Didelio našumo skaičiavimai, vizualizavimas ir mašininis mokymasis

Pradėkite nuo skaičiavimo klausimo

Pateiktas padėties modelis duoda 0.20 m, kai laikas yra 0 s, ir 1.40 m, kai laikas yra 2 s. Per šias dvi reikšmes einanti tiesė prognozuoja 2.00 m, kai laikas yra 3 s. Pateiktas modelis tuo metu duoda 2.30 m. Tiksliai priderinus modelį prie dviejų reikšmių, ties trečiąja įvesties reikšme liko 0.30 m neatitikimas. Kaip turėtume apskaičiuoti, pavaizduoti ir patikrinti rezultatus prieš juos naudodami?

Mūsų atskaitos pagrindas yra tikslus mokomasis modelis x(t) = 0.20 m + (0.40 m/s)t + (0.10 m/s²)t² intervale 0 ≤ t ≤ 4 s. Padėtis x matuojama išilgai nejudančios tiesios koordinačių ašies, kurios teigiama kryptis yra į dešinę; praėjęs laikas t skaičiuojamas nuo nurodyto atskaitos momento. Formulė pateikia šio pavyzdžio reikšmes. Tai nėra matavimo prietaiso įrašas ar nustatytas realaus objekto dėsnis.

Skaičiavimo ištekliai gali duoti daug rezultatų, vizualizavimas gali atskleisti jų ryšius, o mašininis mokymasis gali priderinti prognozavimo taisyklę pagal pateiktas įvesties ir išvesties poras. Šiame nedideliame pavyzdyje šie vaidmenys susijungia. Paskelbta medžiaga „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ padeda pasirengti reikšmių įstatymui ir darbui su ašimis. Visi čia reikalingi modelio priderinimo ir vykdymo trukmės skaičiavimai pristatomi šiame tekste; jokios programavimo kalbos nereikia.

Raskite nepriklausomas užduotis

Didelio našumo skaičiavimai sujungia tinkamus algoritmus ir skaičiavimo išteklius sudėtingiems skaičiavimams atlikti. Vienas iš būdų – lygiagretusis vykdymas: skirtingi vykdytojai atlieka darbą persidengiančiais laiko intervalais. Prieš skaidydami užduotį, nustatykite, kokių pradinių duomenų reikia kiekvienai daliai ir kokių rezultatų ji turi laukti.

Tarkime, prašome dvylikos etaloninių rezultatų laiko momentais tᵢ = (i/3)s, kai i = 0, …, 11. Indeksas i žymi užklausą, o ne naują fizikinį dydį. Kiekvienam tiesioginiam polinomo vertės skaičiavimui naudojamas atskirai pateiktas laikas ir tie patys fiksuoti koeficientai. Kito skaičiavimo rezultato nereikia, todėl šiuos dvylika skaičiavimų galima paskirstyti nepriklausomai, o rezultatus surinkti pagal pradinius jų indeksus.

Taikant kitą taisyklę gali atsirasti priklausomybė. Pavyzdžiui, atnaujinant pagal Sₙ₊₁ = Sₙ + 0.5 m naudojama ankstesnio žingsnio padėtis; n žymi žingsnį. Nepriklausomų rezultatų pavyzdys nepagrindžia gretimų atnaujinimų vykdymo negavus būtino ankstesnio žingsnio rezultato. Būtina paisyti priklausomybių arba parodyti, kad kitas lygiagretusis algoritmas duoda numatytą rezultatą. Didesnis vykdytojų skaičius nepanaikina būtino pradinių duomenų poreikio.

Skaičiuokite bendrąją trukmę

Trukmei nagrinėti naudokite atskirą sutartą darbo krūvį: dvylika nedalomų nepriklausomų užduočių, kurių kiekviena vienam iš vienodų vykdytojų trunka 1 s. Pasirengimas trunka 2 s ir vyksta prieš pradedant bet kurią užduotį. Atskaitos nuosekliajam vykdymui papildomų rezultatų surinkimo laiko sąnaudų nėra, todėl jo bendroji trukmė yra 2 s + 12 s = 14 s. Šios išgalvotos trukmės nėra mūsų nedidelio polinomo vertės skaičiavimo realia aparatine įranga laiko sąnaudų įverčiai.

Kai keturi vykdytojai gauna po tris užduotis, skaičiavimo etapas trunka 3 s. Tarkime, baigus visas užduotis rezultatų surinkimas ir duomenų perdavimas prideda 1 s, o etapai laike nepersidengia. Bendroji lygiagrečiojo vykdymo trukmė yra 2 s + 3 s + 1 s = 6 s. Pagreitėjimas yra nuosekliojo vykdymo trukmė, padalyta iš lygiagrečiojo vykdymo trukmės: 14 s/6 s = 7/3, apytiksliai 2.33. Sekundės susiprastina; pagreitėjimas neturi matavimo vieneto.

Papildomos laiko sąnaudos ir netolygus darbo paskirstymas keičia palyginimą. Jei rezultatų surinkimas trunka 4 s, vykdymas trunka 9 s. Jei keturi vykdytojai vietoj to gauna 6, 2, 2 ir 2 užduotis, lėčiausiam reikia 6 s, tad su pradinėmis 1 s papildomomis laiko sąnaudomis bendroji trukmė yra 9 s. Abiem atvejais pagreitėjimas yra 14/9. Lentelėje pateiktiems kitiems vykdytojų skaičiams taikomos lygiai tos pačios užduočių trukmės, pasirengimo trukmė ir 1 s papildomos laiko sąnaudos.

Patikrinkite skaičiavimą, kurio trukmė matuojama

Lyginkite vykdymo trukmes, kai reikalaujami tie patys rezultatai ir taikomos tos pačios nurodytos teisingumo sąlygos. Čia pagal abu vykdymo planus turi būti grąžintos visos dvylika padėčių su jų laiko indeksais ir matavimo vienetais. Grąžinus mažiau rezultatų, pakeitus modelį ar praleidus privalomą rezultatų surinkimą, pasikeistų lyginama užduotis. Vien trumpesnis skaičiavimo etapas nepatvirtina, kad visas vykdymas trunka trumpiau.

Šiame baigtiniame vykdymo plane dvylika ar daugiau vykdytojų negali sutrumpinti skaičiavimo etapo iki mažiau nei 1 s: turi būti įvykdyta bent viena neskaidoma užduotis. Esant nurodytai 2 s paruošimo ir 1 s rezultatų surinkimo trukmei, bendra trukmė yra bent 4 s. Ši išvada galioja esant šioms prielaidoms apie užduotis ir papildomas laiko sąnaudas. Kitokiam užduoties dydžiui, algoritmui ar aparatinei įrangai reikia atskirų trukmės matavimo duomenų.

Įgyvendindami didesnį skaičiavimą, išsaugokite pakankamai informacijos, kad būtų galima atkurti, kas buvo apskaičiuota: modelį ir nagrinėjamą sritį, įvesties vertes ir matavimo vienetus, algoritmą ir programinės įrangos versijas, užduočių paskirstymą vykdytojams, teisingumo patikras ir pradžios bei pabaigos įvykius, pagal kuriuos matuota trukmė. Skaitinei aproksimacijai ir aritmetiniam apvalinimui reikia konkrečiam įgyvendinimui tinkamų patikrų. Teisingas nedidelis etaloninis atvejis padeda pasirengti šioms patikroms, tačiau nepatvirtina kiekvieno vėlesnio rezultato.

Priderinkite paprastą prižiūrimojo mokymosi prognozavimo modelį

Prižiūrimojo mokymosi metu prognozavimo taisyklė priderinama naudojant įvesties ir išvesties poras. Čia įvestis yra praėjęs laikas, o tikslinė išvestis – padėtis. Prieš peržiūrėdami dar nenaudotus patikros duomenis, pasirinkite afinių funkcijų šeimą x̂(t) = a + bt. Ženklas virš x atskiria prognozavimo modelį nuo pateikto etalono. Laisvojo nario a matavimo vienetas yra m, o koeficiento b – m/s.

Naudokite tik mokymo poras (0 s, 0.20 m) ir (2 s, 1.40 m). Iš pirmosios gauname a = 0.20 m. Atėmę vieną lygtį iš kitos, gauname b = (1.40 m − 0.20 m)/(2 s − 0 s) = 0.60 m/s. Taigi x̂(t) = 0.20 m + (0.60 m/s)t. Skirtingi mokymo duomenų laiko momentai vienareikšmiškai apibrėžia šią pritaikytą afininę funkciją.

Taikant mažiausiųjų kvadratų metodą, minimizuojama prognozių nuokrypių kvadratų suma mokymo įvesties taškuose. Abu mūsų nuokrypiai lygūs nuliui, todėl jų kvadratų suma lygi nuliui ir negali būti mažesnė. Šis išmoktas pakaitinis modelis naudojamas etaloninei išvesčiai prognozuoti. Tikslus sutapimas mokymo taškuose nereiškia, kad tai ta pati funkcija: kai laikas yra 1 s, modelis pateikia 0.80 m, o etalonas – 0.70 m. Čia nebuvo matuojama nei mokymo, nei prognozavimo sparta.

Priderinimą įvertinkite grafike

Numatykite, kur priderinta tiesė ir etaloninė kreivė išsiskirs, tada apžiūrėkite grafiką. Abiejų horizontaliojoje ašyje žymimas praėjęs laikas sekundėmis, o vertikaliojoje – padėtis metrais. Vienodi tarpai tarp padalų atitinka vienodus dydžių skirtumus. Didėjantis grafiko aukštis reiškia didėjančią padėties x vertę kryptimi į dešinę. Ištisinė kreivė vaizduoja pateiktą modelį, o brūkšninė tiesė – priderintą pakaitinį modelį. Jų paskirtį padeda atskirti ne tik spalva, bet ir forma bei linijos stilius.

Neužpildyti apskritimai žymi dvi mokymui naudotas vertes. Rombai žymi vertes ties 1 s ir 3 s, kurios prieš priderinimą buvo atidėtos tikrinimui. Taškinės vertikalios atkarpos palygina kiekvieną nenaudotą etaloninę vertę su pakaitinio modelio verte tiksliai tuo pačiu laiko momentu. Jos rodo padėties nuokrypius, o ne neapibrėžties intervalus. Lentelėje pateikti tie patys skaitiniai palyginimai, įskaitant papildomą užklausą ties 4 s.

Mokymo įvestys apima 0–2 s intervalą. Priderintos tiesės naudojimas šiame intervale yra interpoliacija, o už jo ribų – ekstrapoliacija. Užklausos ties 3 s ir 4 s yra už mokymo intervalo ribų, bet patenka į atskirai pateiktą etaloninio modelio apibrėžimo sritį 0–4 s. Užtušuota intervalo riba padeda atskirti šiuos faktus. Grafike nubrėžtas tęsinys nei suteikia mokymo duomenimis pagrįstų įrodymų, nei išplečia nurodytą fizikinio modelio apibrėžimo sritį.

Vertinimas pakartotinai nenaudojant patikrų

Dviejų iš anksto numatytų patikrų, kurių duomenys nenaudoti mokymui, nuokrypiai su ženklu yra +0.10 m ir −0.30 m. Vidutinė absoliučioji paklaida yra jų modulių vidurkis: (0.10 m + 0.30 m)/2 = 0.20 m. O jų vidurkis, atsižvelgiant į ženklus, yra (+0.10 m − 0.30 m)/2 = −0.10 m. Priešingų ženklų nuokrypiai šiame vidurkyje iš dalies kompensuoja vienas kitą, todėl jis atsako į kitą klausimą nei šio sąrašo tipinis absoliutusis nuokrypis.

Vertinimo rodikliui visada reikia nurodyti vertinimo duomenų rinkinį, matavimo vienetus ir skaičiavimo taisyklę. Šios dvi patikros remiasi fiksuotomis tiksliomis mokomojo etalono vertėmis. Jų 0.20 m vidutinė absoliučioji paklaida apibūdina šį sąrašą; ji nėra matematinė viltis, pasikliautinasis intervalas, visiems laiko momentams galiojanti riba ar išmatuotas realaus prietaiso tikslumas. Be to, viena patikra mokymo intervalo viduje ir viena už jo ribų neturėtų būti be išlygų apibūdinamos kaip vienodos prognozavimo sąlygos.

Nepanaudoto vertinimo duomenų rinkinio nenaudokite sprendimams dėl prognozavimo modelio priimti. Jei pagal jo rezultatus pasirenkate naują modelių šeimą arba derinate parametrus, jis tampa atrankos arba validavimo duomenimis. Pakartotinai pateikus to paties sąrašo rezultatus, naujos nepriklausomos patikros negaunama. Platesniam taikymui fizikoje reikia numatomą paskirtį atitinkančių vertinimo įvesties duomenų ir stebėjimų, taip pat sąžiningai nurodyti, kokia informacija buvo remtasi mokant modelį.

Susiekite našumą su fizikiniu klausimu

Užduokite tris atskirus klausimus. Ar realizacija apskaičiavo numatytus rezultatus? Ar visam vykdymui prireikė mažiau sekundžių arba kitų nurodytų išteklių? Ar prognozavimo modelio rezultatai pakankamai gerai sutapo su etalonu esant toms įvestims, kurioms jis bus naudojamas? Čia tikslių rezultatų patikros, 14 s ir 6 s vykdymo trukmių palyginimas bei mokymui nenaudotų duomenų nuokrypiai atsako į skirtingus šios sekos klausimus.

Pakaitinis modelis gali padėti tyrinėti modelį, tačiau vien sutapimas su tuo modeliu negali patvirtinti, kad jis atspindi realią sistemą. Fizikinei interpretacijai taip pat reikia pagrįstų prielaidų, parametrų, stebėjimų ir matavimo neapibrėžties. Taip pat ir dailus grafikas negali ištaisyti klaidingo dydžio pavadinimo ar netinkamos įvesties srities. Spręsdami, ką reikštų priimtinas rezultatas, grįžkite prie pradinio fizikinio klausimo.

Šiame pavyzdyje pateikite etaloninę formulę ir 0–4 s sritį, atskiras vykdymo trukmės prielaidas, dvi mokymo poras, fiksuotus mokymui nenaudotus laiko momentus, pasirinktą afinių funkcijų šeimą ir vertinimo rodiklio apibrėžtį. Aiškiai atskirkite modelio vertes, prognozes ir bet kokius vėlesnius stebėjimus. Skaičiavimo atkūrimas, jo spartinimas ir fizikinio naudingumo tikrinimas yra susiję uždaviniai, grindžiami skirtingais įrodymais.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Palikite keturis skaičiavimo vykdytojus su tolygiai paskirstytu krūviu, 2 s parengimo trukmę ir 1 s trukmę vienai užduočiai, bet po skaičiavimo atliekamo rezultatų surinkimo trukmę padidinkite iki 4 s. Raskite bendrą trukmę ir pagreitėjimą, palyginti su ta pačia atskaitine nuosekliojo vykdymo trukme.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendra trukmė yra 9 s; pagreitėjimas yra 14/9, apytiksliai 1.56.

   Kiekvienas vykdytojas vis dar skaičiuoja 3 s. Laike nepersidengiančių etapų trukmės sudedamos: 2 s + 3 s + 4 s = 9 s. Fiksuota atskaitinė viso vykdymo trukmė lieka 14 s. Sąlygoje nenurodyta, kad vykdytojai būtų greitesni.

2. Keturiems vienodiems skaičiavimo vykdytojams skiriama atitinkamai 6, 2, 2 ir 2 vienos sekundės trukmės užduočių. Parengimas trunka 2 s, o rezultatų surinkimas, visiems vykdytojams baigus darbą, trunka 1 s. Kokia bendra trukmė ir ar keturių vykdytojų darbo trukmių vidurkis būtų lygus skaičiavimo etapo trukmei?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendra trukmė yra 9 s. Skaičiavimo etapas trunka 6 s, o ne 3 s, kiek sudaro vykdytojų darbo trukmių vidurkis.

   Iš viso vis dar paskirta dvylika užduočių, tačiau rezultatų surinkimas negali prasidėti, kol darbą baigs šešias užduotis gavęs vykdytojas. Todėl ilgiausia vykdytojo darbo trukmė yra 6 s, taigi 2 + 6 + 1 = 9 s. Vidurkis neapibūdina šios laukimo sąlygos.

3. Pradėdami nuo S₀ = 0 m, taikykite Sₙ₊₁ = Sₙ + 0.5 m. Ar du vykdytojai gali apskaičiuoti S₁ ir S₂ atnaujinimus, nesidalydami reikiamomis ankstesnėmis reikšmėmis ir negaudami jų kitu būdu, vien todėl, kad atskaitinio polinomo rezultatai buvo nepriklausomi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Toks samprotavimas apie nepriklausomus rezultatus nepagrindžia atnaujinimų vykdymo tvarkos. Norint apskaičiuoti S₂, reikia reikšmės S₁ = 0.5 m, o S₂ turėtų būti lygi 1 m.

   Rekursinė formulė naudoja ankstesnę būseną: S₁ = 0.5 m, tada S₂ = 0.5 m + 0.5 m = 1 m. Būtina paisyti priklausomybių. Kitas lygiagretusis algoritmas galėtų gauti tuos pačius atsakymus, tačiau jam reikėtų atskirai nurodytos taisyklės ir teisingumo pagrindimo.

4. Kai laikas yra 4 s, apskaičiuokite duomenims priderinto pakaitinio modelio vertę, pateikto atskaitos modelio vertę ir neatitiktį su ženklu. Ar šis laikas yra už mokymo intervalo ribų, už atskaitos modelio apibrėžimo srities ribų, ar už abiejų ribų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x̂ = 2.60 m, x = 3.40 m ir r = −0.80 m. Šis laikas nepatenka į mokymo intervalą, bet patenka į atskaitos modelio apibrėžimo sritį.

   Tiesės lygtis duoda 0.20 m + (0.60 m/s)(4 s) = 2.60 m. Atskaitos modelis duoda 0.20 m + (0.40 m/s)(4 s) + (0.10 m/s²)(4 s)² = 3.40 m. Jų skirtumas yra −0.80 m. Mokymo įvestys apima 0–2 s intervalą; pateikto atskaitos modelio apibrėžimo sritis apima galinį tašką 4 s.

5. Grafike rombu pažymėta vertė ties 1 s yra 0.70 m, o pakaitinio modelio vertė yra 0.80 m. Raskite r ir vertikalaus tarpo dydį. Ar taškuota atkarpa nurodo matavimo neapibrėžties intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r = +0.10 m, o tarpo dydis yra 0.10 m. Atkarpa nėra neapibrėžties intervalas.

   Iš pakaitinio modelio vertės atimkite atskaitos vertę: 0.80 m − 0.70 m = +0.10 m. Grafike lyginamos dvi tikslios mokomojo pavyzdžio vertės tuo pačiu laiko momentu. Atkarpai nepriskirtas joks tikimybių dėsnis, matavimo priemonės neapibrėžtis ar aprėpties teiginys.

6. Pamatę tikrinimui atidėtos 3 s vertės neatitiktį, pagal ją pasirenkate naują prognozavimo modelių šeimą. Tada pateikiate jos įvertį pagal tą patį 1 s ir 3 s sąrašą kaip pagal iki tol nenaudotą testą. Ką reikia pataisyti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sąrašas turėjo įtakos modelio pasirinkimui ir turi būti įvardytas kaip validavimo arba atrankos duomenys. Pakartotinis įvertis pagal jį nėra naujas, iki tol nenaudotas testas.

   Iki tol nenaudoti tikrinimo duomenys buvo skirti sprendimams, priimtiems nesiremiant tomis vertėmis, įvertinti. Panaudojus vieną iš jų prognozavimo modeliui pasirinkti, ši paskirtis pasikeičia. Nurodykite, kokia informacija naudotasi, ir, jei reikia iki tol nenaudoto testo, numatykite tikrai atskirą vertinimą, tinkamą numatomam taikymui. Dvi išgalvotos atskaitos vertės vis tiek negali patvirtinti empirinio fizikinio pagrįstumo.

Ką verta įsidėmėti

• Lygiagrečioms užduotims reikia tinkamo nepriklausomo darbo arba teisingo priklausomybių koordinavimo.
• Viso vykdymo pagreitėjimas apima parengimą, laukimą ir nurodytas papildomas sąnaudas; lyginkite tą pačią reikalaujamą užduotį.
• Grafike būtinos dydžių žymos, neklaidinantys masteliai ir aiškus atskaitos, prognozės bei duomenų vaidmenų atskyrimas.
• Tikslus sutapimas su mokymo duomenimis gali pasireikšti kartu su nenulinėmis neatitiktimis vertinimui atidėtiems duomenims ir prasta ekstrapoliacija.
• Skaičiavimų teisingumui, našumui, prognozių įvertinimui ir fizikiniam pagrįstumui reikia atskirų įrodymų.