Padėtis, poslinkis, greitis ir pagreitis

Nustatyti taško padėtį pasirinktoje ašyje

Pasirinkite pažymėtą tašką ant vežimėlio ir nejudantį tiesų takelį. Koordinačių pradžią nustatykite ties žyma ant takelio, o kryptį į dešinę pasirinkite kaip teigiamą. Jei taškas pradeda judėti iš x = −1 m ir vėliau pasiekia x = +2 m, jo koordinatė padidėja 3 m. Minuso ženklas nurodo, kur pradinė taško padėtis yra koordinačių pradžios atžvilgiu; jis nenurodo, kuria kryptimi juda vežimėlis.

Padėtis nusako, kur taškas yra nurodytu laiko momentu. Taško koordinatę su ženklu metrais žymėkite x(t), o praėjusį laiką sekundėmis – t. Atlikdami skaičiavimą nekeiskite koordinačių pradžios ir teigiamos krypties, taip pat nurodykite, kada laikrodis rodo nulį. Šioje pamokoje nagrinėjamas vieno taško judėjimas išilgai vienos ašies; norint aprašyti matmenis turinčio kūno sukimąsi, reikia daugiau informacijos.

Jei reikia pakartoti dydžių vertes ir m/s vienetus, pasinaudokite paskelbta pamoka „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“. Pamoka „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia reikšmių įstatymui ir grafikų skaitymui. Pamoka „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ parengia skyriams apie ribinę kitimo spartą. Skaitydami pirmą kartą, sekite baigtinius pokyčius ir pateiktą grafiką bei lentelę; tada grįžkite prie išvestinių skaičiavimų. Skleidimo Teiloro eilute čia nereikia.

Atskirkite poslinkį nuo nueito kelio

Poslinkis yra padėties pokytis nuo pradinio laiko momento t₁ iki vėlesnio laiko momento t₂. Jo komponentė su ženklu išilgai pasirinktos ašies yra Δx = x(t₂) − x(t₁). Simbolis Δ reiškia galutinės ir pradinės verčių skirtumą. Poslinkis yra vektorius; Δx yra jo vienmatė komponentė su ženklu. Teigiama komponentė nukreipta pasirinkta teigiama kryptimi, o neigiama – priešinga kryptimi.

Nueitas kelias yra judėjimo trajektorijos ilgis ir yra neneigiamas. Tiesioje atkarpoje, kurioje judama viena kryptimi, neapsisukant, jis lygus |Δx|. Jei taškas apsisuka, sudėkite atskirų atkarpų, kuriose judama viena kryptimi, ilgius. Pavyzdžiui, judant nuo −2 m iki +3 m ir tada grįžtant iki 0 m, poslinkis yra +2 m, o nueitas kelias – 5 m + 3 m = 8 m.

Abu dydžiai matuojami metrais, tačiau atsako į skirtingus klausimus. Pradinė ir galutinė padėtys apibrėžia poslinkį. Jos neapibrėžia nueito kelio, nebent taip pat nurodyta trajektorija tarp jų. Grįžus į pradinį tašką, poslinkis lygus nuliui, net jei nueitas kelias yra teigiamas.

Palyginkite vidutinį vektorinį ir skaliarinį greitį

Tegu Δt = t₂ − t₁ > 0 yra praėjęs laikas. Vidutinio vektorinio greičio komponentė su ženklu yra vₓ,avg = Δx/Δt. Vidutinis skaliarinis greitis yra nueitas kelias, padalytas iš to paties praėjusio laiko. Abiejų matavimo vienetai yra m/s. Vidutinio vektorinio greičio ženklas nusako kryptį; vidutinis skaliarinis greitis yra neneigiamas.

Tarkime, kad dvi atkarpos, kurių kiekvienoje judama viena kryptimi, nuo −2 m iki +3 m ir nuo ten iki 0 m įveikiamos per 2 s ir 3 s. Visos kelionės Δx = +2 m ir Δt = 5 s, todėl vidutinis vektorinis greitis yra +0.4 m/s. Nueitas kelias yra 8 m, todėl vidutinis skaliarinis greitis yra 1.6 m/s. Visada naudokite bendrą praėjusį laiką, o ne nesvertinį abiejų atkarpų greičių vidurkį.

Vidurkis apima baigtinį laiko intervalą. Jis nenusako greičio kiekvienu to intervalo momentu. Padėties priklausomybės nuo laiko grafike tiesės, jungiančios pradinį ir galutinį taškus, nuolydis yra vidutinis vektorinis greitis: padėties pokytis metrais, padalytas iš laiko pokyčio sekundėmis. Grafiko laiko ašis žymi praėjusį laiką, o ne kitą erdvinę kryptį.

Nustatykite momentinį kitimo greitį

Vidiniame apibrėžimo srities taške t, kuriame x(t) yra diferencijuojama, momentinis greitis yra vₓ(t) = dx/dt. Tai yra [x(t + h) − x(t)]/h riba, kai nenulinis laiko prieaugis h artėja prie nulio, o t + h lieka apibrėžimo srityje. Ši išvestinė yra padėties priklausomybės nuo laiko kreivės liestinės nuolydis, matuojamas m/s. Apibrėžimo srities kraštiniame taške naudokite atitinkamą vienpusę išvestinę, jei ji egzistuoja.

Pateikite tikslų mokomąjį modelį x(t) = 1 m + (4 m/s)t − (1 m/s²)t², kai 0 ≤ t ≤ 3 s. Kiekvieno nario matavimo vienetas yra metras. Jo vertės laiko momentais 0 s, 1 s, 2 s ir 3 s yra 1 m, 4 m, 5 m ir 4 m. Glodžioji funkcija pateikta ir tarp šių laiko momentų; vien keturios vertės jos neapibrėžtų.

Įstatę ir atėmę gauname [x(t+h)−x(t)]/h = 4 m/s − (2 m/s²)t − (1 m/s²)h, kai h yra leistinas ir nenulinis. Apskaičiavę ribą gauname vₓ(t) = 4 m/s − (2 m/s²)t. Per pirmąją sekundę vidutinis vektorinis greitis yra (4 m − 1 m)/(1 s) = 3 m/s, o momentinis greitis laiko momentu 1 s yra 2 m/s. Tai skirtingi to paties judėjimo greičiai.

Vienmatėje erdvėje momentinis greičio modulis yra |vₓ(t)|. Teigiamas greitis reiškia, kad koordinatė didėja, o neigiamas – kad koordinatė mažėja. Taigi teigiama koordinatė gali būti ir tada, kai greitis neigiamas. Laiko momentu 2.5 s šiame modelyje x = 4.75 m, o vₓ = −1 m/s: taškas yra į dešinę nuo koordinačių pradžios, bet juda į kairę.

Pagreitis kaip greičio kitimas

Vidutinio pagreičio komponentė yra [vₓ(t₂) − vₓ(t₁)]/(t₂ − t₁), kai t₂ > t₁. Čia intervalo galų reikšmės yra momentiniai greičiai. Ten, kur vₓ yra diferencijuojamas, momentinis pagreitis yra aₓ(t) = dvₓ/dt; jei x yra du kartus diferencijuojamas, tai taip pat yra jo antroji išvestinė laiko atžvilgiu. Pagreičio vienetai yra m/s², nes greičio pokytis, išreikštas m/s, dalijamas iš laiko, išreikšto sekundėmis.

Diferencijuojant pateiktos kvadratinės funkcijos vₓ, gaunama aₓ = −2 m/s² visame leistiname intervale; jo galuose naudojamos vienpusės išvestinės. Greitis kas sekundę sumažėja 2 m/s. Laiko momentu 2 s greitis lygus nuliui, bet pagreitis tebėra −2 m/s². Tai, kad taškas vieną akimirką nejuda, nereiškia, kad jis ir toliau liks rimties būsenoje.

Neigiama pagreičio komponentė reiškia, kad greičio komponentė kinta neigiamų reikšmių link. Iki 2 s teigiamas greitis mažėja artėdamas prie nulio, todėl greičio modulis mažėja. Po 2 s greitis yra neigiamas, o jo modulis didėja. Svarbūs ir greičio, ir pagreičio ženklai; vien neigiamas pagreitis nereiškia lėtėjimo.

Trijų to paties judėjimo grafikų palyginimas

Palyginkite visus tris grafikus tuo pačiu laiko momentu. Padėties kreivė kyla iki 5 m laiko momentu 2 s, o paskui leidžiasi; šiame maksimumo taške jos liestinė yra horizontali. Greičio tiesė tuo pačiu laiko momentu pasiekia nulį, o greitis iš teigiamo tampa neigiamas. Pagreičio tiesė lieka ties −2 m/s². Brūkšninės vertikalios pagalbinės linijos kiekviename grafike žymi 2 s; jos skirtos palyginti tuo pačiu laiko momentu, o ne vaizduoti trajektoriją erdvėje.

Visų grafikų laiko skalė yra ta pati – 0–3 s, tačiau jų vertikaliosiose ašyse žymimi skirtingi dydžiai ir vienetai. Padėtis išreiškiama metrais, greitis – m/s, o pagreitis – m/s². Skaitines vertikaliųjų koordinačių reikšmes reikia interpretuoti pagal šiuos užrašus. Lentelėje pateiktos visos pažymėtos reikšmės; kreivės taip pat vaizduoja pateiktą modelį tarp pažymėtų taškų.

Nuo 0 s iki 2 s poslinkis yra 5 m − 1 m = +4 m. Nuo 2 s iki 3 s jis yra 4 m − 5 m = −1 m. Greičio grafike tai yra dviejų trikampių plotai su ženklais: (2 s)(4 m/s)/2 = +4 m ir −(1 s)(2 m/s)/2 = −1 m. Bendras poslinkis yra +3 m, o nueitas kelias – 4 m + 1 m = 5 m. Plotas žemiau nulinio greičio linijos į poslinkį įtraukiamas su neigiamu ženklu; jo geometrinis plotas yra teigiamas.

Šį užtušuoto ploto skaičiavimą galima taikyti tiesiogiai, nes pateiktas greitis abiejose judėjimo atkarpose kinta tiesiškai. Platesnis išvestinės ir integralo ryšys nagrinėjamas temoje „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“. Čia parodytam poslinkiui ir nueitam keliui nustatyti jau pakanka monotoniškų padėties kitimo atkarpų ir trikampių plotų skaičiavimo. Tiksli mokomoji funkcija nebuvo pritaikyta prie matavimo duomenų.

Patikrinkite, ar sustojimo akimirką pasikeičia judėjimo kryptis

Sustojimo akimirką vₓ = 0. Norėdami nustatyti, ar judėjimo kryptis pasikeičia, taip pat patikrinkite ją prieš pat šią akimirką ir iškart po jos. Pagrindiniame modelyje judėjimo kryptis pasikeičia ties 2 s, nes tuomet greitis iš teigiamo tampa neigiamas. Vien to, kad greitis lygus nuliui, nepakanka.

Atskirame tiksliame modelyje nurodykite q(t) = 2 m + (1 m/s³)(t − 1 s)³ intervale 0 ≤ t ≤ 2 s, naudodami tą pačią fiksuotą teigiamą kryptį. Čia q žymi šio atskiro atvejo koordinatę toje pačioje fiksuotoje ašyje. Diferencijuojant gaunama v_q(t) = (3 m/s³)(t − 1 s)² ir a_q(t) = (6 m/s³)(t − 1 s).

Ties 1 s abi išvestinės lygios nuliui. Tačiau v_q yra teigiamas ir prieš 1 s, ir po šios akimirkos: ties 0.5 s ir 1.5 s jis lygus 0.75 m/s. Koordinatė toliau didėja ir tais trimis sveikaisiais skaičiais išreikštais laiko momentais įgyja reikšmes 1 m, 2 m ir 3 m. Taigi yra sustojimo akimirka, bet judėjimo kryptis nepasikeičia. Horizontali liestinė nebūtinai reiškia maksimumą ar minimumą.

Išlaikykite pasirinktą koordinatę ir modelio sąlygas

Pastūmus fiksuotą koordinačių pradžią pastoviu ilgiu c, išreikštu metrais, naujoji koordinatė yra x_new = x − c, todėl skirtumai ir išvestinės laiko atžvilgiu lieka tokie patys. Apgręžus fiksuotą teigiamąją kryptį, gaunama x_new = −x; poslinkis, greitis ir pagreitis pakeičia ženklą, o greičio modulis ir nueitas kelias lieka tokie patys. Tai fiksuoti koordinačių pakeitimai. Judančiai ar besisukančiai atskaitos sistemai reikia papildomos analizės.

Prieš interpretuodami teiginį apie judėjimą, patikrinkite, kokiam taškui, ašiai, laikrodžiui, vienetams, laiko intervalui ir pateiktai trajektorijai ar funkcijai jis taikomas. Dvi padėties vertės leidžia nustatyti baigtinį poslinkį ir vidutinį greitį. Momentinei kitimo spartai nustatyti reikia tinkamos diferencijuojamos funkcijos arba papildomos pagrįstos informacijos; vien iš šių dviejų verčių jos nustatyti negalima. Visus skaičiavimus atlikite tik modelio galiojimo srityje.

Šie dydžiai apibūdina pateiktą judėjimą. Kitoje pamokoje „Vienmatė kinematika“ plėtojami sprendimo ir tikrinimo būdai, remiantis nurodyta pastovaus pagreičio prielaida. Vėliau Niutono dėsniai ir kūną veikiančių jėgų schemos susieja pagreitį su sąveikomis. Šis grafikas neleidžia nustatyti, kokios jėgos galėtų lemti tokį judėjimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradiniu fiksuotu taku taškas juda nekeisdamas krypties nuo −1 m iki +2 m per 1 s. Raskite poslinkį, nueitą kelią, vidutinį vektorinį greitį ir vidutinį skaliarinį greitį. Ar neigiama pradinė koordinatė reiškia, kad greitis yra neigiamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Poslinkis yra +3 m, nueitas kelias yra 3 m, o vidutinis vektorinis greitis ir vidutinis skaliarinis greitis yra po 3 m/s. Neigiama pradinė koordinatė nereiškia, kad greitis yra neigiamas.

   Iš galutinės koordinatės atėmę pradinę, gauname (+2 m) − (−1 m) = +3 m. Nurodytos tiesios atkarpos, kurioje judėjimo kryptis nekinta, ilgis yra 3 m. Abu dydžius padalykite iš 1 s. Padėtis nusako vietą; judėjimo krypčiai nustatyti reikia žinoti, kaip ši padėtis kinta.

2. Pagal pagrindinį modelį raskite vidutinį greitį nuo 1 s iki 2 s ir momentinį greitį laiko momentu 2 s. Paaiškinkite, kodėl šios dvi vertės nebūtinai sutampa.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidutinis greitis yra +1 m/s, o momentinis greitis laiko momentu 2 s yra 0 m/s.

   Baigtinis padėties pokytis yra 5 m − 4 m = +1 m per 1 s. Išvestinė šio intervalo pabaigoje duoda 4 m/s − (2 m/s²)(2 s) = 0 m/s. Vienas greitis apima visą intervalą, o kitas apibūdina liestinę vienu laiko momentu.

3. Pagal pagrindinį modelį raskite padėtį, greitį, pagreitį ir greičio modulį laiko momentu 2.5 s. Ar tuo momentu greičio modulis didėja, ar mažėja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 4.75 m, vₓ = −1 m/s, aₓ = −2 m/s², o greičio modulis yra 1 m/s. Greičio modulis didėja.

   Į pateiktas funkcijas įstatykite 2.5 s. Taškas yra į dešinę nuo koordinačių pradžios, bet juda į kairę. Jo neigiamas greitis tampa dar neigiamesnis, todėl jo modulis didėja. Neigiamas pagreitis nereiškia, kad greičio modulis mažėja, kai greitis taip pat yra neigiamas.

4. Pagrindiniame modelyje laiko momentu 1 s perkelkite fiksuotą koordinačių pradžią pagal x_new = x − 10 m. Raskite naują padėtį ir greitį. Atskirai pakeiskite pradinės ašies kryptį į priešingą pagal x_reversed = −x: kaip pasikeičia poslinkis ir nueitas kelias per 0–3 s intervalą bei greičio modulis laiko momentu 2.5 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Perkėlus koordinačių pradžią, padėtis yra −6 m, o greitis lieka +2 m/s. Pakeitus pradinės ašies kryptį į priešingą, poslinkis yra −3 m, nueitas kelias yra 5 m, o greičio modulis laiko momentu 2.5 s yra 1 m/s.

   Atėmus pastovų dydį 10 m, x(1 s) = 4 m pasikeičia į −6 m, bet šio pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui, todėl greitis nekinta. Pakeitus ašies kryptį į priešingą, kiekvienos koordinatinės komponentės su ženklu ženklas pasikeičia. Absoliutūs ilgiai ir greičio moduliai lieka tokie patys. Nė vienas koordinačių pakeitimas nepajudina taško.

5. Pateiktos tik dvi padėties reikšmės: x(0) = 1 m ir x(3 s) = 4 m toje pačioje fiksuotoje ašyje. Kuriuos iš šių dydžių galima nustatyti be papildomo judėjimo dėsnio: poslinkį, vidutinį greitį, nueitą kelią ir momentinį pagreitį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Galima nustatyti poslinkį +3 m ir vidutinį greitį +1 m/s. Nueito kelio ir momentinio pagreičio nustatyti negalima.

   Dvi padėties reikšmės apibrėžia jų skirtumą ir 3 s trukmę. Jos neparodo, ar tarp šių akimirkų taškas judėjo viena kryptimi, keitė kryptį ar buvo sustojęs, ir nepateikia du kartus diferencijuojamos padėties funkcijos. Pagrindinis kvadratinis modelis yra vienas pateiktas modelis, suderinamas su šiomis dviem reikšmėmis, o ne iš jų kylanti išvada.

6. Palyginkite pagrindinio modelio rimties akimirką ties 2 s su atskiro kubinio modelio rimties akimirka ties 1 s. Kuriame modelyje judėjimo kryptis pasikeičia ir kokia papildoma ženklo patikra leidžia nustatyti šį skirtumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagrindiniame kvadratiniame modelyje judėjimo kryptis pasikeičia, o kubiniame – ne. Patikrinkite greičio ženklą prieš kiekvieną rimties akimirką ir po jos.

   Pagrindiniame modelyje 4 m/s − (2 m/s²)t ties 2 s iš teigiamo tampa neigiamas. Kubiniame modelyje (3 m/s³)(t − 1 s)² yra teigiamas tiek prieš 1 s, tiek po jos. Nulinis greitis reiškia rimties akimirką; judėjimas prieš ją ir po jos lemia, ar judėjimo kryptis pasikeičia.

Ką verta įsidėmėti

• Padėtis nusako vietą nurodyto atskaitos taško ir krypties atžvilgiu; jos ženklas nenusako judėjimo krypties.
• Poslinkis nustatomas pagal galutinės ir pradinės padėčių skirtumą, o keliui nustatyti reikia žinoti nueitą trajektoriją.
• Vidutinis vektorinis greitis gaunamas poslinkį su jo ženklu padalijus iš praėjusio laiko, o vidutinis skaliarinis greitis – kelią padalijus iš to paties laiko.
• Momentinis greitis ir pagreitis yra išvestinės, kai egzistuoja juos apibrėžiančios nurodytos ribos; jų vienetai yra m/s ir m/s².
• Neigiamas pagreitis gali mažinti arba didinti greičio modulį, priklausomai nuo greičio ženklo.
• Rimties akimirka yra judėjimo krypties pasikeitimo akimirka tik tada, kai judėjimo kryptis prieš ją ir po jos skiriasi.