Masės, judesio kiekio ir energijos tvermė

Pradėkite nuo vamzdžio atkarpos

Nejudamos horizontalios vamzdžio atkarpos ilgis yra 0.50 m. Abiejų galų skerspjūvio plotas yra 0.004 m², o nustatytas greitis skerspjūviuose yra 2 m/s į dešinę. Absoliutusis slėgis įtekėjimo vietoje yra 140000 Pa, o ištekėjimo vietoje – 100000 Pa. Takioji terpė nuolat įteka ir išteka, o tekėjimas kiekviename nejudamame taške yra stacionarus. Jei įtekančios ir ištekančios masės srautai yra lygūs, kas atsveria slėgio jėgą? Kur nukeliauja dėl slėgio perduodama energija?

Tiekite vienfazį skystį, kurio tankis pastovus: ρ = 1000 kg/m³. Tankis yra masė tūrio vienetui; ploto ir greičio sandauga nusako tūrį, per sekundę pratekantį pro atkarpos galą. Vamzdžio sienelės yra standžios ir nejudamos. Nustatome tolygius dydžių profilius skerspjūviuose ir laikome, kad nėra nuotėkių, ašies kryptimi veikiančios tūrinės jėgos, šilumos perdavimo, siurblio ar turbinos. Slėgio kritimas yra pradinis duomuo, o ne trinties dėsnio rezultatas. Tai iliustracinis balanso modelis, o ne detalus prie sienelės esančio sluoksnio skaičiavimas.

Pirmiausia peržiūrėkite nejudamų ribų schemą, kaupimosi rezervuare lentelę, jėgų palyginimą ir energijos stulpelius. Naudingą pasirengimą suteikia „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Ankstesni mechaniniai balansai pateikiami temose „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“, „Judesio kiekis, jėgos impulsas ir susidūrimai“ bei „Darbas, kinetinė energija, potencinė energija ir galia“. Būtini takiųjų terpių terminai apibrėžiami čia. „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ bei „Integralai ir daugelio kintamųjų analizė“ yra neprivalomos temos, prie kurių galima grįžti nagrinėjant galutines vektorines ir paviršinių integralų formas.

Pasirinkite medžiagą arba sritį

Materialiąją sistemą laikui bėgant sudaro ta pati apibrėžta medžiaga. Pažymėta skysčio dalelių grupė gali judėti ir deformuotis, tačiau ją sudarančios dalelės nesikeičia. Šiame klasikiniame modelyje, kuriame nevyksta cheminės reakcijos, jos masė yra pastovi. Jos judesio kiekis kinta veikiant atstojamajai išorinei jėgai. Jos pilnutinė energija kinta dėl suteiktos šilumos ir tai medžiagai atliekamo arba jos atliekamo darbo. Tvermė nereiškia, kad kiekvieną pasirinktą posistemį veikianti atstojamoji jėga lygi nuliui ar kad jo kinetinė energija yra pastovi.

Kontrolinis tūris yra pasirinkta sritis, kurios riba vadinama kontroliniu paviršiumi. Mūsų vamzdyje tai yra nejudanti skysčio užimama erdvė tarp dviejų galinių skerspjūvių ir vidinių sienelių. Skystis teka per galinius skerspjūvius. Vėlesniu laiko momentu viduje paprastai būna kita medžiaga, todėl materialiosios sistemos dėsnių negalima taikyti neatsižvelgiant į šiuos mainus.

Kiekvienam dydžiui užduokite du klausimus: kokiu greičiu jis kinta srities viduje ir kokiu greičiu pernešamas per ribą? Pirmasis nusako kaupimąsi, antrasis – pernašą arba srautą. Kontrolinio tūrio balansas susieja šiuos kitimo greičius su atitinkamu materialiosios sistemos dėsniu. Bendrąjį ryšį nusako Reinoldso pernašos teorema; jos glausta išraiška pateikiama pabaigoje.

Pasirinkite x kryptį į dešinę, o kontrolinio paviršiaus vienetinį normalės vektorių n nukreipkite į išorę. Įtekėjimo skerspjūvio normalė nukreipta į kairę, o ištekėjimo skerspjūvio – į dešinę. Skysčio greitis v abiejuose galuose nukreiptas į dešinę, tačiau v·n įtekėjimo skerspjūvyje yra neigiamas, o ištekėjimo skerspjūvyje – teigiamas. Šis ženklas nusako ribos kirtimo kryptį, o ne pakeičia tikrojo skysčio greičio kryptį.

Masės pernašos ir kaupimosi apskaita

Tegu m_CV yra skysčio masė srities viduje. Kai yra vienas įtekėjimo ir vienas ištekėjimo skerspjūvis, masės balansas yra dm_CV/dt = ṁ_in − ṁ_out; kiekvienas nurodytas srautas yra teigiamas dydis. Taškas žymi kitimo greitį laiko atžvilgiu; masės srauto ṁ matavimo vienetai yra kg/s. Tūrinio debito Q_v matavimo vienetai yra m³/s. Kai tankis vienodas, o skerspjūvyje greitis V yra vienodas ir statmenas angai, Q_v = AV ir ṁ = ρAV.

Pateiktame vamzdyje Q_v = (0.004 m²)(2 m/s) = 0.008 m³/s, o ṁ = 8 kg/s kiekviename gale. Grynasis masės kaupimosi greitis lygus nuliui. Šis teiginys leidžia skysčiui intensyviai tekėti per vamzdį; jis nereiškia, kad skystis nejuda.

Palyginkite su nejudančia talpykla, kurios horizontalaus skerspjūvio plotas yra 0.05 m², pradinis skysčio tūris – 0.01 m³, o talpa – 0.04 m³. Šešių sekundžių palyginimo laikotarpiui nustatykite 0.003 m³/s įtekėjimo debitą ir 0.001 m³/s ištekėjimo debitą. Įtekančios masės srautas yra 3 kg/s, o ištekančios – 1 kg/s, todėl masė didėja 2 kg/s greičiu. Kai sienelės vertikalios, skysčio lygis kyla (0.002 m³/s)/(0.05 m²) = 0.04 m/s greičiu. Šie srautai yra nustatyti; nepateiktas nei slėgis ties ištekėjimo anga, nei ištekėjimo dėsnis.

Pirmajame paveiksle talpyklos riba išlieka nejudanti, o įtekantis skystis, ištekantis skystis ir sukauptas skystis vaizduojami atskirai. Skysčio lygio grafike yra reali laiko ašis ir viena bendra aukščio skalė. Talpyklos skaičiavimas apima tik masę ir skysčio lygį. Jis nepateikia jokių judesio kiekio kitimo pereinamuoju režimu, temperatūros ar maišymosi energijos prognozių.

Atskirkite stacionarų tekėjimą nuo vienodo greičio

Stacionarumas reiškia, kad laukai fiksuotose vietose laikui bėgant nekinta. Tai nereiškia, kad greitis lygus nuliui ar kad jis visose vietose vienodas. Takiosios terpės dalelė gali greitėti judėdama per siaurėjančią sritį, kurioje tekėjimas stacionarus, nes greitis išilgai jos trajektorijos kinta.

Kai tekėjimas stacionarus, kontrolinio tūrio su viena įtekėjimo ir viena ištekėjimo anga masės balansas yra ρ₁A₁V₁ = ρ₂A₂V₂. Tik jei tankis abiejuose skerspjūviuose vienodas, šią lygybę galima supaprastinti iki A₁V₁ = A₂V₂. Spūdžiosios terpės srauto masiniai debitai gali būti vienodi, o tūriniai debitai – skirtingi.

Palikite tą patį vamzdžio įtekėjimo skerspjūvio plotą ir greitį, bet tarkime, kad antroji nejudanti horizontali sritis siaurėja iki 0.001 m² ištekėjimo skerspjūvio ploto. Esant tam pačiam nurodytam skysčio tankiui, V₂ = (0.004 m²)(2 m/s)/(0.001 m²) = 8 m/s. Per abu galus vis dar teka 8 kg/s. Šį ryšį nustato tolydumo lygtis; vien jos nepakanka nei reikiamam slėgių skirtumui, nei sienelės jėgai nustatyti.

Tolygūs greičio profiliai skerspjūviuose yra atskiras supaprastinimas. Esant pastoviam tankiui, tūriniam debitui nustatyti pakanka vidutinio greičio, tačiau judesio kiekio pernaša priklauso nuo greičio kvadrato, o kinetinės energijos pernaša – nuo greičio kubo skerspjūvyje. Todėl netolygiam profiliui reikia atskirų integralų arba pataisos koeficientų. Šis skirtumas paaiškinamas paskutiniame neprivalomame skyriuje ir paskutinėje praktinėje užduotyje.

Jėgos ir judesio kiekio pernašos balansas

Judesio kiekis masės vienetui yra greičio vektorius. Fiksuotame kontroliniame tūryje išorinė jėga lygi judesio kiekio kaupimosi greičio ir grynojo į išorę nukreipto judesio kiekio srauto sumai. Mūsų nagrinėjamais stacionaraus tiesaus srauto atvejais balansas x kryptimi tampa ΣF_x = ṁV₂ − ṁV₁. Kiekvieno nario ṁV vienetai yra jėgos vienetai, kg·m/s² = N, tačiau jis reiškia judesio kiekio pernašos greitį, o ne atskirą kontaktinę jėgą.

Slėgis veikia kontrolinį paviršių į vidų nukreipta jėga. Kai n yra į išorę nukreipta normalė, slėgio įtempio vektorius yra −p n. Todėl įtekėjimo skerspjūvį x kryptimi veikia +p₁A₁, o ištekėjimo skerspjūvį – −p₂A₂. Pridėkite tikrąją sienelių poveikio fluidui atstojamąją R_x ir visas ašines tūrines jėgas. Visiems nariams naudokite tą pačią pasirinktą fluido sritį. Čia sunkio jėga neturi ašinės dedamosios.

Vamzdyje įtekėjimo slėgis sukuria +560 N jėgą, o ištekėjimo slėgis – −400 N jėgą. Atstojamoji slėgio jėga yra +160 N. Judesio kiekio srautai su ženklais yra −16 N įtekėjimo vietoje ir +16 N ištekėjimo vietoje, todėl jų suma lygi nuliui. Iš judesio kiekio balanso gauname 560 N − 400 N + R_x = 0, arba R_x = −160 N. Sienelių jėga veikia priešinga kryptimi nei slėgio jėga, nors masės ir judesio kiekio kaupimasis yra stacionarus.

Nestacionariu atveju taip pat reikia įvertinti viduje sukauptą judesio kiekį. Vienodi įtekančios ir ištekančios masės srautai nereiškia, kad judesio kiekio kaupimosi narys turi būti lygus nuliui: greičiai fiksuotoje srityje gali kisti, nors jos bendra masė išlieka pastovi. Dviejuose mūsų stacionariuose pavyzdžiuose kaupimosi nepaisoma todėl, kad nurodyti laukai nepriklauso nuo laiko, o ne todėl, kad fluido judesio kiekio balanse šio nario niekada nebūna.

Palyginkite judesio kiekio balansą siaurėjančioje srityje

Siaurėjančioje srityje palikite nurodytus absoliučiuosius slėgius įtekėjimo ir ištekėjimo angose: 140000 Pa ir 100000 Pa. Įtekėjimo slėgio jėga išlieka +560 N, tačiau dėl mažesnio ištekėjimo angos ploto ištekėjimo slėgio jėga yra −100 N. Todėl atstojamoji slėgio jėga yra +460 N. Ištekančio judesio kiekio srautas yra 64 N, o įtekančio srauto vertė su ženklu yra −16 N, todėl grynasis į išorę nukreiptas srautas yra +48 N.

Tikroji sienelių poveikio fluidui jėga yra R_x = 48 N − 460 N = −412 N. Sudėjus visus tris kontaktinių jėgų indėlius patikrinamas balansas: 560 N − 100 N − 412 N = 48 N. Atstojamoji jėga keičia per sritį tekančios medžiagos judesio kiekį, o jo kaupimasis fiksuotoje srityje išlieka lygus nuliui.

Fluido kontaktinės reakcijos jėga, veikianti vidines sieneles, yra priešingo ženklo. Vien ši reakcijos jėga nebūtinai yra atstojamoji tvirtinimo apkrova: taip pat gali veikti išorinis slėgis, kietųjų kūnų jungtys ir kitos mechaninės jėgos. Nepateikta nei tvirtinimo geometrija, nei projektinės apkrovos skaičiavimas.

Visos palyginime pateiktos jėgos apskaičiuotos naudojant absoliutųjį slėgį skerspjūviuose. Jei iš slėgių šiuose skerspjūviuose būtų atimtas bendras atskaitos slėgis, o tikroji sienelių jėga palikta nepakeista, lygtis pasikeistų, kai angų plotai skiriasi. Sienelių jėgų atstojamoji, nuosekliai perskaičiuota naudojant manometrinį slėgį, yra kitas dydis; jos ryšys pateiktas pasirenkamame grįžimo skyriuje. Jėgų paveiksle atskirai parodytos į išorę nukreiptos normalės, tikroji tekėjimo kryptis, judesio kiekio pernaša ir sienelių kontaktinis poveikis.

Į energiją įtraukite slėgio atliekamą tekėjimo darbą

Šiame chemiškai nereaguojančio fluido modelyje bendroji savitoji energija yra e_int + V²/2 + gz, matuojama J/kg. Vidinė energija e_int apibūdina medžiagos šiluminę ir mikroskopinę būseną; V²/2 yra kinetinė energija pasirinktos inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu; gz yra gravitacinė potencinė energija, kai aukštis z didėja kylant aukštyn. Visa kontroliniame tūryje sukaupta energija gaunama integruojant visus šiuos dėmenis pagal jame esančio fluido masę.

Energija taip pat perduodama šiluma ir darbu. Laikykime šilumos perdavimo spartą Q̇_heat teigiama, kai šiluma perduodama į fluidą, o veleno ar įrenginio darbo galią Ẇ_s – teigiama, kai darbas perduodamas iš fluido. Pagal šį ženklų susitarimą darbą fluidui perduodančio siurblio Ẇ_s yra neigiama, o darbą iš fluido gaunančios turbinos Ẇ_s – teigiama. Mūsų apibrėžtame modelyje nejudančios standžios sienelės neatlieka mechaninio darbo ties sistemos riba. Todėl nenulinė sienelės jėga netampa veleno galios nariu, gaunamu padauginus šią jėgą iš vidutinio tekėjimo greičio.

Tekėjimas per pjūvį taip pat susijęs su slėgio darbu: slėgio ir tūrinio debito sandauga yra pQ_v. Įtekėjimo pusėje aplinka stumia fluidą į vidų ir taip atlieka slėgio darbą; ištekantis fluidas stumia aplinką nuo savęs. Sujungę šį tekėjimo darbą su savitąja vidine energija, apibrėžiame savitąją entalpiją h_f = e_int + p/ρ. Jos matavimo vienetai yra J/kg. Entalpija yra energijos balanse naudojamas junginys, o ne dar vienas nepriklausomas energijos dėmuo, kurį reikėtų pridėti jau įskaičiavus vidinę energiją ir slėgio darbą.

Kai yra viena įtekėjimo ir viena ištekėjimo anga, tekėjimas nusistovėjęs, o savybės kiekviename angos skerspjūvyje vienodos, Q̇_heat − Ẇ_s = ṁ[(h_f,2 − h_f,1) + (V₂² − V₁²)/2 + g(z₂ − z₁)]. Bendresniu atveju sistemoje sukaupta visa energija kinta, kai šilumos perdavimas, darbas ir įeinančio bei išeinančio energijos srautų skirtumas nesudaro balanso. Mūsų nusistovėjusio tekėjimo formulėje daroma prielaida, kad nėra papildomo energijos perdavimo judančios ribos ar šlyties darbu; modeliuose, kuriuose toks perdavimas vyksta, šiuos narius būtina išlaikyti.

Įvertinkite slėgio darbo galią vamzdyje

Vamzdyje slėgio darbo galia yra (140000 Pa)(0.008 m³/s) = 1120 W įtekėjimo pusėje ir (100000 Pa)(0.008 m³/s) = 800 W ištekėjimo pusėje. Jų skirtumas yra 320 W. Kinetinės energijos srautas abiejuose galuose yra ṁV²/2 = 16 W, o aukščiai vienodi. Kai nėra šilumos perdavimo ar veleno darbo, vidinės energijos srautas turi padidėti 320 W.

Padaliję iš 8 kg/s, gauname e_int,2 − e_int,1 = 40 J/kg. Pasitelkime paprastą skysčio savybių modelį e_int = c(T − 293 K), kuriame c = 4200 J/(kg·K), o esant nustatytam pastoviam tankiui vidinė energija nepriklauso nuo slėgio. Įtekėjimo temperatūra yra 293 K, todėl ΔT = (40 J/kg)/c = 1/105 K ≈ 0.009524 K. Tai apskaičiuota iliustracinė vertė, o ne išmatuota temperatūra ar teiginys apie modelio tikslumą aprašant medžiagą.

Slėgio suteikta mechaninė energija virsta vidine energija dėl disipacinio tekėjimo, kurį atspindi pateiktos būsenos. Ji nedingo iš visos energijos, ir per mūsų adiabatinę ribą šiluma neperduodama. Šilumos perdavimas ir vidiniai energijos virsmai yra skirtingi procesai. Nejudančios sienelės jėga įtraukiama į judesio kiekio balansą, o slėgio tekėjimo darbas atliekamas judančiam fluidui kertant galinius pjūvius.

Patikrinkite visą balansą pagal pasirinktą vidinės energijos atskaitos lygį: įeinantis energijos srautas yra 1120 W + 16 W + 0 = 1136 W. Išeinantis energijos srautas yra 800 W + 16 W + 320 W = 1136 W. Mechaninės energijos nuostolių sąvoka nusako virsmą ar perdavimą, vertinamą tik mechaninės energijos atžvilgiu; ji nereiškia visos energijos sunaikinimo.

Palyginkite energijos virsmus siaurėjančioje srityje

Siaurėjančioje srityje tūrinis debitas ir slėgių skirtumas yra tokie patys, todėl slėgio darbo galia ir čia sumažėja 320 W. Kinetinės energijos srautas padidėja nuo 16 W, kai greitis yra 2 m/s, iki 256 W, kai greitis yra 8 m/s. Padidėjimas yra 240 W, tad vidinės energijos srautui padidėti lieka 80 W, taikant tas pačias prielaidas, kad nėra šilumos perdavimo ir veleno darbo.

Vienam masės vienetui tenkantis kinetinės energijos padidėjimas yra (8² − 2²) m²/s²/2 = 30 J/kg. Slėgio darbu suteikiama 40 J/kg, todėl vidinė energija padidėja 10 J/kg. Pagal savybių modelį ΔT = 1/420 K ≈ 0.002381 K. Ištekėjimo savitoji entalpija yra 110 J/kg, o savitoji kinetinė energija – 32 J/kg; jų suma lygi įtekėjimo sumai 140 J/kg + 2 J/kg. Šiam visos energijos balansui Bernulio prielaidos nereikia.

Trečiame paveiksle lyginamas toks pat 320 W slėgio darbo galios sumažėjimas abiem atvejais. Tiesiame vamzdyje jis visas pasireiškia vidinės energijos srauto padidėjimu; siaurėjančioje srityje 240 W pasireiškia kinetinės energijos padidėjimu, o 80 W – vidinės energijos padidėjimu. Stulpelių dalims taikoma viena galios skalė, ir jos rodo energijos srautų skirtumus tarp pjūvių. Jos nerodo nei džauliais išreikštos sukauptos energijos, nei vietinės energijos virsmo spartos kiekvienoje vietoje.

Kitokie šilumos perdavimo, įrenginio darbo, aukščio, tankio ar skerspjūvio profiliai keičia šiuos rezultatus. Disipaciniame sraute vien mechaninę energiją apimantis Bernulio dydis nebūtinai išlieka pastovus. Gretimoje pamokoje „Oilerio lygtis ir Bernulio principas“ nagrinėjamas šis tam tikromis sąlygomis galiojantis ryšys; šioje pamokoje taikomi pilnieji kontrolinio tūrio balansai.

Neprivalomas grįžimas: pernaša ir skerspjūvių profiliai

Išnagrinėję baigtinius balansus ir paveikslus, grįžkite prie integralinės sandaros. Nagrinėjamam laiko momentui pasirinkite materialiąją sistemą, užimančią pasirinktą sritį. Materialiosios sistemos dydžiui B ir jo savitajai vertei b, tenkančiai masės vienetui, Reinoldso pernašos teorema nejudančiai sričiai yra dB_system/dt = d/dt∫_CVρb dV + ∮_CSρb(v·n) dA. Pirmasis integralas nusako sukauptą dydį, o antrasis – jo pernašą į išorę, atsižvelgiant į ženklą. Masei imkite b = 1, judesio kiekiui – b = v, o visuminei energijai – b = e_int + |v|²/2 + gz. Kairiąją pusę nusako materialiajai sistemai taikomas fizikinis dėsnis.

Masės balansas duoda d/dt∫_CVρ dV + ∮_CSρv·n dA = 0. Pakankamai glodžiam laukui, taikant divergencijos teoremą ir pasirenkant bet kokią nejudančią sritį, gaunama ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0. Kai medžiagos tankis pastovus, ši lygtis supaprastėja iki ∇·v = 0. Ši nespūdumo sąlyga nėra tas pats, kas stacionarus tekėjimas; prielaidas apie tankį ir greitį reikia nurodyti atskirai.

Judesio kiekio balansas duoda ΣF_ext = d/dt∫_CVρv dV + ∮_CSρv(v·n) dA. Slėgio indėlis yra −∮p n dA; šlyties paviršinės jėgos ir tūrinės jėgos sudaro atskirus narius. Judesio kiekio ir kinetinės energijos išraiškose greičiai imami inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu. Kai kontrolinis paviršius juda arba deformuojasi, perėjimas per jį skaičiuojamas naudojant (v − v_boundary)·n. Ribos pakeitimas nesuteikia pagrindo pernešamą judesio kiekį, apibrėžtą inercinėje atskaitos sistemoje, pakeisti santykiniu greičiu, kartu nepakeitus jėgų ir atskaitos sistemos aprašymo.

Ties tiesia srauto anga w žymi vietinį teigiamą pratekėjimo greitį, o V̄ = (∫_A w dA)/A – jo vidurkį. Kai tankis pastovus, judesio kiekio srauto modulis yra ρ∫_A w² dA = βρAV̄², kur β = (∫_A w² dA)/(AV̄²). Kinetinės energijos srautas yra (ρ/2)∫_A w³ dA = α(ρAV̄³/2), kur α = (∫_A w³ dA)/(AV̄³). Mūsų pateiktiems tolygiems profiliams α = β = 1. Kai tankis kinta arba srautas nėra statmenas angai, reikia naudoti atitinkamus pilnus paviršinius integralus.

Energijos srauto išraiška sujungia slėgio darbą ir srauto pernešamą vidinę energiją. Pačiai sukauptai energijai skaičiuoti naudojama e_int + |v|²/2 + gz, o p/ρ antrą kartą nepridedama. Šiluma, įrenginio darbas ir bet koks papildomas darbas ties srities riba yra energijos perdavimo būdai; jų ženklai apibrėžiami pasirinktos srities atžvilgiu. Esant nenusistovėjusiam tekėjimui, reikia palikti dE_CV/dt; vien masės debitų lygybė neleidžia atmesti kintančios sukauptos šiluminės ar kinetinės energijos.

Taikant tiesaus pratekėjimo jėgų ženklų susitarimą, pagal manometrinį slėgį pakoreguota sienelių jėgų atstojamoji tenkina R_x,g = R_x + p_ref(A₁ − A₂). Kai p_ref = 100000 Pa, siaurėjančio kanalo pavyzdyje šis pakoreguotas dydis yra −112 N, o tikroji sienelių sąlyčio jėga išlieka −412 N. Skirtumas kompensuoja atskaitos slėgio indėlį, pašalintą iš nevienodo ploto pjūvių. Tai nėra nauja fizinė sąlyčio jėga ar nepriklausomai nustatyta atstojamoji tvirtinimo apkrova.

Naudokite šiuos balansus suderintiems bendriesiems dydžiams rasti prieš ieškodami detalaus greičio, slėgio ar temperatūros lauko. Šiems laukams arba slėgio kritimui numatyti reikia medžiagos savybes aprašančių dėsnių, kraštinių sąlygų ir geometrijos. Gretima Oilerio ir Bernulio tema bei vėlesnės klampaus tekėjimo pamokos papildo šias sąlygas; jos nepakeičia tvermės dėsnių.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Atskirame stacionaraus dujų tekėjimo pavyzdyje, kuriame nagrinėjama tik masės tvermė, įtekėjimo tankis yra 2 kg/m³, skerspjūvio plotas – 0.01 m², o greitis – 3 m/s. Ištekėjimo tankis yra 1 kg/m³, o skerspjūvio plotas – 0.005 m². Raskite ištekėjimo greitį ir abu tūrinius debitus. Ar tūriniai debitai turi būti vienodi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Masės debitas yra 0.06 kg/s. Ištekėjimo greitis yra 12 m/s. Įtekėjimo tūrinis debitas yra 0.03 m³/s, o ištekėjimo – 0.06 m³/s; jie nebūtinai turi būti vienodi.

   Naudokite ρ₁A₁V₁ = ρ₂A₂V₂. Kad perneštų tą pačią masę, mažesnio tankio ištekančioms dujoms reikia dvigubai didesnio tūrio per sekundę. Šis skaičiavimas, grindžiamas vien masės tverme, nepateikia jokio dujų slėgio, šilumos, darbo ar temperatūros sąryšio.

2. Atskirame rezervuaro palyginime sumažinkite nustatytą įtekėjimo tūrinį debitą perpus iki 0.0015 m³/s, palikdami ištekėjimo tūrinį debitą 0.001 m³/s, pradinį tūrį 0.01 m³, skerspjūvio plotą 0.05 m² ir tankį 1000 kg/m³. Raskite masės kaupimosi spartą ir skysčio lygį po 4 s.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Masės kaupimosi sparta yra +0.5 kg/s. Po 4 s skysčio lygis yra 0.24 m, o masė – 12 kg.

   Grynoji tūrio didėjimo sparta yra 0.0005 m³/s, todėl per 4 s tūris padidėja 0.002 m³. Bendras 0.012 m³ tūris atitinka 12 kg masę ir 0.012/0.05 m = 0.24 m aukštį. Abu debitai nustatomi atskirai; realų įtekėjimo debitą sumažinus perpus, ištekėjimo debitas nebūtinai liktų nepakitęs, jei jis nebūtų atskirai reguliuojamas arba nebūtų taikomas ištekėjimo modelis.

3. Siaurėjančio kanalo atveju iš abiejų angų slėgių atimkite atskaitos slėgį 100000 Pa. Tuomet skerspjūviuose veikiančių slėgio jėgų atstojamoji yra +160 N. Ar gautas −112 N sienelės jėgos narys yra tas pats, kas tikroji −412 N sienelės kontaktinė jėga?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. −112 N yra sienelės jėgų atstojamoji, nuosekliai pakoreguota naudojant manometrinį slėgį; absoliučiojo slėgio balanse tikroji sienelės kontaktinė jėga išlieka −412 N.

   Pereinant prie manometrinio slėgio verčių, nevienoduose skerspjūviuose veikiančių slėgio jėgų atstojamoji sumažėja p_ref(A₁ − A₂) = (100000 Pa)(0.004 − 0.001) m² = 300 N. Sienelės jėgos narys turi padidėti tais pačiais 300 N, kad būtų išlaikytas +48 N judesio kiekio srautų balansas. Norint nustatyti bendrą tvirtinimo apkrovą, taip pat reikia įvertinti tikrąsias išorines jėgas, veikiančias kietąjį kūną.

4. Palikite tiesaus vamzdžio pateiktas slėgio ir greičio būsenas, bet nustatykite į skystį perduodamos šilumos srautą −320 W, kai įrenginys neatlieka darbo. Kokia ištekėjimo temperatūra gaunama taikant tą patį skysčio savybių modelį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ištekėjimo temperatūra yra 293 K ir lygi įtekėjimo temperatūrai.

   Dabar 320 W grynąją slėgio jėgų atliekamo tekėjimo darbo galią atsveria per ribą išeinantis 320 W šilumos srautas. Kinetinės ir potencinės energijos srautai vis dar nekinta, todėl vidinės energijos prieaugis lygus nuliui. Nejudanti sienelė gali perduoti šilumą, nors neatlieka jokio mechaninio veleno darbo. Šilumos srautas yra nustatytas; šilumos perdavimo koeficientas nebuvo nustatytas iš šių duomenų.

5. Atskiros angos bendras plotas yra 0.004 m², o tekančios terpės tankis – 1000 kg/m³. Per vieną angos ploto pusę terpė teka 1 m/s greičiu, o per kitą – 3 m/s greičiu. Raskite vidutinį greitį, masės srautą, judesio kiekio srauto modulį ir kinetinės energijos srautą. Palyginkite su tolygiu greičio profiliu, kurio vidutinis greitis toks pat.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinis greitis yra 2 m/s, o masės srautas – 8 kg/s. Judesio kiekio srautas yra 20 N, o kinetinės energijos srautas – 28 W; esant tolygiam greičio profiliui, jie atitinkamai yra 16 N ir 16 W. Pataisos koeficientai yra β = 1.25 ir α = 1.75.

   Kiekvienos pusės plotas yra 0.002 m². Tūrinis srautas yra 0.002(1 + 3) m³/s = 0.008 m³/s. Sudėkite judesio kiekio srautus: 1000 × 0.002(1² + 3²) N = 20 N. Sudėkite kinetinės energijos srautus: (1000/2) × 0.002(1³ + 3³) W = 28 W. Padalykite iš atitinkamų tolygaus greičio profilio verčių, kad gautumėte β ir α. Šis palyginimas tik ties anga savaime neleidžia nustatyti viso slėgio kritimo vamzdyje ar sienelių skystį veikiančios jėgos.

Ką verta įsidėmėti

• Materialioji sistema seka tą pačią pasirinktą medžiagą. Kontrolinis tūris apima tam tikrą erdvės sritį, todėl būtina įvertinti per jo ribą pereinančią medžiagą.
• Masės kaupimosi sparta lygi įtekančios ir ištekančios masės srautų skirtumui. Esant stacionariam tekėjimui, kaupimosi sparta gali būti lygi nuliui, nors greitis nėra nulinis.
• Išorinė jėga lygi judesio kiekio kaupimosi spartos ir į išorę nukreipto judesio kiekio srauto, įvertinto su ženklu, sumai; vienodi masės srautai nereiškia vienodų judesio kiekio srautų.
• Entalpija apima vidinę energiją ir slėgio darbą tekant medžiagai. Šilumą, įrenginių darbą, kinetinę ir potencinę energiją įvertinkite pagal vieną nuoseklią ženklų taisyklę.
• Mechaninei energijai virstant vidine energija, bendroji energija neišnyksta ir šiluma nebūtinai turi kirsti sistemos ribą.
• Pastovus tankis, stacionarūs laukai ir tolygūs profiliai skerspjūviuose yra skirtingos prielaidos. Jei kuri nors iš jų negalioja, pakeiskite atitinkamą balanso lygtį.