Atsitiktinė ir sistemingoji neapibrėžtis

Atskirti paklaidą ir neapibrėžtį

Matavimo paklaida yra išmatuotosios dydžio vertės ir pamatinės dydžio vertės skirtumas. Šis skirtumas gali turėti ženklą. Kai siekiama palyginti su nežinoma matuojamojo dydžio verte, atitinkama paklaida taip pat yra nežinoma; kalibruota pamatinė vertė savaime nėra žinoma tikroji vertė. Skirtumas nuo kelių rodmenų vidurkio savaime nėra ta nežinoma paklaida.

Matavimo neapibrėžtis apibūdina dydžio verčių, priskiriamų matuojamajam dydžiui remiantis turima informacija, sklaidą. Standartinė neapibrėžtis šią sklaidą išreiškia standartiniu nuokrypiu ir yra neneigiama. Ji nėra konkretaus rezultato paklaida su ženklu ir savaime nėra garantuota didžiausia paklaida. Rezultato nežinoma paklaida gali atsitiktinai būti maža, nors jo neapibrėžtis išlieka didelė.

Pavadinime įvardyti du svarbūs neapibrėžties šaltiniai: poveikiai, kurie per nurodytus pakartojimus kinta nenuspėjamai, ir poveikiai, kurie išlieka bendri arba kinta nuspėjamai. Apibūdinsime iš šių poveikių kylančias dedamąsias, o ne laikysime atsitiktinę ir sistemingąją neapibrėžtį dviem universaliais matematiniais tipais. Visi toliau pateikti skaičiai yra originalūs mokymo tikslais nustatyti duomenys, o ne šiame straipsnyje atliktų matavimų rezultatai.

Apibrėžkite kartojimus

Atsitiktinė matavimo paklaida kartojant matavimus kinta nenuspėjamai. Sisteminė matavimo paklaida kartojant šiuos matavimus išlieka pastovi arba kinta nuspėjamai; matavimo poslinkis yra sisteminės paklaidos įvertis. Šie apibūdinimai nusako elgseną apibrėžtame procese. Teigiama paklaida nebūtinai yra sisteminė, o besikeičiantys ženklai nepatvirtina, kad procesas yra nepriklausomas ir atsitiktinis.

Pakartojamumo sąlygos apibrėžia tokius aspektus kaip procedūra, operatorius, matavimo sistema, veikimo sąlygos, vieta ir trumpas laiko intervalas. Pirmuoju atveju nagrinėjame laiką, praėjusį tarp dviejų nurodytų sužadinimo įvykių, kartojantis hipotetinio laiko signalų šaltinio veikimo ciklams. Daroma prielaida, kad trukmė q nekinta, ir naudojama ta pati nurodyta laiko matavimo sąranka bei tos pačios sąlygos. Vertės pateikiamos milisekundėmis, žymimomis ms.

Pasirinktam skaičiavimui taip pat nustatykime, kad rodmenų svyravimai yra nepriklausomi, atitinka vieną nekintantį skirstinį ir turi baigtinę dispersiją. Nepriklausomumas reiškia, kad pagal šį modelį vienas svyravimas nesuteikia informacijos apie kitą. Šios prielaidos neišplaukia vien iš to, kad naudojamas tas pats prietaisas. Bendras laiko poslinkis gali egzistuoti kartu su stebima sklaida.

Atskirkite dvi klasifikacijas

Taikant A tipo vertinimą, neapibrėžties komponentas gaunamas statistiškai analizuojant apibrėžtomis sąlygomis išmatuotas vertes. Taikant B tipo vertinimą, naudojama kita svarbi informacija, pavyzdžiui, tinkamas kalibravimo rezultatas, specifikacijos arba pagrįstos žinios apie įvesties dydį. Abiem metodais galima gauti standartinę neapibrėžtį. Jų raidės nusako, kaip vertinamas komponentas, o ne tai, ar jis yra paklaida ir ar jis būtinai turi būti atsitiktinis arba sisteminis.

NIST aiškiai perspėja netapatinti A tipo su atsitiktiniu, o B tipo su sisteminiu: bet kuris vertinimo metodas gali būti taikomas komponentui, atsirandančiam dėl bet kurios rūšies poveikio. Pavyzdžiui, bendrą poslinkį galima tirti atliekant statistinius palyginimus su pamatine verte. Kitu atveju informaciją apie tą poslinkį gali suteikti tinkamas išorinio kalibravimo rezultatas. Būtina nurodyti poslinkio vaidmenį dabartiniame modelyje ir faktiškai naudotą informaciją.

Trumpa matavimų serija savaime nepadaro A tipo vertinimo patikimesnio už gerai pagrįstą B tipo vertinimą.

Įvertinkite vieną pakartotinių matavimų seriją

Pateikite keturis hipotetinius laiko matavimo rodmenis r₁, r₂, r₃, r₄: 50.98 ms, 50.98 ms, 50.98 ms ir 51.06 ms. Jų aritmetinis vidurkis yra r̄ = (r₁ + r₂ + r₃ + r₄)/4 = 51.00 ms. Lentelėje iš kiekvieno rodmens atimamas šis vidurkis. Šie nuokrypiai apibūdina šią seriją; jie nėra žinomos paklaidos q atžvilgiu.

Kai yra n rodmenų, įprastas imties dispersijos įvertis yra nuokrypių nuo imties vidurkio kvadratų suma, padalyta iš n − 1. Teigiama šio įverčio kvadratinė šaknis s apibūdina atskirų rodmenų sklaidą. Kai matavimai kartojami nepriklausomai ir jų skirstinys nekinta, dėl šio kintamumo atsirandanti vidurkio standartinė neapibrėžtis įvertinama taip: u_A(r̄) = s/√n. Čia √ reiškia neneigiamą kvadratinę šaknį; s ir u_A matuojami laiko vienetais, o dispersija – laiko vienetų kvadratais.

Nuokrypių kvadratų suma yra 0.0048 ms². Kai n = 4, padalykite iš 3, kad gautumėte s² = 0.0016 ms² ir s = 0.040 ms; tuomet u_A(r̄) = 0.040 ms/2 = 0.020 ms. Imties įvertis turi n − 1 = 3 laisvės laipsnius, čia susijusius su trimis laisvai pasirenkamais nuokrypiais, kai jų suma turi būti lygi nuliui. Keturi rodmenys suteikia ribotą įvertį, o ne žinomą populiacijos sklaidą ar išsamų neapibrėžties biudžetą.

Apsvarstykite, ką keičia vidurkinimas

Naudokite paprastą modelį rᵢ = q + b + εᵢ. Čia q yra ieškoma nekintanti trukmė, b – nežinomas visai matavimų serijai bendras laiko matavimo poslinkis, o εᵢ – kintamoji i-ojo rodmens dalis. Tarkime, kad εᵢ yra nepriklausomi, jų vidurkis lygus nuliui, o dispersija yra vienoda ir baigtinė, lygi σ². Simbolis σ žymi jų generalinės aibės standartinį nuokrypį, kurį reikia skirti nuo jo imties įverčio s.

Vidurkinant gaunama r̄ = q + b + ε̄. Esant šioms prielaidoms, ε̄ standartinis nuokrypis yra σ/√n. Tai apibūdina sklaidą kartojant matavimų serijas pagal šį modelį, o ne garantuoja, kad kiekvienos didesnės serijos tikroji paklaida bus mažesnė. Kai σ nekinta, padidinus n nuo 4 iki 16, šis standartinis nuokrypis sumažėja perpus. Bendrasis b lieka vidurkyje ir nėra dalijamas iš 4 ar 16.

Šiam sumažėjimui būtinos nurodytos sąlygos. Jei visiems rodmenims bendras tas pats kintantis dėmuo E, kuriam būdinga neapibrėžtis, tai vidurkinant šį dėmenį gaunama (E + … + E)/n = E. Jei rodmenys dreifuoja, yra koreliuoti arba susiję su kintančia trukme, paprastoji serijos formulė gali netikti. Čia koreliuotų svyravimų kovariacija yra nelygi nuliui; kovariacija yra porinio kintamumo matas. Vien rodmenų panašumas nepatvirtina, kad bendro poveikio nėra.

Įvertinkite ne iš serijos gautą informaciją

B tipo įvertinimui taip pat reikia duomenų ir pagrįsto modelio; tai nėra savavališkai parinkta atsarga. Atskirame hipotetiniame laiko matavimo pavyzdyje pateikite informaciją, pagal kurią liekamasis adityvusis poslinkis B aprašomas tolygiuoju skirstiniu intervale −0.060 ms ≤ B ≤ +0.060 ms. Tolygusis skirstinys, dar vadinamas stačiakampiu, pateiktame modelyje reiškia vienodas tikimybes vienodo pločio pointervaliams šiose ribose ir nulinę tikimybę už jų. Šis skirstinys apibūdina informaciją apie B, o ne naujame eksperimente stebėtus dažnius.

Intervalo vidurio įvertis lygus nuliui. Tolygiojo skirstinio, kurio intervalo pusplotis yra a, standartinis nuokrypis yra a/√3. Čia a = 0.060 ms, todėl u(B) = 0.060 ms/√3 = 0.020√3 ms ≈ 0.03464 ms. Ribomis apibrėžto intervalo pusplotis ir standartinė neapibrėžtis yra skirtingi dydžiai. Apytikslė dešimtainė reikšmė yra skaičiavimo rezultato pateikimas; ji nenustato prietaiso matavimų glaudumo.

Tarkime, kad šis B yra bendras visiems dabartinės serijos rodmenims. Jo standartinė neapibrėžtis nėra dalijama iš √n vien todėl, kad gaunami n rodmenų. Pateiktos ribos ir skirstinys yra konkrečios prielaidos, o ne teiginys, kad kiekvienoje specifikacijoje pateikiamos garantuotos ribos arba kad kiekviena B tipo dedamoji yra tolygiai pasiskirsčiusi ar bendra visiems pakartojimams. Gavus naujos informacijos, gali prireikti kitokio modelio.

Išsaugokite pataisos neapibrėžtį

Pataisa kompensuoja įvertintą sisteminį poveikį. Trečiajame pavyzdyje su nustatytomis prielaidomis grįžkite prie keturių rodmenų serijos ir pateikite jai taikomą bendrojo laiko matavimo poslinkio įvertį b̂ = +0.100 ms, kurio standartinė neapibrėžtis u(b̂) = 0.030 ms nustatyta pagal tinkamą išorinę kalibravimo informaciją. Ženklas virš simbolio žymi įvertį. Pasirinktas pataisytas įvertis yra q̂ = r̄ − b̂ = 50.900 ms, esant nurodytoms matavimo ir kalibravimo sąlygoms.

Atėmus tą patį įvertį iš kiekvieno rodmens, jis atimamas ir iš vidurkio. Pataisytos vertės yra 50.880 ms, 50.880 ms, 50.880 ms ir 50.960 ms; jų nuokrypiai nuo 50.900 ms nepakinta. Taigi imties standartinis nuokrypis s = 0.040 ms ir pakartojamumo dedamoji u_A(r̄) = 0.020 ms nepakinta. Tai yra tikslūs pateiktų duomenų poslinkiai, o ne įrodymas, kad tikrasis poslinkis pašalintas visiškai.

Įvertintos pataisos neapibrėžtis išlieka, nes reikiama jos vertė nėra tiksliai žinoma. Ji skiriasi nuo pačios pataisos su ženklu. Pagal šį bendro poslinkio modelį u(b̂) = 0.030 ms nesumažėja iki 0.015 ms apskaičiavus keturių rodmenų vidurkį. Abi nustatytos komponentės ir visos priklausomybės turi būti įtrauktos į visą neapibrėžties biudžetą; šiame straipsnyje neskaičiuojama jų jungtinė neapibrėžtis ir neteigiama, kad q̂ yra žinoma tikroji trukmė.

Fiksuokite duomenis ir ribotumus

Naudingame neapibrėžties apraše nurodomas matuojamasis dydis, kartojimo sąlygos, įvesties modelis, pataisos, įvertinimo metodas, informacijos šaltinis ir pasirinktas neapibrėžties matas. Jame atskiriama pavienių rodmenų sklaida, jų vidurkio neapibrėžties komponentė ir kitos komponentės. Užrašykite n ir imtimi pagrįsto įverčio laisvės laipsnių skaičių, taip pat trumpos matavimų serijos ribotumus.

Patikros turėtų apimti skirtingus galimus poveikius. Kartojant tą pačią procedūrą tikrinama elgsena per šiuos kartojimus. Tinkami palyginimai su pamatinėmis vertėmis, pakeistos sąlygos ar nepriklausomos procedūros gali padėti ištirti poveikius, kurių viena kartotinių matavimų serija neatskleidžia. Tokioms patikroms reikia apibrėžti jų pačių taikymo sritį ir neapibrėžtį; vien rezultatų sutapimas nepatvirtina tikrosios vertės ir neįrodo, kad rasti visi neapibrėžties šaltiniai.

Nustatytų reikšmingų sisteminių poveikių įtaka turėtų būti koreguojama, kai tai pagrindžia modelis ir turima informacija, o likusi jų neapibrėžtis turi būti išsaugota. Daugiau stebėjimų naudinga tik toms komponentėms ir sąlygoms, kurioms taikomas statistinis modelis. Kita užduotis – sujungti pagrįstas komponentes pagal aiškiai apibrėžtą matavimo modelį, neįskaitant jų du kartus ir neprarandant priklausomybių. Tai atskiras neapibrėžties biudžeto sudarymo uždavinys.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pirmojoje serijoje r₁ − r̄ = −0.02 ms. Ar tai yra žinoma matavimo paklaida nežinomos trukmės q atžvilgiu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Tai yra nuokrypis nuo šios serijos imties vidurkio.

   Vidurkis yra serijos centro įvertis, o ne žinoma tikroji trukmė. Bendras poslinkis gali paslinkti visus rodmenis ir jų vidurkį nepakeisdamas šių nuokrypių.

2. Prie kiekvieno pirmosios serijos rodmens pridėkite tą pačią +0.100 ms vertę. Kokie bus naujasis vidurkis, s ir vidurkio u_A, taikant tas pačias kintamumo prielaidas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidurkis tampa 51.100 ms; s lieka 0.040 ms, o u_A lieka 0.020 ms.

   Kiekvienas rodmuo ir jų vidurkis pasislenka vienodai, todėl nuokrypiai ir jų kvadratų suma nesikeičia. Nepakitusi sklaida nerodo, kad bendro poveikio nėra.

3. Atskirame teoriniame modelyje tarkite, kad svyravimai yra nepriklausomi, jų vidurkis lygus nuliui, o bendras populiacijos standartinis nuokrypis σ = 0.040 ms. Palyginkite vidurkio standartinį nuokrypį, kai n = 4 ir n = 16. Ar bendras pastovus poslinkis taip pat padalijamas iš tų pačių koeficientų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kintamosios vidurkio dedamosios standartinis nuokrypis yra 0.020 ms, kai n = 4, ir 0.010 ms, kai n = 16. Bendras pastovus poslinkis nesikeičia.

   Pagal modelį gauname σ/√n, todėl keturis kartus padidinus n šis standartinis nuokrypis sumažėja perpus. Pateikta populiacijos σ yra modelio vertė; ji netampa žinoma iš keturių rodmenų imties, ir nėra garantijos, kad kurios nors konkrečios serijos paklaida sumažės perpus.

4. Kitame pateiktame tolygiojo skirstinio informaciniame modelyje bendram poslinkiui B naudokite ribas −0.030 ms ir +0.030 ms. Raskite jo standartinę neapibrėžtį ir atskirkite ją nuo pusės intervalo pločio.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   u(B) = 0.030 ms/√3 = 0.010√3 ms ≈ 0.01732 ms; intervalo pusplotis yra 0.030 ms.

   Perskaičiuojant naudojamas aiškiai nurodytas tolygusis skirstinys. Standartinė neapibrėžtis yra standartinio nuokrypio matas, o ne intervalo pusplotis; bendrasis komponentas nemažėja vien kartojant rodmenų nuskaitymą.

5. Poslinkis yra bendras visai matavimų serijai. Vienu atveju jo neapibrėžtis įvertinama statistiškai analizuojant tinkamus palyginimus su pamatinėmis vertėmis; kitu atveju naudojama tinkama išorinė kalibravimo informacija, neanalizuojant išmatuotų verčių serijos. Ar abu įvertinimai turi būti B tipo, nes poveikis yra sistemingasis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Taikant šiuos nurodytus metodus, pirmasis įvertinimas yra A tipo, o antrasis – B tipo.

   Tai, kad poveikis yra bendras, apibūdina jo vaidmenį kartojamuose matavimuose. A ir B tipai apibūdina įvertinimo metodą ir informaciją. Pirminio teikėjo metodo negalima nustatyti vien iš to, kad vėlesnis naudotojas gauna kalibravimo rezultatą.

6. Laiko matavimų sekoje matomas dreifas ir koreliuoti svyravimai. Ar galima automatiškai naudoti s/√n kaip šios sekos vidurkio neapibrėžties pakartojamumo komponentą vien todėl, kad yra n rodmenų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Paprasto modelio, kuriame matavimai nepriklausomi, o skirstinys nekinta, pagrįstumas nenustatytas.

   Reikia ištirti dreifą, priklausomybę ir matuojamojo dydžio sąlygas arba taikyti tinkamą statistinį modelį. Vien didesnis rodmenų skaičius nepatvirtina prielaidų ir nepašalina bendro poveikio.

Ką verta įsidėmėti

• Matavimo paklaida yra skirtumas su ženklu, gaunamas lyginant su pamatine verte; neapibrėžtis apibūdina turima informacija grindžiamą sklaidą ir nėra ta nežinoma paklaida.
• Atsitiktiniai ir sistemingieji poveikiai apibūdinami nurodytų kartojamų matavimų ir sąlygų atžvilgiu.
• A ir B tipai žymi įvertinimo metodus; bet kuriuo iš jų galima įvertinti komponentą, susijusį su bet kurios rūšies poveikiu.
• Išnagrinėtos imties s = 0.040 ms ir u_A(r̄) = 0.020 ms, kai n = 4, o laisvės laipsnių skaičius yra 3.
• Vidurkinant nepriklausomus matavimus, vidurkio kintamosios dedamosios standartinis nuokrypis sumažėja √n kartų tik nurodytomis sąlygomis; bendriems poveikiams, dreifui ir priklausomybei reikia skirti atskirą dėmesį.
• Pataisos išlaiko neapibrėžtį, o prieš teigiant, kad rezultatas yra išsamus, nustatytiems komponentams būtina sudaryti pagrįstą išsamų neapibrėžties biudžetą.