Stacionaraus veikimo principas

Ta pati pradžia ir pabaiga, skirtingos judėjimo eigos

Materialusis taškas, kurio masė yra 2 kg, juda išilgai fiksuotos tiesios koordinačių ašies, kurios teigiama kryptis yra į dešinę. Užfiksuokite x(0) = 0 m ir x(2 s) = 2 m. Taikykite Niutono mechanikos modelį inercinėje atskaitos sistemoje: dalelės, kurios neveikia jėgos, greitis yra pastovus, todėl pagal šį modelį judėjimą tarp šių galinių taškų aprašo x₀(t) = (1 m/s)t, kai 0 ≤ t ≤ 2 s.

Dabar nubraižykite kitas glotnias padėties priklausomybės nuo laiko kreives su tais pačiais galiniais taškais. Judant pagal jas, greitis gali didėti arba mažėti. Tai matematinės bandomosios judėjimo eigos, skirtos palyginti, o ne papildomi judėjimai, kai dalelės neveikia jėgos. Judėjimo eiga nusako padėtį kiekvienu intervalo laiko momentu, o ne vien geometrinę trajektoriją erdvėje.

Kiekvienai judėjimo eigai priskirsime vieną skaičių ir nagrinėsime, kaip jis kinta keičiantis judėjimo eigai. Pirmajam palyginimui pakanka algebros ir matavimo vienetų. Vėliau, skaičiuojant bendrąją variaciją, naudojamos išvestinės ir integralai, kurie trumpai pristatomi ten, kur jų prireikia; prie šio skaičiavimo galima grįžti išnagrinėjus susietą pasirengimo matematinės analizės temoms medžiagą.

Energijų skirtumo kaupimas laikui bėgant

Greitis v = dx/dt yra padėties kitimo laiko atžvilgiu sparta. Mūsų klasikiniame pastovios masės modelyje kinetinė energija yra K = mv²/2. Potencinė energija V(x) aprašo konservatyviąją sąveiką; laisvajai dalelei pasirenkame V = 0. Čia naudojama Lagranžo funkcija yra L = K − V, jos matavimo vienetas – energijos vienetas J. Ji skiriasi nuo mechaninės energijos K + V.

Judėjimo eigos veikimas yra S[x] = ∫₀ᵀ L(x(t), v(t)) dt. Laužtiniai skliaustai primena, kad argumentas yra visa funkcija x(t). Integralas fiksuotame laiko intervale sumuoja L ir trumpų laiko tarpų sandaugas; kai L pastovi, jis tiesiog lygus L × T. Taigi laisvosios dalelės, judančios pastoviu greičiu, trajektorijai L = 1 J ir S[x₀] = (1 J)(2 s) = 2 J s.

Veikimo matavimo vienetas yra J s, o ne J. Veikimas nėra išilgai trajektorijos atliktas darbas ir, kai yra potencinė energija V, nebūtinai yra teigiamas. Prie potencinės energijos pridėjus tą pačią konstantą C, kiekvienas lyginamas veikimas pasikeičia dydžiu −CT; kadangi trukmė fiksuota, tai nekeičia to, kurios judėjimo eigos yra stacionarios.

Vienu parametru pasirinkite visą judėjimo eigą

Pasirinkite pradinę bandomųjų judėjimo eigų šeimą xβ(t) = (1 m/s)t + β(1 m/s²)t(2 s − t). Čia β yra bedimensė konstanta; pavaizduotas intervalas yra −0.5 ≤ β ≤ 0.5. Pridėtasis narys lygus nuliui abiem fiksuotais galiniais laiko momentais. Kai β teigiamas, intervalo viduryje trajektorija yra priekyje x₀; kai β neigiamas – už jos.

Diferencijuodami laiko atžvilgiu, laikykite β pastoviu: vβ(t) = 1 m/s + β(1 m/s²)(2 s − 2t). Pavaizduotame β intervale vβ yra neneigiamas visame laiko intervale 0 ≤ t ≤ 2 s. Tik kai β = 0, greitis yra pastovus ir judėjimo eiga tenkina modelį, kuriame neveikia jėgos. Leistina bandomoji judėjimo eiga nebūtinai turi tenkinti šį modelį.

Norėdami apskaičiuoti veikimą, užrašykite τ = t/(1 s) – bedimensį skaitinį laiką. Tuomet S(β) = (1 J s)∫₀²[1 + β(2 − 2τ)]² dτ. Išskleiskite kvadratą. Nario, tiesinio β atžvilgiu, integralas lygus nuliui, nes ∫₀²(2 − 2τ)dτ = 0. Kvadratinio nario integralas yra ∫₀²(2 − 2τ)²dτ = 8/3. Todėl S(β) = 2 J s + (8/3 J s)β².

Laiką ir trajektorijos parametrą skaitykite skirtingose ašyse

Viršutiniame grafike sekite vieną kreivę nuo t = 0 iki t = 2 s, jos β išlaikydami pastovų. Apskritimai ir ištisinė linija žymi β = 0; kvadratai ir brūkšninė linija žymi β = −0.5; trikampiai ir taškinė linija žymi β = +0.5. Abu galiniai rombai bendri visoms kreivėms. Lentelėje pateiktos tikslios padėtys pasirinktais laiko momentais.

Apatinio grafiko horizontaliojoje ašyje yra β, o vertikaliojoje – S. Kiekvienas taškas čia atitinka visą viršutiniame grafike pavaizduotą judėjimo eigą. Šios šeimos veikimo kreivė žemiausią tašką pasiekia, kai β = 0: S(−0.5) = S(+0.5) = 8/3 J s, o S(0) = 2 J s. Judėjimas horizontaliai šiame apatiniame grafike reiškia judėjimo eigų palyginimą, o ne laiko tėkmę.

Glodžios kreivės tiksliai vaizduoja pateiktas kvadratines funkcijas pažymėtose grafiko srityse. Žymekliai nurodo pasirinktas tikslias vertes; tai nėra matavimai. Geometrinio konstravimo taškai nėra papildomi duomenų taškai. Vien trijų žymeklių palyginimo nepakaktų nustatyti, kas vyksta esant kiekvienai leistinai variacijai.

Ko reikia stacionarumui

Nagrinėkime pasirinktą judėjimo eigą x*(t) ir artimų eigų šeimą xε(t) = x*(t) + εη(t). Konstanta ε yra bedimensė. Funkcija η(t) turi padėties matavimo vienetus ir aprašo pokyčio formą. Reikalaukime, kad η(0) = η(T) = 0, taigi padėtys ir laiko momentai abiejuose galuose lieka fiksuoti. Čia leidžiame tokias η, kurių pirmoji išvestinė laiko atžvilgiu yra tolydi visame baigtiniame intervale; taip bandomasis greitis ir veikimas lieka gerai apibrėžti.

Kiekvienai tokiai formai keiskime ε apie nulį ir apskaičiuokime kitimo spartą dS[xε]/dε, kai ε = 0. Stacionarus veikimas reiškia, kad ši sparta lygi nuliui kiekvienai leistinai η. Ši išvestinė palygina ištisas judėjimo eigas. Tai nėra dS/dt, ir ji nereiškia, kad dalelė sustoja ar kad kiekvienos baigtinio pokyčio bandomosios eigos veikimas yra toks pat.

Mūsų β šeimai dS/dβ = (16/3 J s)β, o ši išraiška lygi nuliui, kai β = 0. Tai vienas būtinas patikrinimas, o ne visa sąlyga, taikoma kiekvienai variacijai. Kitas skaičiavimas pagrindžia stipresnį teiginį šiam laisvosios dalelės modeliui.

Kodėl laisvosios dalelės pavyzdyje tikrai gaunamas minimumas

Tarkime, xε(t) = (1 m/s)t + εη(t), kur η yra bet kuri tolydžiai diferencijuojama funkcija, kurios reikšmės intervalo 0 ≤ t ≤ 2 s galuose lygios nuliui. Žymėkime η′(t) = dη/dt; ši išvestinė turi greičio matavimo vienetus. Išskleidę K, gauname S[xε] − S[x₀] = m(1 m/s)ε∫₀^(2 s)η′(t)dt + (mε²/2)∫₀^(2 s)[η′(t)]²dt.

Išvestinės integralas yra η(2 s) − η(0) = 0: integruojant kitimo spartą gaunamas reikšmių pokytis tarp intervalo galų. Likęs narys yra neneigiamas, nes tai kvadrato integralas, o m yra teigiamas. Todėl S[xε] ≥ S[x₀], ir pirmosios eilės nario nėra. Šiame konkrečiame laisvosios dalelės uždavinyje pastovaus greičio judėjimo eiga yra stacionari, o jos veikimas yra minimalus tarp šių eigų su fiksuotais galais.

Šis samprotavimas remiasi pateikta kinetinės energijos išraiška, fiksuota trukme ir tuo, kad potencialas nekinta. Jis nereiškia, kad judėjimas apskritai minimizuoja kinetinę energiją, laiką, atstumą ar veikimą. Norėdami pamatyti skirtumą, pakeiskime fizikinį modelį.

Stacionari spyruoklinio judėjimo eiga, kuri neduoda minimumo

Pasirinkime kitą idealų konservatyvųjį modelį: tiesėje judantį 2 kg masės materialųjį tašką veikia spyruoklės jėga F = −kx, kur k = 2 N/m, o V = kx²/2, atskaitą pasirenkant ties x = 0. Pagal Niutono lygtį ma = F, x*(t) = 0 yra leistina rimties eiga. Fiksuokime x(0) = x(4 s) = 0, kai trukmė yra 4 s. Šiame palyginime pagal galinius taškus pradiniai bandomųjų eigų greičiai nėra fiksuoti.

Rimties būsenoje ir K, ir V lygūs nuliui. Bet kuriai glodžiai perturbacijai xε = εη su fiksuotais galais veikimas yra ε²∫₀^(4 s)[(m/2)(η′)² − (k/2)η²]dt. Nėra nario, tiesinio ε atžvilgiu, todėl rimties eiga yra stacionari kiekvienai tokiai variacijai.

Dabar pasirinkime xλ(t) = λ(1 m/s²)t(4 s − t), kur λ yra bedimensis. Šios eigos galiniai taškai tenkina sąlygas, tačiau neteigiama, kad ji yra spyruoklės judėjimo lygties sprendinys. Tiksliai integruodami gauname S(λ) = −(64/5 J s)λ². Kai λ = 0.1, S = −0.128 J s, taigi jis mažesnis už rimties eigos veikimą, lygų nuliui. Esant kiek norima mažam nenuliniam λ, veikimas taip pat yra griežtai neigiamas, todėl rimtis neduoda minimumo. Neigiamas kreivumas išilgai šios pasirinktos šeimos neįrodo, kad gaunamas maksimumas tarp visų judėjimo eigų.

Aiškiai apibrėžkite principą ir jo taikymo sritį

Čia nagrinėjamuose glodžiuose konservatyviuosiuose klasikiniuose modeliuose stacionaraus veikimo principas teigia, kad fizikinės judėjimo eigos veikimo pirmosios eilės pokytis lygus nuliui esant bet kuriai leistinai variacijai, kai nustatytos pradinė bei galinė padėtys ir atitinkami laiko momentai yra fiksuoti. „Mažiausias veikimas“ yra įprastas pavadinimas, tačiau būtent stacionarumo sąlyga lieka galioti mūsų spyruoklės kontrpavyzdyje.

Mūsų pavyzdžiuose naudojama pastovi teigiama masė, inercinė atskaitos sistema ir glodus, nuo padėties priklausantis potencialas. Norint metodą išplėsti ryšiams, trinčiai, reliatyvistiniam judėjimui ar laukams, reikia tinkamos jų formuluotės; tiesiog įtraukti kiekvieną jėgą į L = K − V nėra bendra taisyklė. Prieš lyginant veikimo vertes taip pat būtina nurodyti kraštines sąlygas.

Kitoje pamokoje „Oilerio–Lagranžo lygtys“ ši visoms variacijoms taikoma sąlyga, esant aiškiai nurodytoms reguliarumo prielaidoms, paverčiama lokalia judėjimo lygtimi. Čia pateiktus modelius patikrinome tiesiogiai. Judėjimo eigos ir skaičiai yra tikslios mokomosios prielaidos, o ne eksperimentas, rodantis, kaip tikra dalelė pasirenka trajektoriją.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Laisvosios dalelės trajektorijų šeimoje naudokite β = 0.25. Raskite x(1 s) ir S.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x(1 s) = 1.25 m ir S = 13/6 J s.

   Perturbacija laiko intervalo viduryje yra β × 1 m. Veikimas yra 2 J s + (8/3 J s)(1/16) = 13/6 J s.

2. Ar x(t) = (1 m/s)t + 0.1 m galima naudoti kaip leistiną bandomąją judėjimo eigą mūsų pradiniame uždavinyje su fiksuotomis pradinės ir galutinės padėčių vertėmis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Ji pakeičia ir pradinę, ir galutinę padėtį.

   Ji duoda x(0) = 0.1 m ir x(2 s) = 2.1 m. Pastovus poslinkis nėra variacija, lygi nuliui abiejuose galuose, nors greitis ir lieka nepakitęs.

3. Besimokantysis vadina dS/dβ energija, nes S buvo sudarytas iš energijos. Kuris kintamasis keičiamas ir koks čia yra išvestinės matavimo vienetas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Keičiant β, keičiama visa pasirinkta judėjimo eiga; dS/dβ matavimo vienetas yra J s.

   β yra bedimensis, todėl diferencijuojant pagal jį veikimo matavimo vienetai išlieka. Tai nėra diferencijavimas pagal praėjusį laiką.

4. Trijų bandomųjų judėjimo eigų veikimo vertės yra 8/3, 2 ir 8/3 J s. Ar vien šis sąrašas įrodo, kad veikimas yra stacionarus esant bet kuriai leistinai variacijai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Taip patikrinamos tik šios trys judėjimo eigos.

   Galimi ir kiti glodūs pokyčiai, lygūs nuliui abiejuose galuose. Mūsų bendrasis laisvosios dalelės veikimo skleidinys įrodo sąlygą, galiojančią kiekvienai variacijai, ir minimumą; vien baigtinis sąrašas neįrodo nei vieno, nei kito.

5. Atskirame 4 s trukmės spyruoklės palyginime pakeiskite λ iš 0.1 į 0.2. Koks yra bandomosios judėjimo eigos veikimas ir kokia išvada iš to išplaukia apie rimties būseną atitinkančią judėjimo eigą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S = −0.512 J s; stacionarioji ramybės trajektorija neatitinka minimumo.

   Veikimas proporcingas λ², todėl padvigubinus λ, −0.128 J s padauginama iš keturių. Apskritai kiekviena šios šeimos trajektorija su bet kokia kiek norima maža nenuline λ verte turi neigiamą veikimą. Tai neįrodo maksimumo visų trajektorijų atžvilgiu.

6. Tai pačiai spyruoklei ir bandomajai funkcijai xλ(t) = λ(1 m/s²)t(1 s − t) dabar nustatykite nulines padėtis galiniuose taškuose, kai t = 0 ir t = 1 s. Veikimo kinetinio ir potencinio dėmenų koeficientai yra 1/3 J s ir 1/30 J s. Raskite S(λ). Ar šis vienos šeimos patikrinimas įrodo minimumą visų variacijų atžvilgiu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   S(λ) = (3/10 J s)λ². Šis vienos šeimos patikrinimas neįrodo minimumo visų variacijų atžvilgiu.

   Atimkite 1/30 iš 1/3. Teigiamas koeficientas skiriasi nuo palyginimo, kai trukmė buvo 4 s: veikimo palyginimai priklauso nuo fiksuotos trukmės ir leistinų trajektorijų. Minimumui visų variacijų atžvilgiu įrodyti reikėtų stipresnio argumento.

Ką verta įsidėmėti

• Veikimas visai trajektorijai per nurodytą laiko intervalą priskiria skaičių, kurio vienetai yra J s.
• Leistina bandomoji trajektorija su fiksuotais galiniais taškais nebūtinai turi tenkinti fizikinę judėjimo lygtį.
• Išvestinė laiko atžvilgiu aprašo vieną trajektoriją; išvestinė parametro atžvilgiu palygina trajektorijas.
• Kad veikimas būtų stacionarus, jo pirmosios eilės pokytis turi būti lygus nuliui kiekvienos leistinos variacijos atveju.
• Pateiktame laisvosios dalelės modelyje gaunamas minimumas, tačiau spyruoklės pavyzdys paneigia, kad minimumas yra universalus.