Ryšiai ir apibendrintosios koordinatės

Pradėkime nuo pastovaus ilgio

Įsivaizduokite tašką idealaus standaus 2 m ilgio strypo gale. Kitas strypo galas įtvirtintas taške O, kurio koordinatės yra x = 1 m ir y = −1 m. Taškas ir strypas gali būti tik vienoje fiksuotoje plokštumoje. Pasirenkame statmenas ašis: teigiama x kryptis nukreipta į dešinę, o teigiama y kryptis – aukštyn. Taškas gali užimti skirtingas padėtis, tačiau jo atstumas nuo O turi išlikti 2 m.

Taško padėtį galėtumėte užrašyti dviem Dekarto koordinatėmis – x ir y. Tačiau negalite abiejų pasirinkti laisvai. Jei tašką padėsite tiesiai virš O, jo padėtis turi būti (1 m, 1 m); padėjus jį į (1 m, 0 m), atstumas būtų tik 1 m. Ryšys – tai modelyje leistinų konfigūracijų ar judėjimo apribojimas.

Skaičiavimui reikia reikšmių įstatymo, koordinačių su ženklais ir apskritimo geometrijos žinių. Šį pasirengimą suteikia paskelbta medžiaga „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“, „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ ir „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Čia supažindiname su koordinačių ir ryšių sąvokomis; norint skaityti šią pamoką, judėjimo lygčių ir variacinių metodų nereikia.

Pažvelkime į leistinas konfigūracijas

Pitagoro teorema nusako pastovaus ilgio sąlygą: (x − 1 m)² + (y + 1 m)² = (2 m)². Čia x ir y yra ilgiai, matuojami pasirinktoje globaliojoje koordinačių sistemoje. Abu poslinkiai yra taško koordinatės O atžvilgiu. Kiekvieno šios lygties nario vienetas yra m².

Leistinos konfigūracijos sudaro diagramoje pavaizduotą apskritimą. Jo centras yra O, o ne globaliosios koordinačių sistemos pradžia. A, B, C ir D yra alternatyvios to paties taško padėtys. Ištisine linija nubrėžtas spindulys žymi B padėtį; brūkšnine linija nubrėžtas spindulys OA nusako atskaitos kryptį. Kampą θ matuokite nuo OA prieš laikrodžio rodyklę; padėtyje B jis yra statusis kampas, π/2 rad. Nė vienas spindulys nėra jėgą ar greitį vaizduojanti rodyklė.

Pasirinkus vieną vietą apskritime, nustatoma taško padėtis. Šis modelis turi vieną konfigūracijos laisvės laipsnį, taigi reikia vienos nepriklausomos vietinės koordinatės. Apskritimas yra dvimatėje fizinėje plokštumoje, nors ryšiu apribotai konfigūracijai nusakyti reikia tik vienos koordinatės. Tai skirtingi skaičiai.

Taško padėtį nusakykite vienu kampu

Strypo padėtį taško O atžvilgiu nusakykite diagramoje apibrėžtu kampu θ. Visas apsisukimas yra 2π rad. Radianas žymi plokščiąjį kampą; SI sistemoje tai specialusis vieneto „vienetas“ pavadinimas. Aiškiai rašomas rad leidžia atskirti šią koordinatę nuo ilgio.

Užrašykite φ = θ/(1 rad) – bematę skaitinę kampo vertę radianais. Iš apskritimo geometrijos gauname x = 1 m + (2 m) cos φ; y = −1 m + (2 m) sin φ. Kosinusas ir sinusas nusako vienetinio spindulio horizontalųjį ir vertikalųjį komponentus. Padauginus juos iš 2 m ir pridėjus O koordinates, atkuriama padėtis globaliojoje koordinačių sistemoje.

Pavyzdžiui, kai θ = π/2 rad, gauname cos φ = 0 ir sin φ = 1, taigi B = (1 m, 1 m). Tapatybė cos² φ + sin² φ = 1 rodo, kad ši transformacija tenkina pastovaus ilgio sąlygą esant bet kokiam kampui, o ne tik keturioms lentelėje pateiktoms vertėms.

Apibendrintoji koordinatė – tai kintamasis, pasirinktas konfigūracijai aprašyti pagal tokią atkūrimo taisyklę. Ji gali būti ilgis, kampas ar kitas tinkamas parametras. Šiame modelyje galime pasirinkti q = θ; simbolis q nereikalauja nei Dekarto koordinačių krypties, nei metro vieneto. Vis dėlto kiekvienai koordinatei reikia prasmės ir apibrėžimo srities.

Patikrinkite koordinačių pakankamumą ir apibrėžimo sritis

Siūloma koordinatė turi atskirti konfigūracijas, kurias ja ketinama aprašyti. Vertė x = 1 m neatskiria B nuo D: jų y vertės yra 1 m ir −3 m. Taigi vien x nepakanka visam apskritimui aprašyti, nebent pateikiama informacija apie šaką.

Viršutiniame pusapskritimyje be galinių taškų galima naudoti −1 m < x < 3 m ir atkurti y = −1 m + √[(2 m)² − (x − 1 m)²]. Teigiama kvadratinė šaknis parenka viršutinę šaką. Tai vietinis koordinatės pasirinkimas nurodytoje srityje; apatinei šakai reikia neigiamos kvadratinės šaknies. Kairiajame ir dešiniajame galiniuose taškuose šis konkretus aprašymas nesuteikia glodžios koordinatės, todėl praverčia kitas vietinis pasirinkimas.

Kampams taip pat reikia susitarimo. Pasirinkus 0 ≤ θ < 2π rad, kiekviena apskritimo padėtis atvaizduojama vieną kartą, tačiau ties A atsiranda sandūra: padėtys, kurių kampas vos mažesnis už visą apsisukimą, fiziškai yra arti padėčių, kurių kampas vos didesnis už nulį. Vietiniame kampo intervale, apimančiame A, galima naudoti ir neigiamus, ir teigiamus kampus. Vienas realiųjų skaičių intervalas nesuteikia vieno glodaus koordinačių žemėlapio visam uždaram apskritimui.

Konfigūracijų požiūriu θ = 0 rad ir θ = 2π rad nusako tą pačią erdvinę padėtį. Tolydi kampo kitimo istorija, kurioje kampas nesuvyniojamas į vieno apsisukimo intervalą, gali išsaugoti pilnų apsisukimų skaičių, tačiau čia tokia istorija nepateikta. Koordinačių reprezentantai ir sukauptas judėjimas yra skirtinga informacija.

Suskaičiuokite nepriklausomus apribojimus

Apsvarstykite kitą pateiktą modelį: du slankikliai ant atskirų tiesių kreipiamųjų turi padėties koordinates x₁ ir x₂, kurioms galioja 0 ≤ x₁ ≤ 5 m, 0 ≤ x₂ ≤ 5 m ir x₁ + x₂ = 5 m. Kreipiamosios ir jų koordinačių pradžios yra fiksuotos. Ši tiksli susiejimo taisyklė yra nustatyta iš anksto; čia neišvedame nei realaus lyno modelio, nei jėgos dėsnio.

Pasirinkite q = x₁. Tuomet x₂ = 5 m − q, kai 0 ≤ q ≤ 5 m. Kai q = 2 m, abi koordinatės yra 2 m ir 3 m. Viena nepriklausoma koordinatė nusako visą konfigūraciją, nors galima užrašyti du padėtį nusakančius skaičius. Abiejuose intervalo galuose leistini maži pokyčiai yra vienpusiai.

Pridėjus 2x₁ + 2x₂ = 10 m, pasirinkimo galimybės nesumažėja: tai ta pati lygtis, padauginta iš dviejų. Pridėjus x₁ = 2 m, panaikinama likusi pasirinkimo galimybė ir parenkama vienintelė konfigūracija (2 m, 3 m). Skaičiuokite nepriklausomus apribojimus, o ne užrašytas lygtis.

Įprasta lokalioji taisyklė teigia, kad n padėties kintamųjų, kuriems taikomi k nepriklausomų glodžių lygybėmis išreikštų ryšių, reguliariojoje konfigūracijoje pakanka n − k koordinačių. Reguliarumas reiškia, kad apribojimai pašalina nurodytas nepriklausomas lokaliąsias kryptis be singuliaraus išsigimimo. Tai lokalus rezultatas, galiojantis tam tikromis sąlygomis, o ne taisyklė, tinkanti kiekvienai nelygybei, kampui ar išskirtiniam taškui.

Laiką laikykite duotu

Trečiajame modelyje taškas yra ant horizontalaus bėgio, kurio aukštis nustatomas išoriškai. Laikotarpiu 0 ≤ t ≤ 4 s nurodykite y = 1 m + (0.5 m/s)t. Laiko momentais t = 0, 2 ir 4 s bėgio aukštis yra atitinkamai 1 m, 2 m ir 3 m. Idealus bėgis neturi horizontalaus judėjimo eigos ribotuvų, todėl x gali būti bet kokia baigtinė realioji ilgio vertė.

Duotu laiko momentu pasirinkite q = x. Konfigūracija atkuriama pagal x = q ir nurodytą y(t). Kai t = 2 s ir q = −1 m, konfigūracija yra (−1 m, 2 m). Šiame apraše laikas yra duotas parametras, o ne antra nepriklausoma nežinoma padėties koordinatė.

Padėties ryšys, kurį galima užrašyti naudojant koordinates ir galbūt laiką, vadinamas holonominiu. Fiksuotas apskritimas ir slankiklių sąsaja yra nuo laiko nepriklausomi holonominiai ryšiai; nustatytas judantis bėgis yra nuo laiko priklausomas ryšys. Jei atramos aukštį būtų galima laisvai keisti, užuot jį nustačius, tai būtų kitas modelis, kuriam galėtų reikėti dar vienos nepriklausomos koordinatės.

Pastebėkite, kada paprastas skaičiavimas netinka

Atsižvelkite ne tik į modelio lygybes, bet ir į jo ribas. Slankiklių pavyzdyje q = 6 m duotų x₂ = −1 m ir pažeistų neneigiamų padėties verčių srities ribas. Vien to, kad formulė duoda skaičių, nepakanka, kad tas skaičius nusakytų leistiną konfigūraciją.

Singuliarusis atvejis taip pat pakeičia skaičiavimą. Apskritimo 2 m spindulį pakeitus nuliu, gaunama (x − 1 m)² + (y + 1 m)² = 0 m². Abu kvadratiniai nariai yra neneigiami, todėl galimas tik O. Laisvųjų konfigūracijos koordinačių nėra, nors užrašyta tik viena lygtis. Reguliarumo sąlyga, kuria remiasi n − k taisyklė, nebetenkinama.

Kai kurie apribojimai išreiškiami greičiais. Greičių sąryšį kartais galima integruoti ir gauti padėčių sąryšį, tačiau kitų greičio apribojimų taip pertvarkyti negalima. Pastarieji yra neholonominiai. Nepriskirkite ryšio tam tikrai klasei vien todėl, kad pirmoje jo užrašymo formoje yra greitis, ir neatimkite kiekvieno greičių sąryšio taip, tarsi jis pašalintų konfigūracijos koordinatę.

Atskirkite konfigūraciją nuo judėjimo

Konfigūracija – tai leistinas sistemos padėčių išsidėstymas. Mūsų apskritimo lygtis nepasako, kuri leistina padėtis bus pasiekta vėliau, kaip greitai juda taškas ar kokios jėgos palaiko apribojimą. Daugybė skirtingų kampo kitimo laike dėsnių gali tenkinti tą patį fiksuoto ilgio reikalavimą. Pasirinkus patogią koordinatę, klausimas suformuluojamas tvarkingiau, tačiau dinamikos uždavinys neišsprendžiamas.

Prielaidos lemia, kas laikoma konfigūracija. Jei taškas, kurio atstumas fiksuotas, galėtų laisvai judėti trimatėje erdvėje, o ne mūsų plokštumoje, jo leistinos padėtys sudarytų sferą, o reguliariuosiuose taškuose reikėtų dviejų lokaliųjų padėties koordinačių. Nustatytas judėjimo plokštumoje apribojimas yra esminis mūsų vienu kampu aprašomam apskritimo modeliui.

Naudinga tokia veiksmų seka: įvardyti objektus ir apribojimus, pasirinkti nepriklausomas koordinates, nurodant jų apibrėžimo sritis ir matavimo vienetus, atkurti pradines padėtis ir gautas išraiškas įstatyti į kiekvieną ryšio lygtį. Tada pridėti judėjimo ir sąveikos informaciją, reikalingą kitam klausimui. Virtualiojo darbo ir Dalambero principo temoje nagrinėjama, kaip tokios apribotos konfigūracijos įtraukiamos į dinamiką.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskritimo modelyje palyginkite siūlomas padėtis (1 m, 1 m) ir (1 m, 0 m). Kuri yra leistina?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (1 m, 1 m) yra leistina; (1 m, 0 m) – ne.

   Jų atstumai nuo O = (1 m, −1 m) yra atitinkamai 2 m ir 1 m. Fiksuoto ilgio sąlyga reikalauja 2 m atstumo, o ne vien to, kad taškas būtų apskritimo viduje.

2. Raskite padėtis, kai θ = π/2 rad ir θ = 3π/2 rad. Ar vien x leidžia nustatyti, kuri iš šių padėčių yra užimta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padėtys yra (1 m, 1 m) ir (1 m, −3 m). Abiem atvejais x = 1 m, todėl visame apskritime vien x nepakanka.

   Sinusas pasikeičia iš +1 į −1, o kosinusas abiem atvejais lygus nuliui. Konfigūracijas leidžia atskirti kampas arba x kartu su informacija apie šaką.

3. Ar θ = 2π rad atitinka naują erdvinę konfigūraciją, palyginti su θ = 0 rad? Kuri kampo vertė naudojama pasirinkus 0 ≤ θ < 2π rad?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abi vertės atitinka tą pačią konfigūraciją A = (3 m, −1 m). Nurodytame kampo verčių intervale naudojama 0 rad vertė, o 2π rad neįtraukiama.

   Po viso apsisukimo kryptis nuo O vėl yra tokia pati. Judėjimo istorijoje, kurioje kampas neribojamas vienu apsisukimu, būtų galima įskaityti tą apsisukimą, tačiau vienas konfigūracijos aprašas neleidžia nustatyti, kad jis įvyko.

4. Slankiklių modelyje, kuriame suma lygi 5 m, raskite x₂, kai q = x₁ = 3.5 m. Ar q = 6 m būtų leistina vertė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai q = 3.5 m, x₂ = 1.5 m. Vertė q = 6 m nepatenka į leistinąją sritį.

   Iš 5 m atimkite q ir patikrinkite, ar abi koordinatės yra neneigiamos. Antroji vertė duotų x₂ = −1 m, todėl vien sumos sąlygos tenkinti nepakanka.

5. Judančiame bėgelyje laiko momentu t = 4 s pasirinkite q = x = 2 m. Nurodykite konfigūraciją ir nepriklausomų padėties koordinačių skaičių tuo fiksuotu laiko momentu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Konfigūracija yra (2 m, 3 m), o duotuoju laiko momentu yra viena nepriklausoma padėties koordinatė.

   Nustatytas aukštis yra 1 m + (0.5 m/s)(4 s) = 3 m. x lieka vienintelė laisvai pasirenkama koordinatė; t yra duotas, o ne dar vienas nežinomas konfigūracijos kintamasis.

6. Palikite įtvirtinimo tašką ir teigiamą 2 m ilgį, bet panaikinkite reikalavimą taškui likti fiksuotoje plokštumoje. Kiek lokaliųjų konfigūracijos koordinačių reikia vienam taškui trimatėje erdvėje reguliariajame taške?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikia dviejų lokaliųjų konfigūracijos koordinačių.

   Leistinosios padėtys sudaro sferą: trys Dekarto padėties kintamieji tenkina vieną reguliariąją lygybę, nusakančią fiksuotą ilgį. Būtent pradinis reikalavimas likti plokštumoje apribojo sferą iki apskritimo, kuriam pakanka vienos koordinatės.

Ką verta įsidėmėti

• Ryšys apriboja leistinąsias konfigūracijas arba judėjimą, tačiau pats savaime nenusako nei judėjimo eigos, nei jėgų.
• Kai taškui nustatyta fiksuota plokštuma ir fiksuotas atstumas, vienas kampas leidžia atkurti dvi tarpusavyje susijusias Dekarto koordinates.
• Apibendrintosioms koordinatėms reikia išsamių atkūrimo taisyklių, matavimo vienetų ir apibrėžimo sričių; svarbios šakos ir koordinačių žemėlapių sandūros.
• Nepriklausomus reguliariuosius apribojimus skaičiuokite lokaliai. Perteklines lygtis, singuliariuosius atvejus ir nelygybių ribas reikia tikrinti atskirai.
• Atrama, kurios judėjimas laike nustatytas išoriškai, skiriasi nuo papildomos laisvai judančios sistemos dalies.