Paklaidų sklidimas ir neapibrėžties biudžetai

Pradėkite nuo matavimo modelio

Mokymosi plano pavadinime vartojama įprasta frazė „paklaidų sklidimas“, tačiau šioje pamokoje nagrinėjamas informacijos apie neapibrėžtį sklidimas. Standartinė neapibrėžtis yra standartiniu nuokrypiu išreikštas matas, o ne žinoma paklaida su ženklu, didžiausia paklaida ar tolerancija. Modelis Y = f(X₁, X₂) susieja apibrėžtą skaliarinį išėjimo dydį Y su dviem įėjimo dydžiais; realiame matavimo modelyje taip pat turi būti įtrauktos reikšmingos pataisos ir kiti svarbūs poveikiai.

Toliau didžiosiomis raidėmis žymimi atsitiktiniai dydžiai, kuriais vaizduojama pateikta informacija apie dydžius. Šie žymenys nereiškia, kad nekintančio objekto matmenys fiziškai keičiasi. Kiekviename originaliame baigtiniame mokomajame modelyje E reiškia tikimybėmis svertinį vidurkį: kiekvieną galimą vertę padauginkite iš jai priskirtos tikimybės ir sandaugas sudėkite. Tikimybės yra tiksliai nustatytos modelio sąlygomis, jų suma lygi 1, ir jos nėra iš matavimų įvertinti dažniai. Įėjimo dydžių įverčiai yra xᵢ = E(Xᵢ).

Tarkime, kad u²(Xᵢ) = E[(Xᵢ − xᵢ)²], o u(Xᵢ) yra šio dydžio neneigiama kvadratinė šaknis. Dispersijos vienetai yra dydžio vienetų kvadratai; standartinės neapibrėžties vienetas sutampa su įėjimo dydžio vienetu. Pateikto modelio tikslų standartinį nuokrypį žymime u(Y), o jo pirmosios eilės aproksimaciją – u_lin(Y). Realiame neapibrėžties biudžete šie dydžiai įvertinami remiantis pagrįsta matavimo informacija; nė vienu iš čia pateiktų skaitinių modelių nevertinamas tikras matavimo prietaisas.

Keiskite įvesties mastelį jautrumo koeficientais su ženklais

Jautrumo koeficientas cᵢ yra dalinė išvestinė ∂f/∂Xᵢ, apskaičiuota ties įvesties dydžių įverčiais, kitą įvesties dydį laikant pastoviu. Jis apibūdina pirmosios eilės išvesties dydžio pokytį, kurį sukelia mažas įvesties dydžio pokytis. Dviejų įvesties dydžių atveju tiesinis artinys yra Y_lin = f(x₁, x₂) + c₁(X₁ − x₁) + c₂(X₂ − x₂). Kad šis artinys būtų tinkamas, funkcija turi būti diferencijuojama atitinkamų įverčių aplinkoje, o nepaisomi nariai turi būti pakankamai maži numatytam taikymui. Vien diferencijuojamumas to negarantuoja.

Koeficiento cᵢ matavimo vienetai yra išvesties dydžio vienetai, padalyti iš atitinkamo įvesties dydžio vienetų. Taigi cᵢ ir įvesties dydžio pokyčio sandauga turi išvesties dydžio vienetus. Koeficientas gali būti neigiamas: kai f(X, Z) = X − Z, c_X = +1, o c_Z = −1. Minuso ženklas svarbus derinant priklausomus įvesties dydžius. Dydis |cᵢ|u(Xᵢ) yra neneigiamas; jo kvadratas yra šio įvesties dydžio įnašas į dispersijos įstrižainės narį.

Stačiakampio plotui A = LW, kai kraštinių ilgiai teigiami ir išreikšti metrais, ties vidurkiais l ir w gauname c_L = w ir c_W = l. Šių koeficientų vienetai yra m, nes ploto vienetus m² padalijus iš ilgio vienetų m gaunami m. Net jei vieno įvesties dydžio standartinė neapibrėžtis didesnė, jo įnašas, padaugintas iš jautrumo koeficiento, nebūtinai bus didesnis: jautrumas taip pat svarbus.

Išlaikykite kovariaciją ir jos vienetus

Dviejų įvesties dydžių, kurių vidurkiai yra x₁ ir x₂, kovariaciją apibrėžkime taip: C₁₂ = E[(X₁ − x₁)(X₂ − x₂)]. Jos vienetai yra abiejų įvesties dydžių vienetų sandauga, o jos vertė gali būti teigiama, neigiama arba lygi nuliui. Kai abi standartinės neapibrėžtys nelygios nuliui, koreliacijos koeficientas ρ = C₁₂/[u(X₁)u(X₂)] yra bedimensis ir turi tenkinti sąlygą −1 ≤ ρ ≤ +1. Nepriklausomumas lemia nulinę kovariaciją, kai egzistuoja antrieji momentai; vien nulinė kovariacija nereiškia nepriklausomumo.

Dviejų įvesties dydžių atveju pirmosios eilės dispersija yra u_lin²(Y) = c₁²u²(X₁) + c₂²u²(X₂) + 2c₁c₂C₁₂. Kiekvieno nario vienetai yra išvesties dydžio vienetų kvadratas, net jei įvesties dydžių vienetai skiriasi. Pirmieji du nariai yra neneigiami. Kovariacijos narys gali būti bet kurio ženklo, tačiau tinkamas kovariacijos modelis užtikrina neneigiamą bendrą dispersiją. Tai yra tiksli Y_lin dispersija; dar reikia patikrinti, ar ji tinkamai aprašo pradinį netiesinį dydį Y.

Kai išvesties dydis yra afininė funkcija, t. y. konstanta, prie kurios pridėti įvesties dydžiai, padauginti iš pastovių koeficientų, šis tiesinis artinys yra tikslus. Sumos su koeficientais +1, +1 atveju teigiama kovariacija didina dispersiją; skirtumo su koeficientais +1, −1 atveju ji mažina dispersiją. Bendras atskaitos šaltinis ar bendras poveikis gali sukurti priklausomybę, todėl atskiros lentelės eilutės nepatvirtina nepriklausomumo. Reikšmingoms priklausomybėms nustatyti reikia duomenų arba pagrįsto modelio.

Patikrinkite koreliuotą modelį išvardydami visus atvejus

Naudokite ilgio įvesties dydžius X = 100 mm + (2 mm)S ir Z = 60 mm + (3 mm)T. Bedimensiai ženklo kintamieji S ir T įgyja keturias lentelėje pateiktas reikšmių poras su nurodytomis tikimybėmis. Kiekvieno ženklo kintamojo vidurkis lygus nuliui, dispersija lygi 1, o reikšmių +1 ir −1 marginaliosios tikimybės yra vienodos, tačiau bendrosios tikimybės nėra marginaliųjų tikimybių sandaugos. Tai tikslus baigtinis informacijos modelis, o ne stebėtas eksperimentas.

Vidurkiai yra E(X) = 100 mm ir E(Z) = 60 mm; u(X) = 2 mm ir u(Z) = 3 mm. E(ST) = (3 − 1 − 1 + 3)/8 = 1/2, todėl C_XZ = (2 mm)(3 mm)/2 = 3 mm² ir ρ = 1/2. Kai Y₊ = X + Z, vidurkis yra 160 mm, o dispersija yra 4 mm² + 9 mm² + 6 mm² = 19 mm². Kai Y₋ = X − Z, vidurkis yra 40 mm, o dispersija yra 4 mm² + 9 mm² − 6 mm² = 7 mm².

Todėl u(Y₊) = √19 mm ≈ 4.359 mm ir u(Y₋) = √7 mm ≈ 2.646 mm. Kvadratinė šaknis yra neneigiama. Iki pateikto dešimtainio artinio abu rezultatai yra tikslūs modelio standartiniai nuokrypiai, nes abi išvesties funkcijos yra afininės. Neįtraukus kovariacijos, abiem dispersijoms būtų gauta 13 mm², todėl abu išvesties dydžiai būtų aprašyti netinkamai. Šie standartiniai nuokrypiai nėra garantuotos paklaidų ribos ar normaliojo skirstinio aprėpties intervalai.

Sudarykite stačiakampio ploto neapibrėžties biudžetą

Atskiram stačiakampiui nurodykite nepriklausomus įvesties dydžius L = 3 m + ε ir W = 2 m + η. Čia ε su vienodomis tikimybėmis įgyja vertes −0.03 m ir +0.03 m, o η nepriklausomai su vienodomis tikimybėmis įgyja vertes −0.02 m ir +0.02 m. Todėl kiekvienos iš keturių verčių porų tikimybė yra 1/4. Teigiamų kraštinių ilgių vidurkiai yra l = 3 m ir w = 2 m, standartinės neapibrėžtys – u(L) = 0.03 m ir u(W) = 0.02 m, o kovariacija lygi nuliui.

Esant šiems vidurkiams, ploto įvertis f(l, w) yra 6 m². Jautrumo koeficientai yra c_L = 2 m ir c_W = 3 m. Kiekvienas pagal jautrumo koeficientą perskaičiuotas standartinės neapibrėžties dėmuo yra 0.06 m²; kiekvienas įstrižainės dispersijos dėmuo yra 0.0036 m⁴. Pirmosios eilės neapibrėžties biudžetas duoda u_lin²(A) = 0.0072 m⁴ ir u_lin(A) = 0.06√2 m² ≈ 0.08485 m². Vienodi dispersijos dėmenys sudaro po 50% šios pirmosios eilės dispersijos, nors įvesties dydžių neapibrėžtys skiriasi.

Neapibrėžties biudžete pateikiama ne tik aritmetinė suma. Nurodykite įvesties dydžio įvertį, neapibrėžties matą ir informacijos šaltinį, koeficientą ir jo vienetus, gautą išvesties dydžio neapibrėžties dėmenį ir visas priklausomybes. Čia informacijos šaltiniai yra tiksliai nurodyti skirstiniai; nepateikta stebėjimų, kalibravimo liudijimų, imčių dydžių ar įvertintų laisvės laipsnių. Ši nedidelė lentelė yra išsami tik nurodytam dviejų įvesties dydžių modeliui.

Palyginkite sandaugą su jos aproksimacija

Tikslus plotas yra A = (l + ε)(w + η) = lw + wε + lη + εη. Pirmosios eilės modelyje narys εη praleidžiamas. Kadangi nurodyti ε ir η yra nepriklausomi, o jų matematinės viltys lygios nuliui, E(εη) = 0 ir E(A) = lw = 6 m². Ši lygybė išplaukia iš modelio priklausomybių struktūros; įvesties dydžių matematinių vilčių transformavimas nėra universalus būdas netiesinio išvesties dydžio matematinei vilčiai gauti.

Šiame modelyje trijų kintančių narių wε, lη ir εη porinės kovariacijos lygios nuliui. Pavyzdžiui, E[(wε)(εη)] = wE(ε²)E(η) = 0. Jų dispersijos sumuojamos, todėl Var(A) = w²u²(L) + l²u²(W) + u²(L)u²(W). Papildomas narys yra (0.03 m)²(0.02 m)² = 0.00000036 m⁴. Taigi tiksli dispersija yra 0.00720036 m⁴, o tikslus standartinis nuokrypis – √(0.00720036 m⁴).

Šiuo konkrečiu atveju papildoma dispersija sudaro 0.005% pirmosios eilės dispersijos. Todėl pateikta pirmosios eilės neapibrėžtis čia yra gera aproksimacija, tačiau tiksli dispersija skiriasi. Šis procentinis dydis nėra kitų modelių paklaidos riba. Visų galimų atvejų tiesioginis išvardijimas leidžia atlikti atskirą patikrą: keturi plotai yra 5.8806, 5.9994, 5.9994 ir 6.1206 m², kiekvieno jų tikimybė – 1/4.

Pastebėkite metodo ribotumą esant nuliniam gradientui

Trečiajame modelyje X yra poslinkis su ženklu išilgai vienos fiksuotos erdvinės ašies, matuojamas metrais fiksuotos koordinačių pradžios atžvilgiu. Priskirkime X reikšmes −a, 0 arba +a su tikimybėmis atitinkamai 1/4, 1/2 ir 1/4, kur a = 0.02 m. Išvesties dydis Y = X² yra poslinkio kvadratas, kurio matavimo vienetai yra m²; jis savaime nėra fizinis plotas. Įvesties dydžio matematinė viltis yra E(X) = 0 m.

Apskaičiavę f(x) = x² ties matematine viltimi, gauname f(0) = 0 m², o jautrumo koeficientas c = 2x tame taške yra 0 m. Todėl taikant pirmosios eilės neapibrėžties sklidimą gaunama u_lin(Y) = 0 m². Tačiau abiem lentelėje pateiktoms nenulinėms X reikšmėms Y = a², o bendra jų tikimybė yra 1/2. Taigi E(Y) = a²/2 = 0.0002 m², E(Y²) = a⁴/2, o Var(Y) = a⁴/4 = 0.00000004 m⁴. Tiksli u(Y) yra a²/2 = 0.0002 m². Pirmosios eilės metodas neįvertino nei išvesties dydžio matematinės vilties, nei jo sklaidos.

GUM 2026 pataisoje aiškiai aptariamas netiesiškumas vertinant išvesties dydį ir papildomas ankstesnis įspėjimas dėl dispersijos. Joje aprašomas aukštesniųjų eilių metodų taikymas arba skirstinių sklidimas taikant Monte Karlo metodą; joje pateikta konkreti kitos eilės matematinės vilties formulė remiasi prielaida, kad įvesties dydžiai yra nepriklausomi ir pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį. Mūsų baigtinis trijų taškų modelis nėra normalusis. Jo tikslius momentus gauname iš nurodytų tikimybių. Vien tai, kad išvestinė lygi nuliui, nepatvirtina, jog išvesties dydžio neapibrėžtis lygi nuliui.

Neapibrėžties biudžeto patikra ir pateikimas

Prieš pasitikėdami bendru rezultatu, patikrinkite modelį, ženklus, matavimo vienetus ir informaciją apie priklausomybę. Kovariacijos indėlis priskiriamas porai, todėl tą pačią porą pridėjus du kartus, jos indėlis įskaičiuojamas du kartus. Taip pat prieš dar kartą pridėdami poveikį kaip atskirą indėlį, išsiaiškinkite, ar jis jau įtrauktas į įvesties dydžio neapibrėžtį. GUM aiškiai įspėja apie galimą persidengimą tarp komponento, įvertinto remiantis kita informacija, ir kintamumo, jau įvertinto statistine analize.

Standartinė neapibrėžtis pati savaime nenusako simetrinio intervalo aprėpties tikimybės. Išplėstinė neapibrėžtis U = k u_c gaunama suminę standartinę neapibrėžtį u_c padauginus iš nurodyto aprėpties koeficiento k; norint interpretuoti jos intervalą, reikia žinoti atitinkamą skirstinį ir vertinimo sąlygas. Nei čia pateikti baigtiniai modeliai, nei neapibrėžties biudžeto lentelė savaime nepagrindžia teiginio apie normaliojo skirstinio 95% aprėptį. Nurodykite, ar neapibrėžtis įvertinta pirmosios eilės metodu, ar pagal išsamesnį modelį, ir išsaugokite prielaidas bei informaciją, kurių reikia šiam įverčiui atkurti.

Naudingas neapibrėžties biudžetas padeda nuspręsti, kokia papildoma informacija ar tikslesnis matavimas būtų reikšmingi. Lyginkite indėlius, perskaičiavę juos į išvesties dydžio vienetus ir išlaikę kovariaciją bei netiesinius efektus; nerikiuokite įvesties dydžių vien pagal neperskaičiuotas skaitines jų neapibrėžčių vertes. Kitoje temoje „Kalibravimas, etalonai ir sietis“ nagrinėjami ryšiai su etalonais, kuriais grindžiami realių matavimų rezultatai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradiniame ploto neapibrėžties biudžete u(L) = 0.03 m yra didesnė už u(W) = 0.02 m. Ar dėl to L indėlis į pirmosios eilės dispersiją yra didesnis? Apskaičiuokite abu jautrumo koeficientais pasvertus dydžius ir abu indėlius į dispersiją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Abu jautrumo koeficientais pasverti dydžiai yra 0.06 m², o abu indėliai į dispersiją yra 0.0036 m⁴.

   Atitinkami jautrumo koeficientai yra 2 m ir 3 m. Palyginkite |c_L|u(L) ir |c_W|u(W), išreikštus išvesties dydžio vienetais, tada jų kvadratus. Rikiuojant nepasvertas įvesties dydžių neapibrėžtis, neatsižvelgiama į modelio jautrumo koeficientus.

2. Pradiniame koreliuotų ilgių pavyzdyje kas nors nurodo, kad abiejų išvesties dydžių dispersija yra 13 mm². Kokio nario trūksta ir kokios yra pataisytos sumos bei skirtumo dispersijos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trūkstamas kovariacijos narys sumai yra +6 mm², o skirtumui – −6 mm². Pataisytos jų dispersijos yra 19 mm² ir 7 mm².

   Naudokite 2c_Xc_ZC_XZ, kai C_XZ = 3 mm². Z koeficiento ženklas šiuose dviejuose išvesties dydžiuose skiriasi; jo kvadratu apskaičiuotas įstrižainės indėlis išlieka 9 mm². Tai yra tinkamos neneigiamos pateiktų afininių modelių dispersijos.

3. Pakeiskite tik bendrąsias ženklų tikimybes į 1/8, 3/8, 3/8 ir 1/8, išlaikydami tą pačią porų tvarką. Palikite X = 100 mm + (2 mm)S ir Z = 60 mm + (3 mm)T. Raskite C_XZ, ρ ir sumos bei skirtumo dispersijas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   C_XZ = −3 mm², ρ = −1/2, Var(X + Z) = 7 mm² ir Var(X − Z) = 19 mm².

   Marginalieji skirstiniai išlieka subalansuoti, todėl įvesties dydžių vidurkiai ir dispersijos nesikeičia. E(ST) tampa (1 − 3 − 3 + 1)/8 = −1/2. Kovariacijos indėlio ženklas pasikeičia į priešingą, todėl didesnę dispersiją dabar turi kitas išvesties dydis.

4. Naujame stačiakampio modelyje su nepriklausomais dvitaškiais skirstiniais ir tais pačiais vidurkiais sumažinkite L nuokrypius iki ±0.015 m, o W nuokrypius palikite ±0.02 m. Raskite pirmosios eilės dispersiją ir tiksliąją sandaugos dispersiją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmosios eilės dispersija yra 0.0045 m⁴; tikslioji sandaugos dispersija yra 0.00450009 m⁴.

   Pirmasis įstrižainės narys yra (2 m × 0.015 m)² = 0.0009 m⁴; antrasis išlieka 0.0036 m⁴. Tiksli nepriklausomų dydžių sandaugos dispersija papildomai apima (0.015 m)²(0.02 m)² = 0.00000009 m⁴. Pagerinus vieną modelio komponentą, kito indėlis išlieka.

5. Naudokite tas pačias trijų taškų poslinkio tikimybes, tačiau nustatykite a = 0.04 m. Kai Y = X², raskite f(E(X)), tikslų E(Y), Var(Y) ir u(Y). Ar pirmosios eilės neapibrėžties sklidimo skaičiavimas ties įvesties dydžio vidurkiu juos atspindi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f(E(X)) = 0 m², E(Y) = 0.0008 m², Var(Y) = 0.00000064 m⁴ ir u(Y) = 0.0008 m². Pirmosios eilės skaičiavimas ties nuliniu įvesties dydžio vidurkiu duoda nulinę neapibrėžtį ir neatspindi išvesties dydžio vidurkio.

   a² = 0.0016 m², todėl išvesties dydžio vidurkis ir standartinis nuokrypis abu yra a²/2 = 0.0008 m². Pakėlę šį standartinį nuokrypį kvadratu, gauname nurodytą dispersiją. Padvigubinus a, poslinkio kvadrato vidurkis ir standartinis nuokrypis padidėja 4 kartus, o jo dispersija – 16 kartų.

6. Pradiniame simetriniame trijų taškų modelyje laikykite X ir Y = X² pora. Raskite Cov(X, Y) ir jos vienetą. Ar ši vertė įrodo, kad poros dydžiai nepriklausomi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Cov(X, Y) = 0 m³, tačiau poros dydžiai nėra nepriklausomi, kai a = 0.02 m.

   Cov(X, Y) = E(X³) − E(X)E(X²) = 0 dėl simetrijos, o m ir m² sandaugos vienetas yra m³. Tačiau X apibrėžia Y: kai X = 0, Y = 0 tikimybė yra lygi vienetui, o besąlyginė šios Y vertės tikimybė tėra 1/2. Nulinė kovariacija nebūtinai pašalina netiesinę priklausomybę.

Ką verta įsidėmėti

• Neapibrėžties sklidimui apskaičiuoti reikia aiškaus matavimo modelio ir pagrįstos informacijos apie įvesties dydžių neapibrėžtis bei priklausomybes.
• Jautrumo koeficientai išlaiko ženklus ir perskaičiuoja įvesties dydžių kitimą į išvesties dydžio vienetus.
• Kovariacija gali padidinti arba sumažinti išvesties dydžio dispersiją; atskiros įvesties dydžių eilutės nepatvirtina nepriklausomumo.
• Ploto pavyzdyje pirmosios eilės dispersija yra 0.0072 m⁴, o tiksli modelio dispersija – 0.00720036 m⁴.
• Netiesinis išvesties dydis gali pakeisti ir vidurkį, ir sklaidą; nulinė išvestinė nepatvirtina nulinės neapibrėžties.
• Nurodykite šaltinio informaciją, vienetus, kovariaciją, artinio ribas ir neapibrėžties matą; vien neapibrėžties biudžetas nepagrindžia teiginio apie aprėptį pagal normalųjį skirstinį.