Paprastieji harmoniniai svyravimai

Pradėkime nuo judančio kūno ir spyruoklės

3 kg masės kūnas pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės. Pasirinkite fiksuotą koordinatę x, didėjančią į dešinę. Pusiausvyros padėtis yra x_eq = 1 m. Laiko momentu t = 0 s kūnas yra padėtyje x = 0.7 m ir jau juda į dešinę 0.8 m/s greičiu. Iš pradžių jis yra kairėje nuo pusiausvyros padėties; buvimas šioje pusėje nereiškia, kad jis juda į kairę.

Apibrėžkime idealų modelį: nejudanti atrama, bemasė tiesinė spyruoklė, kurios standumas k = 12 N/m, ir jokios horizontalios trinties, slopinimo ar išorinio žadinimo. Sunkio jėga ir atramos reakcijos jėga atsveria viena kitą, todėl vertikalusis pagreitis lygus nuliui. Šios sąlygos apibrėžia pavyzdį; jos nėra konkrečios spyruoklės matavimų rezultatai.

„Padėtis, poslinkis, greitis ir pagreitis“ parengia čia naudojamų dydžių su ženklu sampratai. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ parengia sinuso ir kosinuso grafikų nagrinėjimui. Reikalingos sąvokos pristatomos toliau, todėl skaitant pirmą kartą galima sekti konkrečią būseną ir lentelę, o prie formulių grįžti vėliau.

„Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ bei „Trintis, įtempimo jėga, pasipriešinimas, spyruoklės ir kontaktinės jėgos“ yra paskelbti tekstai, prie kurių galima grįžti nagrinėjant jėgų modelį. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Paprastosios diferencialinės lygtys“ yra neprivalomi tekstai, prie kurių galima grįžti tikrinant judėjimo lygtį. Toliau taškas reiškia išvestinę tikrojo laiko t atžvilgiu.

Matuokite nuo pusiausvyros padėties

Apibrėžkime ξ = x − x_eq – poslinkį nuo pusiausvyros padėties su ženklu. Iš pradžių ξ = −0.3 m, nors absoliučioji padėtis x = 0.7 m yra teigiama. Kadangi x_eq nekinta, greitis v = dξ/dt = dx/dt, o pagreitis a = d²ξ/dt² = d²x/dt².

Horizontali atstojamoji jėga yra F = −kξ. Kai poslinkis teigiamas, jėga nukreipta į kairę; kai poslinkis neigiamas, jėga nukreipta į dešinę. Iš pradžių F = −(12 N/m)(−0.3 m) = +3.6 N, todėl a = F/m = +1.2 m/s².

Pagal antrąjį Niutono dėsnį mξ̈ = −kξ. Padaliję iš teigiamos masės, apibrėžiame ω² = k/m = 4 s⁻², kur ω = 2 s⁻¹ yra teigiamas savasis kampinis dažnis. Lygtis yra ξ̈ = −ω²ξ: pagreitis proporcingas poslinkiui, o jo ženklas priešingas.

Paprastasis harmoninis svyravimas – tai toks sinusinis judėjimas, kai grąžinamosios jėgos koeficientas yra pastovus ir teigiamas. Čia nustatyta, kad tiesinis jėgos dėsnis galioja visoms realiosioms ξ reikšmėms, o matematinis sprendinys apibrėžtas visiems t ≥ 0 s. Tikros spyruoklės tiesinio elgesio sritis yra ribota; šiame pavyzdyje tos srities ribos nenurodytos.

Atsižvelkite į abi pradinės būsenos dalis

Vien padėtis judėjimo nenustato. Toje padėtyje kūnas gali judėti į dešinę, į kairę arba akimirką būti rimties būsenos. Šios lygties sprendinį užrašykime ξ(t) = C cos(ωt) + D sin(ωt), kur C ir D matuojami metrais.

Kai t = 0 s, kosinusas lygus 1, o sinusas – 0, todėl C = ξ(0) = −3/10 m. Diferencijuodami gauname v(0) = ωD; taigi D = v(0)/ω = 2/5 m. Dabar panaudoti abu pradiniai duomenys.

Tegu τ = t/(1 s) – bedimensė skaitinė laiko reikšmė. Pasirinktas sprendinys yra xi(t) = (-3/10 m)*cos(2*tau) + (2/5 m)*sin(2*tau). Jo absoliučioji padėtis yra x(t) = 1 m + ξ(t). Trigonometrinės funkcijos argumentas 2τ yra bedimensė fazė, išreikšta radianais.

Diferencijuodami tikrojo laiko atžvilgiu gauname v(t) = (3/5 m/s) sin(2τ) + (4/5 m/s) cos(2τ), o tada a(t) = (6/5 m/s²) cos(2τ) − (8/5 m/s²) sin(2τ). Šios išraiškos tenkina nurodytus pradinius duomenis ir lygybę a(t) = −(4 s⁻²)ξ(t) kiekvienu laiko momentu. Lygtis su pastoviais koeficientais ir abu pradiniai duomenys nustato šį vienintelį klasikinį sprendinį.

Nustatykite amplitudę, fazę ir periodą

Iš abiejų sinuso ir kosinuso koeficientų gaunama amplitudė A = √(C²+D²) = √(9/100+16/100) m = 1/2 m. Amplitudė yra didžiausias poslinkio nuo pusiausvyros padėties modulis, o ne pradinis poslinkis ar per vieną ciklą nueitas kelias. Absoliučioji padėtis išlieka tarp 0.5 m ir 1.5 m.

Tą patį sprendinį užrašykime ξ(t) = (1/2 m) cos(2τ−φ). Išskleidus kosinusą, turi galioti cos φ = −3/5 ir sin φ = 4/5. Pasirinkime φ antrajame ketvirtyje: π/2 < φ < π. Užrašas φ = atan2(4,−3) reiškia kampą, atitinkantį abu šiuos ženklus; φ ≈ 2.21429744 rad. Įprastas vieno santykio arktangentas teisingo ketvirčio nenustatytų.

Vienam visam nepastovaus judėjimo ciklui fazė turi padidėti 2π. Taigi T = 2π/ω = π s ir f = 1/T = 1/π Hz. Kampinis dažnis ω nusako fazės pokytį radianais per sekundę, o dažnis f – ciklų skaičių per sekundę; ω = 2πf.

Šiame idealiame tiesiniame modelyje periodas nepriklauso nuo amplitudės. Tai neįrodo, kad kiekvieno realaus osciliatoriaus periodas nepriklauso nuo amplitudės. Pastovusis sprendinys ξ = 0 yra atskiras atvejis: jis neturi mažiausio teigiamo pagrindinio periodo, nors lygtyje vis tiek yra savąjį dažnį nusakantis parametras ω.

Trijų dydžių palyginimas tais pačiais laiko momentais

Visuose trijuose grafikuose naudojama ta pati tikroji laiko ašis. Mėlyni apskritimai žymi ξ, violetiniai kvadratai – v, o oranžiniai rombai – a penkiais laiko momentais, išdėstytais kas ketvirtį periodo. Kiekviena kreivė yra tolydus analitinis sprendinys; atkarpos, jungiančios atskirus jos taškus, tik apytiksliai perteikia kreivės formą. Žymekliai rodo pasirinktas modelio vertes, o ne matavimus.

Taškinės pagalbinės linijos žymi du laiko momentus, kai greitis lygus nuliui. Tais momentais nuokrypis nuo pusiausvyros pasiekia ekstremumą, o pagreitis nėra lygus nuliui. Priešingai, kai ξ = 0, kūnas kerta pusiausvyros padėtį nenuliniu greičiu. Pagreičio kreivės ženklas visur yra priešingas nuokrypio kreivės ženklui.

Kiekvieną ordinatę skaitykite pagal jos vienetus. Vertikalieji masteliai yra 180 pikselių vienam metrui dydžiui ξ, 90 pikselių vienam m/s dydžiui v ir 45 pikselių vienam m/s² dydžiui a. Vienodas aukštis šiuose grafikuose nereiškia vienodų fizikinių dydžių. Paveiksle parodytas vienas periodas, 0 ≤ t ≤ π s, matematinėje apibrėžimo srityje t ≥ 0 s.

Pirmosiose penkiose eilutėse pateiktos tikslios žymeklių vertės. Paskutinėse dviejose pateiktos judėjimo krypties pasikeitimo būsenos, naudojant pirmiau apibrėžtą fazę φ. Šios dvi eilutės pateiktos atskirai, o ne įterptos chronologine tvarka; jų laiko momentai yra apytiksliai 1.10714872 s ir 2.67794504 s.

Atskirkite krypties pasikeitimą nuo pusiausvyros

Faziniu pavidalu v(t) = −(1 m/s) sin(2τ−φ). Pirmieji du teigiami greičio funkcijos nuliai gaunami, kai fazė lygi 0 ir π. Pirmasis yra t = (φ/2) s: ξ = +0.5 m ir x = 1.5 m, tačiau a = −2 m/s² ir F = −6 N. Kūnas pakeičia judėjimo kryptį: judėjęs į dešinę, ima judėti į kairę.

Antrasis krypties pasikeitimo momentas yra t = ((φ+π)/2) s. Tuo metu ξ = −0.5 m, x = 0.5 m, a = +2 m/s² ir F = +6 N. Akimirksnio rimtis nereiškia, kad kuri nors iš šių dviejų krypties pasikeitimo būsenų yra pusiausvyros būsena.

Kūnas kerta pusiausvyros padėtį laiko momentais t = ((φ−π/2)/2) s ir t = ((φ+π/2)/2) s. Abiem momentais ξ = 0, F = 0 ir a = 0; greičiai yra +1 m/s ir −1 m/s. Nulinis pagreitis tam tikrą akimirką nereiškia, kad greitis lygus nuliui ar kad judėjimas visą laiką yra tolygus.

Per vieną periodą kūnas grįžta į pradinę padėtį ir atgauna pradinį greitį. Jo poslinkis, įvertinus ženklą, lygus nuliui, o nueitas kelias yra 4A = 2 m. Judant kryptis keičiasi; sudėjus poslinkius tarp atkarpų galų su jų ženklais, šis kelias liktų neįvertintas.

Patikrinkite energijos balansą

Apibrėžkite kinetinę energiją K = mv²/2 ir pasirinkite spyruoklės potencinę energiją U = kξ²/2, kai pusiausvyros padėtyje U = 0. Abi energijos matuojamos džauliais. Nurodytame modelyje su nejudama atrama nėra nei slopinimo, nei išorinio žadinimo, kurie keistų jų sumą.

Pradiniu momentu K = (3 kg)(0.8 m/s)²/2 = 24/25 J ir U = (12 N/m)(0.3 m)²/2 = 27/50 J. Jų suma yra E = 3/2 J. Abiejuose krypties pasikeitimo taškuose visa ši mechaninė energija yra spyruoklės potencinė energija; kertant pusiausvyros padėtį, visa ji yra kinetinė energija.

Šiam sprendiniui K = (3/2 J) sin²(2τ−φ) ir U = (3/2 J) cos²(2τ−φ), todėl jų suma išlieka 3/2 J. Antrasis patikrinimas yra dE/dt = v(ma+kξ) = 0 W. Čia remiamasi tikrąja jėgos lygtimi, o ne prielaida, kad bet kokio periodinio judėjimo metu mechaninė energija išlieka pastovi.

Keičiant masę, bet išlaikant k pastovų, keičiasi savasis dažnis. Jei kartu išlaikomas tas pats pradinis greitis, taip pat keičiasi kinetinė energija ir gali pakisti amplitudė. Toliau pateiktame išnagrinėtame skirtingų masių palyginime šios sąlygos aiškiai nurodomos.

Supraskite, ko modelis nepasako

Vien pasikartojimo nepakanka, kad judėjimas būtų paprastasis harmoninis svyravimas. Pavyzdžiui, nurodykite periodinį poslinkį ξ(t) = (1/5 m) cos(2τ) + (1/10 m) cos(4τ), nereikalaudami, kad galiotų spyruoklės jėgos dėsnis. Jo periodas yra π s, tačiau pagreitis yra −(4/5 m/s²) cos(2τ) − (8/5 m/s²) cos(4τ).

Kai t = 0 s, šio nurodyto judėjimo a/ξ = −8 s⁻². Kai t = (π/4) s, a/ξ = −16 s⁻². Abu poslinkiai nelygūs nuliui, todėl šie nevienodi santykiai atmeta galimybę, kad egzistuoja vienas pastovus grąžinamosios jėgos koeficientas. Tai periodinė dviejų dažnių svyravimų suma, o ne vienas paprastasis harmoninis svyravimas.

Pagrindinis pavyzdys yra tikslus, kai galioja jame pateiktos prielaidos. Realiai spyruoklei, dideliam pailgėjimui, judančiai atramai, slopinimui ar išoriniam žadinimui reikia modelio, kuriame būtų atsižvelgta į šias ypatybes. Ribotos apimties brėžinys ar keli iš pažiūros pasikartojantys matavimai negali patvirtinti idealaus jėgos dėsnio.

Skaitydami pirmą kartą, nepamirškite trijų sąryšių: grąžinamasis pagreitis nukreiptas priešingai poslinkiui nuo pusiausvyros padėties, abi pradinės sąlygos nustato fazę, o krypties pasikeitimo momentai, kai greitis lygus nuliui, skiriasi nuo pusiausvyros padėties kirtimo momentų, kai jėga lygi nuliui. Pasirenkamieji grįžimo prie išvestinių ir diferencialinių lygčių keliai paaiškina, kodėl šie sąryšiai galioja visam sprendiniui.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindinei pradinei būsenai raskite atstojamąją horizontaliąją jėgą ir pagreitį. Kodėl jie teigiami, nors ξ yra neigiamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   F = +18/5 N ir a = +6/5 m/s².

   Pagal F = −kξ jėgos ženklas yra priešingas poslinkio ženklui. Kūnas yra kairėje nuo pusiausvyros padėties, todėl grąžinamoji jėga ir pagreitis nukreipti į dešinę; nei jėgos, nei pagreičio ženklo nenulemia vien greitis.

2. Pagrindiniam judėjimui raskite x, ξ, v ir a laiko momentu t = (π/4) s. Ar kūnas juda pusiausvyros padėties link?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 7/5 m, ξ = 2/5 m, v = +3/5 m/s ir a = −8/5 m/s². Šiuo momentu kūnas tolsta nuo pusiausvyros padėties.

   Kūnas yra dešinėje ir juda į dešinę, nors pagreitis nukreiptas į kairę. Grąžinamoji jėga gali lėtinti nuo pusiausvyros padėties tolstantį kūną, kol pakeičia jo judėjimo kryptį.

3. Kurie iš dydžių v, a ir F lygūs nuliui pirmuoju teigiamu laiko momentu, kai pagrindinio judėjimo kryptis pasikeičia? Nurodykite absoliučiąją padėtį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tik v lygus nuliui. x = 3/2 m, a = −2 m/s² ir F = −6 N.

   Kai fazė lygi 0, poslinkis yra +A. Nulinis greitis judėjimo krypties pasikeitimo momentu nereiškia, kad grąžinamoji jėga lygi nuliui.

4. Nurodykite x, v, a ir F, kai pagrindinio judėjimo metu kūnas pirmą kartą pereina pusiausvyros padėtį. Ar nulinė jėga reiškia, kad kūnas ten pasilieka?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 1 m, v = +1 m/s, a = 0 m/s² ir F = 0 N. Kūnas ten nepasilieka.

   Kai fazė lygi −π/2, poslinkis lygus nuliui, tačiau greitis yra teigiamas ir didžiausias. Kad kūnas nuolat liktų ramybės būsenoje pusiausvyros padėtyje, jo greitis taip pat turėtų būti lygus nuliui.

5. Paskutiniame skyriuje nagrinėto dviejų dažnių poslinkio atveju palyginkite a/ξ laiko momentais 0 s ir (π/4) s. Ar šis poslinkis gali tenkinti a = −ω²ξ su viena pastovia ω verte?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Santykiai yra −8 s⁻² ir −16 s⁻². Nė viena pastovi ω vertė negali tikti abiem.

   Pirmuoju laiko momentu ξ = 0.3 m ir a = −2.4 m/s². Antruoju ξ = −0.1 m ir a = +1.6 m/s². Periodiškumas nepaverčia šių nevienodų santykių vienodais.

6. Kai m = 3 kg ir k = 12 N/m, nustatykite ξ(0) = 0 m ir v(0) = 0 m/s. Koks bus judėjimas ir ar π s yra jo mažiausias teigiamas periodas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ξ, v, a ir F išlieka lygūs nuliui, x išlieka 1 m, o mažiausio teigiamo pagrindinio periodo nėra.

   Pastovusis sprendinys pasikartoja po bet kokio teigiamo laiko intervalo. Parametras ω = 2 s⁻¹ apibūdina lygties nepastoviųjų sprendinių šeimą, tačiau nenustato pagrindinio svyravimo periodo šiai rimties būsenai.

Ką verta įsidėmėti

• Idealiajame tiesiniame modelyje į pusiausvyros padėtį grąžinantis pagreitis nukreiptas priešingai poslinkiui iš pusiausvyros padėties, o abi pradinės sąlygos nustato judėjimą.
• Nulinis greitis judėjimo krypties pasikeitimo momentu ir nulinė jėga kertant pusiausvyros padėtį apibūdina skirtingas būsenas.
• Amplitudę, periodą ir tveriančią energiją lemia nurodytas modelis; vien periodiškumas nepatvirtina, kad judėjimas yra paprastasis harmoninis.