Fizika · Straipsnis

Tinklai, kritiškumas ir sudėtingosios sistemos

Pasitelkite trijų mazgų tinklą, kad pamatytumėte, kaip ryšiai keičia kolektyvinį slopimą ar augimą, tada atskirkite baigtinio tinklo tiesinį slenkstį nuo platesnių teiginių apie kritiškumą.

Ankstesnis straipsnis: Struktūrų formavimasis ir saviorganizacija

Grįžti į fiziką

Perskaitę galėsite

Paprastą ryšių schemą išreikšti kaimyninių mazgų indėliais, nepainiojant mazgo laipsnio su būsenos verte.
Rasti pateikto baigtinio tinklo modelio kolektyvinio slopimo ar augimo spartą.
Atskirti vieno pasirinkto pradinių reikšmių derinio elgseną nuo stabilumo visoms pradinėms būsenoms.
Nurodyti, ką leidžia nustatyti augimo slenkstis ir ilga relaksacijos trukmė, o kam reikia kitokio modelio ar fizikinių duomenų.

Pradėkite nuo trijų susietų skaičių

Įsivaizduokite tris dydžius, kurių kiekvienas linkęs mažėti, o ryšys leidžia vienam dydžiui sustiprinti kitą. Sujunkite mazgą 1 su mazgu 2, o mazgą 2 – su mazgu 3. Pradėkite nuo reikšmių 1/10, √2/10 ir 1/10. Ar ryšiai gali išlaikyti šį reikšmių derinį arba net lemti jo augimą?

Šias tris reikšmes pažymėkime u₁, u₂ ir u₃. Tai pateiktos bedimensės amplitudės, o ne išmatuotos koncentracijos, tikimybės ar masės. Modelyje leidžiamos neigiamos reikšmės, nors šiame pirmajame derinyje visos reikšmės yra teigiamos. Laikas t matuojamas sekundėmis.

Tema „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ suteikia pagrindus čia naudojamoms eksponentinėms funkcijoms suprasti ir grafikams skaityti. Skaitant pirmą kartą galima sekti tris komponenčių lygtis ir grafikuose pavaizduotas amplitudes. „Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai“ bei „Paprastosios diferencialinės lygtys“ yra paskelbtos temos, prie kurių galima grįžti nagrinėjant matricų ir kitimo spartos žymėjimą; reikalingi žingsniai pristatomi toliau šiame tekste.

Ryšius išreikškite kaimyninių mazgų indėliais

Tinkle objektai vaizduojami mazgais, o jų ryšiai – briaunomis. Čia briaunos yra neorientuotos: tas pats ryšys įtraukiamas į taisyklę abiejuose jo galuose. Grafas yra paprastasis, be kilpų ir lygiagrečių briaunų.

Mazgo laipsnis yra su juo sujungtų briaunų skaičius. Laipsniai yra 1, 2 ir 1; jų suma lygi 4, nes kiekviena iš dviejų briaunų turi du galus. Šiame paprastajame grafe laipsnis taip pat yra skirtingų kaimynų skaičius. Laipsnis nėra dabartinė mazgo amplitudė.

Išvardykite mazgus tokia tvarka: 1, 2, 3. Gretimumo matrica yra A = [[0,1,0],[1,0,1],[0,1,0]]. Jos bedimensis elementas Aᵢⱼ lygus 1, jei mazgai sujungti, ir 0 priešingu atveju. Nuliai įstrižainėje reiškia, kad mazgai nesujungti su savimi.

Padauginę A iš stulpelio u = (u₁,u₂,u₃)ᵀ, gauname Au = (u₂,u₁+u₃,u₂)ᵀ: kiekvienas elementas yra atitinkamo mazgo kaimynų amplitudžių suma. Viršutinis brėžinys yra jungčių schema; briaunų ilgis ir apskritimų dydis neatspindi fizinio atstumo ar aktyvumo.

Nurodykite kitimo dėsnį

Nurodykite slopimo spartą κ = 1 s⁻¹ ir neneigiamą sąveikos koeficientą g, kurio vienetai yra s⁻¹. Komponenčių kitimo dėsniai yra u̇₁ = −κu₁ + gu₂, u̇₂ = −κu₂ + g(u₁+u₃) ir u̇₃ = −κu₃ + gu₂. Taškas žymi išvestinę laiko atžvilgiu.

Kompaktiška forma yra du/dt = (-kappa I + g A)u, kur I yra trečiosios eilės vienetinė matrica. Kiekvieno dešinės pusės nario vienetai yra s⁻¹, nes u yra bedimensis. Fizinę spartą padauginus iš laiko, gaunamas eksponentinei funkcijai reikalingas bedimensis argumentas.

Tai pasirinktas tolydaus laiko tiesinis modelis, taikomas visiems t ≥ 0 s. Kaimynų indėlis sustiprina nurodytas amplitudes. Tai nėra tvermę užtikrinanti difuzija: kaimynui perduotas kiekis nėra atitinkamai atimamas, o trijų amplitudžių suma nebūtinai išlieka pastovi. Fiziniam taikymui reikėtų tinkamos interpretacijos, koeficientų ir modelio patikrinimo.

Raskite vieną kolektyvinį profilį

Nagrinėkime v₊ = (1,√2,1)ᵀ. Tiesiogiai dauginant gaunama Av₊ = (√2,2,√2)ᵀ = √2v₊. Taigi kaimynų indėlio profilis yra toks pat kaip pradinio stulpelio, tik padaugintas iš √2. Tai yra A tikrinis vektorius; jo tikrinė vertė √2 yra bedimensė.

Užrašykime u(t) = a(t)v₊, kai a(0) = 1/10. Įstatę gauname ȧ = ra, kur fizinė sparta yra r = −κ + √2g. Tikslus sprendinys yra a(t) = a(0)*exp(r*t). Vienintelė amplitudė kinta, o trijų mazgų verčių santykis išlieka 1:√2:1.

Esant šiai teigiamai pradinei būsenai, kai r < 0, amplitudė slopsta, kai r = 0, profilis išlieka pastovus, o kai r > 0, amplitudė auga. Slenkstis yra g_c = κ/√2 = (1/√2) s⁻¹. Jis nusako šio kolektyvinio profilio slopimo ir kaimynų indėlio pusiausvyrą, o ne teigia, kad atskiro mazgo laipsnis lygus √2.

Palyginkite tris sąveikos koeficientus

Grafą, slopimo spartą ir pradinį stulpelinį vektorių palikite nepakeistus. Palyginkite g = (1/2) s⁻¹, (1/√2) s⁻¹ ir 1 s⁻¹. Pasirinkto pasiskirstymo kitimo spartos šiais trimis atvejais yra atitinkamai (√2/2−1) s⁻¹, 0 s⁻¹ ir (√2−1) s⁻¹.

Apatinėje dalyje pavaizduota bendros amplitudės a priklausomybė nuo tikrojo laiko, o ne trys nepriklausomos mazgų vertės. Atvejus skiria apskritimai, kvadratai ir rombai. Vienas bendras žymeklis žymi bendrą pradinę vertę; kiekvienas atvejis turi žymeklius ties 2 s ir 4 s. Jungiančios kreivės aprašo tolydžius sprendinius, o ne matavimų duomenis.

Apibrėžkite τ = t/(1 s) – bematį skaitinį laiką. Lentelėje pateiktos tikslios išraiškos; trumpai užrašytos dešimtainės vertės padeda skaityti grafiką. Norėdami gauti trijų mazgų vertes bet kuriuo pavaizduotu laiko momentu, padauginkite a iš (1,√2,1)ᵀ.

Brėžinys apima 0 ≤ t ≤ 4 s ir 0 ≤ a ≤ 0.6. Matematiniai sprendiniai galioja visiems t ≥ 0 s, tačiau auganti šaka ilgainiui išeina už šio vaizdavimo lango ribų. Baigtinis žymeklių rinkinys nėra ilgalaikės elgsenos įrodymas.

Mėlyni apskritimai: g = (1/2) s⁻¹; r = (√2/2−1) s⁻¹; pasirinkta struktūra slopsta.

Žali kvadratai: g = (1/√2) s⁻¹; r = 0 s⁻¹; pasirinkta struktūra išlieka.

Oranžiniai rombai: g = 1 s⁻¹; r = (√2−1) s⁻¹; pasirinkta struktūra stiprėja.

Kontūrinis pradinio taško žymeklis yra bendras visiems trims atvejams: a(0) = 1/10.

Pateiktas modelis: u̇ = (−κI+gA)u, κ = 1 s⁻¹, u(t) = a(t)(1,√2,1)ᵀ ir a(t) = (1/10)e^[(−κ+√2g)t].

Viršutinėje schemoje nėra fizinio ilgio ar viršūnių dydžio mastelio. Apačioje 180 pikselių horizontaliai atitinka 1 s, o 600 pikselių vertikaliai – vieną bedimensės amplitudės vienetą.

Matematinė sritis: t ≥ 0 s ir g ≥ 0 s⁻¹. Tik vaizdavimo ribos: 0 ≤ t ≤ 4 s ir 0 ≤ a ≤ 0.6.

Tai sugalvoti tikslūs tiesinės sistemos sprendiniai, o ne matavimai, tvermės dėsnius tenkinanti difuzija ar įsisotinusi galutinė struktūra. Baigtinio grafo slenkstis savaime nepatvirtina termodinaminio kritiškumo ar universalios mastelio priklausomybės.

Viršutinėje schemoje pateikti ryšiai. Apatinės kreivės lygina tikslią pasirinktą amplitudę esant trims sąveikos stipriams; jų žymekliai laiko momentais 0 s, 2 s ir 4 s atitinka toliau pateiktos lentelės vertes.

Pasirinkta amplitudė a tam pačiam pradiniam pasiskirstymui; mazgų vertės yra (a,√2a,a)
Laikas t	g = (1/2) s⁻¹	g = (1/√2) s⁻¹	g = 1 s⁻¹
0 s	1/10	1/10	1/10
2 s	e^(√2−2)/10 ≈ 0.0556668	1/10	e^(2√2−2)/10 ≈ 0.228971
4 s	e^(2√2−4)/10 ≈ 0.0309879	1/10	e^(4√2−4)/10 ≈ 0.524279

Patikrinkite visas pradines konfigūracijas

Viena pasirinkta kreivė neaprašo visų galimų pradinių būsenų. Dar du tikriniai vektoriai yra v₀ = (1,0,−1)ᵀ, kurio tikrinė vertė yra 0, ir v₋ = (1,−√2,1)ᵀ, kurio tikrinė vertė yra −√2. Kartu su v₊ jie sudaro trimatės būsenų erdvės ortogonaliąją bazę.

Todėl kiekvieną pradinį stulpelinį vektorių galima užrašyti kaip šių konfigūracijų sumą. Pagal pateiktą evoliucijos dėsnį jų fizikiniai kitimo greičiai yra −κ+√2g, −κ ir −κ−√2g. Kadangi g ≥ 0, pirmasis yra didžiausias. Kai g < g_c, visi trys kitimo greičiai yra neigiami, todėl kiekviena būsena artėja prie nulio. Kadangi matrica yra simetrinė, Euklido norma taip pat mažėja ne lėčiau nei eksponentinė funkcija su šiuo didžiausiu kitimo greičiu.

Kai g = g_c, v₊ dedamoji išlieka, o kitos dvi dedamosios slopsta. Nulinė būsena yra stabili, bet ne asimptotiškai traukianti: kiek norima maža nenulinė pradinė v₊ dedamoji neartėja prie nulio. Kai g viršija g_c, būsenų su nenuline v₊ dedamąja dydis ilgainiui auga, tačiau specialiai parinktos būsenos be šios dedamosios vis tiek slopsta.

Pavyzdžiui, v₀ slopsta pagal dėsnį e⁻ᵗᵃᵘv₀ net tada, kai g = 1 s⁻¹. Tiksliai nulinė būsena lieka nulinė. Teigiamas augimo greitis parodo nulinės būsenos nestabilumą; jis nereiškia, kad kiekvienas pradinis būsenos stulpelis turi augti.

Pakeiskite grafą arba slopimo trukmę

Pašalinkite tik briauną tarp viršūnių 2 ir 3. Naujoji gretimumo matrica yra A′ = [[0,1,0],[1,0,0],[0,0,0]]. Jos tikrinės vertės yra 1, −1 ir 0: viršūnės 1 ir 2 sudaro porą, o viršūnė 3 yra izoliuota. Didžiausias kitimo greitis dabar yra −κ+g, todėl slenkstis yra g = κ = 1 s⁻¹.

Ta pati sąveikos stiprio vertė g = 1 s⁻¹ viršija pradinio grafo slenkstį, bet tiksliai sutampa su naujuoju. Viršūnė 3 negauna jokio kaimynų indėlio, o jos būsena slopsta greičiu −κ. Svarbu iš naujo išanalizuoti naująjį grafą; briaunos pakeitimas nėra vien kosmetinis paveikslo pakeitimas.

Kai sąveikos stipris yra mažesnis už pradinio grafo slenkstį, apibrėžkime v₊ modos relaksacijos trukmę T_rel = 1/(κ−√2g). Per šią teigiamą trukmę amplitudė sumažėja e kartų. Kai g = (1/2) s⁻¹, T_rel = (2+√2) s. Kai g artėja prie g_c iš apačios, ši trukmė tampa kiek norima didelė. Ties slenksčiu arba virš jo ši formulė neduoda teigiamos slopimo trukmės.

Atskirkite slenkstį nuo kritiškumo

Šis baigtinis modelis turi kolektyvinį slenkstį: nuo jungčių priklausantis kitimo greitis pereina per nulį. Bet kuriuo fiksuotu baigtiniu laiko momentu jo sprendinys, išreiškiamas matricine eksponente, glotniai kinta keičiantis g. Ryškus skirtumas tarp ilgainiui vykstančio slopimo, išlikimo ir augimo susijęs su ilgalaike elgsena, o ne su grafike vaizduojamos amplitudės šuoliu baigtiniu laiko momentu.

Pusiausvyrinėje statistinėje fizikoje termodinaminis fazinis virsmas susijęs su kitokiu ribiniu perėjimu. Pavyzdžiui, baigtinės Isingo sistemos statistinė suma yra baigtinė analitinių narių suma; termodinaminėje riboje gardelės vietų skaičius artėja prie begalybės ir gali atsirasti neanalitinis virsmas. Šis pusiausvyrinių sistemų rezultatas nedraudžia slenksčių baigtinėse dinaminėse lygtyse.

Ilga relaksacijos trukmė šioje pasirinktoje lygtyje savaime nepatvirtina išmatuoto kritinio rodiklio, universalių mastelio dėsningumų, lavinų ar bemastelio tinklo. Auganti tiesinio modelio šaka taip pat neartėja prie įsotintos galutinės būsenos: šiame modelyje nėra netiesinio nario, kuris galėtų sustabdyti augimą.

Tinklas aprašo ryšius, o dinaminė taisyklė nusako, ką tie ryšiai lemia. Naudojant abu galima atskleisti kolektyvinę elgseną. Norint paaiškinti konkrečią sudėtingą sistemą, būsenos, sąveikos taisyklės, taikymo sritis ir fizikiniai duomenys turi atitikti tą sistemą; trijų viršūnių skaičiavimas pagrindžia tik nurodytas šio modelio išvadas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Apskaičiuokite kaimynų indėlį ir kitimo greitį

Tarkime, kad tam tikru momentu pradiniame grafe u = (2,1,0)ᵀ ir g = (1/2) s⁻¹. Raskite tris kitimo spartas. Ar amplitudžių suma išlieka pastovi?

Iš kaimyninių mazgų gaunamų įvesčių stulpelinis vektorius yra Au = (1,2,1)ᵀ. Mazgas 2 gauna mazgų 1 ir 3 verčių sumą, nors jo paties vertė yra tik 1.
Vietinio slopimo indėlis yra (−2,−1,0)ᵀ s⁻¹. Sąveikos indėlis yra (1/2,1,1/2)ᵀ s⁻¹.
Sudėję šiuos indėlius gauname u̇ = (−3/2,0,1/2)ᵀ s⁻¹. Vidurinio mazgo momentinė kitimo sparta lygi nuliui, o trečiojo mazgo vertė, iš pradžių lygi nuliui, pradeda didėti.
Kitimo spartų suma yra −1 s⁻¹. Kad suma išliktų pastovi, bendra kitimo sparta turėtų būti lygi nuliui esant bet kuriai būsenai; šis kontrpavyzdys paneigia tokią galimybę pagal pateiktą dėsnį.

Kitimo spartos yra (−3/2,0,1/2)ᵀ s⁻¹. Šiuo momentu bendra amplitudė mažėja, taigi modelyje ji neišlieka pastovi.

Raskite kolektyvinės relaksacijos trukmę

Kai pradinis stulpelinis vektorius yra pasirinktas, o g = (1/2) s⁻¹, raskite a momentu 2 s ir teigiamą laiko intervalą, per kurį esama amplitudė sumažėja e kartų.

Kolektyvinė kitimo sparta yra r = (√2/2−1) s⁻¹; ji yra neigiama.
Kai t = 2 s, eksponentės rodiklis yra r t = √2−2. Taigi a(2 s) = e^(√2−2)/10 ≈ 0.0556668.
Sumažėjimas e kartų reiškia, kad a(t+T_rel)/a(t) = e⁻¹. Šiai eksponentinei priklausomybei rT_rel = −1.
Taigi T_rel = 1/(1−√2/2) s. Padauginę skaitiklį ir vardiklį iš 1+√2/2, gauname T_rel = (2+√2) s ≈ 3.41421 s.

a(2 s) = e^(√2−2)/10 ≈ 0.0556668, o relaksacijos trukmė yra (2+√2) s.

Poros raida pašalinus briauną

Pašalinkite briauną 2–3, nustatykite g = 1 s⁻¹ ir nurodykite atskirą pradinę būseną u(0) = (1,1,1)ᵀ. Kas išlieka, o kas slopsta?

Naujieji komponenčių kitimo dėsniai yra u̇₁ = (−u₁+u₂)/(1 s), u̇₂ = (u₁−u₂)/(1 s) ir u̇₃ = −u₃/(1 s).
Kai pirmoji ir antroji komponentės lygios, šios poros kitimo greičiai lygūs nuliui. Pradinė pora (1,1) lieka nepakitusi.
Izoliuotoji trečioji komponentė tenkina lygtį u̇₃ = −u₃/(1 s), kai pradinė vertė yra 1, todėl u₃(t) = e⁻ᵗᵃᵘ.
Gauname u(t) = (1,1,e⁻ᵗᵃᵘ)ᵀ. Tai naujasis grafas ties savo slenksčiu, o ne pradinis pasirinktas trijų viršūnių pasiskirstymas.

Sujungtos poros būsena išlieka (1,1), o izoliuotosios viršūnės būsena slopsta pagal e⁻ᵗᵃᵘ, kur τ = t/(1 s).

Pabandykite patys

Pradiniame grafe pakeiskite būseną į u = (−1,0,1)ᵀ. Kokie yra trijų viršūnių laipsniai ir kaimyninių viršūnių poveikio stulpelis Au?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Laipsniai lieka (1,2,1); Au = (0,0,0)ᵀ.
Laipsniai priklauso nuo briaunų aibės. Dvi priešingų ženklų galinių viršūnių amplitudės kompensuoja viena kitą viršūnės 2 kaimyninių viršūnių sumoje, o kiekviena galinė viršūnė turi kaimynę, kurios vertė lygi nuliui.
Nustatykite g = 0 ir u(0) = (1,0,0)ᵀ. Raskite u laiko momentu 1 s. Ar pagal šį kitimo dėsnį be tarpusavio sąveikos viršūnių nulinės vertės gali tapti nenulinės?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
u(1 s) = (1/e,0,0)ᵀ. Kitos dvi komponentės lieka lygios nuliui.
Kiekviena komponentė nepriklausomai tenkina lygtį u̇ᵢ = −uᵢ/(1 s), todėl joks kaimyninio mazgo narys neperduoda indėlio į kitą mazgą.
Pradiniame grafe, kai g = 1 s⁻¹, pradinė būsena yra u(0) = (−1,0,1)ᵀ. Ar būsena auga, nors didžiausia augimo sparta yra teigiama?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Būsena yra u(t) = e⁻ᵗᵃᵘ(−1,0,1)ᵀ ir artėja prie nulio.
Šiai būsenai Au = 0, o v₊ indėlio nėra. Nestabilumas leidžia trikdžiams augti, bet nereiškia, kad auga kiekviena ypatinga pradinė būsena.
Pradiniame grafe, kai g = (1/√2) s⁻¹, pradinė būsena yra u(0) = (1,0,1)ᵀ. Naudodamiesi u(0) = (v₊+v₋)/2, raskite ribą, kai laikas artėja prie begalybės.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Riba yra (1/2,√2/2,1/2)ᵀ.
v₊ dalies augimo sparta lygi nuliui, todėl ši dalis lieka v₊/2. v₋ dalies augimo sparta yra −2 s⁻¹, todėl ši dalis slopsta. Nulinė didžiausia augimo sparta nereiškia, kad būsena traukiama prie nulio.
Kai κ = 1 s⁻¹, palyginkite pradinio grafo slenkstį su grafo slenksčiu pašalinus briauną 2–3. Kurio grafo didžiausia augimo sparta yra teigiama, kai g = 1 s⁻¹?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Slenksčiai yra (1/√2) s⁻¹ ir 1 s⁻¹. Kai g = 1 s⁻¹, tik pradinio grafo didžiausia augimo sparta yra teigiama.
Didžiausia gretimumo matricos tikrinė vertė pasikeičia iš √2 į 1. Naujasis grafas yra tiksliai ties slenksčiu: poros moda išlieka, o ne auga teigiama sparta.
Pradinio grafo relaksacijos trukmė artėja prie begalybės, kai g artėja prie savo slenksčio iš apačios. Ar tai įrodo universalų kritinį mastelinį elgesį arba aprėžtą galutinę struktūrą medžiagoje?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Ne. Tai sąlyginė pateikto baigtinio tiesinio modelio savybė.
Šis skaičiavimas nei patvirtina medžiagos modelio tinkamumą, nei pateikia netiesinio įsotinimo taisyklę, termodinaminės ribos teoriją ar skirtingų sistemų palyginimus.

Ką verta įsidėmėti

Ryšiai ir dinamikos dėsnis atlieka skirtingus vaidmenis: tame pačiame grafe gali vykti skirtingo pobūdžio evoliucija.
Kolektyvinio augimo slenkstį reikia patikrinti visiems nepriklausomiems pasiskirstymams; pasirinktos pradinės būsenos elgsena gali skirtis nuo tos, kurią nusako didžiausias augimo greitis.
Baigtinių tiesinių sistemų slenksčiams ir ilgiems relaksacijos laikams reikia papildomų įrodymų, kad jais būtų galima grįsti teiginius apie empirinį kritiškumą ar netiesines galutines būsenas.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.

The structure and function of complex networksM. E. J. Newman — 2003Mokslinis straipsnisarxiv.orgSkaityti šaltinį
Statistical PhysicsDavid Tong — University of Cambridge; undated course notesPaskaitų medžiaga · PDFStatistical Physics: Phase Transitions Author’s course pagedavidtong.org