Oilerio–Lagranžo lygtys

Viena dalelė, veikiama duotos pastovios jėgos

Apibrėžkite klasikinį modelį fiksuotoje inercinės atskaitos sistemos koordinačių ašyje, kurios teigiama kryptis yra į dešinę: taškinės dalelės masė yra pastovi, m = 2 kg, o ją veikianti jėga F = +4 N. Padėtis x yra ilgio matmens dydis; greitis v = dx/dt yra padėties kitimo sparta; pagreitis a = dv/dt yra greičio kitimo sparta. Iš duotos Niutono lygties ma = F gauname a = +2 m/s².

Pasirinkite x(0) = 0.5 m ir v(0) = 1 m/s. Laikotarpiu 0 ≤ t ≤ 2 s modelio judėjimą aprašo xₐ(t) = 0.5 m + (1 m/s)t + (1 m/s²)t² ir vₐ(t) = 1 m/s + (2 m/s²)t. Galutinė padėtis yra xₐ(2 s) = 6.5 m. Šios tiksliai pateiktos vertės leis patikrinti kitą tos pačios lygties išraišką.

Pirmiesiems patikrinimams naudojamos paprastos polinominės kitimo spartos. Paskelbta pasirengimo medžiaga apie išvestines ir integralus padeda suprasti vėlesnį išvedimą; su paprastu modeliu ir jo grafiku galima susipažinti pirmiausia. Reikiami energijos ir variacijų žymenys pristatomi toliau.

Užrašykite vieną energija pagrįstą funkciją

Šios pastovios masės klasikinės dalelės kinetinė energija yra K = mv²/2. Konservatyviąją jėgą galima išreikšti per nuo padėties priklausančią potencinę energiją V: F = −dV/dx. Mūsų duotai pastoviai jėgai F pasirinkime V(x) = −Fx, kurios vertė lygi nuliui ties x = 0. Lagranžo funkcija yra L(x, v) = K − V = mv²/2 + Fx. Abiejų narių vienetai yra J; mechaninei energijai būtų naudojama K + V.

Padėtis ir greitis yra atskiri L argumentai. Nagrinėdami judėjimo eigą, įstatome x(t) ir v(t) = dx/dt. Veikimas yra S[x] = ∫₀ᵀ L(x(t), v(t), t)dt, jo vienetai – J s. Bendrojoje išraiškoje įrašėme galimą tiesioginį laiko argumentą; mūsų dabartinė L jo neturi.

Stacionarus veikimas reiškia, kad pirmosios eilės veikimo pokytis lygus nuliui esant bet kuriam leistinam mažam judėjimo eigos pakeitimui, kai padėtys ir laiko momentai intervalo galuose yra fiksuoti. Tai nereiškia, kad veikimas visada yra minimalus. Toliau šią sąlygą naudojame lygčiai, kurią galima tikrinti kiekvienu laiko momentu, gauti.

Apskaičiuokite dalines išvestines, tada sekite judėjimo eigą

Simbolis ∂ žymi dalinę išvestinę: vienas L argumentas keičiamas, o kiti laikomi pastoviais. Skaičiuodami ∂L/∂v, x ir bet kurį tiesioginį argumentą t laikykite pastoviais. Diferencijuodami kvadratinį greičio narį gauname ∂L/∂v = mv; nario Fx indėlis lygus nuliui. Skaičiuodami ∂L/∂x, v ir t laikykite pastoviais: ∂L/∂x = F.

Šiame pastovios masės pavyzdyje su Dekarto koordinatėmis mv yra judesio kiekis p, kurio vienetai – kg m/s. Dabar apskaičiuokite įprastą išvestinę laiko atžvilgiu pagal pasirinktą judėjimo eigą: d/dt(∂L/∂v) = d(mv)/dt = ma, jos vienetai – N. Dalinės išvestinės padėties atžvilgiu ∂L/∂x vienetai taip pat yra J/m = N. Šiuos du suderinamus dydžius galima prilyginti vieną kitam.

Oilerio–Lagranžo lygtis koordinatei x yra d/dt(∂L/∂v) − ∂L/∂x = 0. Čia ji tiesiog yra ma − F = 0. Tai, kad skaičiuojant dalinę išvestinę v laikomas pastoviu, nereiškia, kad judant v išlieka pastovus; vėliau skaičiuojant išvestinę laiko atžvilgiu atsižvelgiama į tikrąją jo priklausomybę nuo laiko.

Patikrinkite judėjimo eigą pagal lokaliąją liekaną

Apibrėžkime R(t) = d/dt(∂L/∂v) − ∂L/∂x, apskaičiuotą pagal bandomąją judėjimo eigą. Judėjimo eiga tenkina šią lokaliąją lygtį, kai R(t) = 0 visame intervalo viduje. Mūsų glotniųjų polinomų atveju vienpusės vertės intervalo galuose taip pat gaunamos tolydžiai pratęsiant. R yra apskaičiuota lygties liekana, o ne papildoma dalelę veikianti sąveika.

Kai judėjimo eigą aprašo xₐ, judesio kiekio kitimo sparta yra (2 kg)(2 m/s²) = 4 N, o dalinė išvestinė padėties atžvilgiu yra 4 N, todėl Rₐ = 0. Dabar tame pačiame intervale išbandykite xᵦ(t) = 0.5 m + (2 m/s)t + (0.5 m/s²)t². Padėtys laiko momentais 0 ir 2 s yra tokios pačios, tačiau vᵦ = 2 m/s + (1 m/s²)t ir aᵦ = 1 m/s². Taigi Rᵦ = (2 kg)(1 m/s²) − 4 N = −2 N.

Antroji judėjimo eiga atitinka padėtis intervalo galuose ir yra glotni, todėl ją galima naudoti lyginant variacijas su fiksuotomis padėtimis intervalo galuose. Ji neaprašo judėjimo pagal šį duotą jėgos modelį. Jos pradinis greitis taip pat yra 2 m/s, o ne pasirinktas 1 m/s. Padėčių intervalo galuose fiksavimas palyginimui nefiksuoja bandomojo pradinio greičio.

Nagrinėkite trajektoriją ir liekaną kartu

Viršutiniame grafike pavaizduotas tikslus abiejų padėčių kitimas laike nuo 0 iki 2 s. Ištisinė linija ir apskritimai žymi xₐ, o brūkšninė linija ir kvadratai – xᵦ. Bendri galinių taškų rombai žymi sutampančias padėtis. Tarpinės padėtys skiriasi, nors abiejų trajektorijų pradžia ir pabaiga sutampa.

Apatiniame grafike laiko ašis tokia pati, tačiau vertikaliojoje ašyje žymimas kitas dydis: R, išreikštas N, nuo −3 iki +1 N. xₐ kreivė išlieka ties nuliu, o xᵦ kreivė – ties −2 N. Nenulinė liekana rodo, kad lygtis netenkinama, o ne neapibrėžtį, išmatuotą neatitikimą ar dar vieną jėgos rodyklę. Lentelėje pateiktos tikslios vertės.

Padėties kreivės yra tiksliai nubraižytos kvadratinės kreivės pažymėtame intervale nuo 0 iki 7 m. Jų konstravimo kontroliniai taškai nėra stebėjimų imties duomenys. Pasirinkti žymekliai ir liekanų linijos gaunami iš nustatyto modelio; nėra nei išmatuotų duomenų, nei nepavaizduotų ekstrapoliacijų.

Lygties išvedimas variuojant su fiksuotais galiniais taškais

Šiam išvedimui tarkime, kad L(x, v, t) turi tolydžias pirmosios ir antrosios eilės dalines išvestines lyginamų trajektorijų aplinkoje, o x(t) yra du kartus tolydžiai diferencijuojama baigtiniame fiksuotame intervale. Pasirinkime xε(t) = x(t) + εη(t), kur ε yra bedimensis dydis, o η turi padėties vienetus, yra tolydžiai diferencijuojama ir tenkina η(0) = η(T) = 0. Tuomet greičio pokytis yra εη′(t), kur η′ = dη/dt.

Pažymėkime Lₓ = ∂L/∂x ir Lᵥ = ∂L/∂v, apskaičiuotus išilgai x(t). Diferencijuojant veikimą ε atžvilgiu ties nuliu, gaunama δS = ∫₀ᵀ[Lₓη + Lᵥη′]dt. Čia δS žymi pirmosios variacijos koeficientą, kurio vienetai yra J s. Padėties ir greičio pokyčius sieja η′; tai nėra nepriklausomos funkcijos, kurias galima parinkti atskirai.

Integravimas dalimis išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės d(Lᵥη)/dt = (dLᵥ/dt)η + Lᵥη′. Integruojant laiko atžvilgiu, gaunama δS = [Lᵥη]₀ᵀ + ∫₀ᵀ[Lₓ − dLᵥ/dt]η dt. Laužtiniai skliaustai reiškia galinio taško vertę minus pradinio taško vertę. Šis narys lygus nuliui, nes η abiejuose galiniuose taškuose lygi nuliui, o ne todėl, kad ten impulsas turėtų būti lygus nuliui.

Stacionarumo sąlyga reikalauja, kad likęs integralas būtų lygus nuliui kiekvienai leistinai η. Jei jo tolydus koeficientas kuriuo nors vidiniu laiko momentu būtų nenulinis, mažame aplinkiniame intervale jis būtų griežtai teigiamas arba griežtai neigiamas. Glodi neneigiama η, lygi nuliui už šio intervalo ribų, padarytų integralą nenulinį. Todėl visame intervalo viduje Lₓ − dLᵥ/dt = 0; tai ir yra Oilerio–Lagranžo lygtis. Ir atvirkščiai, ši lygtis lemia, kad pirmoji variacija lygi nuliui, kai tenkinamos nurodytos reguliarumo ir kraštinės sąlygos. Ji nustato stacionarumą, o ne minimumą.

Po lygtį kiekvienai nepriklausomai koordinatei

Nepriklausomoms koordinatėms q₁, q₂, … ir tinkamai glodžiai funkcijai L(q₁, q₂, …, q̇₁, q̇₂, …, t) tas pats argumentas leidžia kiekvieną koordinatę varijuoti atskirai. Kiekvienam i gaunama d/dt(∂L/∂q̇ᵢ) − ∂L/∂qᵢ = 0. Taškas reiškia išvestinę laiko atžvilgiu. Skaičiuojant kiekvieną dalinę išvestinę, kitos koordinatės, greičiai ir laikas, nuo kurio L tiesiogiai priklauso, laikomi pastoviais.

Konkrečiam dvimačiam pavyzdžiui Dekarto koordinatėse imkime L = m(vₓ² + vᵧ²)/2 − ky²/2, kur m = 2 kg ir k = 8 N/m. Nepriklausomos ilgio dimensiją turinčios koordinatės x ir y duoda m aₓ = 0 ir m aᵧ = −ky. Kai y = 0.5 m, aₓ = 0 ir aᵧ = −2 m/s². Tai vietinė modelio patikra, o ne visa trajektorija, kuriai nustatyti reikia pradinių duomenų.

Interpretacija ∂L/∂v = įprastas impulsas galioja mūsų kinetinės energijos išraiškai Dekarto koordinatėse. Pasirinkus kitas koordinates, šį dydį reikia interpretuoti atitinkamai; kiekvienoje lygtyje vis tiek turi būti lyginami dydžiai su suderinamais vienetais. Prieš taikant atskirų koordinačių argumentą sistemai su ryšiais, būtina pagrįsti koordinačių nepriklausomumą ir leistinų variacijų tinkamumą.

Nurodykite duomenis ir modelio taikymo ribas

Pati judėjimo lygtis nenustato pradinės padėties ir greičio. Mūsų pastovios jėgos atveju šie pasirinkti duomenys parenka xₐ. Kiti duomenys duoda kitokias judėjimo eigas, tenkinančias tą pačią vietinę lygtį. Kraštinių sąlygų uždavinyje vietoj to nurodomos sąlygos galiniuose taškuose; egzistavimui ir vienatinumui reikia atskirų sąlygų, todėl vien užrašius Oilerio–Lagranžo lygtis jie negarantuojami.

Mūsų fiziniuose pavyzdžiuose naudojamos teigiamos pastovios masės, inercinės Dekarto koordinatės ir glodūs konservatyviųjų jėgų potencialai. Trinčiai, bendresnėms veikiančioms jėgoms, laukams ar reliatyvistiniam judėjimui reikia tinkamos formuluotės. Vien savavališkos jėgos įtraukimas į nuo padėties priklausantį potencialą arba bet kokio ryšio reakcijos jėgų nepaisymas nėra bendras metodas.

Lygtis taikykite tokia tvarka: nurodykite modelį ir duomenis, nustatykite nepriklausomus argumentus, apskaičiuokite dalines išvestines, tada išvestinę laiko atžvilgiu ir patikrinkite vienetus bei kraštines sąlygas. Kitoje pamokoje „Noether teorema ir tvarieji dydžiai“ nagrinėjama, kaip nurodytos tolydžiosios simetrijos susijusios su tverme, kai tenkinamos tinkamos prielaidos apie veikimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kokios yra ∂L/∂v ir d/dt(∂L/∂v) vertės pagrindiniame pastovios jėgos modelyje, kai t = 1 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∂L/∂v = 6 kg m/s; d/dt(∂L/∂v) = 4 N.

   Pirmasis dydis yra mv, kai v = 3 m/s; antrasis yra ma, kai a = 2 m/s². Dydžio vertės negalima painioti su jo kitimo sparta laiko atžvilgiu.

2. Tame pačiame modelyje, kuriame masė yra 2 kg, o jėga – +4 N, galimo sprendinio pagreitis vidiniame laiko intervalo taške yra +3 m/s². Kokia ten yra R vertė ir ar šis galimas sprendinys tenkina lygtį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   R = +2 N; tuo momentu galimas sprendinys lygties netenkina.

   ma − F = (2 kg)(3 m/s²) − 4 N = 2 N. Pakanka vienos nenulinės lygties liekanos vidiniame intervalo taške, kad šis galimas sprendinys būtų atmestas kaip viso intervalo sprendinys.

3. Bandomosios trajektorijos xᵦ pradinis greitis yra 2 m/s, o ne 1 m/s, kaip trajektorijos xₐ. Ar vien dėl to ji yra neleistina lyginant variacijas, kai padėtys intervalo galuose yra fiksuotos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Šiame palyginime fiksuojamos galinių taškų padėtys ir laiko momentai, o ne greičiai galiniuose taškuose.

   Bandomoji trajektorija atitinka galinių taškų sąlygas ir yra glodi. Ji vis tiek skiriasi nuo pradinių sąlygų uždavinio sprendinio, kurį apibrėžia x(0) = 0.5 m ir v(0) = 1 m/s, o jos nenulinė liekana atskirai rodo neatitiktį modeliui.

4. Kokia yra dalinė išvestinė koordinatės atžvilgiu ir koks turi būti pagreitis, kai x = −0.25 m, taikant 3 kg masės kūno su spyruokle modelį, kuriame k = 12 N/m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∂L/∂x = +3 N ir a = +1 m/s².

   −kx = −(12 N/m)(−0.25 m) = +3 N. Iš lokaliosios lygties ma = −kx gauname a = +1 m/s²; pagreitis iš šios pusės nukreiptas į pusiausvyros padėtį.

5. Kodėl išvedant lygtį galima atmesti [Lᵥη]₀ᵀ? Ar tas pats argumentas galiotų pastoviam nenuliniam galinių taškų poslinkiui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiejuose galiniuose taškuose η lygi nuliui. Pastovus nenulinis poslinkis šios sąlygos netenkina.

   Nebuvo daroma prielaida, kad impulsas ar greitis galiniuose taškuose lygus nuliui. Pakeitus galinių taškų padėtis, pasikeičia variacinis uždavinys ir jo kraštinis narys; fiksuotiems galiniams taškams taikyto argumento negalima tiesiog panaudoti dar kartą.

6. Taikykite dviejų koordinačių modelį, kuriame m = 2 kg, k = 8 N/m ir y = 0.5 m. Raskite aₓ ir aᵧ. Ar to pakanka visai trajektorijai nustatyti be papildomų duomenų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   aₓ = 0 ir aᵧ = −2 m/s². Vis dar reikia pradinių arba kitų tinkamų kraštinių duomenų.

   Dalinė išvestinė x koordinatės atžvilgiu lygi nuliui, o dalinė išvestinė y koordinatės atžvilgiu lygi −ky = −4 N. Kiekvieną padalykite iš 2 kg. Šios lokaliosios lygtys nesuteikia trūkstamų padėčių ir greičių.

Ką verta įsidėmėti

• Apskaičiuokite dalines išvestines, kitus Lagranžo funkcijos argumentus laikydami fiksuotais, tada apskaičiuokite paprastąją išvestinę laiko atžvilgiu išilgai trajektorijos.
• Pasirinktoje Dekarto koordinačių formoje, kai masė pastovi, lygtis lygina impulso kitimo spartą su jėgos dimensiją turinčia daline išvestine padėties atžvilgiu.
• Glodi trajektorija gali atitikti abu galinius taškus, tačiau jos Oilerio–Lagranžo lygties liekana vis tiek gali būti nenulinė.
• Vietinė lygtis išplaukia iš visų leistinų variacijų su fiksuotais galiniais taškais, esant aiškiai nurodytoms reguliarumo sąlygoms; stacionarumas dar nereiškia minimumo.
• Nepriklausomos koordinatės, suderinami matavimo vienetai, fizikinio modelio taikymo ribos ir pakankami duomenys tebėra būtini.