųjų deformacijų ir vaizdinės interpretacijos neperžengtų savo taikymo sričių.