Slopinamieji svyravimai

Pradėkime nuo vieno paleidimo ir trijų slopintuvų

2 kg masės kūnas pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m. Pasirinkite nekintančią koordinačių ašį, kurioje koordinatė didėja į dešinę, o pusiausvyros padėtis yra x_eq = 1 m. Paleiskite kūną iš padėties x = 1.2 m, kai jo pradinis greitis lygus nuliui. Kas pasikeičia pakeitus slopinimo koeficientą?

Pasirinkite nekintančią inercinę atskaitos sistemą, pastovią masę, bemasę tiesinę spyruoklę ir nejudamą atramą. Sunkio jėga ir atramos reakcijos jėga atsveria viena kitą, todėl vertikalusis pagreitis lygus nuliui. Nėra išorinio žadinimo ar kitų horizontalių jėgų. Tai idealaus modelio sąlygos, o ne konkrečios spyruoklės ar slopintuvo matavimų rezultatai.

Temos „Padėtis, poslinkis, greitis ir pagreitis“ bei „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ suteikia pagrindą darbui su dydžiais, turinčiais ženklą, ir jėgų balansu. Čia reikalingi apibrėžimai taip pat pateikiami vietoje. Energijos skyriuje galima grįžti prie paskelbtos temos „Darbas, kinetinė ir potencinė energija, galia“.

Skaitant pirmą kartą, prieš tikrinant sprendinių formules galima palyginti tris atsako kreives ir jų lentelę. Sinusą ir kosinusą galima pakartoti grįžus prie paskelbtos temos „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Norint pakartoti išvestines ir lygtį, galima pasirinktinai grįžti prie temų „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ bei „Paprastosios diferencialinės lygtys“.

Kiekvienai jėgai – sava taisyklė

Tegu ξ = x − x_eq yra poslinkis su ženklu nuo pusiausvyros padėties. Pradinė būsena yra ξ(0) = 0.2 m ir v(0) = 0 m/s. Kadangi x_eq nekinta, v = dξ/dt; pagreitis yra a = dv/dt = d²ξ/dt². Tai kitimo spartos tikrojo laiko t atžvilgiu.

Spyruoklės jėga yra F_s = −kξ. Įtraukime tiesinę klampiojo slopinimo jėgą F_d = −cv, kur pastovusis koeficientas c ≥ 0 matuojamas kg/s. Ši jėga nukreipta prieš greitį ir lygi nuliui, kai greitis lygus nuliui. Šis dėsnis skiriasi nuo pastovaus didumo slydimo trinties jėgos dėsnio ir nėra visų rūšių pasipriešinimo modelis.

Iš atstojamosios horizontaliosios jėgos gauname ma = −kξ − cv, arba mξ″ + cξ′ + kξ = 0. Brūkšnelis čia žymi išvestinę laiko atžvilgiu. Kiekvieno nario matavimo vienetas yra niutonas. Į šią lygtį nepridedama jokia papildoma „judėjimo jėga“.

Pradiniu momentu F_s = −2 N ir F_d = 0 N, todėl visais trimis atvejais a(0) = −1 m/s². Tai, kad kūnas paleidžiamas iš rimties, nereiškia, kad iš pusiausvyros padėties paslinktas kūnas yra pusiausvyros būsenos.

Nustatykite tris koeficiento režimus

Kai m ir k yra teigiamos pastoviosios, neslopinamųjų svyravimų dažnio parametras yra ω₀ = √(k/m). Apibrėžkime γ = c/(2m), matuojamą s⁻¹. Ribinis koeficientas yra c_crit = 2√(mk). Čia c_crit = 4√5 kg/s, apytiksliai 8.944 kg/s.

Jei 0 < c < c_crit, nenulinis laisvasis atsakas yra silpnai slopinamas: mažėjanti eksponentinė funkcija dauginama iš sinuso ir kosinuso derinio. Kai c = c_crit, atsakas slopinamas kritiškai ir turi kartotinę eksponentinio kitimo spartą. Kai c > c_crit, atsakas slopinamas stipriai ir turi dvi skirtingas realiąsias eksponentinio kitimo spartas. Pradinė būsena nustato jų koeficientus.

Vienas būdas patikrinti šį skirstymą – išbandyti ξ = A e^(rt), kur A matuojamas metrais, o r – s⁻¹. Įstatę gauname mr² + cr + k = 0. Eksponentinio kitimo spartos yra r = −γ ± √(γ² − k/m). Kartotinės spartos atveju taip pat reikia nepriklausomo sprendinio t e^(−γt), padauginto iš koeficiento, matuojamo m/s; du kartus pakartojus tą pačią eksponentinę funkciją, nebūtų panaudoti abu pradiniai duomenys.

Kai c = 4 kg/s, spartos yra −1 ± 2i s⁻¹; kai c = 4√5 kg/s, kartotinė sparta yra −√5 s⁻¹; kai c = 12 kg/s, jos yra −1 s⁻¹ ir −5 s⁻¹. Čia i² = −1. Kompleksinės spartos yra glaustas matematinis vaizdavimas; toliau pavaizduotas poslinkis yra realusis. Šiam pirmajam palyginimui kompleksinių skaičių algebra neprivaloma.

Palyginkite atsakus esant tai pačiai pradinei būsenai

Naudokite bedimensį laiką τ = t/(1 s). Eksponentinių funkcijų argumentai ir radianais išreikštos fazės skaitinė vertė 2τ yra bedimensiai. Abu pradiniai duomenys nustato šiuos tikslius modelio sprendinius; trys atvejai skiriasi tik c.

Silpnas slopinimas, c = 4 kg/s: xi_u(t) = (1/5 m)*exp(-tau)*(cos(2*tau) + (1/2)*sin(2*tau)). Kritinis slopinimas, c = 4√5 kg/s: ξ_c(t) = (1/5 m)(1 + √5τ)e^(−√5τ). Stiprus slopinimas, c = 12 kg/s: ξ_o(t) = (1/4 m)e^(−τ) − (1/20 m)e^(−5τ).

Kiekvienos kreivės pradžioje ξ = 0.2 m, v = 0 m/s ir a = −1 m/s². Silpno slopinimo kreivė kerta pusiausvyros padėtį; kitų dviejų pasirinktų kreivių vertės išlieka teigiamos ir artėja prie pusiausvyros. Šis paskutinis pastebėjimas priklauso nuo pateiktų pradinių duomenų, o ne vien nuo slopinimo tipų.

Diagramoje visiems trims atsakams naudojamas bendras laiko ir poslinkio mastelis. Apatinėje jos dalyje tas pats silpno slopinimo poslinkis lyginamas su teigiama ir neigiama eksponentinėmis gaubtinėmis. Kai kurie vėlesnius laiko momentus žymintys taškai yra taip arti vienas kito, kad persidengia; lentelėse išlaikomos atskiros jų vertės. Visos toliau pateiktos dešimtainės reikšmės yra suapvalinti skaičiavimo pagal tikslias modelio formules rezultatai, o ne matavimo tikslumo išraiška.

Atskirkite ribą, pusiausvyros kirtimus ir judėjimo krypties pasikeitimus

Silpnai slopinamų svyravimų sprendiniui v(t) = −(1/2 m/s)e^(−τ) sin(2τ). Kai poslinkis lygus nuliui, greitis paprastai nėra lygus nuliui. Pirmą kartą kertant pusiausvyros padėtį, spyruoklės jėga lygi nuliui, tačiau greitis yra neigiamas, o slopinimo jėga nukreipta į dešinę.

Jo trigonometrinio derinio koeficientai yra C = 1/5 m ir D = 1/10 m. Jų bendras modulis yra R = √(C² + D²) = √5/10 m, apytiksliai 0.223607 m. Taigi |ξ_u(t)| ≤ R e^(−τ). Brūkšninės kreivės žymi ribas, o ne kūno poslinkį ar kreives, gautas sujungus tikrąsias jo svyravimų viršūnes. Be to, R yra didesnis už pradinį poslinkį 0.2 m.

Apibrėžkime ψ = arctan(2) – radianais išreikšto kampo skaitinę vertę tarp 0 ir π/2, kurio tangentas yra 2. Du pavaizduoti poslinkio nuliai pasiekiami teigiamais laiko momentais t = ((π − ψ)/2) s ir ((2π − ψ)/2) s, apytiksliai 1.017222 s ir 2.588018 s. Greičiai šiais momentais yra nenuliniai ir priešingų ženklų.

O pirmasis vietinis minimumas teigiamu laiko momentu pasiekiamas, kai t = (π/2) s, apytiksliai 1.570796 s. Tuomet ξ = −(1/5 m)e^(−π/2) ir v = 0 m/s. Slopinimo jėga tuo momentu lygi nuliui, tačiau spyruoklės jėga nukreipta į dešinę. Tikslūs nuliai lentelėje nustatyti pagal šias analitines sąlygas; sinuso skaičiavimo kompiuteriu apvalinimo paklaidos nepaverčia jų mažomis fizinėmis liekanomis.

Mechaninės energijos balansas

Pasirinktos masės kūno ir spyruoklės mechaninė energija yra E = (1/2)mv² + (1/2)kξ². Pradžioje ji lygi 0.2 J: visa energija sukaupta spyruoklėje, o kinetinė energija lygi nuliui. Šios dvi energijos formos gali virsti viena kita, o jų suma mažėja.

Diferencijuodami šiame modelyje, kuriame m ir k yra pastovūs ir nėra išorinės žadinančios jėgos, gauname dE/dt = v(ma + kξ) = −cv² ≤ 0. Slopinimo jėgos galia yra F_d v = −cv², matuojama vatais. Šis balansas apima kūno ir spyruoklės sistemos mechaninę energiją. Aprašant slopintuvą ir aplinką, taip pat reikėtų jų kintamųjų ir energijos perdavimo.

Judėjimo krypties pasikeitimo taške v = 0, todėl momentinė energijos išvestinė lygi nuliui. Tai nereiškia, kad E yra pastovi per tam tikrą laiko intervalą. Be to, tiksli momentinė E(t) išraiška paprastai nėra tiesiog E(0)e^(−2γt): kinetinės ir potencinės energijos dėmenų faziniai daugikliai skiriasi.

Laikui t didėjant, sistema iš nenulinės pradinės būsenos artėja prie ξ = 0 ir v = 0. Šiame tiesiniame modelyje ji nepasiekia visos šios būsenos per baigtinį laiką: priešingu atveju dėl sprendinio vienatinumo jis turėtų būti pastovus pusiausvyros sprendinys. Padėties ξ = 0 kirtimas nenuliniu greičiu yra kitas įvykis.

Patikrinkite virškritinį slopinimą paleidę kūną kitaip

Palikite virškritinio slopinimo parametrus m = 2 kg, k = 10 N/m ir c = 12 kg/s, bet nustatykite ξ(0) = 0.2 m ir v(0) = −2 m/s. Didesnis pradinis greitis nukreiptas pusiausvyros link. Tai naujas pradinių sąlygų uždavinys, o ne nepastebimas grafikuose pavaizduotų atvejų pakeitimas.

Užrašykime ξ(t) = A e^(−τ) + B e^(−5τ). Iš pradinių sąlygų gauname A + B = 1/5 m ir −A − 5B = −2 m, taigi A = −1/4 m ir B = 9/20 m. Pasirinktasis poslinkis yra ξ(t) = −(1/4 m)e^(−τ) + (9/20 m)e^(−5τ).

Kūnas kerta pusiausvyros padėtį, kai t = (ln(9/5)/4) s, apytiksliai 0.146947 s. Kirtimo momentu v = −(1 m/s)e^(−τ), taigi greitis nėra lygus nuliui. Šiame modelyje be išorinio žadinimo, kuriame yra du realieji slopimo rodikliai, virškritinis slopinimas neleidžia svyruojant pakartotinai kirsti pusiausvyros padėties, tačiau tai nereiškia, kad esant bet kuriai pradinei būsenai vienkartinis kirtimas yra neįmanomas.

Aiškiai nurodykite dažnį ir galiojimo sąlygas

Subkritinio slopinimo atveju sinuso ir kosinuso daugiklio kampinis dažnis yra 2 rad/s, o jo vertės kartojasi kas π s. Visas poslinkis tenkina lygybę ξ_u(t + π s) = e^(−π)ξ_u(t), todėl judėjimas nėra periodinis. Nešlio daugiklio pasikartojimo intervalas nėra tas pats, kas viso slopstančio atsako periodas.

Jei c = 0, o masė, spyruoklė ir pradinė būsena lieka tos pačios, pagal modelį ξ(t) = (1/5 m)cos(√5τ), mechaninė energija yra pastovi ir lygi 0.2 J, o nepastovaus judėjimo periodas yra (2π/√5) s. Jei ir pradinis poslinkis, ir pradinis greitis lygūs nuliui, bet kuriuo iš trijų slopinimo atvejų gaunamas pastovus pusiausvyros sprendinys.

Formulės yra matematiniai sprendiniai, galiojantys, kai t ≥ 0 s; brėžinyje parodytas tik intervalas 0 ≤ t ≤ 4 s. Taikant modelį realiomis sąlygomis, būtina patikrinti spyruoklės tiesinio veikimo diapazoną, ar tinka slopintuvas, kurio jėga proporcinga greičiui, kitas jėgas ir inercinės atskaitos sistemos artinį. Bendram teiginiui apie „greičiausią grįžimą“ taip pat reikia nurodyti pradinę būseną ir grįžimo kriterijų arba leistiną nuokrypį; vien koeficiento kategorija nenusako nei vieno, nei kito.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar grafike pavaizduoto paleidimo atveju didinant c pakinta atstojamoji jėga tiksliai laiko momentu t = 0 s? Raskite šią jėgą ir pagreitį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. F_net(0) = −2 N ir a(0) = −1 m/s² visoms grafike naudotoms c vertėms.

   Pagal nurodytą sąlygą v(0) = 0, todėl paleidimo momentu −cv lygu nuliui. Vienodas poslinkis ir standumas duoda −kξ = −2 N. Vėliau greičiai ir slopinimo jėgos gali skirtis.

2. Palikite m = 2 kg ir k = 10 N/m, bet pasirinkite c = 8 kg/s. Koks tai režimas ir kokia yra nešamųjų svyravimų kampinio dažnio skaitinė vertė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Silpno slopinimo režimas, kai γ = 2 s⁻¹, o nešamųjų svyravimų kampinis dažnis yra 1 rad/s.

   Ribinė vertė yra 4√5 kg/s, o 8 < 4√5. Apskaičiuokite γ = c/(2m) = 2 s⁻¹; k/m − γ² = 5 s⁻² − 4 s⁻² = 1 s⁻². Šis dažnis apibūdina svyruojantį daugiklį, o ne viso slopinamo judėjimo periodą.

3. Ar grafike pavaizduoto silpnai slopinamo judėjimo paleidimo atveju galima ribos koeficientą R pakeisti pradiniu poslinkiu 0.2 m, nepatikrinus sinuso koeficiento? Raskite teisingą R.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. R = √5/10 m, apytiksliai 0.223607 m.

   Ta pati pradinio greičio sąlyga duoda D = 1/10 m, nes diferencijuojant eksponentinį daugiklį gaunamas dėmuo −C/(1 s). Taigi R² = (1/5 m)² + (1/10 m)². Naudojant tik C, praleidžiama antroji būsenos dalis.

4. Kai silpnai slopinamo judėjimo metu pirmą kartą kertama pusiausvyros padėtis, kuri iš jėgų F_s ir F_d lygi nuliui ir į kurią pusę nukreipta nenulinė jėga?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   F_s = 0 N. F_d nelygi nuliui ir nukreipta į dešinę.

   Kirtimo metu ξ = 0, o v < 0. Todėl −kξ = 0, o −cv > 0, kai c = 4 kg/s. Vėlesniame poslinkio minimume vaidmenys pasikeičia: v = 0, o spyruoklės jėga yra teigiama.

5. Pirmajame silpnai slopinamų svyravimų minimume dE/dt = 0. Ar tai reiškia, kad E yra pastovi visame intervale 0 ≤ t ≤ 4 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Nulinė momentinė išvestinė judėjimo krypties pasikeitimo momentu nereiškia, kad energija yra pastovi visame intervale.

   Tapatybė dE/dt = −cv² galioja visame modelyje be išorinio žadinimo. Kai kuriose šio intervalo dalyse greitis nėra nulinis, o c = 4 kg/s, todėl jose energija mažėja. Pradinė E vertė yra 0.2 J.

6. Grafike pavaizduotam silpno slopinimo atvejui palyginkite ξ_u(0) ir ξ_u(π s). Ar π s yra viso judėjimo periodas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ξ_u(0) = 0.2 m; ξ_u(π s) = (1/5 m)e^(−π), apytiksliai 0.008643 m. Ne.

   Nešantysis trigonometrinis daugiklis kartojasi, tačiau eksponentinis daugiklis padaugina poslinkį iš e^(−π). Jau vien skirtingos vertės intervalo galuose paneigia siūlomą periodą; nenulinis slopstantis judėjimas negali turėti teigiamo periodo.

Ką verta įsidėmėti

• Slopinimo jėgai reikia nurodyti jos priklausomybės dėsnį; tiesinio klampiojo slopinimo jėga yra priešinga greičio krypčiai ir skiriasi nuo pastovaus didumo trinties jėgos dėsnio.
• Slopinimo režimai apibūdina lygties kitimo spartas, o abi pradinės sąlygos lemia sistemos atsaką ir galimą kirtimą.
• Eksponentinis rėžis, poslinkio nulis ir judėjimo krypties pasikeitimo taškas yra trys skirtingi objektai.
• Šiame idealiame modelyje be išorinio žadinimo mechaninės energijos išvestinė yra −cv², o energijos praradimas nereiškia, kad per baigtinį laiką pasiekiama visa pusiausvyros būsena.
• Lygindami sistemos atsakus, aiškiai nurodykite matavimo vienetus, naudokite bendras ašis ir baigtinę vaizduojamą sritį bei atsižvelkite į jėgos modelio galiojimo sąlygas.