Slėgis, plūdrumas ir skysčių statika

Pradėkite nuo panardinto lango

Rezervuare yra vertikalus stačiakampis langas, kurio plotis yra 0.60 m, o aukštis – 0.80 m. Jo viršutinis kraštas yra 0.40 m žemiau skysčio paviršiaus, taigi apatinis kraštas yra 1.20 m gylyje. Skystis yra rimties būsenos. Ar slėgis vienodai veikia visas lango dalis? Kur turėtų veikti viena atstojamoji jėga, kad sukeltų tokį patį poveikį kaip pasiskirsčiusios slėgio jėgos, įskaitant jų sukamąjį poveikį?

Nurodykite vienodą visame skystyje tankį ρ = 1000 kg/m³ ir laisvojo kritimo pagreitį g = 9.81 m/s². Tankis yra tūrio vienetui tenkanti masė; dėl sunkio m masės kūno svoris mg nukreiptas žemyn. Dujų slėgiui virš skysčio ir sausojoje lango pusėje priskirkite tą pačią absoliučiąją vertę – 100000 Pa. Šios pradinės vertės skirtos pavyzdžiui. Dujų tankio pokyčių, paviršiaus kreivumo ir įtempių fazių sandūroje nepaisome.

Pradėkite nuo gylių lentelės, lango brėžinio ir slėgio jėgų pusiausvyros lygčių. Naudingą pasirengimą suteikia temos „Matavimo vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Niutono dėsniai ir kūną veikiančių jėgų diagramos“. Tema „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ padeda nagrinėti lango matmenis. Reikiamos slėgio ir jėgos momento sąvokos pristatomos čia. Prie temos „Integralai ir daugelio kintamųjų diferencialinis bei integralinis skaičiavimas“ galima pasirinktinai grįžti nagrinėjant galutinius išvedimus; temos „Masės centras ir daugelio dalelių sistemos“ bei „Jėgos momentas, judesio kiekio momentas ir giroskopai“ suteikia pagrindą stabilumui palyginti.

Apibrėžkite slėgį ir jo atskaitos lygį

Slėgis p yra statmenosios jėgos ir ploto santykis konkrečiame taške: mažą dA ploto paviršiaus elementą veikia p dA dydžio slėgio jėga. Jo SI vienetas yra paskalis, Pa = N/m². Teigiamas slėgis yra gniuždomasis. Įprastame rimties būsenos fluide, kuriame veikia tik slėgio įtempiai, nėra šlyties įtempių: fluidas stumia statmenai paviršiui, su kuriuo liečiasi. Tame pačiame taške slėgis yra vienodas visomis kryptimis. Ši izotropija nereiškia, kad slėgis yra vienodas skirtingose vietose.

Jėgai nusakyti taip pat reikia krypties. Jei n yra vienetinis normalės vektorius, nukreiptas iš kietojo kūno į jį supantį fluidą, kietojo kūno paviršiaus elementą veikianti slėgio jėga yra dF = −p n dA. Minuso ženklas reiškia, kad jėga nukreipta į kūno vidų. Vertikalią talpyklos sienelę veikia horizontali stūmimo jėga, o horizontalų dugną – žemyn nukreipta stūmimo jėga. Abi jėgos yra statmenos paviršiui, nors sunkio jėga yra vertikali.

Absoliutusis slėgis matuojamas vakuumo atžvilgiu. Manometrinis slėgis gaunamas atėmus nurodytą atskaitos slėgį: p_g = p − p_ref. Kai p_ref = 100000 Pa, manometro rodmuo −12000 Pa reiškia, kad absoliutusis slėgis yra 88000 Pa. Neigiamas manometro rodmuo rodo, kad slėgis yra mažesnis už tą atskaitos slėgį; šiame pavyzdyje tai nereiškia neigiamos absoliučiojo slėgio vertės.

Jei fluidas yra abiejose paviršiaus pusėse, reikia atsižvelgti į abu slėgius ir priešingas jų jėgų kryptis. Manometrinis slėgis gali tiesiogiai nusakyti atstojamąją apkrovą tik tada, kai jo atskaitos slėgis lygus tikrajam slėgiui kitoje pusėje. Mūsų statiniame modelyje neatsižvelgiama į papildomus šlyties ar tampriuosius įtempius medžiagose, turinčiose takumo ribą, ir į papildomus elektromagnetinius ar tarpfazinius įtempius. Jiems įvertinti reikia išsamesnio įtempių balanso.

Mažo skysčio stulpelio pusiausvyra

Imkime siaurą vertikalų rimties būsenos skysčio stulpelį, kurio horizontalių pagrindų plotas yra A, o aukštis – Δz. Slėgis ties apatiniu pagrindu stumia aukštyn, slėgis ties viršutiniu pagrindu – žemyn, o stulpelio sunkio jėga nukreipta žemyn. Kai tankis vienodas, jėgų pusiausvyros sąlyga yra (p_bottom − p_top)A = ρgAΔz. Suprastinus A, gauname: leidžiantis žemyn per atstumą Δz, slėgis padidėja dydžiu ρgΔz. Platesnį stulpelį veikia didesnė sunkio jėga, tačiau jo plotas, kurį veikia slėgio jėga, yra proporcingai didesnis, todėl plotis šio slėgių skirtumo nekeičia.

Pasirinkime aukščio z teigiamąją kryptį aukštyn ir laisvąjį paviršių laikykime esančiu ties z = 0. Apibrėžkime gylį h = −z, kurio teigiamoji kryptis yra žemyn. Vietinė pusiausvyros sąlyga yra dp/dz = −ρg arba dp/dh = ρg. Minuso ženklas, kai aukštis didėja kylant aukštyn, yra būtinas: didėjant z, slėgis mažėja.

Jei slėgis paviršiuje yra p_s, o ρ yra pastovus, integruodami gauname p(h) = p_s + ρgh. Mūsų atskaitos slėgis lygus p_s, todėl p_g(h) = ρgh. Čia ρg = 9810 Pa/m. Šis dėsnis taikomas ir dujoms, tačiau jų tankis gali gerokai kisti priklausomai nuo slėgio ir temperatūros. Jei duotas tik nuo gylio priklausantis tankio profilis ρ(h), statinis slėgis yra p_s + g∫₀ʰρ(s) ds; tuomet reikia būsenos lygties arba nurodyto tankio profilio.

Šio reiškinio pagrindas – vietinė paviršinės ir tūrinės jėgų pusiausvyra. Tūrinė jėga veikia visame fluido tūryje; sunkio jėga tūrio vienetui yra ρg. Vektorine forma galima statinė pusiausvyra, kai veikia tik slėgio įtempiai, tenkina lygtį ∇p = ρb, kur b yra tūrinę jėgą atitinkantis pagreitis, o ∇p nusako erdvinį slėgio gradientą. Mūsų vienalyčiame gravitacijos lauke b nukreiptas žemyn, o horizontalieji slėgio gradientai lygūs nuliui.

Sekite slėgį susisiekiančiame skystyje

Slėgis ties riba nustato pradinę slėgio lauko vertę. Padidinus p_s vienodu dydžiu, p visur padidėja tuo pačiu dydžiu, jei tankis, geometrija ir gravitacija išlieka nepakitę. Šia statinio slėgio perdavimo idėja grindžiamas Paskalio dėsnis. Tai nepanaikina esamos slėgio priklausomybės nuo gylio. Vienodai padidinus slėgį abiejose lango pusėse, slėgių skirtumas tarp jų taip pat nepakinta.

Mūsų modelyje ties laisvuoju skysčio paviršiumi skysčio slėgis yra lygus gretimų dujų slėgiui. Kai dujų slėgis ir sunkio laukas yra vienodi, o į paviršiaus įtempimą neatsižvelgiama, vientisas rimties būsenos skysčio laisvasis paviršius yra horizontalus. Išlenktiems meniskams ir kapiliariniam slėgiui aprašyti reikia atskiro paviršiaus įtempimo modelio. Dviejuose nesusisiekiančiuose induose slėgis ties paviršiumi arba skysčio lygis gali skirtis; tuomet vien vienodas gylis nereiškia vienodo slėgio.

Čia aprašomame vientisame rimties būsenos skystyje tame pačiame aukštyje esančių taškų slėgis yra vienodas. Norėdami palyginti slėgį skirtinguose aukščiuose, leisdamiesi žemyn per Δh pridėkite ρgΔh, o kildami aukštyn šį dydį atimkite. Ties plokščiu dviejų rimties būsenos skysčių sąlyčio paviršiumi slėgis yra tolydus, jei neatsižvelgiama į įtempius sąlyčio paviršiuje. Kiekvienoje kelio dalyje naudokite tos dalies skysčio tankį. Ši slėgio skaičiavimo grandinė taip pat yra skysčio stulpelio manometro veikimo pagrindas.

Pavyzdžiui, tarkime, kad viršutinio sluoksnio tankis yra 800 kg/m³, o storis – 0.30 m; po juo esančio apatinio sluoksnio tankis yra 1000 kg/m³, o storis – 0.50 m. Manometrinis slėgis ties sąlyčio paviršiumi yra (800 kg/m³)(9.81 m/s²)(0.30 m) = 2354.4 Pa. Pereidami per apatinį sluoksnį pridėkite 4905 Pa ir ties dugnu gausite 7259.4 Pa. Abiem sluoksniams naudojant tą patį tankį būtų aprašomas kitoks modelis.

Susumuokite langą veikiančias paskirstytąsias jėgas

Grįžkime prie lango. Gylyje h absoliutusis slėgis skysčio pusėje yra 100000 Pa + ρgh, o dujų slėgis sausojoje pusėje yra 100000 Pa. Jų skirtumas yra Δp(h) = ρgh. Jis didėja nuo 3924 Pa viršuje iki 11772 Pa apačioje. Taigi skystis veikia paskirstytąja apkrova: kiekvieną paviršiaus plotelį veikia jam statmena jėga Δp dA.

Plotas yra A = (0.60 m)(0.80 m) = 0.48 m². Jo geometrinis centras, arba ploto centroidas, yra gylyje h_c = 0.80 m. Kadangi slėgis kinta tiesiškai su gyliu, o lango plotis yra pastovus, vidutinis slėgių skirtumas visame plote lygus slėgių skirtumui ploto centre, 7848 Pa. Atstojamoji jėga yra F = ρgh_cA = 3767.04 N ir nukreipta nuo skysčio į sausąją pusę.

Naudojant absoliučiuosius slėgius gaunamas toks pat rezultatas, jei atsižvelgiama į abi puses: skysčio pusėje veikia 51767.04 N jėga, o priešingoje pusėje dujos veikia 48000 N jėga priešinga kryptimi. Jų skirtumas yra 3767.04 N. Didelė vienoje pusėje veikianti jėga nėra langą veikiančių jėgų atstojamoji. Kitoks dujų slėgis vienoje pusėje sukurtų papildomą tikrą, tolygų slėgių skirtumą.

Pirmajame paveiksle teigiama gylio kryptis yra žemyn, o tikrosios slėgio vertės lyginamos vienoje kPa skalėje. Ekvivalentinė atstojamoji jėga atkuria bendrą paskirstytosios apkrovos jėgą ir momentą. Ji nereiškia, kad tikroji paskirstytoji skysčio sąlyčio apkrova viename fiziniame taške tampa sutelktąja jėga. Medžiagos stipris ir leistinoji apkrova nenurodyti.

Nustatykite slėgio centrą

Bendra jėga nenusako jos sukamojo poveikio. Gylį matuokite nuo horizontalios tiesės, einančios per laisvąjį paviršių, ir skaičiuokite momentus šios tiesės atžvilgiu. Elementariosios jėgos, veikiančios gylyje h, momento modulis yra h Δp dA. Slėgio centras yra ekvivalentinės atstojamosios jėgos veikimo taškas: Fh_cp turi būti lygus šių momentų sumai. Taigi h_cp = (∫_A h Δp dA)/F.

Šio vertikalaus stačiakampio pagal slėgį svertinis gylis yra h_cp = h_c + I_G/(h_cA). Čia I_G yra lango ploto inercijos momentas horizontalios tiesės, einančios per jo geometrinį centrą, atžvilgiu: I_G = bH³/12 = 0.0256 m⁴, kai plotis b = 0.60 m, o aukštis H = 0.80 m. Jis apibūdina ploto pasiskirstymą pagal atstumo kvadratą. Tai ploto dydis, kurio matavimo vienetas yra m⁴, o ne masės inercijos momentas.

Papildomas gylis yra (0.0256 m⁴)/[(0.80 m)(0.48 m²)] = 0.0666667 m, todėl h_cp ≈ 0.866667 m. Giliau esančius plotelius veikia didesnės jėgos, todėl pagal slėgį svertinis vidurkis yra žemiau ploto geometrinio centro. Bendras momentas yra Fh_cp = 3264.768 N·m. Jėgos veikimo tiesė taip pat eina per šio simetriško lango pločio vidurį.

Ši formulė, kurioje naudojamas geometrinis centras, buvo gauta taikant Δp = ρgh. Jei pridedamas atskiras tolygus slėgių skirtumas Δp₀, jo sukelta jėga veikia ploto geometriniame centre ir pastumia bendrą slėgio centrą šio geometrinio centro link. Horizontalioje plokštumoje slėgis visur vienodas, nes jos gylis vienodas, todėl jos slėgio centras sutampa su ploto geometriniu centru. Paskutiniame neprivalomame skyriuje išvedama vertikalios plokštumos formulė ir jos versija pasvirajai plokštumai.

Apskaičiuokite Archimedo jėgą pagal slėgį

Laikykite kubą, kurio briaunos ilgis 0.10 m, visiškai panardintą į skystį taip, kad jo viršutinė siena būtų 0.40 m gylyje, o apatinė – 0.50 m gylyje. Kiekvienos horizontalios sienos plotas yra 0.01 m². Slėgis į viršutinę sieną stumia žemyn 1039.24 N jėga, o slėgis į apatinę sieną stumia aukštyn 1049.05 N jėga. Vienodame gylyje priešingas vertikalias sienas veikiančios jėgos horizontalia kryptimi atsveria viena kitą. Likusi hidrostatinė jėga yra 9.81 N ir nukreipta aukštyn.

Iš apatinę sieną veikiančios jėgos atėmus viršutinę sieną veikiančią jėgą, gaunama [ρg(0.10 m)](0.01 m²) = ρgV, kur V = 0.001 m³ yra išstumto skysčio tūris. Tai Archimedo dėsnis, kai tankis ir sunkio pagreitis yra vienodi visur: Archimedo jėga lygi išstumto skysčio svoriui. Bet kokios formos kūnui, kurio visas paviršius liečiasi su skysčiu, susumavus jo uždarą paviršių veikiančias statmenas slėgio jėgas, gaunamas toks pat rezultatas. Kai tankis vienodas visur, Archimedo jėgos veikimo tiesė eina per išstumto tūrio geometrinį centrą, vadinamą plūdrumo centru B.

Kubo masę laikykime 0.80 kg. Jį veikianti sunkio jėga yra 7.848 N, todėl hidrostatinės Archimedo jėgos ir sunkio jėgos skirtumas yra 1.962 N ir nukreiptas aukštyn. Žemyn nukreipta 1.962 N laikymo jėga jį atsveria, kai kubas nejuda. Šis statinis palyginimas neleidžia numatyti paleistą kubą veikiančių skysčio jėgų, pagreičio ar greičio; judėjimas gali pakeisti aplinkinį slėgio lauką.

Vienodo 100000 Pa slėgio priedo poveikis uždarame paviršiuje kompensuojasi, nes priešingos paviršiaus normalės kryptys atsveria viena kitą. Archimedo jėga atsiranda dėl slėgio gradiento. Nuleidus šį visiškai panardintą kubą giliau į tą patį vienodo tankio skystį, ρgV nepakinta. Jei skystis negali veikti kūno apačios, nes kūnas sandariai prigludęs prie dugno, reikiamo slėgio lauko nėra ir šio uždaro paviršiaus argumento negalima tiesiog taikyti. Sąlyčio jėgoms, paviršiaus įtempimui ir kintamam skysčio tankiui taip pat reikia atitinkamo atskiro jėgų balanso.

Nustatykite plūduriuojančio kūno grimzlę

Laisvai plūduriuojantis kūnas, esantis statinėje pusiausvyroje vertikalia kryptimi, išstumia tiek skysčio, kad keliamoji jėga būtų lygi jo svoriui: ρgV_displaced = mg. Todėl išstumto skysčio tūris yra m/ρ. Kai kūnas iš dalies paniręs, bendro aplinkos slėgio indėlis susiprastina, jei atsižvelgiama į skysčio liečiamas ir sausas uždaro kūno paviršiaus dalis; likęs hidrostatinis indėlis priklauso nuo panirusios dalies tūrio.

Paimkite sandarų standų stačiakampį gretasienį, kurio ilgis L = 0.80 m, plotis B_w = 0.60 m, o aukštis H_b = 0.40 m. Jo masė yra 115.2 kg. Jo bendras tūris yra 0.192 m³, o vidutinis tankis – 600 kg/m³. Laikykite jį vertikaliai, be jokios kitos vertikalios atramos. Išstumto skysčio tūris yra 0.1152 m³, todėl grimzlė T = V_displaced/(LB_w) = 0.24 m. Grimzlė yra panirusios dalies gylis nuo dugno iki vaterlinijos; antvandeninio borto aukštis yra likę 0.16 m virš jos.

Archimedo jėga ir svorio jėga abi lygios 1130.112 N. Panirusi dalis yra stačiakampis gretasienis, todėl jos plūdrumo centras yra ties grimzlės viduriu: 0.12 m virš dugno. Kai masė pasiskirsčiusi tolygiai, sunkio centras G yra ties viso kūno aukščio viduriu, 0.20 m virš dugno. Svorio jėga veikia per G, o Archimedo jėga – per B. Kai kūnas nepasviręs, abiejų jėgų veikimo tiesės yra vertikalios ir sutampa.

Šio nepasvirusio gretasienio panirusi dalis T/H_b = 0.60 lygi vidutinio kūno tankio ir skysčio tankio santykiui. Ši dalis apskaičiuojama naudojant visą kūno masę ir jo išorinio paviršiaus ribojamą išstumiamo skysčio tūrį; ertmės gali sumažinti vidutinį tankį, nekeisdamos kietosios medžiagos tankio. Jėgų pusiausvyra leidžia nustatyti grimzlę, tačiau dar neparodo, kaip kūnas reaguoja į nedidelį posvyrį.

Atskirkite plūduriavimo pusiausvyrą nuo stovumo

Nedidelis šoninis posvyris pakeičia, kurios plūduriuojančio kūno dalys yra panirusios. Plūdrumo centras pasislenka net ir tada, kai bendras išstumto skysčio tūris nekinta. Tuomet vertikali Archimedo jėgos veikimo tiesė gali lemti momentą, kuris priešinasi posvyriui arba jį didina. Visiškai panirusio ir laisvai pusiausvyros būseną pasiekusio kūno vienalyčiame skystyje išstumto skysčio tūrio forma nekinta: kai G yra žemiau B, susidaro grąžinamoji jėgų pora, kai G yra aukščiau B – verčiančioji jėgų pora, o šiems taškams sutapus ši jėgų pora išnyksta. Plūduriuojančiam kūnui papildomai reikia įvertinti vaterlinijos geometriją.

Simetriškam plūduriuojančiam kūnui, nedaug pasvirusiam apie išilginę ašį, apibrėžkime metacentrą M kūno atžvilgiu: tai ribinis naujos Archimedo jėgos veikimo tiesės ir kūno centrinės linijos susikirtimo taškas, kai posvyris artėja prie nulio. Pati Archimedo jėga laboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka vertikali. Metacentro aukštis virš B yra BM = I_w/V_displaced. Vaterlinijos plokštumos figūra yra horizontalus kūno skerspjūvis ties vaterlinija. Čia I_w = ∫y² dA yra šios figūros ploto inercijos momentas išilginės centrinės linijos atžvilgiu; y yra atstumas skersine kryptimi. Mūsų stačiakampiui I_w = LB_w³/12 = 0.0144 m⁴, todėl BM = 0.125 m, o M yra 0.245 m virš dugno.

Apibrėžkime metacentrinį aukštį su ženklu GM = z_M − z_G, naudodami aukščius virš dugno. Laikykime posvyrį φ teigiamu viena pasirinkta kryptimi, o teigiamu sukimo momentu – tokį, kuris didina φ. Pirmosios eilės hidrostatinis sukimo momentas yra τ ≈ −W GM φ, kur W = mg, o φ išreikštas radianais. Kai GM teigiamas, sukimo momentas priešinasi nedideliam posvyriui į bet kurią pusę; kai GM neigiamas, sukimo momentas jį didina. GM = 0 panaikina tik šį pirmosios eilės narį. Tokiu atveju baigtiniam posvyriui įvertinti reikia aukštesnės eilės geometrinių narių.

Tolygios masės atskaitos gretasienio GM = 0.045 m. Palyginkime du nustatytus vidinės masės perskirstymo atvejus, kai bendra masė ir išorinė forma lieka tokios pačios: G perkeliamas į 0.245 m arba 0.260 m aukštį virš dugno. Visais trimis atvejais nepasvirusio kūno grimzlė išlieka tokia pati, o Archimedo jėga lygi svorio jėgai, tačiau pirmosios eilės momentai skiriasi. Esant +5° posvyriui, tiesinės formulės duoda atitinkamai maždaug −4.437939 N·m, 0 ir +1.479313 N·m. Tai pirmosios eilės modelio įverčiai, o ne tikslios laivo reakcijos esant baigtiniam posvyrio kampui.

Trečiajame paveiksle nepasvirusio kūno skerspjūviams naudojamas vienas geometrinis mastelis, o trims tiesinėms kreivėms – vienas sukimo momento mastelis. Neatsižvelgiama į laisvą skystį kūno viduje, judantį turinį, bangas ar išorinį sukimo momentą. Šis vietinio stovumo skaičiavimas nenustato nei šoninio supimosi periodo, nei apvirtimo kampų intervalo; tam reikia papildomų dinaminių ir geometrinių duomenų.

Neprivalomas grįžimas: integralai ir tūrinė jėga

Skaitant pirmą kartą, pagrindinį kelią sudaro skysčio stulpelio pusiausvyra, slėgio lentelės ir trys palyginimai. Norėdami susipažinti su glaustais išvedimais, grįžkite čia išnagrinėję temą „Integralai ir kelių kintamųjų diferencialinis bei integralinis skaičiavimas“. Langą padalykite į horizontalias juosteles dA = b dh. Integruokite F = ρgb∫_(0.40 m)^(1.20 m) h dh = ρgb(1.20² − 0.40²)m²/2. Jėgos momentas yra ρgb∫_(0.40 m)^(1.20 m) h² dh = ρgb(1.20³ − 0.40³)m³/3. Padaliję jėgos momentą iš jėgos, gauname h_cp = 13/15 m.

Bendresniu atveju apibrėžkite h_c = (∫_A h dA)/A ir vertikalioje plokštumoje užrašykite h = h_c + ξ. Kadangi ∫_A ξ dA = 0, ∫_A h² dA = Ah_c² + ∫_A ξ² dA. Antrasis integralas yra I_G, todėl gauname h_cp = h_c + I_G/(Ah_c). Plokštumai, pasvirusiai kampu θ į horizontą, vertikalusis poslinkis yra ξ sinθ, todėl gylio pataisa yra I_G sin²θ/(Ah_c). Tuomet I_G skaičiuojamas ploto centrą kertančios ašies, lygiagrečios šios plokštumos ir laisvojo paviršiaus plokštumos susikirtimo tiesei, atžvilgiu. Kai θ = 0, slėgis yra vienodas, o pataisa lygi nuliui.

Uždaram kietojo kūno paviršiui vienalyčiame hidrostatiniame lauke F = −∮p n dA. Taikant divergencijos teoremą, ši išraiška tampa F = −∫_V∇p dV = ρgV e_z, kur e_z nukreiptas aukštyn. Erdviškai vienodo slėgio priedo gradientas lygus nuliui, todėl šis priedas nesukuria atstojamosios jėgos. Jei nesutrikdytoje hidrostatinėje būsenoje tankis kinta su aukščiu, atitinkama Archimedo jėga yra g∫_Vρ(z) dV ir nukreipta aukštyn; paprastoji išraiška ρgV tinka tik tada, kai tankis visame tame išstumtame tūryje yra vienodas.

Mažų kampų rezultatą vaterlinijos plokštumai taip pat galima gauti nagrinėjant prisidedančius ir išnykstančius pleišto formos tūrius. Pasvirimas pakeičia vietinį panirimo gylį dydžiu, proporcingu φy, todėl pirmosios eilės skersinio tūrio momento išraiškoje yra φ∫y² dA. Padalijus iš nepakitusio išstumto tūrio, gaunamas B poslinkis ir BM = I_w/V_displaced. Atėmę G aukštį virš B, gauname GM. Todėl į statinio jėgos momento išraišką įeina vaterlinijos ploto inercijos momentas, o ne masės inercijos momentas.

Santykinė rimtis greitėjančiame inde pakeičia tūrinių jėgų pusiausvyrą. Atskaitos sistemoje, judančioje slenkamuoju judesiu su pastoviu pagreičiu +a e_x, efektyvusis tūrinių jėgų pagreitis yra −a e_x − g e_z. Tuomet laisvajam paviršiui, kuriame slėgis pastovus, galioja a dx + g dz = 0, arba dz/dx = −a/g. Kai nustatytas a = 2 m/s², jo aukštis sumažėja maždaug 0.101937 m per 0.50 m atstumą +x kryptimi. Čia daroma prielaida, kad santykinė pusiausvyra jau nusistovėjusi ir nėra pereinamojo skysčio teliūskavimo; inercinėje atskaitos sistemoje skystis nėra rimties būsenos. Prie šio atskaitos sistemos pakeitimo galima grįžti nagrinėjant temą „Neinercinės atskaitos sistemos, fiktyviosios jėgos, potvyniai ir ryšiai“.

Judantiems skysčiams reikia impulso balanso, kuriame būtų atsižvelgta į pagreitį ir, kai aktualu, šlyties įtempius. Šios gretimos temos plėtojamos skyriuose „Masės, impulso ir energijos tvermė“ bei „Eulerio lygtis ir Bernulio principas“. Čia pateikti balansai leidžia atsakyti į statinio slėgio ir palaikymo klausimus, kai tenkinamos nurodytos sąlygos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Slėgio matavimo prietaiso atskaitos slėgis yra 100000 Pa, o rodmuo – −12000 Pa. Koks yra absoliutusis slėgis? Atskirai raskite slėgių skirtumą duotame susisiekiančiame skystyje tarp 0.65 m ir 0.20 m gylyje esančių taškų, iš apatinio taško slėgio atimdami viršutinio taško slėgį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Absoliutusis slėgis yra 88000 Pa. Slėgių skirtumas skystyje yra +4414.5 Pa.

   Prie manometro rodmens pridėkite atskaitos slėgį: 100000 Pa − 12000 Pa = 88000 Pa. Lyginant slėgius skystyje, apatinis taškas yra 0.45 m giliau, todėl ρgΔh = (1000 kg/m³)(9.81 m/s²)(0.45 m) = 4414.5 Pa. Skaičiuojant šį skirtumą, bendras atskaitos slėgis panaikinamas.

2. Viršutinio skysčio sluoksnio storis yra 0.30 m, o tankis – 800 kg/m³; apatinio sluoksnio storis yra 0.50 m, o tankis – 1000 kg/m³. Naudodami bendrą paviršiaus atskaitos slėgį ir g = 9.81 m/s², raskite manometrinius slėgius sluoksnių sandūroje ir ties dugnu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Slėgis sluoksnių sandūroje yra 2354.4 Pa; slėgis ties dugnu yra 7259.4 Pa.

   Viršutinis sluoksnis padidina slėgį 800 × 9.81 × 0.30 Pa = 2354.4 Pa. Pagal nurodytą prielaidą, kad sandūroje nėra įtempių, slėgis ties plokščia sluoksnių sandūra yra tolydus. Apatinis sluoksnis padidina slėgį 1000 × 9.81 × 0.50 Pa = 4905 Pa. Sudėkite abiejų sluoksnių indėlius, o ne laikykite abu sluoksnius tankesniu skysčiu.

3. Tam pačiam langui pridėkite vienodą slėgio skirtumą Δp₀ = 3000 Pa, veikiantį sausosios pusės link, o hidrostatinę dalį palikite nepakitusią. Raskite bendrą jėgą ir slėgio centro gylį. Ar vienodai padidinus aplinkos slėgį abiejose pusėse atsirastų toks pokytis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   F = 5207.04 N, o h_cp ≈ 0.848230 m. Vienodai padidinus aplinkos slėgį abiejose pusėse, tokia papildoma atstojamoji apkrova neatsiranda.

   Papildoma jėga yra Δp₀A = (3000 Pa)(0.48 m²) = 1440 N ir veikia gylyje h_c = 0.80 m. Pridėkite jos momentą 1152 N·m prie hidrostatinės jėgos momento 3264.768 N·m ir gausite 4416.768 N·m. Padalykite iš 3767.04 N + 1440 N = 5207.04 N. Slėgio centras pasislenka ploto centro link, nes papildomas slėgis yra vienodas. Vienodi slėgio pokyčiai abiejose pusėse vienas kitą atsveria.

4. Nuleiskite prilaikomą 0.10 m briaunos ilgio kubą žemyn per 1.00 m tame pačiame vienalyčiame skystyje, išlaikydami skysčio prieigą prie kiekvienos sienos. Ar pasikeičia kubą veikianti Archimedo jėga? Ar tuos pačius samprotavimus galima automatiškai taikyti, jei kubas sandariai priglunda prie dugno?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kubą veikianti Archimedo jėga išlieka 9.81 N. Sandaraus sąlyčio su dugnu atveju reikia iš naujo įvertinti jėgų pusiausvyrą, atsižvelgiant į kontaktą ir skysčio slėgio veikimo sąlygas.

   Slėgis ties abiem horizontaliomis sienomis padidėja 9810 Pa, todėl kiekvieną sieną veikiančios absoliučiojo slėgio jėgos dydis padidėja 98.10 N. Šių jėgų skirtumas išlieka 9.81 N, nes išstumto skysčio tūris ir tankis nepakinta. Sandarus sąlytis su dugnu neleidžia numatytam skysčio slėgiui veikti apatinės sienos; tuomet hidrostatiniam samprotavimui apie uždarą paviršių trūksta būtino slėgio lauko.

5. Perskirstykite prizmės vidinę masę, išlaikydami bendrą masę ir išorinę geometriją, taip, kad G būtų 0.260 m virš dugno. Kaip pasikeičia nepasvirusios prizmės grimzlė, GM ir pirmosios eilės sukimo momentas, kai posvyris yra +5°? Ką galima nustatyti, kai G yra 0.245 m aukštyje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Grimzlė išlieka 0.24 m. GM tampa −0.015 m, todėl, esant +5° posvyriui, sukimo momentas yra maždaug +1.479313 N·m ir didina šį mažą posvyrį. Kai G yra 0.245 m aukštyje, GM = 0; tai reiškia tik tai, kad pirmosios eilės sukimo momento narys yra lygus nuliui.

   Ta pati masė vis dar išstumia 0.1152 m³ skysčio, todėl B ir mažų kampų artinyje M išlieka atitinkamai 0.120 m ir 0.245 m virš dugno. Iš z_M atimkite z_G: GM = −0.015 m. Įstatykite į −W GMφ, kai W = 1130.112 N, o φ = π/36 rad. Kai GM = 0, reikia atsižvelgti į aukštesnės eilės panirimo geometriją; vien pirmosios eilės rezultatas neleidžia daryti išvados apie neutralųjį stabilumą esant baigtiniam posvyrio kampui.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodytame rimties būsenos fluide, kuriame veikia tik slėgio įtempiai, vietinis slėgis yra izotropinis, o jo erdvinis gradientas atsveria tūrinę jėgą.
• Kai aukščio teigiama kryptis yra aukštyn, dp/dz = −ρg. Slėgis ties riba ir tankis lemia hidrostatinio slėgio lauką.
• Atstojamoji paviršiaus apkrova apskaičiuojama pagal slėgių skirtumą abipus paviršiaus. Manometrinio slėgio atskaita atitinka šį skirtumą tik tada, kai jos slėgis sutampa su slėgiu priešingoje paviršiaus pusėje.
• Paskirstytoji apkrova turi ir bendrą jėgą, ir jėgos momentą. Slėgio centras nurodo lygiavertės atstojamosios jėgos veikimo tašką, kuriame ji sukelia abu šiuos poveikius.
• Pastovaus tankio skystyje Archimedo jėga lygi išstumto skysčio svoriui, kai kūną veikia reikiamas hidrostatinio slėgio laukas. Šią jėgą sukelia slėgio gradientas.
• Archimedo jėgos ir svorio lygybė lemia plūduriuojančio kūno jėgų pusiausvyrą. Sukamasis atsakas esant mažiems kampams taip pat priklauso nuo masės pasiskirstymo ir vaterlinijos ploto geometrijos.